ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. ОБЗОР ИСТОЧНИКОВ............................................5
ГЛАВА 1. ИНЖЕНЕРНАЯ МОДЕЛЬ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ .....................................................................13
1.1. Обоснование инженерных моделей второго и третьего порядков 13
1.1.1. Основные соотношения......................................14
1.1.2. Экспериментальная проверка................................17
1.2. Плоская деформация в несжимаемом материале....................24
1.2.1. Уравнения равновесия в перемещениях при плоской деформации...24
1.3. Построение инженерных моделей нелинейной теории упругости для плоской деформации по степеням малого параметра..................28
1.3.1. Формулировка граничных задач для плоского деформированного состояния.................................................. 30
1.3.2. Необходимое условие разрешимости граничной задачи в напряжениях по степеням малого параметра.....................34
1.3.3. Необходимое условие разрешимости граничной задачи в перемещениях по степеням малого параметра....................35
1.4. Исключение условия несжимаемости по степеням малого параметра ....36
1.4.1. Описание перемещений, сохраняющих объем при плоской деформации...................................................37
1.4.2. Постановка граничных задач................................37
1.5. Сравнение решений в рамках инженерной теории с решением в точной постановке для круглого отверстия, равномерно растягиваемого на бесконечности ...................................................40
1.5.1. Решение задачи о концентрации напряжений около круглого отверстия при равномерном растяжении на бесконечности в рамках инженерной теории............................................40
1.5.2. Задача о концентрации напряжений около круглого отверстия при равномерном растяжении на бесконечности. Точное решение......44
ГЛАВА 2. РАЗЛОЖЕНИЕ ОБЪЕКТОВ ПО СТЕПЕНЯМ МАЛОГО
ПАРАМЕТРА ДО ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ ЧЕРЕЗ КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ...............................................48
2.1. Комплексные потенциалы в разложении по малому параметру до первого порядка..............................................................50
2.1.1. Основные соотношения, выражающие перемещения и напряжения первого порядка через комплексные потенциалы.....................50
2.1.2. Представление потенциалов в двусвязной области..............50
2.1.3. Условие однозначности смещений..............................51
2.1.4. Физический смысл констант Ви и В[2..........................51
2.1.5. Ограниченность напряжений на бесконечности..................52
2.1.6. Отсутствие вращения на бесконечности........................53
2.1.7. Изменение выражений при конформном отображении..............54
2.1.8. Приведение граничных задач к интегральным уравнениям........56
2.2. Комплексные потенциалы в разложении по малому параметру до второго порядка..............................................................58
2.2.1. Основные соотношения, выражающие перемещения и напряжения второго порядка через комплексные потенциалы.....................58
2.2.2. Представление потенциалов в двусвязной области..............59
2.2.3. Условие однозначности смещений..............................60
2.2.4. Физический смысл констант В21 и В22.........................60
2.2.5. Ограниченность напряжений на бесконечности..................61
2.2.6. Отсутствие вращения на бесконечности........................63
2.2.7. Изменение выражений при конформном отображении..............63
2.2.8. Приведение граничных задач к интегральным уравнениям........65
2.2.9. Точное вычисление интеграла типа Коши в рамках разложения по малому параметру до второго порядка.............................66
2.2.10. Приближенное вычисление интеграла типа Коши в разложении по малому параметру до второго порядка.............................70
3
2.2.11. Выбор малого параметра. Представление силовых граничных
условий и коэффициента концентрации.........................74
ГЛАВА 3. СИМВОЛЬНЫЕ БЛОКИ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ НА КОНТУРЕ ОТВЕРСТИЙ.................................80
3.1. Библиотека ВМА...........................................81
3.2. Нелинейный эффект зависимости коэффициента концентрации от внешнего усилия............................................103
ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................107
ЛИТЕРАТУРА....................................................109
4
ВВЕДЕНИЕ. ОБЗОР ИСТОЧНИКОВ
Актуальность работы. Одним из важнейших классов изделий, применяемых в современном машиностроении, являются резинотехнические изделия. В настоящее время резинотехнические изделия применяются практически во всех отраслях хозяйственной деятельности человека [1, 7, 31, 90, 109, 111, 112, 113, 117, 169]. Эксплуатация воздушного, водного, автомобильного, железнодорожного транспорта, космических аппаратов и энергетических установок не возможна без надежных резиновых уплотнений. Все шире на транспорте применяются резинометаллические шарниры, обеспечивающие низкие шумы и виброизоляцию гусеничных движителей и других агрегатов. В строительстве, промышленности и горнодобывающей технике широко применяются резино-металличсские амортизаторы, опоры, виброизоляторы, надувные пневматические конструкции, резинотканевые рукава, конвейерные ленты и эластичные емкости для жидких грузов [117J. В большинстве случаев надежность и долговечность конструкций определяется надежностью и долговечностью комплектующих резиновых изделий, несмотря на то, что их вклад в вес и стоимость конструкции обычно незначителен. Поэтому к расчету резиновых изделий предъявляются повышенные требования [117]. С точки зрения надежности работы изделий и конструкций в свете современных представлений теории разрушения важнейшей информацией является знание полей напряжений в зоне их концентрации. Одним из распространенных концентраторов, существование которых вызвано конструктивной необходимостью, является отверстие. Поэтому исследование и расчет концентрации напряжений около отверстий в резинотехнических изделиях является актуальной задачей.
