Оглавление
Введение 5
Глава 1 Постановка задач о нестационарном взаимодействии
деформируемых тел. 17
1.1 Современное состояние проблемы ........................ 17
1.2 Постановка начально-краевых задач взаимодействия деформируемых тел ............................................ 34
1.3 Уравнения движения упругой неоднородной трансверсально изотропной среды в сферической и цилиндрической системах координат............................................ 42
1.4 Уравнения движения упругой однородной изотропной и акустической сред.......................................... 49
1.5 Представление решений в сферической и цилиндрической системах координат......................................... 53
1.6 Плоскопараллельное движение абсолютно твердого тела . 66
Глава 2 Представление решений задач о нестационарном
взаимодействии с помощью поверхностных функций влияния . 69
2.1 Применение поверхностных функций влияния (случай несмешанных краевых условий).................................... 69
2.2 Использование поверхностных функций влияния при смешанных краевых условиях ................................... 77
2.3 Поверхностные функции влияния для упругой однородной изотропной среды в сферической системе координат .... 84
2.4 Функции влияния для акустической среды в сферической системе координат.......................................... 97
2.5 Поверхностные функции влияния для упругой среды в цилиндрической системе координат..............................101
2.6 Поверхностные функции влияния для акустической среды
в цилиндрической системе координат.....................114
2
2.7 Функции влияния для упругого однородного изотропного
шара и цилиндра для случая п = 1.........................116
Глава 3 Дифракция упругих и акустических волн на неоднородном трансверсально изотропном включении сферической или цилиндрической формы. 123
3.1 Постановка задач ........................................124
3.2 Сведение задачи дифракции для неоднородного сферического включения к начально-краевой задаче с граничным интегральным оператором типа свертки..........................129
3.3 Конечно-объемная схема интегрирования начально-краевой задачи с интегральным граничным оператором....................134
3.4 Радиальные колебания неоднородной трансверсально изотропной сферы
в акустической среде.....................................140
3.5 Внешние задачи о дифракции нестационарных волн на неоднородном трансверсально изотропной сфере......................148
3.6 Внутренние задачи о дифракции для неоднородного включения сферической формы ......................................155
3.7 Дифракция нестационарных упругих и акустических волн
на неоднородном трансверсально изотропном цилиндре . . 160
Глава 4 Вертикальный удар упругим неоднородным трансверсально изотропным шаром и цилиндром по абсолютно жесткому полупространству. 166
4.1 Постановка нестационарной контактной задачи для упругого неоднородного сферического и цилиндрического ударников и жесткого полупространства.............................166
4.2 Динамика неоднородного трансверсально изотропного шара при вертикальном ударе о жесткое полупространство . 171
4.3 Сверхзвуковой участок взаимодействия однородного упругого шара с абсолютно жестким полупространством .... 178
4.4 Особенности динамики упругого цилиндра на сверхзвуковом участке взаимодействия с абсолютно жестким полупространством ................................................184
3
Глава 5 Нестационарные контактные задачи для упругой
полуплоскости и абсолютно твердого ударника с несовершенствами. 188
5.1 Постановка нестационарной контактной задами для твердого ударника с несовершенствами и упругой полуплоскости 188
5.2 Динамика абсолютно твердого ударника с несовершенствами на сверхзвуковом участке внедрения в упругое полупространство .................................................196
5.3 Конечно-разностная схема интегрирования системы функциональных уравнений плоской контактной задачи .... 207
5.4 Плоская контактная задача для эллиптического ударника и упругой полуплоскости на дозвуковом участке взаимодействия ..................................................227
5.5 Скользящее внедрение твердого ударника с несовершенствами в упругую полуплоскость ............................234
Заключение 238
Список использованных источников 240
4
Введение
Современная техника предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам элементов конструкций, уменьшению их веса и размеров, что приводит к необходимости создания новых методов расчета, наиболее полно и адекватно учитывающих свойства реальных материалов. За последние годы это обстоятельство заметно усилило внимание исследователей к динамическим задачам теории упругости неоднородных тел.
Неоднородность упругих свойств материала часто возникает на этапе формирования тела, например при кристаллизации материала вследствие различных температурных условий отливаемого изделия и переменной структуры, получаемой в разных областях отливки. Такого же типа естественная неоднородность имеет место в грунтах и горных породах [292, 293. 2811. Неоднородность свойств также имеет место благодаря особенностям технологических процессов получения соответствующих изделий и полуфабрикатов, в том числе, из-за различной упрочняющей технологии (термическая, химико-термическая и другие виды обработок).
В процессе эксплуатации элементов конструкции структурная неоднородность свойств может появиться под влиянием окружающей среды (воздействие активных жидкостей и газов, термическое влияние, радиационное облучение и т. п.). Необходимо отметить, что все реальные материалы обладают определенной структурной неоднородностью (дефекты и неправильности кристаллической решетки, поликристаллическая структура технических металлов и сплавов, молекулярная и надмолекулярная структура полимерных материалов и т. п.).
Однако при феноменологическом подходе к изучению механики сплошной среды [193, 116] используют модель макроскопически однородной среды. В дальнейшем рассматриваются линейно упругие тела с непрерывной неоднородностью, под которыми понимаются материалы, характеризуемые зависимостью от пространственной координаты определяющих свойства среды параметров, осредненных по области, большой по
5
сравнению с размерами структурных областей. Линейная теория упругости неоднородных тел основана на использовании закона Гука, в котором компоненты тензора упругих постоянных являются функциями координат точек тела [143, 142].
