Эллиптические солитоны интегрируемых нелинейных уравнений

Оглавление
Введение
Глава 1. Конечнозонные решения интегрируемых нелинейных уравнений
1.1. Конечнозонные решения уравнений Кадомцева-Петвиашвили, Кортевега-де Фриза и Вуссинеска
1/2. Конечнозонные решения нелинейного уравнения Шредингера и модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза
1.3. Конечнозонные решения уравнений, связанных с уравнением Бте-СоЫоп
1.1. Конечнозонные решения уравнения цепочки Года
1.5. Конечнозонные решения и выбор локального параметра
1.5.1. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили
1.5.2. Уравнение Кортевега-де Фриза
1.5.3. Уравнение Буссинеска
1.5.4. Нелинейное уравнение Шредингера
1.5.5. Уравнения, связанные с уравнением ыпе-СоЫон
Глава 2. Накрытие над тором и редукция тэта-функций
2.1. Основная теорема
2.2. Двухзонные эллиптические решения интегрируемых нелинейных уравнений
2.2.1. Уравнение Кортевега-де Фриза
2.2.2. Уравнение Буссинеска
2.2.3. Нелинейное уравнение Шредингера
2.2.4. Уравнение эше-Оогскт
Глава 3. Эллиптические решения уравнения Кортевега-де Фриза
3.1. Эллиптические по х решения уравнения КдФ
3.1.1. Кривые Кричевера для уравнения КдФ
3.1.2. Потенциалы Ламе и Требиха-Вердье
3.1.3. Конечцозонпые эллиптические потенциалы второго типа
3.1.4. Динамика полюсов двухзонных эллиптических решений уравнения
КдФ
3.2. Эллиптические но I решения уравнения КдФ
3.2.1. Анзац I
3.2.2. Однопараметрические семейства решений. Анзац И
3.3. Уравнение Гойна
3.3.1. Уравнения Гойна, Ламе и Требиха-Вердье
5
16
16
19
21
23
25
25
27
29
30
31
33
33
35
35
37
42
44
45
45
45
49
56
61
67
67
72
77
78
2
3
3.3.2. Конечнозонные решения уравнения Гойна 80
3.3.3. Группа монодромии уравнения Гойна. Конечнозонный случай 90
Глава 4. Эллиптические решения уравнений Кадомцева-Петви&швили и
Вуссинеска 92
4.1. Эллиптические по х решения уравнений КП и Вуссинеска 92
4.1.1. Эллиптические по х решения уравнения КП 92
4.1.2. Эллиптические по х решения уравнения Вуссинеска. Случай д-2 = 0 92
4.1.3. Эллиптические по х решения уравнения Вуссинеска. Общий случай.
Анзац Кричсвера-Эрмита 96
4.2. Эллиптические по 2 решения уравнения КП 99
4.2.1. Анзац I 99
4.2.2. Однопараметрическое семейство решений. Анзац II 100
4.3. Эллиптические по у решения уравнения КП 100
4.3.1. Анзац! 100
4.3.2. Однопараметрическое семейство решений. Анзац II 101
Глава 5. Эллиптические решения нелинейного уравнения Шредингера и
модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза 102
5.1. Эллиптические по х решения уравнений НШ и МКдФ 102
5.1.1. Анзац I 102
5.1.2. Анзац II 107
5.2. Эллиптические конечиозонные потенциалы оператора Дирака 110
5.2.1. Анзац Крнчевера-Эрмита для оператора Дирака ПО
5.2.2. Эллиптические мероморфные потенциалы оператора Дирака 116
5.2.3. Динамика полюсов конечнозонных эллиптических решений
уравнения НШ 120
5.3. Эллиптические по t решения уравнения НШ 122
5.3.1. Анзац I 122
5.3.2. Однопараметрические семейства решений. Анзац II 124
5.3.3. Особый случай. Анзац 111 125
5.3.4. Однопараметрические семейства решений. Особый случай. Анзац IV 127
Глава 6. Эллиптические решения уравнений, связанных с уравнением
$те-Согс1оп 131
6.1. Эллиптические решения уравнений эте-СогсЬп и этЬ-Согбоп 131
6.1.1. Анзац I 131
6.1/2. Анзац II 135
6.2. Эллиптические решения уравнений $те-Ьар1асе, 5тЬ-Ьар1асе I и
зтЬ-Ьар1асе II 142
6.2.1. Анзац Г 142
6.2.2. Анзац ГГ 144
Глава 7. Периодические решения уравнения цепочки Тода 149
7.1. Периодические но п решения уравнения цепочки Тода 149
7.2. Эллиптические по I решения уравнения цепочки 'Года 150
4