В области эксплуатационных нагрузок резина находится в высокоэластичном состоянии, то есть она относится к эластомерам [11]. Поскольку в высокоэластичном состоянии резина является низкомодульным материалом и допускает большие эксплуатационные деформации, то для описания напряженно-деформированного состояния необходимо привлекать нелинейную теорию уп-
5
ругости. К настоящему времени нелинейной теории упругости посвящена обширная литература. Существо проблемы изложено в монографиях и обзорах [38,32, 62, 67, 68, 84, 88, 89, 106, 114, 125, 133, 134, 139, 142,153, 160, 162, 198, 212]. В этих монографиях можно найти подробные ссылки на работы отечественных и зарубежных ученых до 1992 года. Основополагающие экспериментальные работы приведены в [152] и подробно изложены в [13]. Вклад зарубежных ученых в создание и развитие нелинейной теории упругости связан с именами Р. Ривлина, Д. Сондерса, Ф. Мурнагана, А. Грина, Дж. Адкинса, В. Прагера, Дж. Эриксена, К. Трусделла и других. Вклад отечественных ученых в создание теории нелинейной упругости в первой половине прошлого века отмечен в [94] и связан, в первую очередь, с именами Д.И Кутилина, В. В. Новожилова [102], И. В.Зволинского, П. М. Риза [55], А. >1. Горгидзе, А. К. Рухадзе [34-37]. Начиная с середины прошлого века дальнейшее развитие нелинейная теория упругости получила в трудах В. В. Новожилова, Л. И. Седова, Л. А. Толоконникова, Г.Н. Савина, А. И. Лурье, В. Л. Бидермана, В.В. Болотина, К.Ф. Черных, С.И. Дымникова и их учеников. Этими учеными были созданы научные школы и их ученики сейчас сами возглавляют научные коллективы. В настоящее время развитие теории нелинейной упругости в России связано с научными школами, возглавляемыми Л. М. Зубовым, Б. Е. Победрей, И.М. Дунаевым, В.А. Пальмовым, Н.Ф. Морозовым и других. Известны работы Г.С.Тарасьева и В.А. Левина в области наложения конечных деформаций на конечные, В. Д. Клюшникова в области определяющих соотношений при конечных деформациях, И. А. Бригаднова в области математической теории нелинейной упругости. Нелинейным эффектам посвяшены работы [9, 107]. Точные нелинейные решения получены для центрально - симметричных задач, задачи Ламе, задачи контролируемого изгиба [38, 88, 153], для некоторых задач при антиплоской деформации [160]. Для несжимаемого материала точные решения получены в задачах с универсальными деформациями. Некоторые точные решения для материала Трелоара приведены в [192]. Появились работы и монографии [40, 57, 211, 212], в которых приводятся решения важных классов
6
задач. Тем не менее получение точных решений задач нелинейной теории упругости является сложнейшей проблемой. В силу этого разработаны различные приближенные модели, позволяющие свести решение нелинейной задачи к решению ряда линейных задач. Так в коммерческих пакетах, таких как ЛЫБУЭ, АВАСШЗ, 8оП<3^'огк$, предназначенных для решения задач механики и физики, реализован инкрементальный подход [3, 12, 173]. То есть конечная деформация разбивается на ряд шагов. Па каждом шаге полагают деформации малыми и линеаризуют уравнения нелинейной теории упругости. Получаются уравнения линейной теории упругости с переменными коэффициентами (уравнения линейной теории упругости неоднородного материала), зависящими от решений на предыдущих шагах. Соответствующие линейные задачи решаются методом конечных элементов. Возникает два вида погрешности: погрешность ограниче-ния конечным числом шагов и погрешность дискретизации. Уменьшение первого вида погрешности в общем случае требует интерактивной связи расчетчика и пакета по вопросу выбора шага, необходимости пересчета на каждом шаге матрицы жесткости и так далее. Уменьшение погрешности второго типа требует увеличение числа конечных элементов в зонах больших градиентов рассчитываемых полей, в частности в зонах концентрации напряжений. Но увеличению количества конечных элементов препятствует ограниченность ресурсов компьютеров. Поэтому возникает практическая невозможность вычисления максимальных значений напряжений в зонах концентрации. Таким образом метод конечных элементов плохо приспособлен к исследованию концентрации напряжений в зонах с большими градиентами напряжений, например в окрестностях угловых точек отверстий. В силу вышесказанного возникает актуальная задача разработки метода, сводящего решение нелинейных задач теории упругости к решению линейных задач и позволяющего точно решать последние. По крайней мере для определенного класса задач.