При этом различают кусочно-однородные тела, у которых указанные функции являются кусочно-постоянными, и упругие тела с непрерывной неоднородностью. Задачи второго класса в настоящее время являются наименее исследованными, так как с математической точки зрения они сводятся к интегрированию систем дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных) с переменными коэффициентами. Согласно установившейся терминологии, среды такого типа называют функционально - градиентными |11].
В настоящее время достаточное большое количество работ посвящено решению статических задач неоднородной теории упругости [143, 142, 93. 94, 221). Однако большинство процессов взаимодействия упругих сред носят динамический характер. Поэтому разработка методов решения нестационарных динамических задач неоднородной теории упругости, к которым относятся и задачи о дифракции акустических и упругих волн является актуальной.
Другой тип неоднородности возникает в процессе нестационарного контактного взаимодействия деформируемых тел. Этот тип неоднородности связан с различием физико-механических характеристик взаимодействующих тел, зависимостью граничных условий от времени и, в общем случае, многосвязанностыо области контакта [161, 83, 81].
Развитие средств вычислительной техники и специализированных программных комплексов компьютерной алгебры стимулирует создание новых методов решения нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных сред и конструкций. Использование общей теории фундаментальных решений для линейных дифференциальных операторов, которыми описываются модели механики сплошной среды, позволяет построить ряд новых решений в соответствующем классе начально-краевых задач.
Разработка таких решений направлена на развитие, с одной стороны, фундаментальной науки, а с другой стороны стимулируется такими наукоемкими отраслями промышленности как авиационно - космическая, атомная, энергетика и др.
В настоящее время различные расчетные методики, в основном, базируются на двух приближенных методах решения задач математической физики - методе конечного элемента (МКЭ) и методе конечных раз-
б
ностей (МКР). При всей универсальности этих методов, они обладают существенным недостатком - необходимостью разбиения всей области, занимаемой сплошной средой, на подобласти (конечно-элементную или конечно-разностную сетки). Для решения нестационарных задач, как правило, при этом используются либо прямые методы интегрирования по времени, либо метод разложения по собственным формам колебаний упругой конструкции [64, 16, 63].
Для решения линейных статических или стационарных задач для сплошных сред применяется альтернативный метод граничного элемента (МГЭ), являющийся приближенным способом решения соответствующих граничных интегральных уравнений (ГИУ) [30, 20, 215]. Ядрами этих уравнений являются фундаментальные решения дифференциальных операторов статических или стационарных задач. Решения нестационарных задач механики структурно-неоднородных систем при таком подходе строятся с использованием различных конечно-разностных схем по времени [20, 215]. При этом применение явных разностных схем при таком подходе накладывает жесткие ограничения на шаг но времени, что существенно снижает эффективность данного метода.
Другой подход к решению нестационарных задач механики связан с использованием соответствующих фундаментальных решений. Это приводит к гранично-временным интегральным уравнениям (ГВИУ) [215], в которых интегрирование осуществляется по пространственно-временной области. При этом ядрами ГВИУ являются объемные функции влияния для бесконечной среды. В настоящее время известны аналитические решения для таких функций в случаях упругой ортотропной, изотропной и акустической сред |170, 215, 180, 54]. Для нахождения функций влияния для других типов сред, в частности, вязкоупругих, ряд авторов использует численно-аналитические методы, примером которых являются численные методы определения оригиналов преобразования Лапласа по времени [86].
Дальнейшее развитие теории гранично-временных интегральных уравнений приводит к использованию в качестве ядер интегральных операторов функций Грина соответствующей нестационарной задачи, удовлетворяющей заданным краевым условиям (поверхностные функции влияния) [53, 54, 155, 153, 77, 78, 146].
Поверхностные функции влияния могут быть найдены в замкнутом виде только для тел канонической формы, граница которых является координатной поверхностью в одной из распространенных систем координат (полуплоскость, сфера) [54|. Для их нахождения, как правило,
7
используются методы интегральных преобразований Фурье и Лапласа по времени и пространственным координатам.
Актуальность работы. Тема диссертационной работы является актуальной в теоретическом плане, поскольку, как следует из приведенного в первой главе литературного обзора, нестационарные задачи для структурно-неоднородных упругих тел в настоящее время практически не исследованы. Актуальность работы также связана с необходимостью разработки и развития новых подходов к численно-аналитическим методам решения задач о нестационарном взаимодействии упругих тел, связанных со снижением размерности задачи за счет использования интегральных соотношений на контактных границах. В практическом плане актуальность исследований определяется потребностями различных отраслей промышленности в создании методик расчета напряженно-деформированного состояния и прогнозирования свойств элементов конструкции, изготовленных из перспективных функционально-градиентных материалов при высокоинтенсивных воздействиях различной природы В настоящей работе дана математическая постановка, разработаны и реализованы методы решения задач о нестационарном контакте неоднородных упругих тел для различных типов структурной неоднородности. Построены решения задач о дифракции акустических и упругих волн на препятствиях сферической и цилиндрической формы, материал которых является функционально-градиентным по радиальной координате, а также обладает трансверсально изотропным типом анизотропии. Для неоднородных тел указанной формы и абсолютно жесткого полупространства решены нестационарные контактные задачи при начальных временах взаимодействия. Также построены решения нестационарных контактных задач для абсолютно твердых ударников, неоднородность которых связана с наличием «несовершенств», и однородного изотропного полупространства.