Приложение Л. Эллиптические конечнозонные потенциалы оператора
Шредингера 151
А.1. Канонические спектральные поверхностгр потенциалов Ламе и
Требиха-Вердье (т, ^ 3) 151
А.2. Кривые Кричеверадля потенциалов Ламе и Требиха-Вердье (п ^ 10) 158
А.З. Эллиптические потенциалы второго типа (п ^ 10) 160
Описок литературы
165
Введение
В 19G7 году Гарднер, Грин, Крускал и Миура jl] нашли метод интегрирования нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) с помощью обратной задачи теории рассеяния. В 1968 году Лаке [2] существенно обобщил их идеи, а в 1971 Захаров и Шабат [3] применили этот метод к другому важному для физических приложений уравнению — нелинейному уравнению Шредингера (IILU). Тогда же Захаров и Фадеев [4] показали, что уравнение КдФ может быть интерпретировано как полностью интегрируемая гамильгонова система. После чего развитие метода обратной задачи теории рассеяния (МОЗГ) и его приложений пошло с нарастающей скоростью и привело в настоящее время к созданию целой области математической физики.
С 1974 года работами Новикова, Дубровина, Марченко, Лакса. Матвеева, Итон, Мак-Кина, ван Мёрбеке и Кричевера в рамках МОЗР начал развиваться алгеброгеометрический подход к интегрируемым нелинейным эволюционным уравнениям (ИНУ), позволяющий строить их условно-периодические (конечнозонные) решения в терминах многомерных тэта-функций. Первые работы [5]—(15} были посвящены описанию класса конечнозонных потенциалов одномерного оператора Шредингера и соответствующих решений уравнения КдФ. Однако впоследствии найденные в работах |11], [12], [15] формулы для конечнозонных решений общего положения уравнения КдФ были перенесены на другие интегрируемые нелинейные уравнения (с соответствующими, иногда довольно нетривиальными, модификациями) [16]—[39].
Решенные методом конечнозоиного интегрирования нелинейные уравнения позволяют рассматривать в рамках этого метода те физические явления, которые описываются многофазными волновыми пакетами, представляющими собой абелевы функции родов у ^ 1. В частности, рассмотрение задачи Пайерлса-Фрелиха [40]—[46], [33], нестационарного эффекта Джозефсона [47|—[50] и некоторых других задач (см. например [51]—(53]) требуют в ряде случаев привлечения абелевых функций родов д ^ 2.
Полученные методом конечнозонного интегрирования многофазные решения нелинейных уравнений сравнительно просто выражаются через римановы тэта-функции. Однако при первой же попытке исследовать данные решения эта простота сразу же исчезает, поскольку римановы тэта-функции представляют собой многомерные ряды Фурье, коэффициенты которых зависят от периодов абелевых интегралов компактных римановых поверхностей. В связи с этим в случае рода д > 1 анализ решений оказывается существенно нетривиальным.
6
Данная проблема стимулировала целый ряд исследований сразу по нескольким направлениям, одним из которых являлась задача редукции многомерных тэта-функций к тэта-функциям меньшей размерности, в том числе и к эллиптическим (54)-(65). Однако, при несоизмеримости периодов эллиптических тэта-функций так же, как и в общем случае, конечнозонные решения остаются квазипериодическими.
Впрочем не только задача более простого описания конечноэоиных решений ИНУ привлекала внимание к этой области математической физики.
Во-первых, эллиптические конечнозонные решения ИНУ представляют интерес сами по себе, как описывающие периодические (по времени и/или по координате) нелинейные процессы [16], [66]—[72].
Во-вторых, они могут быть использованы для изучения динамики интегрируемых систем частиц типа системы Калоджеро-Мозера [73]—[80].