В статических задачах предполагается, что эластомер является гиперуп-ругим материалом, то есть существует потенциал энергии упругой деформации. Существенный разброс в уравнениях состояния нелинейной теории гиперупру-
7
гости в отличие от линейной теории, где всегда выполняется закон Гука, снижает ценность точных постановок задач нелинейной теории упругости. Точные решения, найденные для конкретных потенциалов энергии деформации гипе-рупругих материалов, удовлетворительно совпадающие с экспериментальными данными для одного вида деформированного состояния, могут не совпадать с этими данными для других деформированных состояний. Актуальной является разработка приближенной «инженерной» модели нелинейной теории гиперупругости для средних уровней деформации, одинаково удовлетворительно описывающей различные напряженные состояния и позволяющей использовать методы линейной теории для решения конкретных задач. Альтернативой инкрементальному подходу, приводящему к решению задач линейной теории упругости неоднородных тел, служит метод возмущения, так же сводящий решение нелинейной задачи к решению ряда линейных задач, но уже однородных тел. Этот метод, впервые примененный в нелинейной теории упругости А. Синьорини [204], основан на разложении объектов, описывающих напряженно-деформированное состояние, в ряд по степеням малого параметра. Удерживая один, два или три члена будем получать решение в рамках эффектов первого, второго, третьего порядка. 11ри этом возникает ошибка ограничения. Для нахождения каждого члена разложения получается задача линейной теории упругости однородных тел, но с добавочными «внешними» поверхностными и объемными усилиями, зависящими от решений в рамках эффектов предыдущих порядков. Методом возмущений построено решение плоской задачи теории упругости для композита пленка-основание при слабом искривлении поверхности пленки [21]. Для точного аналитического решения плоских задач такого типа разработан мощный аппарат, использующий теорию функций комплексной переменной. Разработка этого аппарата связана с именами Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, Ф.Д. Гахова, Д.И. Шермана и других. Такой подход может быть положен в основу создания приближенной «инженерной» модели нелинейной теории гиперупругости. Вместо оценки погрешности ограничения даются рекомендации по выбору области применимости модели в сравнении с
8
точными решениями и экспериментальными данными. Другими словами, для обоснования достоверности модели в ее рамках по экспериментальным данным при одноосном растяжении находятся константы материала, а потом на экспериментальном материале для двухосного растяжения проверяется приемлемость теоретического описания. Производится сравнение полученных результатов в рамках приближенной модели с точным решением для одного варианта задачи Ламе. Критерием для ограничения величины деформации в области применимости модели можно выбрать 10%-ное отклонение теоретического значения напряжения от экспериментального.
Проблемой, связанной с расчетом резинотехнических изделий, является учет ее несжимаемости. Эксперименты Холта и Макферсона [152] показали, что вплоть до деформаций порядка 400% изменение объема находилось в пределах погрешности эксперимента. Учет малой сжимаемости необходим только при расчете тонкослойных резинометаллических изделий. В отличие от сжимаемых материалов в несжимаемых материалах напряжения не определяются деформациями, по ним напряженное состояние находится только с точностью до гидростатического давления. Вместе с тем условие несжимаемости несет дополнительную информацию о геометрии деформирования, причем прибавляет ли эта информация трудностей в решении или уменьшает их зависит от того, в какой форме условие несжимаемости учитывается. Само по себе уравнение несжимаемости увеличивает количество уравнений в системе на одно уравнение, что усложняет задачу. Оно так же увеличивает размерность задачи (на одну независимую переменную) в вариационных методах при учете его с помощью множителей Лагранжа. В численных реализациях обнаружено, что для совместности уравнений Эйлера необходимо, чтобы порядок аппроксимации гидростатического давления был ниже порядка аппроксимации перемещений [81]. Это относится как к методам Ритца и Канторовича, так и к методу конечных элементов [29, 30]. Такая ситуация трактуется как некорректность постановки задачи с множителем Лагранжа [33]. Актуальной является разработка варианта
9
инженерной модели, в рамках которой условие несжимаемости выполняется автоматически.
В современных конструкторских бюро и лабораториях методы расчетов на прочность по приближенным эмпирическим формулам или «сопроматов-ским» решениям постепенно вытесняются компьютерными расчетами в рамках более точных постановок с помощью специальных вычислительных пакетов программ. Существует уже значительный выбор коммерческих пакетов, таких как ANSYS, ABAQUS, Solid Works и других. В рамках всех этих пакетов для решения нелинейных задач реализован инкрементальный подход, особенности которого отмечены выше. В настоящее время научное программирование претерпевает серьезные изменения: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, растет применение универсальных математических систем (Maple, MathCAD, Mathematica, MatLAB и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и имеют собственные языки программирования. Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов различных профилей. Актуальной задачей является реализация и автоматизация расчетов в рамках предложенной инженерной модели в одной из таких систем. В данной работе выбрана система “Maple”, которая содержит средства символьной математики, позволяющие реализовать автоматизацию аналитических решений некоторых классов линейных задач.
Цель работы и задачи исследования. Целью работы является разработка технической модели нелинейной теории упругости эластомеров в рамках эффектов второго и третьего порядков, пригодной для автоматического получения аналитических решений плоских задач нелинейной теории упругости о концентрации напряжений около отверстий на базе математического пакета Maple.
10
- Київ+380960830922