Колебания и устойчивость плазменных кристаллов и кластеров

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Общая характеристика работы................................ 3
2 Плазменные кристаллы и кластеры............................ 9
2.1 Пылевая плазма......................................... 9
2.2 Микроплазма........................................... 18
2.3 Коллоидная плазма..................................... 25
1 МАЛЫЕ ДВУМЕРНЫЕ КЛАСТЕРЫ 26
1.1 Малые кластеры............................................ 27
1.2 Нормальные колебания двумерных пылевых кластеров в виде
правильного многоугольника................................. 28
1.3 Нормальные колебания двумерных кластеров в виде правильного
многоугольника с частицей в центре ........................ 35
1.4 Двумерные малые кластеры: теория и эксперимент............ 38
1.5 Двумерные пылевые кластеры со свободной границей.......... 43
2 ДВУМЕРНЫЕ РЕШЕТКИ И ДВУМЕРНЫЕ КВАЗИКРИСТАЛЛЫ 54
2.1 Простые и сложные двумерные решетки....................... 55
2.2 Неустойчивость плоскости кристалла........................ 58
2.3 Двумерные пылевые облака вблизи проводящей стенки......... 64
3 ВИНТОВЫЕ СТРУКТУРЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛАЗМЕ 70
3.1 Численное моделирование ................................... 72
3.2 Бифуркации винтовых структур.............................. 78
3.3 Исследование малых колебаний винтовых структур ............ 97
4 ТРЕХМЕРНЫЕ КЛАСТЕРЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛАЗМЕ 115
4.1 Трехмерные структуры и модель Томсона.....................115
4.2 Численное моделирование равновесных конфигураций..........117
1
4.3 Колебания малых кластеров...............................122
4.3.1 Тетраэдр..........................................128
4.3.2 Треугольная бипирамида............................133
4.3.3 Октаэдр...........................................138
4.3.4 Пятиугольная бипирамида...........................142
4.3.5 Восемь частиц.....................................144
4.4 Определение потенциала взаимодействия...................159
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ 165
ПРИЛОЖЕНИЕ 167
ЛИТЕРАТУРА 209
2
ВВЕДЕНИЕ
1 Общая характеристика работы
Термодинамические свойства равновесной плазмы описываются одной безразмерной величиной — параметром неидеальности, который еще часто называют коэффициентом связи или коэффициентом корреляции. Параметр неидеальности определяется как отношение характерной потенциальной энергии соседних частиц к их характерной кинетической энергии. Для чисто кулоновского взаимодействия и классической плазмы параметр неидеальности можно оценить как Г = Z2e2/aT}
-1/3
где а ~ Пр — среднее расстояние между частицами, пр — концентрация частиц с зарядом геиТ- температура в энергетических единицах. Если кулонов-ская потенциальная энергия меньше, чем кинетическая, т.е. параметр неидеальности меньше 1, то плазма не имеет упорядоченной структуры и ведет себя как газ. Однако в плазме с параметром неидеальности большим 1 должно проявиться некоторое пространственное упорядочение. Поскольку в такой сильно связанной плазме кулоновские силы расталкивания превалируют над тепловым движением, частицы должны быть расположены на некотором расстоянии друг от друга. При параметре неидеальности, равном примерно 2 и выше, плазма проявляет свойства жидкости. Для большинства известных примеров классической плазмы параметр Г ненамного превышает единицу.
Однако в последнее время были открыты или искусственно созданы системы заряженных частиц, для которых параметр неидеальности намного превышает единицу и может достигать значений в десятки тысяч. Примеров подобных систем довольно много. К ним относятся: ансамбли одноименно заряженных ионов или электронов, удерживаемые от расплывания внешними полями; широко распространенная в природе пылевая плазма; заряженные коллоидные суспензии, в том числе биологические жидкости. В некотором приближении кора нейтронных звезд может рассматриваться как плазма с высоким параметром неидеальности.
3
С увеличением параметра Г система самоорганизуется от неупорядоченной газовой фазы к упорядоченной конденсированной фазе, так называемому классическому кулоновскому или плазменному кристаллу. Простейшей и наиболее изученной моделью является модель однокомпонентной плазмы, в которой рассматривается ансамбль одноименно заряженных частиц на компенсирующем однородном фоне противоположного знака. Известно, что в однокомпонентной плазме при Г < 2 в системе появляется ближний порядок, а при Г ~ 170 однокомпонентная плазма кристаллизуется, образуя объемно центрированную кубическую кристаллическую решетку [1, 2, 3). Естественно, что в реальных физических системах правильный плазменный кристалл образуется в термодинамическом пределе, то есть при достаточно большом числе частиц и в условиях отсутствия значительных внешних электромагнитных нолей.