В-третьих, эллиптические по х конечнозонные решения ИНУ в любой момент времени і являются эллиптическими конечнозонными потенциалами некоторых линейных дифференциальных или разностных операторов, атак называемые функции Бейкера-Ахиезера — решениями линейных обыкновенных дифференциальных или разностных уравнений с эллиптическими коэффициентами.
И в-четвертых, при подходящей замене переменной собственные функции линейных дифференциальных операторов с эллиптическими коэффициентами пере ходят в линейно независимые решения уравнения Фукса с четырьмя или более регулярными особыми точками. Например, как показал еще Дарбу [81], решения уравнения Гойна (четыре особых точки, [82], [88]) может быть получено довольно простой заменой из собственных функций оператора Шредингера с потенциалом Греби ха- Вердье. А рассматривая собственные функции оператора Шредингера с эллиптическими потенциалами второго типа, мы можем найти точные решения уравнения Фукса с большим числом особых точек. Правда, эти точки не могут быть расположены произвольным образом.
До 1988 года практически не было больших успехов в решении задачи выделения периодических решений ИНУ из общих конечнозонных. Это связано, в первую очередь, с тем, что условие периодичности есть ни что иное как условие соизмеримости векторов 6-периодов нормированных абелевых дифференциалов, которое не может быть эффективно разрешено относительно точек ветвления из-за своей трансцендентности. В качестве примера известных к тому времени периодических решений ИНУ следует указать периодическую (но номеру п) цепочку Тода [26], [16], эллиптические решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили (КЇЇ) [75] и отдельные решения некоторых уравнений, связанные либо с узким классом начальных данных, либо со специальными симметричными римановы-ми поверхностями [54|-(6о], [84). Появление работ Гребиха и Вердье [85]—[89] дало новый импульс исследованиям в этой области, поскольку ощущалась настоятельная потребность именно в периодических многофазных решениях. В итоге к 1990 году было дано эффективное описание всех поверхностей, ассоциированных с эллиптическими (по х) решениями уравнения КдФ, и были также указаны новые конечнозонные эллиптические потенциалы оператора Шредингера, отличные от потенциалов Ламе (см. например [90]—[95]).
7
На основании результатов, полученных при исследовании уравнения КдФ. можно предложить два подхода к решению проблемы построения двоякопериодических решений ИНУ.
В первом из них. реализованном для уравнений Кадомцева-Петвиашвили (75), Кортевега-де Фриза [62|, [65|, (77]—(79), (91)—(94), нелинейного уравнения Шредин-гера (96) и уравнения Буссинеска [97], используется специальный анзац (апзац Кричевера-Эрмита) для '/'-функции — собственной функции вспомогательного линейного оператора (оператора IIIредингера для уравнения КдФ и оператора Дирака для НШ). Алгебраические кривые, ассоциированные с эллиптическими конеч-нозонными решениями, получаются как результат совместности некоторой переопределенной системы алгебраических уравнений от основного и дополнительных спектральных параметров и называются кривыми Кричевера.
Этот же метод был применен к ряду линейных дифференциальных операторов третьего порядка, не связанных ни с какими ИНУ |78), [93], [98], [99].
Второй метод, которому и посвящена эта работа, основывается на выборе специальных анзацев для кривых Кричевера, не обращаясь непосредственно к линейной задаче. Он использует связь между задачей редакции многомерной тэта-функции римановой поверхности и активно развивавшейся в XIX веке теорией редукции абелевых интегралов к эллиптическим.
Этот метод был успешно применен для нахождения эллиптических по X И 1IO t решений уравнения КдФ [90], [95], [100]—[10*2], а также для описания новых довольно обширных классов эллиптических решений уравнений, связанных с уравнением sine-Gordon [ 100], [102]—[105], уравнения Буссинеска [100]. нелинейного уравнения Шредингера, модифицированого уравнения КдФ и уравнения цепочки Годы [102], [107]-|109].
И самое последнее время появился еще один метод, примененный для исследования стационарных (без рассмотрения изоспектральной деформации) эллиптических конечнозонных потенциалов операторов Шредингера [110]—[11-1] и Дирака |115).
Предлагаемая работа состоит из семи глав и приложения.