Целью работы является:
1. Математическая постановка задачи о нестационарном контакте структурно-неоднородных упругих тел, обладающих функционально-градиентным типом неоднородности материала, а также геометрическими неоднородностями, связанными с несовершенствами граничной контактной поверхности.
2. Развитие метода решения задач нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных сред и систем, описываемых линейными
8
дифференциальными операторами, основанного на использовании поверхностных функций влияния.
3. Решение нового класса задач о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на функционально-градиентном трансверсально изотропном включении сферической и цилиндрической формы при различных условиях на контактирующих поверхностях.
4. Решение новых внешних и внутренних задач о дифракции упругих и акустических воли на радиально-неоднородном включении со сферической и цилиндрической границей.
5. Исследование динамики неоднородного трансверсально изотропного упругого шара, а также однородного шара (цилиндра) при ударе по абсолютно жесткому полупространству на сверхзвуковом этапе взаимодействия.
6. Исследование динамики абсолютно твердого тела, имеющего геометрические неоднородности (несовершенства), при взаимодействии с упругим полупространством в условиях жесткого сцепления и мно-госвязности области контакта (плоская задача).
7. Построение на базе метода поверхностных функций влияния системы функциональных уравнений для плоской нестационарной контактной задачи с многосвязной областью контакта на произвольном этапе взаимодействия. Решение с использованием этой системы задач об ударе по поверхности полупространства элл инти чес кот ударника и ударника с несовершенствами, направляющая которого имеет немонотонную кривизну.
Научную новизну работы составляют следующие результаты:
1. Развитие и обобщение метода решения задач нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных упругих тел, основанного на мстоде поверхностных функций влияния.
2. Решение на базе разработанного метода новых внешних и внутренних нестационарных задач о дифракции упругих и акустических волн на функционально-градиентных трансверсально изотропных включениях сферической и цилиндрической формы с радиальным типом неоднородности.
9
3. Решение новых нестационарных контактных задач для неоднородного трансверсально изотропного шара (цилиндра) и абсолютно жесткого полупространства при малых временах взаимодействия.
4. Разработка и реализация численно-аналитического метода решения плоских нестационарных контактных задач для абсолютно твердого ударника с геометрическими неоднородностями (несовершенствами) и однородного упругого изотропного полупространства, основанного на использовании поверхностных функций влияния.
5. Построение на базе разработанного метода задач о нестационарном взаимодействии упругого полупространства и эллиптического ударника, а также ударника с несовершенствами, направляющая которого имеет немонотонную кривизну.
Практическая значимость. Полученные в работе результаты и разработанные алгоритмы могут быть использованы в различных отраслях промышленности с целью создания методик расчета напряженно-деформированного состояния и прогнозирования свойств элементов конструкции, изготовленных из перспективных функционально-градиентных материалов при высокоинтенсивных воздействиях различной природы.
Методы исследования. В основу работы положен аппарат поверхностных функций влияния для нестационарных операторов, описывающих динамику сплошных сред в рамках линейных моделей. Указанный подход позволяет получить интегральные соотношения на граничных поверхностях и тем самым снизить «размерность» задачи. Для решения полученных интегральных уравнений, а также начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с граничными условиями интегрального вида используются проекционные методы.
Достоверность полученных результатов обеспечивается математически строгой и физически корректной постановкой задач, применением апробированных математических методов, классических постановок задач теорий упругости и механики жидкости. Полученные результаты в частных случаях полностью совпадают с известными результатами других авторов и не противоречат имеющимся физическим представлениям.
10
Апробация работы. Результаты работы докладывались на:
— Всесоюзной научной конференции «Импульсные процессы в механике сплошных сред» (г. Николаев, 1994 г.);
— Всесоюзной научной конференции «Моделирование и исследование устойчивости систем» (г. Киев, 1995 г.);
— Международной конференции «Modeling and investigation of system stability. Mechanical systems» (Kiev, 1997 г.);
— Международной научно-практической конференции «Проблемы безопасности на транспорте» (г. Гомель, 1997);
Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы развития транспортных систем» (г. Гомель, 1998 г.);
— Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (г. Москва, 2002 г.);
— EUROMECH Colloquium 434 «Contact Mechanics of Coated Bodies» (г. Москва. 2002 г.);
— Международной конференции «Полимерные композиты» (г. Гомель, 2003 г.);
— V Международной научной школы-семинара «Импульсные процессы в механике сплошных сред», (г. Николаев, 2003);
— Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященная 80-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова, (г. Тула, 2003);
— 3-й Международной конференции «Авиация и космонавтика-2004» (г. Москва, 2004 г.);
— Академических чтениях по космонавтике «Актуальные проблемы развития отечественной космонав'гики» (г. Москва, 2005).
— XXI Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (г. Санкт-Петербург, 2005 г.);
XXII Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (г. Санкт-Петербург, 2007 г.);
— IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике {г. Нижний Новгород, 2006 г.);
— 5-ой Международной конференции «Авиация и космонавтика-2006» (г. Москва, 2006 г.);
I - XVIII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 1995 - 2012 г.г.);
11
на научных семинарах кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (национального исследовательского университета);
- на научном семинаре кафедры «Механика деформируемого твердого тела» Саратовского государственного технического университета;
на научном семинаре Института прикладной механики РАН.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 36 работ, в том числе 10 научных статей в изданиях, рекомендуемых ВАК Министерства образования и науки РФ для опубликования результатов докторских диссертаций, а также 1 монография.