С другой стороны, во многих случаях сравнительно небольшое число (от нескольких единиц до десятков тысяч) заряженных частиц удерживается внешними полями в ограниченном объеме. В этом случае говорят о плазменных кластерах. Типы упорядочения, возникающие в плазменных кластерах, существенно отличаются от кристаллического и зачастую не имеют аналогов в физике твердого тела.
Настоящая диссертация посвящена теоретическому и численному исследованию структуры и устойчивости плазменных кристаллов и кластеров. Поскольку наибольшее развитие физика подобных систем получила за последние 10-15 лет в связи с открытием плазменно-пылевых кристаллов, изложение ведется в основном применительно к пылевой плазме. Тем не менее ббльшая часть полученных результатов применима и к другим физическим системам, например к ансамблям ионов в электромагнитных ловушках и накопительных кольцах или к заряженным коллоидным суспензиям.
Основными задачами диссертации являются:
1. Развитие теории колебаний и устойчивости плоских двумерных плазменно-пылевых кластеров для произвольного потенциала взаимодействия между частицами. Анализ имеющихся экспериментальных данных.
2. Исследование структуры и устойчивости двумерных плазменных кристаллов. Определение критерия разрушения плазменного кристалла. Численное моделирование динамики двумерных плазменно-пылевых облаков.
4
3. Исследование фазовых переходов в аксиально-симметричных квазикристаллах с геликоидальной симметрией. Построение теории колебаний геликоидальных квазикристаллов.
4. Численное моделирование равновесной структуры трехмерных плазменных кластеров. Развитие теории колебаний симметричных плазменных кластеров. Исследование возможности восстановления потенциала межчастичного взаимодействия по экспериментально измеримым частотам колебаний.
Актуальность темы диссертации обусловлена тем, что различные типы плазменных кристаллов и кластеров в последнее время интенсивно изучаются в различных областях физики. Интерес к подобным системам обусловлен как фундаментальными, так и прикладными аспектами. К фундаментальным аспектам относится, например, возможность исследования фазовых переходов на кинетическом уровне. В пылевой плазме кристаллы и кластеры возникают в процессе плазменной обработки поверхности, что, с одной стороны, является основным препятствием на пути миниатюризации элементной базы микроэлектроники, а с другой стороны, открывает возможность синтеза новых материалов.
Научная новизна работы заключается в следующем:
• Построена теория колебаний планарных кластеров в виде правильных многоугольников, состоящих из частиц с произвольным потенциалом взаимодействия. Показано, что согласно имеющимся экспериментальным данным взаимодействие между макрочастицами в приэлектродном слое плазмы не описывается потенциалом Дебая-Хюккеля.
• Построена теория колебаний двумерных плазменных кристаллов. Определен критерий разрушения кристалла при увеличении концентрации частиц.
• Развита теория геликоидальных плазменных кристаллов. Исследованы фазовые переходы и получены спектры колебаний геликоидальных кристаллов.
• Построена теория колебаний симметричных трехмерных кластеров с произвольным межчастичным взаимодействием. Показана возможность определения межчастичных сил исходя из экспериментально измеримых частот колебаний.
5
Практическая ценность работы заключается в возможности использования полученных результатов при оптимизации процесса плазменной обработки поверхностей, разработке методов синтеза новых материалов, проектировании электромагнитных ловушек ионов для создания новых стандартов частоты и хранения антивещества.
Апробация работы и публикации.
Диссертация была выполнена в Институте общей физике им.А.М.Прохорова.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42], [75] - [81], [124], [145] - [155], [173]-[191]; из которых 17 научных работ в виде статей в отечественных и зарубежных рецензируемых журналах [42, 75, 76, 78,124,145,146,152,153, 154, 155, 173, 179, 180, 183, 187, 188, 189].