Первая глава носит вспомогательный характер и состоит из пяти разделов. В первых четырех разделах содержатся необходимые сведения из теории конечнозонных решений:
а) уравнений Кадомцева-Петвиашвили, Кортевега-де Фриза и Буссинеска (первый раздел);
б) нелинейного уравнения Шредингера и модифицированного уравнения Кор-тевега-де Фриза (второй раздел);
в) уравнений, связанным с уравнением sine-Gordon (третий раздел);
г) уравнений цепочки 'Года (четвертый раздел).
Б последнем разделе приводится зависимость конечкозонных решений исследуемых нелинейных уравнений от выбора локального параметра, в окрестности существенной особенности функции Бейкера-Ахиезера (бесконечно удаленной точки Рос). Обычно, рассматривая конечнозонные решения интегрируемых нелинейных уравнений, в роли данных для обратной задачи выступает “каноническая" форма
8
спектральной поверхности Г с “каноническим” локальным параметром £ в окрестности “естественной” бесконечно удаленной точки 'Рх. С этой (“спектральной”) точки зрения различным би рацио нал«» но эквивалентным каноническим представ лениям одной и той же спектральной поверхности Г соответствуют различные конечнозонные решения интегрируемых нелинейных уравнений.
Однако иногда бывает удобно воспользоваться другой (“геометрической”) точкой зрения, когда в роли данных для обратной задачи выступают:
а) риманова. поверхность Г в одном из своих бирационально эквивалентных представлений;
б) выделенная точка V0с € Г, не обязательно бесконечно удаленная в координатах текущего представления /';
в) локальный параметр £ в окрестности выделенной ТОЧКИ Pools данной работе мы будем придерживаться той или иной точки зрения в
зависимости от решаемой задачи.
Вторая глава состоит из двух разделов. В первом разделе приводится сформулированная и доказанная автором теорема о редукции многомерной тэга-функции Римана к эллиптической тэта-функции п-ного порядка, а также некоторые следствия, вытекающие из этой теоремы.
Основное утверждение этой теоремы состоит в том, что, если риманова по верхность Гі является «-листным накрытием над эллиптической поверхностью Го (s : Р\ —* Г0) и если на 1\ и Г0 существуют абелевы дифференциалы второго рода (Ю1 и с/Г?°, нормированные в соответствующих базисах циклов, с векторами 6-периодов 2mU] и '2діГ°, и связанные соотношением
s = dfi1
с точностью до голоморфного дифференциала и дифференциала от мероморфной функции, то верно следующее равенство:
п
в(и'г + Д|В,) = *ехр{a(U°zf + bU°z} S(U°z + Zj\Bo),
j=l
где n число листов накрытия, ft- b, Zj — некоторые постоянные.
Одним из следствий этой теоремы является то, что в условиях теоремы функция
et^ + AxIBQ К) 0(і/ід + Д2\Bi)
является эллиптической функцией второго рода, имеющей по п нулей и полюсов на торе Го, а функция
Я,(г)»-6?1пЄ(^1«+ Д|£і)
является эллиптической мероморфной функцией, имеющей на торе Го п полюсов второго порядка:
л
Ii\(z) — ^ P(z ”* zj) + const.
3=1
9
По втором разделе второй главы рассматриваются двухзонные решения исследуемых нелинейных уравнений, построенные по римановым поверхностям Г\ рода 2, накрывающим эллиптическую поверхность /ф В частности, доказаны следующие утверждения:
1) по почти любой гиперэллиптической поверхности рода 2, накрывающей эллиптическую, можно построить два эллиптических по t двухзонных решения уравнения Кортевега-де Фриза;
2) по почти любой римановой поверхности Г рода 2, накрывающей эллиптическую, можно построить два эллиптических по х двухзонлых решения уравнения Буссинеска;
3) по любой римановой поверхности рода 2, накрывающей эллиптическую, можно построить от восьми до двенадцати эллиптических но у двухзонных решений уравнения Буссинеска;
-1) для любого п и для почти любой функции Бейерштрасса существует дифференциальный оператор третьего порядка с “двухзонным" п-эллип-ти чес к им потенциалом;
5) для любого п и для почти любой p-функции Вейерштрасса существует дифференциальный оператор четвертого порядка с “двухзонным” п-эллинти ческ им погон цианом;
6) по почти любой гиперэллиптической поверхности рода 2, накрывающей эллиптическую можно построить два эллиптических по t решения нелинейного уравнения Шредингера:
7) по почти любой гиперэллиптической поверхности рода 2, накрывающей эллиптическую, можно (после бирадионально эквивалентных преобразований, меняющих бесконечно удаленные точки) построить два эллиптических по х решения нелинейного уравнения Шредингера;
8) по почти любой накрывающей кривой рода 2 можно построить 60 различных эллиптических по х или но t решений уравнения si не-Gordon.