Результаты диссертационной работы вошли в цикл работ «Динамические контактные задачи», за которые автору в составе коллектива присуждена Государственная премия Российской Федерации в области науки и техники за 2001 год.
На различных этапах работа поддерживалась грантами РФФИ:
«Нестационарные контактные задачи механики сплошной среды» (код проекта № 93-01-16508-а).
- «Динамические контактные задачи» (код проекта № 96-01-01083-а).
- «Динамические контактные взаимодействия тел с деформируемыми средами» (код проекта .У* 99-01-00255-а).
«Исследование динамических процессов в структурно неоднородных конструкциях и сооружениях при высокоинтенсивных термосиловых воздействиях различной физической природы» (код проекта У» 00-01-81198-Бел).
- «Развитие численно-аналитических методов решения задач аэрогидроупругости и аэроакустики» (код проекта № 02-01-00374-а).
- «Контактные взаимодействия в механике сплошных сред» (код проекта № 03-01-00422-а).
«Динамика неоднородных элементов конструкций при локальных и импульсных воздействиях в терморадиационных полях» (код проекта №
03-01-96658-р).
- «Динамика оболочек вращения при нестационарном взаимодействии со сплошными средами» (код проекта №05-01-00042-а).
- «Численное моделирование термодинамических процессов в анизотропных средах и композитах, используемых в конструкциях летательных аппаратов» (код проекта У* 05-08-01214-а).
- «Динамика и прочность подводных объектов в виде протяженных тел (оболочек) вращения переменной кривизны при действии акустиче-
12
ских ударных волн» (код проекта №05-08-01497-а).
- «Нестационарные контактные взаимодействия упругих тел» (код проекта №06-01-00525-а).
- «Развитие математических моделей и создание программного комплекса по расчету на статическую и динамическую прочность сложных тонкостенных конструкций, применительно к вертолетам нового поколения» (код проекта №06-08-00436-а).
- «Разработка и создание экспериментальной установки для задач термопрочности многослойных оболочек с защитными покрытиями при высокотемпературном воздействии» (код проекта №07-01-12066-офи).
«Численно-экспериментальные методы исследования динамического поведения многослойных композиционных оболочек при комплексных высокоинтенсивных воздействиях» (код проекта №07-01-13520-офи_ц).
«Математическое моделирование вибрационного и акустического полей оболочечных конструкций при действии волн давления в жидкости» (код проекта №07-01-96417-р_центр_а)
- «Использование поверхностных функций влияния в нестационарных задачах взаимодействия сплошных сред и элементов конструкций» (код проекта №09-01-00731-а)
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения списка использованных источников, включающего 298 наименований. Общий объем диссертации составляет 269 страниц.
В первой главе приведен обзор работ, посвященных задачам о нестационарном взаимодействии сплошных сред и методам их решения. Отмечается, что наибольшую сложность представляют собой задачи с подвижными границами раздела типа граничных условий, а также задачи взаимодействия неоднородных сред. К данному классу, например, относятся задачи о дифракции волн на неоднородных включениях, а также нестационарные контактные задачи.
В главе приведены математические модели и постановки начально-краевых задач нестационарного взаимодействия для деформируемых твердых и жидких сред. В качестве основных моделей рассмотрены линейные, в общем случае трансверсально изотропные, упругие среды и идеальная жидкость в акустическом приближении. Частным случаем деформируемой среды является абсолютно твердое тело, для которого сформулированы задачи динамики плоскопараллельного движения при малых возмущениях.
13
Математические модели указанных сред представлены в операторном виде, также приведены конкретные виды соответствующих дифференциальных операторов в сферической и цилиндрической системах координат, относительно коэффициентов рядов искомых функций по угловой координате, и сформулированы граничные условия на контактирующих поверхностях.
Во второй главе развит метод использования поверхностных функций влияния операторов механики деформируемого твердого тела в задачах о нестационарном взаимодействии. В частности, рассмотрены варианты формулировки граничных условий на поверхностях контакта с и пользованием поверхностных функций влияния, как в задачах с несмешанным типом краевых условий, так и для случая смешанных граничных условий. Показано, что использование поверхностных фундаментальных решений позволяет снизить «размерность» решаемой задачи за счет учета влияния одной из сред в интегральном виде на границе раздела.
В главе также построены поверхностные функции влияния для упругого пространства с полостью и шара в сферической системе координат, а также для аналогичных задач в цилиндрической системе координат.
Третья глава диссертации посвящена разработке и реализации методов решения нестационарных задач о дифракции на неоднородной трансверсально изотропной сфере или цилиндре. Рассмотрены задачи дифракции плоских и сферических упругих (акустических) волн на сферическом включении, материал которого обладает криволинейным типом анизотропии упругих свойств, зависящим от радиальной координаты. Решение задачи строится с использованием поверхностных функций влияния для однородных изотропных упругих (акустических) пространства с полостью и шара (цилиндра). Использование поверхностных функций влияния позволяет свести задачу для неоднородного включения к решению начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со специальным типом краевых условий, содержащим интегральный оператор типа свертки по временной координате.
Для интегрирования этой задачи разработана конечно-разностная схема первого порядка точности типа Куранта - Изаксона - Риса. Асимптотическим методом получено аналитическое решение о радиальных колебаниях неоднородной сферы со степенным законом изменения жест-костных параметров материала в неограниченной акустической среде
14
для начальных этапов взаимодействия.