Материалы диссертации докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях по физике: Материалы Всероссийской школы-семинара молодых ученых, аспирантов и студентов, г.Владимир (1998); Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (1998, 2001, 2005, 2006); ICPIG (Международная конференция по явлениям в ионизованных газах) (Варшава 1999, Эйндховен 2005); ICPDP (Международная конференция по физике пылевой плазмы) (Дурбан 2002, Орлеан 2005); Обзорный доклад на 10-рабочей группе по пылевой плазме (Виргинские острова США 2003); Обзорный доклад на конференции Европейского Физического общества “Physics of Plasmas and Controlled Fusion Research" (С.Петербург 2003); EPS (Конференция Европейского физического общества) в Риме (2006); и 4th Workshop "Complex Systems of Charged Particles and their Interaction with Electromagnetic Radiation. Physics of Complex Systems" (Москва, 2006).
В течение 1996-2006 г.г. полученные в диссертации результаты докладывались на семинарах в ИОФРАН и других институтах и лабораториях, как в России так и зарубежом.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации - 300 страниц, она содержит 100 рисунков, 10 таблиц и список литературы из 500 наименований.
6
Содержание работы Введение.
Во введении дан обзор основных систем, в которых формируются сильноскор-релированные структуры. Показаны примеры различных типов квазикристаллов, наблюдаемых экспериментально.
Кроме того, дан обзор типов межчастичных взаимодействий в пылевой плазме, которые задействованы в той или иной степени в расчетах, использовавшихся в 1-4 главах диссертации.
Глава 1. В первой главе диссертации исследуются условия формирования и устойчивость двумерных плоских квазикристаллов. Рассмотрен случай правильных многоугольников, а также случай правильных многоугольников с частицей в центре, которые формируется в комплексной плазме из заряженных макрочастиц одинакового размера. Взаимодействие между макрочастицами рассматривается в общем виде и (г), как функция зависящая только от расстояния между частицами.
Используя полученные результаты, проведена оценка потенциала взаимодействия между макрочастицами в реальных экспериментах.
В этой главе также рассмотрены конфигурационные изменения, возможные в системе плоских кластеров при отсутствии внешнего потенциала удержания и при наличии малого не-коллективного притяжения между макрочастицами.
Глава 2.
Во второй главе исследуются малые колебания плоского пылевого квазикристалла. Рассмотрены двумерные пылевые решетки простой (одна частица на элементарную ячейку) и сложной (две частицы на элементарную ячейку) структуры.
Для этих решеток, в частности гексогональной и кубической (квадратной), получены критерии поперечной неустойчивости (критерий плавления кристалла) для произвольного сферически симметричного потенциала взаимодействия между частицами.
Также в данной главе рассмотрена неустойчивость двумерного плоского слоя заряженных частиц, левитирующих над горизонтально расположенным проводящим электродом в потоке ионов плазмы.
Глава 3.
В третьей главе исследуются условия формирования, устойчивость и малые колебания квазикристаллов в виде винтовой структуры, которая формируется в комплексной плазме из заряженных макрочастиц одинакового размера. Рассмотрены
7
как внешнее параболическое удержание (в направлении, поперечном оси цилиндра) винтовой структуры, так и возможность ее самоудержания или удержания полем, сформированным фоном малых макрочастиц.
Проведено компьютерное моделирование винтовых структур из макрочастиц для двух случаев: для структуры, бесконечной вдоль оси симметрии (или замкнутой структуры в тороидальной геометрии); и для структуры конечного размера (для винтовых структур конечного размера удержание вдоль оси симметрии структуры предполагалось более слабым, чем в поперечном направлении). Взаимодействие между макрочастицами рассматривалось, как различные комбинации дебаевского экранированного потенциала, не-дебаевского нелинейного экранированного потенциала, при наличии коллективного и неэкранированного неколлективного притяжения, так и при отсутствии оных. Моделирование показало, что для всех вышеперечисленных взаимодействий любое начальное случайное распределение макрочастиц - при наличии механизма диссипации и в условиях цилиндрической геометрии - приходит в состояние равновесия в виде винтовой структуры.
Одной из особенностей данных систем является конфигурационные фазовые переходы. При плавном изменении внешнего управляющего параметра наблюдаются резкие скачкообразные изменения угла закрутки винтовой линии (бифуркации угла закрутки). Были найдены все возможные бифуркации для всех рассмотренных потенциалов взаимодействия между частицами.
И наконец, в этой главе развита аналитическая теория малых колебаний таких структур в виде винтовых линий.