Б последующих главах обсуждается приложение теории редукции к ряду интегрируемых нелинейных уравнений.
Третья глава посвящена эллиптическим решениям уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) и состоит из трех разделов. Б первом разделе обсуждается предложенный автором метод построения спектральных поверхностей, ассоциированных с эллиптическими конечнозонными потенциалами оператора Шредингера
Фи ~ и(х)%1> = Еф
и эллиптическими по х конечнозонными решениями уравнения Кортевега-де Фриза
— иххх + баи* = 0,
приводятся многочисленные примеры его применения, а также рассматривается динамика полюсов двухзонных эллиптических по х решений уравнения КдФ. Этот метод основан: а) на доказанной во второй главе теореме о редукции многомерной тэта-функции Римана к эллиптической тэта-функции тг-ного порядка и б) на использовании кривых специального вида, называемых кривыми Кричевера.
10
Эти кривые впервые возникли в работе И.М.Кричевера [75], посвященной эллиптическим по х решениям уравнения Кадомцева-Петвиашвили (КП). Поскольку уравнение КдФ, как и уравнение Буссинеска, есть частный случай уравнения КП. то кривые Кричевера для уравнения КдФ образуют подмножество в множестве кривых Кричевера для уравнения КП. Впоследствии автору удалось сформулировать условие, эффективно выделяющее подмножество кривых Кричевера для уравнения КдФ из множества кривых Кричевера для уравнения КП.
13 отличие от метода анзаца Кричевера-Эрмита этот метод не предполагает наличие информации о положении и кратности полюсов функции Бейкера-Ахиезера. Именно поэтому автором были найдены не только известные к тому времени потенциалы Ламе и Требиха-Вердье, но и новые, неизвестные ранее конечнозонные эллиптические потенциалы, не являющиеся изоспектральной деформацией известных.
Самым простым двухзонным эллиптическим потенциалом, не являющимся изоспектральной деформацией потенциалов Ламе и Требиха-Вердье и не приводимым к ним изменением решетки периодов, является потенциал
и(х, 0} = 6р(д) + 2р(х 4- 8) 4- 2р(х - 5) - 4р(6), где р(6) есть корень уравнения
1600/ - 848</2/ - 1088»/ + 76// + 176д2д3р + 64/ + / = 0,
ИЛИ
= -Зр'(5).
Инварианты д-г и дз накрываемой эллиптической поверхности Го связаны с $>(<$) следующими соотношениями (/; = р(<5), д = р(2$)):
д-2 - 2Ор2 - 4ря - 4«?2,
дг = -18р3 + 7р2ц + 4рд2 - г/3.
Края зон спектра оператора Шредингера с данным потенциалом находятся в точках
Щ = 9с, + 12,4 12 о-З^Р^У), } = 1>2(з,
д -
Г4)5 = 2р~ 2д ± у/'{4д -р)(д + 2р).
Впоследствии существование конечнозонных эллиптических потенциалов второго типа было переоткрыто другими исследователями [116).
Во втором разделе автор обобщает метод анзаца кривых Кричевера на случай эллиптических по I решений уравнения КдФ. Как оказалось, существует два различных анзаца кривых Кричевера и, соответственно, два различных класса эллиптических но I решений уравнения КдФ. Основным различием этих двух классов является наличие у кривых Кричевера из анзаца II п, соответственно, у эллиптических по I решений уравнения КдФ из анзаца II дополнительного свободного параметра.