Рассмотрены нестационарные задачи о дифракции плоской упругой и акустической волн давления на неоднородной трансверсально изотропной сфере со степенным законом изменения жесткостных параметров среды. Решены также внутренние задачи о дифракции акустической волны на сферическом включении, внешняя поверхность которого свободна от нагрузки. Получено решение задачи о дифракции плоской упругой и акустической волн на неоднородном цилиндре, жесткостиые параметры материала которого изменяются по экспоненциальному закону. Проанализировано влияние типа неоднородности на. процесс распространения нестационарных воли.
В четвертой главе рассмотрены задачи о вертикальном ударе упругим неоднородным ударником в форме шара или цилиндра по абсолютно жесткому полупространству при малых временах взаимодействия (сверхзвуковой этап). Для упругого шара задача решается в осесимметричной постановке, для цилиндрического ударника - в плоской постановке. Введен сверхзвуковой этап взаимодействия, при котором возмущения не распространяются за пределы области контакта. Для неоднородного ударника задача сведена к системе уравнений в частных производных первого порядка относительно первого члена разложений решения по полиномам Лежандра, которая решается совместно с задачей Коши для ударника как абсолютно твердого тела. Для изотропного однородного шара задача динамики сводится к интегро-дифференциальному уравнению относительно величины «смятия» шара. Аналогичный подход использован при исследовании динамики упругого цилиндра.
Пятая глава посвящена решению задач о нестационарном контактном взаимодействии абсолютно твердого ударника с начальными несовершенствами и упругого однородного изотропного полупространства.
В главе рассмотрены нестационарные контактные задачи для упругой полуплоскости и гладкого абсолютно твердого ударника (плоская задача). Исследован сверхзвуковой этап внедрения ударника в упругую полуплоскость в условиях жесткого сцепления. Предполагается, что область контакта может быть в общем случае многосвязной. Задача динамики ударника сведена к задаче Коши для системы квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно кинематических параметров ударника. Построен алгоритм решения задачи взаимодействия для ударников, образующая которых аппроксимируется В-
15
сплайнами и является невыпуклой. Решены задачи динамики ударника с базовой образующей в форме эллипса.
Для произвольных времен взаимодействия нестационарная контактная задача сведена к системе функциональных уравнений, содержащий сингулярный интегральный оператор. Численный метод решения системы функциональных уравнений, основанный на конечномерной аппроксимации пространственно-временной области контакта, модифицирован для решения задач взаимодействия в условиях многосвязной области контакта. Решена нестационарная контактная задача для ударника, ограниченного кривой с немонотонной кривизной, для которого реализуются условия многосвязности области контакта. Получены распределения контактных напряжений под ударником, а также проанализировано влияние контактных условий на кинематические параметры ударника.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
16
Глава 1
Постановка задач о нестационарном взаимодействии деформируемых тел
В главе рассматриваются математические модели и постановки начально-краевых задач нестационарного взаимодействия для деформируемых твердых и жидких сред. В качестве основных моделей используются линейные, в общем случае трансверсально изотропные, упругие среды и идеальная жидкость в акустическом приближении. Частным случаем деформируемой среды является абсолютно твердое тело, для которого рассматриваются задачи динамики плоскопараллельного движения при малых возмущениях. Математические модели указанных сред представляются в операторном виде, далее приводятся конкретные виды соответствующих дифференциальных операторов в сферической и цилиндрической системах координат, относительно коэффициентов рядов искомых функций но угловой координате, а также формулируются граничные условия на контактирующих поверхностях.
Везде по повторяющимся латинским индексам производится суммирование, по греческим индексам суммирования нет. Пределы суммирования определяются размерностью рассматриваемых задач, либо оговариваются отдельно.
1.1 Современное состояние проблемы
Проблемы нестационарного взаимодействия сплошных сред представляют большой интерес как для фундаментальной науки, так и для ряда областей современной техники. Из всего многообразия существующих задач в данной работе основное внимание уделяется вопросам нестационарного взаимодействия сплошных сред, движение которых описывается
17
линейными системами уравнений в частных производных гиперболического типа. Данный тип уравнений подразумевает наличие в решении волновых фронтов и конечность скорости распространения возмущений в среде [137].
В работе исследуется два типа начально-краевых задач. К первому классу относятся задачи о дифракции акустических и упругих волн на неоднородных включениях различной формы. В качестве включений рассмотрены трансверсально изотропные сферические и цилиндрические тела, материал которых является функционально-градиентным с радиальной зависимостью жесткостиых характеристик материала. Задачи указанного класса предполагают постановку несмешанных краевых условий на граничных поверхностях областей, занимаемых сплошной средой.
Второй класс связан с нестационарными контактными задачами для двух тел, одно из которых обладает неоднородностью. Последняя связана, как с функционально-градиентными свойствами материала, так и с геометрическим несовершенством (неоднородностью) ударника, характеризующимся немонотонной кривизной. Характерной особенностью задач указанного класса являегся наличие смешанных граничных условий, граница раздела которых зависит от времени и должна определяться в процессе решения задачи. В случае наличия несовершенств одного из тел, область контакта может быть много связной, что требует построения дополнительных алгоритмов определения границ последней.
Остановимся в начале на основных известных результатах по теории нестационарных задач дифракции акустических и упругих волн на абсолютно твердых и упругих неоднородных включениях включениях.
