- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ................................................... 4
ГЛАВА I. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ
§ 1.1. Некоторые обозначения, определения,
теоремы ........................................ 14
§ 1.2. О применениях обобщённой потенциальной
системы........................................ 22
§ 1.3. Обобщённая система Копш-Римэна в трёхмерном
пространстве ................................... 26
§ 1.4. Обобщённая задача Римана-Гильберта ............. 33
§ 1.5. Решение первой смешанной задачи методом
Винера-Хопфа ................................... 39
§ 1.6. Вторая смешанная задача ........................ 45
§ 1.7. Граничные задачи для бесконечного пространства, разрезанного вдоль полуплоскости ................ 50
ГЛАВА П. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ
ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ТИПА НЕЙМАНА
§ 2.1. Обобщённая задача Неймана для уравнения
Гельмгольца .................................... 57
§ 2.2. Граничные задачи типа Неймана для обобщённого потенциального вектора ........................... 64
ГЛАВА Ш. ОБОБЩЁННАЯ СИСТЕМА КОШИ-РИМАНА В Ц- МЕРНОМ
(/г > 3) ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 3.1. Обобщённая задача Римана-Гильберта ............. 74
§ 3.2. Решение смешанной задачи методом Винера-
Хопфа .......................................... 82
§ 3.3. Обобщённая задача Неймана для уравнения
АУ-И2У^0 ........................................84
§ 3.4. Граничная задача для конечной области СПИСОК ОСНОВНОЙ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ .........
- ь -
ВВЕДЕНИЕ
Система дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка эллиптического типа имеет важное теоретическое и прикладное значение. Среди таких систем особое место занимает система Коши-Римана, класс решений которой - аналитические функции одной комплексной переменной - исследован достаточно глубоко. Обобщённая система Коши-Римана, решениями которой являются обобщённые аналитические фуннции, обладает целым рядом свойств, характерных для системы Коши-Римана. Теория обобщённых аналитических функций впервые была обоснована в работах Т.Карлеманэ [31], а затем в работах И.Н.Векуа [3], Л.Берса[30] построена общая теория обобщённых аналитических функций.
Весьма интересным и важным является выделить ещё такие системы, которые также имеют общие свойства с системой Коши--Римана, в частности, исследовать следующие вопросы, касающиеся решений таких систем и их сходства с аналитическими функциями:
ск ) справедливы ли для них интегральные представления, аналогичные интегральной формуле Коши?
А ) являются ли всё ещё приемлемыми для них классические граничные задачи для аналитических функций - задачи Гильберта и Римана-Гильберта?
у ) действительна ли теорема Лиувилля? Более конкретно, должно ли целое решение, обращающееся в нуль на бесконечности, быть тождественно равным нулю?
([ ) имеют ли они свойстео единственности продолжения, такое, что если решение системы обращается в нуль на открытом множестве, то тогда оно тождественно равно нулю?
5
Существуют многие работы, в которых исследуются эти вопросы для более общих систем первого порядка [2]Д5,6], [12,13], [14,15] , [22,23,24,25],[27],[28] , [зз] , Ы,[зв].
В работе [I] в трёхмерном пространстве рассмотрена эллиптическая система Моисила-Теодоресну [37],а в [23] - её обобще-ние, для которых вышеуказанные вопросы решены положительно.
Большое применение при исследовании многих вопросов физики, гидромеханики, теории упругости и др. имеет система дифференциальных уравнений для потенциального вектора []
и - О,
К>{ и = 0, (1>
где и=и[и,(р),иг(р) ,иу(р) ] ; р=(ос<, тг, тг) - точка
трёхмерного евклидова пространства. Система (I) переопределена, но является системой эллиптического типа в смысле Хила и Протерэ [34]. В трудах Р.Мизеса [Зб], А.В.Бицадзе [11 для системы (I), являющейся трёхмерным аналогом системы Коши-Рима-на, построены фундаментальная матрица, соответствующий пространственный аналог интеграла типа Коши, рассмотрены связанные с ними другие вопросы.
Как обобщение потенциальной системы, с одной стороны, и как трёхмерный аналог обобщённой системы Коши-Римана, рассматривается система
си^и + (А-С1) = о,
Ш
чми + (и«в1=°,
где и =и[и*(р),'и1(р), Щ(Р) ], р=(т<,х2,гг) ; А (0.1, а г, О-л) и д(Ь, заданные векторы. Очевидно, при /1 = 6=0 по-
- б -
лучается система (I), а при /ц3=а,у -&3-0 и при условии, что и (и г,У-А не зависит от <Гз » имеем обобщённую систему Коши--Римана.
Для системы (2), которая, как и система (I), является переопределённой системой эллиптического типа, положительно решаются вышеприведённые вопросы. Заметим при этом, что проблема 6) была исследованб Г. Хилом и М.Протером в 1977 году для общей переопределённой системы первого порядка эллиптического типа.
В случае переменных коэффициентов система (2) в многомерном евклидовом пространстве рассмотрена в работе [25], в которой выведены обобщённая формула Помпею и обобщённая интегральная формула Коши, рассмотрен обобщённый интеграл типа Коши и изучен ряд вопросов, связаиных с ним ( выведение формул Сохоц-кого-Племеля, обращение одного интегрального уравнения).
В том случае, когда А и В - постоянные, эти же вопросы для системы (2) в случае многомерного пространстве рассмотрены в [24].
В § 1.2 главы I приводятся некоторые примеры применения системы (2), которую называем обобщённой потенциальной системой, а её решение - обобщённым потенциальным вектором.
Цель настоящей работы - перенесение для обобщённого потенциального вектора некоторых свойств аналитических функций, а также ( и главным образом) изучение ряда граничных задач, аналогичных тем задачам, которые рассматривались для упомянутых выше функций, т.е. исследование вопроса ^ .
Заметим, что в случае, когда А и В - постоянные векторы, с помощью некоторого преобразования неизвестной функции систему (2) можно привести к виду
- 7 -
с/хь1 / + (Н ■ V) - О, (Ь) ъо1 V + [ [/х/-/] = О,
где Н = ■[(А + В) — И(/г-г, кг, ; V — (тХч, 1/г, иг).
В первой главе диссертационной работы доя системы (3) решаются следующие граничные задачи для бесконечных областей, а именно, доя полупространства и бесконечного пространства, разрезанного вдоль полуплоскости.
I. Определить в полупространстве (Тч,х2)еЯ , 0<х7*оо исчезающее на бесконечности решение системы (3) по граничному условию
+■ уЗ'У'г + угГ3 = -{(тч, т2) при Г3 = О,
где о(, J1, У - постоянные, причём «<*-* ; ^(Тч,Х2)-
- заданная функция класса I (Я1). Решение ищем в классе функций, удовлетворяющих следующим условиям:
а) ЧГр)’Ш. '
б) в кавдом конечном интервале для Хг е [О, °°) функции
9^ / ^2, 3) имеют интегрируемые мажоранты, т. е.
Эг4 0
/у (ОСч, СГ2 ),
где ^(Гч,Хг)е Л С Яг).
Эта задвча является пространственным аналогом задачи Римана-Гильберта дал обобщённой аналитической функции [3].
2. Определить в полупространстве (х^9Тг)еИ\ О*тг<оо решение системы (3) по следующим смешанным граничным условиям
- Київ+380960830922