Другое различие между двумя анзацами становится заметным при исследовании двухзонных решений уравнения КдФ. По кривым Кричевера из анзаца I
11
можно построить одно эллиптическое и по х, п по £ двухзонное решение уравнения КдФ, а по кривым Крич ев ера из анзаца ІТ — два различных эллиптических по £ и ни одного эллиптического по х. Иначе говоря, если алгебраическую кривую рода 2 можно представить в виде кривой Кричевера из анзаца I для эллиптических но £ решений уравнения КдФ, то ее также можно представить в виде кривой Кричевера для эллиптических но х решений этого же уравнения. А если кривую рода 2 можно представить в виде кривой Кричевера из анзаца II для эллиптических по £ решений уравнения КдФ, то ее также можно представить в виде другой кривой Кричевера из этого же анзаца.
Здесь надо также отметить, что очень важным моментом в процессе построения эллиптического по £ решения уравнения КдФ является выбор локального параметра в окрестности бесконечно удаленной точки Р.х, поскольку свойство периодичности по £ конечнозонного решения уравнения КдФ существенно зависит от этого выбора.
В третьем разделе рассматривается уравнение Гойна
\ Лу - д =
ус/г г(г —1)(г-а)^
1 + а + р - 7 — 6 - є = О,
которое является уравнением класса Фукса с четырьмя особыми точками 0, 1, а, ос. Это уравнение, как показал Дарбу [133), [134], с помощью эллиптической замены переменной может быть сведено к уравнению Шредиш сра с эллиптическим потенциалом. Нетрудно показать, что при
І г І 1 N N I
7 = 2 “177,1 > 6=2~ т"ъ е=2~т*' а^_2"’ ' Т+2 + т0,
N = її>о ■+ 77/. | 4- то + гпз, т,} Є
этот эллип тический потенциал будет потенциалом Требиха-Вердье
з
и(х) = т0{т0 + 1 )р(х) + + 1)р(я-о;Д
3=1
т.е. конечнозоиным эллиптическим потенциалом, хорошо известным в настоящее время. Интересно, что Вердье и Требих пришли к рассмотрению этого класса потенциалов, ничего не зная о работах Дарбу и исходя из совершенно иных идей.
Используя свойства собственных функций оператора Шредингера с потенциалом Требиха- Вердье, автор нашел класс точных решений уравнения Гойна, названных им “конечнозонными". В работе рассмотрены некоторые свойства этих решений и приведены многочисленные примеры.
В этом же разделе приводится новое доказательство конечнозонности потенциалов Требиха-Вердье для любых целочисленных значений т3.
(Ру
(1г2
+ £2 +
2- 1
+
2-а
12
В четвертой главе рассматриваются коиечнозонные эллиптические решения уравнений Кадомцева-Петвиашвили (КП)
Первый раздел посвящен эллиптическим по х решениям этих уравнений. Как и уравнение КдФ, уравнение Буссинеска является частным случаем уравнения КП. Поэтому кривые Кричеверадля уравнения Буссинеска также образуют некоторое подмножество в множестве кривых Кричевера для уравнения КП. Однако найти условие, эффективно выделяющее это подмножество, удалось только для случая д-2 = 0, когда накрываемая эллиптическая кривая является эквиангармоничеекой.
Что касается общего случая, то тут следует воспользоваться методом анза-ца Кричевера-Эрмита, т.е. начинать решение задачи не с анзаца спектральной кривой, а. с анзаца собственной функции дифференциального оператора третьего порядка. При этом надо учитывать, что. как доказано автором, за исключением специальных случаев, не существует конечнозонных эллиптических решений у\ю,впения Буссинеска с началъпылш данпьеми. имеющими полюса только в по-лупсрио()ах тора.
Во втором и в третьем разделах четвертой главы понятие кривой Кричевера обобщается на случай эллиптических по I и эллиптических по у конечнозонных решений уравнения КП. Как и в случае эллиптических по t решений уравнения КдФ. в каждом из разделов предлагается по два анзаца кривых Кричевера, один из которых служит для построения однопараметрического семейства эллиптических по I или по у конечнозонных решений.
Пятая глава также состоит из трех разделов. В первом разделе вводятся определения кривых Кричевера для конечнозонных эллиптических по х решений ‘’расщепленного” нелинейного уравнения Шредингера (НШ)
( + Ра-х ~ ~Р2<] = О,
\щ - Яхх + 2РЯ2 = О
и “расщепленного” модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза (МКдФ)
Предлагаются два анзаца кривых Кричевера отличающихся расположением на них существенных особенностей функции Бейкера-Ахиезера. Если кривая принадлежит анзацу I, то обе существенные особенности находятся “над” одной и той же точкой тора, а если анзацу II, то “над" двумя разными. Выделенные точки Р* меняются местами при действии заданной на кривой Кричевера голоморфной инволюции. Для каждого из анзацев приведены примеры кривых Кричевера, а
и Буссинеска
4- (иххх — 6ьих)х = 0.