Глава 4
В этой главе обсуждаются найденные равновесные структуры частиц, взаимодействие которых друг с другом описывается потенциалом Юкавы, и удерживаемые в сферически симметричной потенциальной яме. С целью определения наиболее энергетически выгодной конфигурации был проведен сравнительный анализ потенциальных энергий различных конфигураций, которые могут реализовываться при одинаковом числе взаимодействующих частиц. Также в четвертой главе, исследованы структурные переходы, которые возможны для разных потенциалов взаимодействия между частицами (в зависимости от коэффициента экранировки к). Благодаря таким структурным переходам появляется возможность оценить такой потенциал. Исследования проводились для малых кластеров, в которых число частиц варьируется от N = 4 и до N = 20 включительно.
Кроме того, в этой главе построена аналитическая теория малых колебаний простейших симметричных трехмерных структур, состоящих из небольшого числа одноименных макрочастиц, удерживаемых в сферически-симметричной потенциальной яме. Для произвольного потенциала межчастичного взаимодействия получены частоты и поляризации колебаний систем с числом частиц от четырех до 12 включительно. Обсуждается также возможность восстановления потенциала взаимодействия по экспериментально измеримым координатам отдельных частиц.
В Заключении сформулированы основные результаты и выводы работы, а также возможное направление дальнейших исследований изучения сильноскорре-лированных структур.
2 Плазменные кристаллы и кластеры
Как уже отмечалось, плазменные кристаллы и кластеры образуются в ансамблях частиц с дальнодействующим сильным взаимодействием. Как правило, это одноименно заряженные частицы, поэтому для их удержания необходимо внешнее воздействие либо однородный компенсирующий заряженный фон. Начало теоретическому изучению плазменных кластеров положил еще Дж.Дж. Томсон в своей классической модели атома[4]. В этой модели некоторое количество заряженных частиц (электронов) вкраплены в однородо заряженную сферу, которая создает параболический удерживающий потенциал. Теоретически формирование кристаллических структур на однородном компенсирующем фоне было впервые исследовано в работе Икези[5]. За последнее время появилось несколько физических систем, которые достаточно хорошо описываются моделями Томсона и Икези. Ниже дается краткий обзор физики некоторых подобных систем — пылевой плазмы, микроплазмы и коллоидной плазмы. Кроме того, развиваемая ниже теория применима и для описания атомарных кластеров [б, 7, 8, 9].
2.1 Пылевая плазма.
Пылевая плазма, которую также называют комплексной или плазмой с конденсированной дисперсной фазой, состоит из электронов, ионов и некоторого количества макроскопических частиц. Пылевая плазма повсеместно распространена в природе. Различные типы аэрозольной плазмы существуют в атмосфере Земли, и их свойства различаются в зависимости от высоты и характера образования частиц [б, 10,11]. На малых высотах атмосферы заряженные частицы образуются из атмосферной влаги, из пыли, переносимой с поверхности Земли, а также в резуль-
9
тате процессов горения на Земле. Поскольку эти частицы могут быть заряжены, они обусловливают проводимость атмосферы и поэтому оказывают влияние на электрические явления в земной атмосфере. В верхней части атмосферы (80-90 км) пылевая плазма проявляется в виде серебристых облаков.
Межзвездные газово-пылевые туманности состоят из пылевой плазмы, она образуется в процессах рождения звезд и планет, наблюдается в планетарных кольцах Юпитера, Сатурна и Урана [12,13,14]. В лабораторных условиях в различных газовых разрядах пылевые частицы возникают естественным образом благодаря распылению электродов или синтезу из газовой фазы. Подобные разряды широко используются в прикладной физике, в частности, для плазменного травления, осаждения и имплантации.
Характерные размеры пылевых частиц определяются параметрами окружающей плазмы. Наиболее ярко свойства пылевой плазмы проявляются, если размер отдельных пылинок меньше электронного дебаевского радиуса. В типичных лабо-• раторных условиях характерный размер пылинок меньше нескольких микрон, а в кольцах Сатурна может достигать сантиметров.
Заряд пылинок обусловлен взаимодействием окружающей плазмы с их поверхностью. В обычной газоразрядной плазме из-за более высокой тепловой скорости электронов полный ток на поверхность пылинки равен нулю, если она заряжена отрицательно. На качественном уровне можно считать, что потенциал поверхности пылинки определяется в основном электронной температурой \ф,\ ~ Те/е. В лабораторных условиях величина заряда может достигать 104-105 элементарных зарядов. В некоторых случаях пылевые частицы могут собрать на себя почти все плазменные электроны [14, 15]. Кроме того, на зарядку иногда оказывают влияние другие процессы (например, термо- или фотоэмиссия). В этих случаях заряд пылинок может стать положительным.
