- 2 -
Содержание
Введение ......................................................... 3
Глава I. Исследование сходимости разностных схем для уравнений баротропного движения газа в магнитном поле методом срезок ...................................... 16
§ I. Метод прямых ...............................................16
§ 2. Полная дискретизация уравнений баротропного движения газа в магнитном поле ...................... 33
Глава П. Сходящиеся разностные схемы для одномерных нестационарных уравнений вязкого теплопроводного газа и магнитной газовой динамики ................... 50
§ I. Об однозначной разрешимости начально-краевых задач для одномерных уравнений магнитной газовой динамики ........... 50
§ 2. Сходящиеся разностные схемы для уравнений вязкого
теплопроводного газа ............................... 73
§ 3. Сходящиеся разностные схемы для уравнений магнитной
газовой динамики .......................................... 89
Глава Ш. Параболические аппроксимации уравнений магнитной газовой динамики ........................................... 102
§ I. О параболической аппроксимации уравнений магнитной
газовой динамики .......................................... 102
§ 2. Конечно-разностные схемы для уравнений с малым параметром, аппроксимирующих уравнения магнитной газовой динамики ...................................................... 124
Литература ...................................................... 138
- 3 -
ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена вопросам корректности и аппроксимации уравнений магнитной газовой динамики и обоснованию ряда разностных методов решения начально-краевых задач для одномерных уравнений магнитной газовой динамики.
Необходимость исследования движений электропроводящих жидкостей и газов в электромагнитном поле возникает в связи с изучением ряда известных проблем физики и техники, таких, как исследование управляемых термоядерных реакций, астрофизика, геофизика, проблема превращения энергии, радиосвязь и т.д.
Математические исследования уравнений магнитной газовой динамики, как и уравнений механики вообще, составляют один из разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных. Кроме того, задачи, связанные с этими уравнениями, представляют самостоятельный теоретический интерес, который стимулируется развитием численных методов решения краевых задач на основе ЭВМ.
Система уравнений магнитной газовой динамики в моделях, учитывающих помимо вязкости такие свойства среды, как сжимаемость и теплопроводность, имеет ВИД [I], 02 ^
^- гсЛ(Е * И ) - СЧ»^ ^»
+ (и • у)к] -^ *с1иг(й-п:У <^(^9) +
+ И - |леи X Ц ) .
- 4 -
Здесь ^ , ]р , К0 и 6) соответственно плотность, давление, энтальпия торможения, Н1Д и абсолютная температура,
и - вектор скорости, Н - вектор напряженности магнитного поля, - тензор напряжений,
п:..^м(^ + В* \ + & ) (си»п:).= ^ ,
Ч Э*-, 1 1 ’ За, ч 1 4 г*(
$*.. - символ Кронекера, <х=-(?м,*2,Я3) - декартовы координаты точек области течения, "Ь - время, Ср - теплоемкость при постоянном давлении, - магнитная проницаемость, ^е=-Со^>0} ^)н и 9? - коэффициенты магнитной вязкости и теплопроводности, ^ > О^И ^ - обычный и второй коэффициенты вязкости,
З^+2-^О, Р>0.
Система дополняется уравнениями состояния, причем обычно рассматривается совершенный политропный газ:
е~Су§ С^=-Со^>о, Су-соп$1;>о) где 0 - внутренняя энергия, Су - теплоемкость при постоянном
объеме.
Основные уравнения магнитной газовой динамики (мгд) (0.1) являются нелинейными и относятся к системе составного типа. Система уравнений мгд (0.1) более сложна по сравнению с системой уравнений Навье-Стокса вязкой сжимаемой жидкости, свойства которых еще полностью не изучены. Надо сказать, что математические свойства основных уравнений мгд еще менее исследованы.
В силу нелинейности и отсутствия определенного типа не существует общего метода отыскания решений системы уравнений (0.1). Поэтому одним из основных мощных способов решения задач мгд является конечно-разностный метод или метод сеток. Известно, что для линейных дифференциальных уравнений существует хорошо развития теория разностных схем, а для нелинейных уравнений в частных производных теория разностных схем менее развита.