Ру + Рххх - бщрх = 0, Яу -I* Яххх - ЬрЯЯх = 0.
13
также спектральных кривых эллиптических по х конечнозонных решений уравнений НШ и МКдФ.
Во втором разделе пятой главы исследуются свойства оператора Дирака с эллиптическим конечнозонным потенциалом. Хорошо известно, что интегрируемое нелинейное дифференциальное уравнение является условием совместности двух линейных. Для уравнений НШ и МКдФ одним из линейных уравнений является оператор Дирака
Поэтому, конечнозонность и эллиптичность решения р(хД,у) И (](х, у) уравнения НІII означает конечнозонность и эллиптичность потенциала оператора Дирака
Во втором разделе обобщается анзац Кричевера-Эрмита на случай эллиптических потенциалов оператора Дирака. С помощью теоремы о редукции многомерной тэта-функции к эллиптической доказывается, что:
а) все потенциалы, полученные методом анзаца Кричевера-Эрмита, принадлежат только апзацу II, а функции р(х, £. у) и у(х,Ь,у) в этом случае являются эллиптическими функциями второго рода по переменной х\
б) для всех эллиптических потенциалов, принадлежащих анзацу I, функции р(х1иу) и (/(х,1-у) являются эллиптическими мероморфными функциями.
В заключение раздела рассмотрена динамика полюсов конечнозонных эллиптических решений уравнения НШ. Оказывается, что и для анзаца I, и для анзаца II полюса Х}({) конечнозонпого эллиптического решения уравнения НШ удовлетворяют динамике интегрируемой системы частиц “Калоджеро-Мозера5'. Слова “Калоджеро-Мозера” взяты в кавычки, т.к. соответствующий гамильтониан, в отличие от случая уравнения КдФ, имеет вид
Т.е. для вещественных х и t полюса #-,(£) эллиптического решения уравнения НШ не отталкиваются друг от друга, а наоборот, притягиваются друг к другу. II следовательно, с физической точки зрения, динамика полюсов эллиптических решений уравнений КдФ (периодические колебания) и НШ (коллапс) совершенно различна, несмотря на схожесть формул для гамильтонианов.
В третьем разделе пятой главы понятие кривой Кричевера обобщается на случай эллиптических по t решений уравнения HIII. Как показано автором, для уравнения НШ существует уже четыре различных анзаца кривых Кричевера, отличающиеся друг от друга следующими характеристиками:
I. существенные особенности функции Бейкера-АхиезераР^, находятся “над" разными точками накрываемого тора;
где<7з= 10 _!
I О
-югФх + Ufa.-, t: у)Ф = \Ф,
— матрица Паули, U(:r, у) — потенциал:
U(xtt,y).
3=1 гФз
14
II. существенные особенности функции Бейкера-Ахиезера находятся “над ‘ разными точками накрываемого тора и решение зависит от дополнитель-ного свободного параметра;
III. существенные особенности функции Бейкера-А хиезера находятся "над' одной и той же точкой накрываемого тора;
IV. существенные особенности функции Бейкера-А хиезера находятся “над” одной и той же точкой накрываемого тора и решение зависит от дополнительного свободного параметра.
В каждом из анзацев выделенные точки меняются местами при действии заданной на кривой Кричевера голоморфной инволюции.
Как и в случае двухзонных эллиптических но t решений уравнения КдФ. по кривым Кричевера рода 2, не имеющим свободного параметра, может быть построено эллиптическое и по х, и по t двухзонное решение уравнения HIII. При этом анзацу I эллиптических по t решений уравнения HLLI соответствует анзац II эллиптических по х, а анзацу III эллиптических по t — анзац I эллиптических по х. И опять, как и для уравнения КдФ, необходимо правильно выбрать локальные параметры в окрестности бесконечно удаленных точек т.к. от этого выбора зависит свойство периодичности по t конечнозонных решений уравнения НШ.