Различные аспекты постановки задач о дифракции упругих и акустических волн на включениях канонической формы изложены в работах Григолюка Э.И., Горшкова А.Г [90], Горшкова А.Г., Тарлаковского Д.В. [82], Поручикова В.Б 1180], Исраилова М.Ш. [118], Гузя A.H., Кубенко В.Д., Черевко М.А. [95], Гузя A.H., Кубенко В.Д. [96], Селезова И.Т.. Яковлева В.В. [195], Бабешко В.А. [11], Вестяка A.B., Горшкова А.Г., Тарлаковского Д.В. [50]. а также зарубежных авторов Хенл X., 1Мауэ А., Вестпфаль К. [219], Achenbach J.D. [227]. В них приведены математические постановки задач о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на препятствиях канонической формы (сфера, цилиндр, конус, а также тонкие упругие оболочки).
При решении нестационарных задач дифракции на жестких и деформируемых преградах в настоящее время используются следующие ме-
18
тоды: метод функционально-инвариантных решений (Смирнов В.И. и Соболев С.Л. |206]), метод Винера-Хопфа, метод интегральных преобразований, метод интегральных уравнений (Слепян Л.И., Горский С.М., Залеский А.А., Зиновьев А.И. (229], Сорокин С.В. [289]), обобщенные методы Вольтерра и Адамара, лучевой метод, метод характеристик [220]. метод плоских волн, метод разделения переменных, численные методы (Бабич В.М., Булдырев B.C. и Молотков И.А. (12), Багдоев А.Г. [13], Филиппов И.Г. и Егорычев О.О. (217]), метод поверхностных функций влияния (граничных функций Грина, переходных функций) (Горшков А.Г. |69], Григолюк Э.И., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. (89, 88, 82]. За-мышляев Б.В. и Яковлев Ю.С. (109], Мнев Е.Н. и Перцев А.К. (164], Мед-ведский А.Л. и Рабинский Л.Н. (156], Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабипский Л.Н., Тарлаковский Д.В. [54]). В этом случае вся трудность поставленной задачи связана с определением переходных функций для граничных криволинейных поверхностей различных типов.
В последнее время широкое распространение для решения динамических задач получили численные методы (метод конечных разностей (223, 137], метод конечных объемов (137]. метод прямых, метод конечных элементов [60]). Обзор численных методов решения задач нестационарного взаимодействия конструкций с окружающей жидкостью приведен в обзорной статье [258]. Примеры решения задач о дифракции акустических волн с использованием численных методов можно найти в работах Анисимова С.А. и Вогульского И.О. (7), Hori Y. и Hori К. [262], Hunt
D.A. |264], Nath В. [271], Yue D.K.P., Chen II. и Mei C.C. (297], Wagner M. [295]. В работе [233] предложен эффективный подход, основанный на гибридном использовании метода конечного элемента (МКЭ) для описания упругой конструкции и метод граничною элемента (МГЭ) для моделирования неограниченной среды, в которой распространяется волна. Методика численного решения задачи взаимодействия упрутой конструкции с идеальной сжимаемой жидкостью предложена также в работах Akkas N. и Yilmaz С. [228] и Hamdan М. [259].
Используемые в настоящее время конечно-объемные схемы решения задач газовой динамики можно разделить на две большие группы: схемы с выделением разрывов в решении и численные схемы сквозного счета. Применение численных схем с выделением разрывов в связи с множественными отражениями волн крайне затруднительно, поэтому они используются при малых временах взаимодействия. К определенным недостаткам схем сквозного счета относится невозможность выявить точное расположение волновых фронтов в случае множественных отражений
19
волн от границ раздела сред. С другой стороны, использование схем высокого порядка точности приводит к нефизической осцилляции решения вблизи разрыва. Поэтому в настоящее время для решения такого класса задач разработаны «гибридные» конечно-объемные схемы, подстраивающиеся под решение (TVD, ENO) (Годунов С.К. [223], Куликовский А.Г., Погорело» Н.В., Семенов Л.Ю. [137], Баженов В.Г. и Чекмарев Д.Т. 115], Борисова Н.М. и Остапенко В.В. [25], Самарский A.A. и Попов IO.II. |1921).
Необходимо отметить, что коммерческие программные комплексы для расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций (MSC NASNRAN [269], ANSYS [222]) плохо приспособлены для решения задач указанного класса.
В начале остановимся подробнее на результатах исследований задач о дифракции акустических и упругих волн на абсолютно твердых включениях различной формы.
Впервые задача о дифракции плоской акустической волны давления на поверхности жесткого шара была рассмотрена Харкевичем A.A. [218]. Аналогичную задачу с использованием метода разделения переменных по угловой координате и применением преобразования Лапласа по времени решили Замышляев Б.В. и Яковлев Ю.С. В работе [109] представлены результаты расчета давления на поверхности сферы при удержании четырех членов ряда.
Аналогичную задачу для кругового цилиндра впервые рассмотрел Sette W.J. [285]. Результаты решения этой задачи с помощью аимггго-тических методов были дополнены Фридлендером Ф. [251, 252]. Необходимо отметить, что полученное решение справедливо для малых времен взаимодействия. Идеология асимтотических методов позволила в дальнейшем решить ряд задач о дифракции акустической волны на цилиндрической оболочке: Payton R.G. (275] (дифракция акустической волны на упругой оболочке), Peralta L.A. и Raynor S. [278] (действие плоской волны давления на оболочку, заполненную жидкостью).