- 5 -
В связи с этим и вышеуказанными многочисленными приложениями практическая потребность решения задач мгд повышена.
Поскольку между уравнениями Навье-Стокса и уравнениями мгд существует широкая аналогия £1}, то естественно, что для решения задач мгд можно применять методы и идеи, используемые в вязкой газовой динамике. Поэтому кратко остановимся на результатах по уравнениям вязкого сжимаемого газа. Вопросы корректности краевых задач для системы уравнений, описывающих движение вязкой сжимаемой жидкости исследовались в работах Д.Серри-на [3], Д.Нэша £4], И.Итая [5] - [71, А.И.Вольперта и С.И.Хуциева [81, В.А.Солонникова [91, А.Тани [10, III, Я.И.Канеля [12],
A.В.Кажихова [131 - [19], А.Мацумуры и Т.Нишиды [20, 211,
B.В.Шелухина [22] - [2б] и других авторов. Разрешимость уравнений вязкого газа в целом по времени изучена в настоящее время только в случае одномерного движения с плоскими волнами. Исследование корректности в целом начально-краевых задач для упрощенных моделей (модель Бюргерса, модель баротропного газа) проведено в работах [б], [II]. В работах [13], [141 А.В.Кажиховым был предложен другой способ получения априорных оценок и в [I5l - [l9] им установлены глобальные теоремы существования основных начально-краевых задач и задачи Коши для полной системы одномерных уравнений вязкого газа и исследовано поведение решений при неограниченном возрастании времени. Некоторые качественные вопросы теории дифференциальных уравнений вязкого газа, как вопросы существования периодических, почти периодических и ограниченных решений, стабилизации решений исследованы В.В.Ше-лухиным [22] - [26], а в [27] - [29] получены результаты, относящиеся к одномерным осесимметрическим течениям. Неоднородные краевые задачи для уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости исследованы в [301 - [ЗЗ]; отметим, что на трудности в неодно-
- 6 -
родных задачах впервые обратил внимание Н.Итая [б]. Более подробный анализ исследований по корректности моделей вязкого газа приведен в монографии [341 и обзорной статье [211. Численным методам решения задач вязкого сжимаемого газа посвящено довольно много публикаций (см. [35 - 40] и библиографии к ним), в которых предложены различные схемы, однако существует мало работ со строгими математическими результатами по обоснованию их устойчивости и сходимости. Вопросы устойчивости и сходимости разностных решений для уравнений вязкого сжимаемого газа в настоящее время изучены только в случае одномерного движения.
В цикле работ [41 - 431 Ш.Смагулова, Б.Г.Кузнецова и Ш.Смагуло-ва эти вопросы исследовались только для простейших моделей (модель Бюргерса, модель баротропного газа) и лишь недавно Ш.Смагуловым [44] доказана сходимость построенных им разностных схем, аппроксимирующих одномерные уравнения вязкого сжимаемого газа с учетом теплопроводности. Следует упомянуть работу Т.Нишиды и Д.Смоллера [451, в котоР°й доказывается сходимость класса конечно-разностных аппроксимаций для одной нелинейной параболической системы дифференциальных уравнений.
Основным объектом нашего исследования является система уравнений (0.1) в случае одномерного движения. Предположим, что
а) течение вязкой сжимаемой жидкости параллельно оси ос и имеет одну компоненту и вектора скорости;
б) магнитное поле И является плоским и перпендикулярным к полю скорости;
в) все величины являются функциями только от одной пространственной декартовой координаты О. и от времени ^ . Тогда система (0.1) при сделанных выше предложениях и
^=сог\л1>0, > О
поле некоторых преобразований запишется в виде СП
- 7 -
(0.2)
Математические трудности, возникащие при анализе уравнений (0.2), как и в случае вязкого газа без учета магнитного поля, связаны с необходимостью иметь оценки строгой положительности и ограниченности плотности (р .