В шестой главе рассматриваются вещественные эллиптические решения следующих уравнений:
1) sine-Gordon
Фхх - фи = sin р\
2) sinh-Gordon
Фхх ~ фи " sh ф\
3) sine-Laplace
Фхх + фи = sin р\
4) sinh-Laplace I
Фхх + Фи = - sh р\
5) sinh-Laplace II
фхх + фи = sh p.
В первом разделе анзац кривых Кричевера обобщается на случай эллиптических решений уравнений sine-Gordon и sine-Laplace. Как и для уравнения НШ, рассматриваются два анзаца кривых, в зависимости от положения полюсов абелевых дифференциалов второго рода. В анзаце I выделенные гшчки кривой Кричевера Р и Q находятся “над” одной и той же точкой эллиптической кривой, а в анзаце II — "над“ двумя разными, отличающимися на полу период накрываемой эллиптической кривой. Обе выделенные точки неподвижны относительно заданных на накрывающей кривой голоморфной и антиголоморфной инволюций. Показано, что анзац Лэмба и обобщенный анзац Лэмба являются частным случаем п = 2.
Но втором разделе анзацы кривых Кричевера для уравнений sine-Gordon и sine-Laplace модифицируются таким образом, чтобы но ним можно было построить эллиптические решения уравнений sine-Laplace, sinh-Laplace 1 и sinh-Laplace II. Основное отличие от предыдущего случая заключается в том, что выделенные
15
точки Р н С} неподвижны относительно голоморфной инволюции и меняются местами при антиголоморфной.
В каждом из раздело» для каждого из анз&цев приведены примеры кривых Кричевера и спектральных кривых.
Седьмая глава, посвященная периодическим конечнозонным решениям цепочки Года, также как и первая, носит вспомогательный характер. В первом разделе рассматривается, с точки зрения теории накрытий, задача построения периодических по п конечнозонных решений цепочки Тода. Результаты, полученные этим методом, совпадают с уже известными.
Из аксиоматики конечнозонных решений уравнения цепочки Тода вытекает, чго но кривым Кричевера. ассоциированным с эллиптическими но х решениями уравнений IIШ и МКдФ, можно строить эллиптические по I решения уравнения цепочки Года. Поэтому второй раздел седьмой главы, посвященный эллиптическим но £ решениям уравнения цепочки Года, представляет собой ссылку на соответствующий раздел пятой главы.
В приложении, состоящем из трех разделов, перечислены все простейшие эллиптические конечнозонные потенциалы оператора Шредингера, их кривые Кричевера и их спектральные поверхности.
В первом разделе приведены псе, с точностью до сдвига х —> простейшие
(О ^ ^ 3) эллиптические конечнозонные потенциалы Ламе и Требиха-Вердье и
их канонические спектральные поверхности. Несмотря на то, что автором вычислено более двухсот спектров потенциалов Ламе и Греби ха-Вердье (0 ^ гщ ^ 6), мы не включили соответствующие результаты в текст работы, с тем чтобы ее объем не превышал разумных пределов.
Во втором разделе перечислены все, с точностью до изоспектралыюй деформации, тг-эллиптические (2 < п < 10) потенциалы Ламе и Требиха-Вердье и приведены значения постоянных дня кривых Кричевера, ассоциированных с данными потенциалами. Также здесь находятся данные по двенадцатилистному накрытию, ассоциированному с “учетверенным” двухзонным потенциалом Ламе. Более подробно кривые Кричевера для потенциалов Ламе и Требиха-Вердье с п < б рассмотрены в п. 3.1.2.
В последнем разделе приложения перечислены, без подробностей и без учета изоспектралыюй деформации, все (^эллиптические (2 < п ^ Ю) потенциалы второго типа. Для большинства потенциалов приведены значения постоянных Д,, позволяющие, в случае необходимости, построить кривые Кричевера и спектральные кривые данных потенциалов. Подробнее потенциалы второго типа с п ^ 5 рассмотрены в п. 3.1.3.
Автор благодарит В.Б.Матвеева, А.Р.Итса и В.З.Энольского за полезные обсуждения. Автор также благодарит А.Требиха (Л.ТгеИж Ь) и Ф.Гештези (К.Ое8г1еву) за оттиски и препринты.