В последнее время вышло много обзоров [13, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22], охватывающих все аспекты физики пылевой плазмы. Основные физические процессы подробно обсуждаются также в книге [23]. В связи с этим мы не будем подробно останавливаться на описании свойств пылевой плазмы, а вкратце опишем некоторые аспекты, важные для дальнейшего изложения.
В середине 90-х годов появился ряд экспериментальных работ, в которых описывались наблюдения кулоновской кристаллизации макрочастиц с сильным взаимодействием в пылевой плазме (см. например обзор [24]). Большинство экспериментальных установок, предназначенных для исследования пылевой плазмы, представляют собой газоразрядную камеру. Плазма создается путем приклады-
10
а Ь
Рис. 1: Типичные видеоизображения упорядоченных пылевых структур в ВЧ-разряде и разряде постоянного тока, а - плоская гексагональная плазменнопылевая решетка, наблюдаемая в приэлектродной области ВЧ-разряда [26]. Ь -типичное распределение пылинок в плазменном кристалле, полученном в стратах разряда постоянного тока при токе 1мА и давлении 0.2Тор [28].
вания напряжения к электродам, часто также используется СВЧ разряд. В различных экспериментах давление и состав газа, заполняющего камеру, меняются в очень широких пределах. Обычно это благородные газы, например, аргон под достаточно низким, меньше 1 Торра, давлением.
Как уже отмечалось, пылевые частицы могут сами но себе синтезироваться из газовой фазы или образовываться в результате распыления электродов. В этом случае получаются полидисперсные частицы, сильно различающиеся по размерам и свойствам. В лабораторной практике часто используются специально созданные частицы с хорошо контролируемыми размерами, которые инжектируются в плазму. Число пылинок в этом случае может изменяться от одной до десятков тысяч. Пылинки с размерами, большими нескольких микрон, можно наблюдать оптическими методами. Поскольку скорости движения частиц относительно невелики, обрабатывая соответствующим образом видеоизображение, удается определить положение и скорость каждой пылинки, что дает уникальную информацию о пылевом компоненте в целом. Эта диагностика позволяет, например, наблюдать в режиме реального времени различные структуры, образуемые пылинками, изучать фазовые переходы и т.д. Однако определить параметры плазмы в области, занятой пылью, намного сложнее, поэтому приводимые во многих экспериментальных работах величины носят оценочный характер.
В пылевой плазме весьма существенную роль играют силы неэлектрического происхождения, и в этом состоит одна из ее характерных черт. В наземных лабора-
11
Интерференционный ^ ПЗС видеокамера фильтр \
Сетчатый электрод
Возбуждающий электрод с параболическим углублением
(§) ВЧ-генератор
Модуляция
ВЧ-мощности
Пылинки
Лазерный
пучок
N=3 N=12 N=34
N=7 N=19 N=145
Рис. 2: а - Схема типичной экспериментальной установки для исследования формирования упорядоченных пылевых структур в плазме радиочастотного разряда Ь - микрофотографии типичных кластерных структур, наблюдаемых при различных значениях числа пылинок (фотографии приведены в различном масштабе). Характерное расстояние между пылинками составляет 0.3-0.7 мм. [29].
торных условиях для пылинок с размером, превосходящим несколько микрон, по абсолютной величине наибольшей является сила земного тяготения. Под действием этой силы пылинки падают вниз. Вес не слишком тяжелых пылинок компенсируется электрическим полем вблизи нижнего электрода. В результате пылинки накапливаются в ириэлектродном слое [25, 26, 27] и образуют квазикристалл.
Удержать пылинки в объеме плазмы можно различными способами. Во-первых, броуновское движение в нейтральном газе способно заставить левитировать пылинки субмикронных размеров, однако следить за движением таких частиц оптическими методами трудно. Второй способ заключается в использовании стратифицированного разряда постоянного тока [30]. В голове каждой страты имеется электростатическая ловушка, которая в случае вертикальной ориентации способна удерживать частицы достаточно большого заряда и малой массы от падения на дно, а сильное радиальное поле препятствует их выпадению на стенки разрядной трубки. Еще один способ удержания состоит в использовании в использовании термофореза в нейтральном компоненте. Охлаждая верхний или нагревая нижний электрод, удается создать поток тепла в нейтральном газе, способный поддерживать пылинку в объеме плазмы [31]. Наконец, в последнее время большое количество экспериментов проводится в условиях невесомости на борту Международной космической станции или на самолетах, летящих по параболической траектории.