Результаты решения задачи о дифракции плоской волны давления на неподвижном круговом цилиндре содержатся также в работах Беспалова
Е.И., Воротникова М.И. и Кононенко В.О. [23], Горшков А.Г. [69], Гри-голюк Э.И., Горшков А.Г. |87], Замышляев В.В.и Яковлев Ю.С. [109], Skalak R. и Friedman М.В. |288].
Задачи о дифракции плоской нестационарной волны на цилиндре произвольного поперечного сечения в основном исследовалась с помощью численных методов. В частности, в работах Friedman М.Б. и Shaw R.P.
20
[253], Вороненок Е.Я. [58], Shaw R.P. |286], приведены результаты расчета для цилиндра квадратного поперечного сечения.
Задачу о действии слабой ударной волны на эллиптический цилиндр была решена Голубинским А.И. и Коганом М.Н. [66|. Суркова Е.М. [209] с использованием обобщенного метода Адамара построила решение трехмерной задачи дифракции произвольной акустической волны на полу-бесконечном цилиндре. Дейстаие косой плоской волны давление на неподвижный круговой цилиндр в жидкости рассматривали Григолюк Э.И. и Горшков А.Г. [91].
Из аналитических решений задач о дифракции акустических волн на неподвижном препятствии необходимо отметить работы Сагомоня-на А.Я. |188] (задача для кругового конуса произвольного угла раствора),Поручикова В.Б. [179] (осесимметричная задача для кругового конуса). В последнем случае использовался метод интегрального преобразования Лапласа по времени.
Динамика цилиндрических и сферических твердых тел при действии акустических воли исследовалась в работах Горшкова А.Г.. Тарлаковско-гоД.В. [82], Аникьева И.И., Михайлова М.И., Сущенко Е.А. [6], Русанова
В.В. 1187], Рабинского Л.Н. [183, 185].
Динамика абсолютно твердых тел произвольной геометрии рассматривалась, в основном, в рамках несжимаемой жидкости. Для решения подобных задач используется метод присоединенных масс, которые видоизменяют коэффициенты уравнения движения тела, погруженного в жидкость. Для расчета коэффициентов присоединенных масс используется теория потенциала простого слоя. С использованием данного подхода решен ряд задач динамики твердого тела, погруженного в жидкость. Здесь необходимо отметить работы Дегтяря В.Г., Пегова В.И. [99, 98].
Учет упругих свойств конструкции, помещенной в жидкость, существенно усложняет задачу. Решение подобной задачи подразумевает совместное решение двух начально-краевых задач, описывающих динамику конструкции и волновые процессы в акустической среде.
В настоящее время наиболее изучены задачи дифракции слабых ударных волн на пластинах (Афанасьев Е.Ф. [9. 8|, Багдоев А.Г. [14], Ис-раилов М.Ш. [117], Козлов В.Ф. [123, 124], Красилыцикова Е.А. [130], Третьяков В.В. [213], Papadopoulos V.M. [274]). Основным методом решения задач указанного класса является использование интегральных преобразований.
Тонкостенная конструкция в задачах гидроупругости предполагает, как правило, применение модели Кирхгофа-Лява (Новожилов В.В., Чср-
21
ных К.Ф. и Михайловский Е.И. [1711), приводящей к начально-краевой задаче для системы уравнений параболического типа (Нетребко В.П., Новотный С.В., Созоиенко Ю.А. [169|), и сдвиговой модели Рейсснера-Тимошенко (Нетребко В.П., Новотный С.В., Созоненко Ю.Л. [169]) с гиперболическим типом уравнений движения. В то же время в задачах гидроупругости показано [169], что различие за счет учета сдвига и структуры уравнений заметно сказывается только на начальном этапе взаимодействия, когда деформация поперечного сдвига играет основную роль в развитии прогиба оболочки.
При интегрировании уравнений движения оболочки, в основном, используются конечномерные аппроксимации, основанные на методе конечного элемента [64], методе конечных разностей [15, 21]. Для устранения осциляций при численном интегрировании системы уравнений с малым параметром при старшей производной, описывающей динамику оболочки, используются специальные методы: введение искусственной, схемной вязкостей, а также метод сведения задачи к системе уравнений первого порядка и применением специального метода численного решения (Евсеев Е.Г. и Семенов А.Ю. [106, 107], Иванов В.Л. [115]).
Из численно-аналитических решений задач гидроупругости цилиндрических оболочек необходимо отметить работы, основанные на использовании метода разделения переменных Фурье. В частности, для цилиндрической оболочки используется система тригонометрических функций. Коэффициенты разложений, зависящие от времени определяются либо прямым интегрированием системы уравнений численно Платонов
Э.Г. [ 175]) или с помощью интегральных преобразований по времени Forrestal М.Л. [250]). Принципиальных трудностей численной оценки этого интеграла не существует, однако наличие полюсов и точек ветвления делает вычисления затруднительными (Carrier G.F. [241 ]). Поэтому в первых работах авторы вынуждены были пойти по пути упрощения внешней задачи (Вильде М.В., Каплунов Ю.В., Ковалев В.А. [52] - модифицированная гипотеза тонкого слоя, Baron M.L. [230], Mindlin R.D. и Bleich H.H. [268] - гипотеза плоского излучения, Haywood J.H. [260] -гипотеза цилиндрического излучения). В работе Huang’a Н. [263] коэффициенты рядов определялись путем сведения задачи к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода, которые затем решались численно. Подобный метод в своих работах использовали Кубснко В.Д. [131], Кубенко В.Д. и Панасюк II.Н. [134]. В работах Geers’aT.L. [254, 255] точные решения для отдельных тонов колебаний найдены с использованием метода остаточного потенциала.