Наряду с системой (0.2) рассматривается более простая модель, учитывающая по-прежнему свойства вязкости и сжимаемости среды, ею являются уравнения баротропного движения газа в магнитном поле, когда давление (р зависит только от плотности О
Как видно, от системы (0.3) уравнение для температуры 0 отделено и решается после определения скорости, напряженности магнитного поля и плотности.
Исследование корректности в целом задачи Коши и краевых за-
И.Ферсте установлены локальные теоремы для различных моделей (0.1). Для модели более близкой системе (0.2) глобальная тео-
(0.3)
дач, а также поведения решений при "Ь -►ьв для системы (0.3) было проведено Ш.Смагуловым [46].. В серии работ 047 - 500
- 8 -
рею существования получена А.В.Кажиховым £51].
Из (0.1), пренебрегая влиянием сжимаемости среды, получим систему уравнении магнитной гидродинамики. Вопросы разрешимости краевых задач для системы уравнений магнитной гидродинамики исследовались в работах 0.А.Ладыженской и В.А.Солонникова £521, \5з], Ш.Сахаева и В.А.Солонникова [54], Л.И.Ступялиса [55, 5б].
В настоящее время тлеется большое количество работ, посвященных численным методам решения задач магнитной гидродинамики (см. [40*1, [57 - 550. и библиографии к ним). Отметим, что в основе предложенных в '[57], [59] алгоритмов численного решения системы уравнений магнитной гидродинамики лежит идея расщепления исходной системы дифференциальных уравнений на отдельные группы: уравнения газовой динамки, уравнение энергии и уравнения, определяющие электромагнитное поле, которые решаются методом конечных разностей с последующей совместной их итерацией. Однако все еще отсутствуют работы . со строгими доказательствами устойчивости и сходимости разностных схем для уравнений магнитной газовой динамики, даже в случае одномерного движения.
Известно, что в одномерных нестационарных задачах вязкой газовой динамики априорные оценки удобнее всего получать в массовых лагранжевых переменных, переход к которым изложен в [Зб), а для уравнений вязкого теплопроводного совершенного газа в [34]. Поэтому исследование задач магнитной газовой динамики ведется в массовых лагранжевых переменных, поскольку после вывода априорных оценок строгой положительности и ограниченности плотности задачи в эйлеровых и лагранжевых переменных становятся эквивалентными.
Система (0.2) в безразмерных переменных Лагранжа имеет вид (см. С 34], 0361)
Ск=Т^/Су , , '\=-Ж/(4/з)|лCv')
Здесь OL*e C.0, , "t* £ С o,T), T-const >o, \j*= - удельный
объем; введенный вещественный параметр ^ фактически равен единице, в дальнейшем будем предполагать, что 1 •
Безразмерные переменные определяются соотношениями
, uWub уЦ/р*, qU/9<,h"h/h,
где - Ц/ /CVb) Н , U, = 0/3) /£},,,
м^Ом/Юу^ь.
2; - лагранжева координата, ^ & Со Ц Ь - длина отрезка хб[о\]
В дальнейшем ди удобства записи в системе (0.4) знаки * будем опускать.
Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 76 наименований. Нумерация формул и теорем ведется отдельно в каждом параграфе. Параграфы для удобства разбиты на пункты. Объем диссертации 146 страниц.
Приведем теперь краткую аннотацию основных результатов диссертации.
В первой главе рассматриваются уравнения баротропного движения газа в магнитном поле. Цель этой главы заключается в пост-
Переменная
координата,
- 10 -
роении и доказательстве сходимости разностных схем, аппроксимирующих эти уравнения. В § I изучается метод прямых, состоящий из двух этапов: пространственной дискретизации, имеющей результатом семейство обыкновенных дифференциальных уравнений, и временной дискретизации, а в § 2 - полная дискретизация. С использованием метода срезок [62, 63} и техники априорных оценок для решений конечно-разностных (или дифференциально-разностных) уравнений [66], а также теоремы существования и единственности решения исходной дифференциальной задачи доказана сходимость построенных разностных схем к решению аппроксимируемой задачи.
Подобным образом исследовалась ранее в [41] сходимость разностных схем для уравнений вязкого баротропного газа.