12
А
С
Рис. 3: На рисунке А изображен ЗЭ кластер, левитирующий в центре разряда, когда тонкой балансировкой напряжений Ут/ и У^ полностью компенсирована гравитация [37]. Рисунки В и С показывают 30 кластеры, состоящие, соответственно, из двенадцати и семидесяти частиц. Разными цветами показаны проекции частиц, полученные в перпендикулярных плоскостях (область картинки 2.3 х 1.7шт2).
Существенное отличие пылевой плазмы от чистой заключается в большом разнообразии типов взаимодействия между пылевыми частицами. Взаимодействие между пылинками часто оказывается непотенциальным и непарным, поэтому, строго говоря, вводить аналог параметра нсидсальности для пылевой подсистемы нельзя. Тем не менее, для характеристики пылевой плазмы часто используется параметр неидеальности, расчитываемый исходя из определенных предположений о потенциале межчастичного взаимодействия. Характерной чертой пылевой плазмы является очень большая величина параметра Г, которая может достигать десятков тысяч. По этой причине пылевой компонент оказывается сильно скоррелированным, и пылинки образуют различные упорядоченные структуры.
Наблюдаемые структуры в пылевой плазме
Рассмотрим некоторые типичные условия, в которых наблюдается кристаллизация пылевой подсистемы. Во многих лабораторных экспериментах плазма создается при помощи одного или двух горизонтальных электродов, на которые подается ВЧ-налряжение. Достаточно тяжелые пылинки падают на нижний электрод. Поскольку пылинки заряжены отрицательно, а потенциал электрода также отри-
13
цателен относительно объема плазмы, электрическое поле в приэлектродном слое замедляет падение. Если масса отдельной пылинки не слишком велика, то существует равновесная высота, на которой вес пылинки компенсируется электрическим полем. При увеличении числа пылинок они накапливаются на одной высоте (при условии, что их масса одинакова). В этих условиях, как уже отмечалось, в горизонтальном направлении между пылинками действуют электростатические силы отталкивания. Для того, чтобы пылинки не сталкивали друг друга с электрода, его делают немного вогнутым или помещают по краю проводящее кольцо. В результате возникает внешняя потенциальная яма, удерживающая пылинки от разлета. Исследуя горизонтальное движение одной пылинки, удается определить параметры этой потенциальной ямы и силу трения, действующую на пылинку. Поместив одну пылинку в центр ямы, можно с определенной скоростью направить на нее вторую и следить за процессом рассеяния. Таким образом измеряется зависимость силы между пылинками от расстояния. На качественном уровне измеренная таким образом сила соответствует потенциалу Дебая-Хюккеля, однако точность экспериментов по рассеянию пылинок невысока.
В состоянии равновесия небольшое число пылинок (# < 5) располагается в горизонтальной плоскости по вершинам правильного многоугольника. При N = 6,7,8 одна пылинка располагается в центре, а остальные образуют N-1-угольник. По мере дальнейшего увеличения числа пылинок образуются все более сложные кластеры, состоящие из набора вложенных многоугольников. Это напоминает картину заполнения электронных оболочек в атоме, и существует аналог таблицы Менделеева для пылевых кластеров [32].
Первое теоретическое исследование двумерных кластеров было проведено в работе [33], где предполагалось, что взаимодействие описывается дебаевским потенциалом. Позднее также проводились подробные экспериментальные [34, 35] и численные исследования [32] спектров колебаний двумерных пылевых кластеров.
При болынОхМ числе N > 1 образуется слой, в котором пылинки упорядочены в гексагональную структуру - возникает двумерный плазменный кристалл. Это образование обладает всеми свойствами твердого тела. Например, по нему могут распространяться акустические волны с различной поляризацией и, соответственно, с различными дисперсионными зависимостями. Если число пылинок достигает некоторого критического значения, так что среднее расстояние между частицами слишком мало, монослой плавится. После этого начинает формироваться второй слой пыли, расположенный над первым. Вблизи монослоя возникают еще два положения равновесия для отдельной пылинки. Из них устойчиво только верхнее,
14
где начинает формироваться второй слой. Инжектируя пылинки в разрядную ка-меру, удается вырастить квазидвумерный кристалл, состоящий из более чем десяти слоев. Из-за анизотропии электрических сил в приэлектродном слое в вертикальном направлении пылинки выстраиваются в цепочки, а в горизонтальной плоскости сохраняется гексагональная структура.