22
Различные постановки и решения задач о нестационарных колебаниях цилиндрических оболочек в жидкости приводятся также в работах Веремеенко С.В. и Лыско Е.Н. (49], Berger’a B.S. [236. 235]. Мневым Е.Н. рассмотрена полубесконечная круговая цилиндрическая оболочка, взаимодействующая с акустической средой [165] и распространение волн в упругой цилиндрической оболочке, погруженной в акустическую среду [163). Анализ поведения цилиндрических оболочек при динамическом нагружении ударных волн в различных средах проводился в работах Белова A.B. [18], Билянского Ю.С. и Жирнова М.В. (24], Вольмира Е.А. и др. (56, 55], Reisrnann:a Н. [279].
При определении реакции тонких сферических оболочек, погруженных в идеальную сжимаемую жидкость обычно используется разложение решения по угловой координате в ряды по полиномам Лежандра. Указанным методом получены аналитические решения задачи гидроупругости сферической оболочки, помещенной в акустическую среду, и эта задача в некотором смысле является тестовой [89, 82]. Для нахождения неизвестных обобщенных координат в разложениях можно воспользоваться интегральными преобразованиями Фурье или Лапласа по времени. Полученные формально таким образом решения отличаются плохой сходимостью для радиальных ускорений и давления (Mann-Nachbar Р. [266]), и поэтому в соответствующих разложениях необходимо удерживать большое число членов ряда. Если задача заключается только в расчете напряженного состояния, то оно определяется в основном низшими формами колебаний. Для улучшения сходимости рядов на практике используются различные технические приемы: вводят преобразование Зоммерфельда- Ватсон a (Singh и др. [287]), применяют метод средних Чсзаро (Berger B.S. и Klein D. [237, 82]) и т.д.
Метод разделения переменных обладает одним существенным недостатком: для корректного описания локального поведения оболочки в окрестности волнового фронта необходимо учитывать большое количество членов ряда по системе собственных функций. Помимо этого ухудшается сходимость указанных рядов на границе области сходимости. Улучшение сходимости этого метода можно добиться путем разложения решения на переменном интервале (Слепян Л.И. |202|). Метод разложения по собственным функциям наиболее эффективен для оценки напряженного состояния оболочек, так как своего максимума напряжения достигают за относительно большой период времени, и при этом достаточно ограничиться рассмотрением низших форм колебаний. Интересный подход в рамках данного метода, основанный на анализе свободных
23
колебаний, предложили Lyons W.C., Rusell J.E. и Herrmann G. [282] для оценки напряженного состояния оболочки под действием плоских волн.
Одним из эффективных подходов к решению нестационарных задач о дифракции акустических волн является метод использования стационарных решений. В работе Peralta L.A., Carrier G.F. и Mow С.С. [277] указанная методика использовалась для определения реакции бесконечного полого упругого цилиндра, помещенного в упругую среду, при действии на него плоской волны расширения. В работах Berglund’a J.W. [239], Berglund’a J.W. и Klosner’a J.M. [240] решение известной задачи (Herman Н. и Klosner J.M. [261]) о нестационарных колебаниях периодически опертой бесконечно длинной цилиндрической оболочки, находящейся в акустической среде, было получено путем построения ряда импульсов синусоидальной формы для стационарной задачи. Подобным образом получено решение и в случае действия внезапно приложенной внутренней поверхностной нагрузки (Crouzet-Pascal J. и Garnet Н. [245]).
В работах Векслера Н.Д. [47] определено поле давления вблизи фронтов отраженного, излученных и дифрагированных импульсов для оболочки, погруженной в жидкость и заполненной жидкостью с другими физическими свойствами. Тем же автором на основании метода интегральных преобразований выведены асимптотические формулы для поля давления в непосредственной близости фронтов отраженной, излученных и ползущих волн Векслера Н.Д. и Кутсера М.Э. [48]. Belytschko Т. и Mullcn’a R. [234] для решения задачи динамики оболочки, погруженной в жидкость, использовали явные и неявные конечно-разностные методы. Berger’a B.S. и Schur’a W. [238] для решения задачи гидроупругости использовали комбинированный метод, основанный на применении интегральных преобразований и конечно-разностные методы. Ковалевым В.А. предложен метод сращиваемых асимптотических приближений, примененный к решению задач дифракции акустических волн на цилиндрических оболочках [121]. Григолюком Э.И. совместно с Кузнецовым Е.В. было также получено решение задачи динамики трехслойных цилиндрических оболочек под действием акустических волн давления [92]. Другое решение для трехслойных цилиндрических оболочек, деформируемых ударными волнами, получено Бурдуном Е.Т. [43]. Три-вайло М.С. получил решение задачи о действии внешней акустической волны на систему вложенных цилиндрических оболочек [214|.
В работах Горшкова А.Г., Медведского A.JL, Рабинского Л.Н. и др. [167, 176, 184] для решения плоской задачи дифракции акустической волны на цилиндре, канонического сечения использовался метод поверх-
24
- Київ+380960830922