Вторая глава посвящена исследованию корректности начальнокраевых задач для одномерных нестационарных уравнений магнитной газовой динамики и обоснованию устойчивости и сходимости разностных схем для их решения.
В § I этой главы для системы (0.4) доказывается теорема существования и единственности сильного решения в задаче о течении газа в ограниченной области с непроницаемыми теплоизолированными стенками. Аналогичный результат устанавливается в случае, когда на границе вместо условия отсутствия потока тепла задаются однородные значения температуры. Теорема существования доказывается методом продолжения локального по времени решения на основе глобальных априорных оценок при Об . При их получении применяется техника, разработанная А.В.Кажиховым [14] -[19] для уравнений вязкого теплопроводного совершенного газа. Основную трудность представляет, как и в случае вязкого газа без учета магнитного поля, вывод априорных оценок строгой положительности и ограниченности удельного объема и температу-
- II -
ры. Локальная разрешимость устанавливается методом Бубнова-Галеркина [60].
В § 2 главы П исследуются вопросы обоснования устойчивости и сходимости разностных схем для нестационарных одномерных уравнений вязкого сжимаемого теплопроводного газа, записанных в переменных Лагранжа, в задаче о течении газа в ограниченной области с непроницаемыми границами, когда на границах задаются однородные значения температуры. Для численного решения этой задачи предлагается некоторый класс (явной и неявной) разностных схем. С помощью теоремы существования и единственности решения исходной дифференциальной задачи и априорных оценок для решений конечно-разностных уравнений доказаны устойчивость и сходимость построенных разностных схем к достаточно гладкому решению аппроксимируемой задачи в нормах пространств сеточных функций (в сеточных аналогах пространств (0,Т> Ь^СО,4)) и
[■'ОоСРД) С (О,) ). Доказанная здесь теорема об устойчивости
разностных схем является локальной по времени, вместе с тем глобальные оценки для точного решения позволяют установить сходимость разностных схем во всем отрезке времени. Условие устойчивости явной схемы (т.е. соотношение между шагами £& и К ) примерно такое, как условие устойчивости для параболического уравнения.
Примененный здесь метод доказательства устойчивости и сходимости разностных схем переносится в § 3 для уравнений магнитной газовой динамики и получены аналогичные, как в предыдущем параграфе, результаты для разностных схем, аппроксимирующих уравнения (0.4) с однородными граничными условиями. По неявным схемам для уравнений магнитной газовой динамики были проведены численные расчеты методического характера, которые подтверждают их хорошую сходимость.
- 12 -
В главе Ш рассмотрен вопрос об аппроксимации уравнений магнитной газовой динамики параболической системой. Параболические аппроксимации уравнений типа (0.4) принимаются как один из подходов доказательства разрешимости аппроксимируемой задачи либо с целью построения на их основе численных методов решения исходной задачи.
В § I этой главы сначала исследуется начально-краевая задача для квазилинейной параболической системы, полученной добавлением вторых производных по пространственной переменной с малым параметром в уравнение неразрывности и первых производных по пространственной переменной с малым параметром в уравнение магнитного поля из системы уравнений баротропной жидкости в магнитном поле, записанной в массовых лаграняевых переменных. Разрешимость задачи доказывается методом продолжения по параметру [711 • На основе оценок, не зависящих от параметра, совершается предельный переход при устремлении параметра к нулю, при этом устанавливается скорость сходимости решения регуляри-зованной задачи к решению предельной задачи. Полученные результаты позволяют по-новому доказывать известный факт [4б1 об уравнениях баротропного движения газа в магнитном поле. Затем рассматривается аналогичная регуляризация с добавлением только в уравнение неразрывности для полной системы уравнений магнитной газовой динамики (0.4); доказывается существование сильного решения регуляризованной задачи и устанавливается скорость сходимости ее решения к решению предельной задачи.
Подобные параболические системы исследовались ранее в £69], [70].
В § 2 главы Ш строится некоторый класс разностных схем для уравнений магнитной газовой динамики на основе их параболичес-
- Київ+380960830922