В большинстве используемых для описания двумерного пылевого кристалла моделях предполагается, что потенциал взаимодействия частиц, расположенных на одной высоте, совпадает с потенциалом Дебая-Хюккеля. Обычно это предположение согласуется с экспериментальными данными. Однако существуют эксперименты, указывающие на существенную роль каких-то других сил в приэлектродном слое. В работе [36) наблюдалось формирование дыры (двумерного "вой-да"(у(ж!)) в монослое, состоящем из пылевых частиц, что может произойти только благодаря каким-то дополнительным воздействиям или из-за знакопеременного потенциала взаимодействия. Природа этого явления в настоящее время не ясна.
Недавно удалось получить трехмерные пылевые кластеры в объеме плазмы [31,37,38). Равновесная структура таких кластеров исследовалась численно впред-положении взаимодействия посредством потенциала Дебая-Хюккеля.
Взаимодействие макрочастиц в плазме.
Существует довольно много различных процессов, влияющих на взаимодействие макрочастиц в плазме. В простейшем приближении пылинки можно рассматривать как точечные заряды. Тогда в изотропной плазме в приближении линейного отклика распределение электрического ноля вокруг пылинки определяется потенциалом Дебая-Хюккеля или Юкавы
где фу (г) ~ форм-фактор экранировки, А,сг = Хр - радиус Дебая, е - элементарный заряд, Z(^ - заряд макрочастицы. Как правило, электронная температура существенно больше ионной, поэтому в объеме изотропной плазмы величина Хр определяется преимущественно ионами.
В случае пылинок, левитирующих в приэлектродном слое, окружающая плазма существенно анизотропна. Электроны можно считать распределенными по Больцману, а ионы с разумной точностью можно рассматривать как моноэнерге-тический поток со скоростью и, направленный в сторону электрода. Как правило, пылинки левитируют в области сверхзвукового потока и > с5, где с5 = у/Те/т{ — скорость ионного звука. В этом случае для частиц, расположенных на одной высо-
(1)
15
те, в приближении линейного отклика взаимодействие по-прежнему определяется потенциалом (1), однако Хр = Хреу/и2/с2в — 1, где Хре — электронный дебаевский радиус [39]. Если же частицы расположены на разной высоте, то взаимодействие носит существенно более сложный характер. В частности, ниже по течению от отдельной частицы формируется конус Маха, где потенциал осциллирует, т.е. существуют области притяжения одноименных зарядов. Это явление, называемое ионной фокусировкой, приводит к интересным особенностям динамики частиц, левитирующих на разных высотах, в частности, к нарушению третьего закона Ньютона. Сила, действующая со стороны верхней частицы на нижнюю, оказывается больше, чем сила, действующая со стороны нижней частицы на верхнюю. Ясно, что подобное взаимодействие существенно непотенциально. Отметим, что эти представления были развиты для неограниченной плазмы. Наличие проводящего электрода может повлиять на взаимодействие между пылинками. В частности, потенциал взаимодействия между двумя зарядами, расположенными на одной высоте, при определенных условиях становится осциллирующей функцией расстояния [40].
Дебаевское экранирование кулоновского потенциала можно приблизительно считать правильным, если заряд пыли достаточно мал, отношение размера пылинки к длине экранировки не слишком мало, как и отношение ионной к электронной температуре. В действительности для реальных экспериментальных параметров отношение потенциала поверхности пылинки к ионной температуре е\ф3\/Ъ может достигать нескольких сотен, поэтому на малых расстояниях от пылинки отклик плазмы оказывается существенно нелинейным. Для описания потенциала пылинки в этих условиях в работе [41, 42] было получено выражение для фактора экранирования
г = — безразмерный заряд и г = 7*/Те. На некотором расстоянии г0,
когда нелинейный форм-фактор (2) мал ф(го) «С 1, это выражение необходимо сшить с дебаевским потенциалом (1).
Как уже отмечалось, заряд пылинки формируется благодаря рекомбинации плазмы на ее поверхности, т.е. присутствует постоянный сферически-симметричный поток электронов и ионов, сходящийся на пылинку. Наличие пото-
(2)
где а — радиус макрочастицы,
(3)
16
ка приводит к тому, что на больших расстояниях при г Аде в изотропной плазме асимптотика электрического потенциала носит не экспоненциальный, а степенной характер тр ~1/г2 [43, 44).
С другой стороны, на любое тело, расположенное в сходящемся потоке плазмы, например, на другую пылинку, действует сила увлечения, и в результате возникает эффективное притяжение между пылинками. Этот эффект носит название теневого притяжения или гравитации Лесажа, который более двухсот лет назад предложил аналогичную модель всемирного тяготения [45, 46, 47, 48]. Из геометрических соображений очевидно, что соответствующая сила пропорциональна 1 /г2.
Более точный анализ показывает, что эффективный потенциал теневой силы на больших расстояниях можно записать в виде:
Ф(г) = —olZ^|r — -а/г. (4)
Если притяжение обусловлено потоками ионов (роль электронов как правило пренебрежимо мала), то по порядку величины коэффициент притяжения оценивается как а' ~ а2/А^ < 1, где а — размер пылинки. Однако взаимодействие нейтрального газа с поверхностью пылинки часто также оказывается неупругим. В частности, это происходит для нерегулярных или фрактальных поверхностей. В этом случае притяжение за счет потока нейтралов оказывается доминирующим, и коэффициент а может достигать значений, близких к 1.
Очевидно, что для случая двух пылинок теневое притяжение не подвержено экранированию, и поэтому на больших расстояниях всегда превышает электрическое отталкивание. Однако при достаточно большой концентрации пыли на теневое взаимодействие двух пробных пылинок оказывает влияние наличие других пылинок, которые также поглощают плазму. В этом случае говорят о коллективном теневом взаимодействии. Коллективное взаимодействие проявляется в часто встречающейся ситуации, когда несколько больших пылинок находятся на фоне газа из пылинок меньших размеров. Зависимость эффективного потенциала от расстояния между большими пылинками найдена в [18, 49]:
Vcol.ini = (5)
Коэффициенты р ~ гу (р ~ 0 -г 1), а 7 ~ ^]та111т\2т (7 ~ 0.03 -г 0.5), где т = Т\/Те - отношение температур ионов и электронов.
17
Кинетическая модель, использованная в [18, 49] самосогласованным образом учитывает процесс создания плазмы внешним ионизатором, процесс поглощения плазмы мелкими пылинками, а также флуктуации их заряда.
2.2 Микроплазма
Микроплазмой называют ансамбли заряженных частиц, удерживаемых от расплывания внешними электромагнитными полями [50]. Как правило, используются ВЧ-ловушки Пауля [51, 52, 53] или ловушки Малмберга-Пеннинга со скрещеными электрическими и магнитными полями [54, 55, 56, 57], схематически изображенные на рис. 4. Микроплазма образуется также в накопительных кольцах [58, 59].
Впервые удержание ансамбля заряженных частиц железа и алюминия микронных размеров определенной конфигурацией переменного и статического электрических полей было осуществлено в 1959 г. [60]. В этой работе были изучены собственные частоты колебаний и получены фотографии орбит частиц. После того, как с помощью буферного газа было погашено движение частиц, обнаружилось, что частицы выстраиваются в регулярную структуру - "квазикристалл".
trap)
Рис. 4: Схематическое представление конфигурации электродов в ВЧ ловушке Пауля и ловушке Малмберга-Пеннинга.
В более поздних исследованиях [61, 62] были обнаружены кулоновские кристаллы, состоящие из атомарных ионов. (Один пример подобного кристалла показан на рис. 5.) Практический интерес к такого рода исследованиям был связан с несколькими причинами: с разработкой новых стандартов частоты (63, 64], с новыми схемами реализации квантового компьютера [65, 66, 67], а также с возможностью удержания антиматерии [68, 69].
Для ионных квазикристаллов в первую очередь необходимы электромагнитные поля, позволяющие удержать ионы в определенной области пространства. С
B=B0z (required for
Penning trap)
A(x*+y*—2z2) A=V/(rJ + 2 zj)
V = U0 + Vocos flt (V0 = 0 for Penning
18
ф / г • \ / • •
/ Ф • / \
ф ' \у^
Рис. 5: Слева показаны квазикристаллы, образованные ионами Нд+, справа - компьютерные образы этих квазикристаллов [50)
19