Оглавление
Введение 4
1 Нормальность линейных эллиптических функционально-дифференциальных операторов 13
1.1 Постановка задачи.......................................... 13
1.2 Необходимые и достаточные условия нормальности ............ 15
1.3 Комментарии................................................ 17
1.4 Вспомогательные утверждения................................ 25
1.5 Доказательство теоремы 1.1................................. 29
1.6 Доказательство теоремы 1.2..................................50
1.7 Доказательство теоремы 1.3................................. 55
2 Смешанные задачи для линейных параболических функционально-дифференциальных уравнений 68
2.1 Постановка задачи.......................................... 68
2.2 Спектральные свойства эллиптического функционально-дифференциального оператора ...................................... 71
2.3 Формальное решение методом Фурье........................... 73
2.4 Существование обобщенных решений........................... 75
2.5 Единственность обобщенных решений.......................... 80
2
- 3 -
3 Бифуркация периодических решений квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений 84
3.1 Постановка задачи...................................... 84
3.2 Линеаризация........................................... 85
3.3 Спектральные свойства линеаризованного оператора 91
3.4 Бифуркация периодических решений........................96
3.5 Бифуркация Андронова—Хопфа.............................106
Введение
1. В настоящей диссертации изучаются квазилинейные параболические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие конечное число преобразований пространственных переменных, а также соответствующие линеаризованные эллиптические и параболические функциональнодифференциальные операторы.
Параболические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие отклонения по переменной времени, рассматривались в ряде работ, см. |29—31, 36, 40|. Наиболее общий случай таких уравнений с переменными запаздываниями в старших производных исследовался в работах
В. В. Власова [8, 9|.
Краевые задачи для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами по пространственным переменным изучались в работах А.Л.Скубачевского, Р. В.Шамина и А М.Селицкого 117, 21, 25, 34).
В диссертационной работе рассматриваются параболические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие произвольные преобразования пространственных переменных. Такие задачи возникают в нелинейной оптике.
В нелинейных оптических системах с преобразованием поля в двумерной обратной связи возникают различные регулярные периодические яв-
4
- 5 -
.пения, которые называют многолепестковыми волнами |10, 39|. Эти явления могут использоваться для оптических методов передачи, обработки и хранения информации. Математической моделью некоторого класса таких оптических систем является вторая смешанная задача для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения с преобразованием пространственных переменных: ди(х, I)
01
д и 0Ї
+ и(т,() = D/\u(xJ) -f Л”(l 1-7cos(n(#(:r),/))), = 0, u\t_0 = u{){x),
(О
dQx2
где .т € Q С X2, t Є 3, w(.r./)— фазовая модуляция световой волны,
I) > 0, Л',"/ — некоторые постоянные величины, я— преобразование пространственных переменных, V = (i/,0), a v — единичный вектор внешней нормали к 0Q. Возникновение многолепестковых волн происходит в результате бифуркации периодических решений задачи (I) в окрестности пространственно-однородного стационарного решения w = const, определяемого соотношением и) — К( \ -}*7соьш).
Задача (1) изучалась в целом ряде работ. А. В.Разгулиным 114], а также А. Ю. Колесовым, Н.Х. Розовым [12] рассматривалась одномерная модель на окружности, в которой преобразование пространственных переменных g являлось поворотом на некоторый угол. В работе [24] В. А. Чушкина и А. В. Разгулина была решена задача на отрезке, где преобразование у являлось отражением пространственной переменной относительно центра отрезка. А. В. Разгулиным [33] был исследован случай, когда пространственная область Q - круг, а преобразование /у — поворот на некоторый постоянный угол. В работе Е.П.Белана [2] рассматривался случай, когда
- 6 -
область С? — круг, а преобразование д является суперпозицией преобразований поворота и радиального сжатия. Случай произвольной области (} с гладкой границей и невырожденного взаимно-однозначного преобразования д е Сл общего вида изучался А. Л. Скубачевским [18, 35| в предположении, что линеаризованный эллиптический функционально-дифференциальный оператор А : Т>(Ь) С ^{0) —* ЬЖО) задачи (1) вида
(Ьи)(х) = Р(Аи)(х) - и(х) - К^и(д(х))т\ ш
с областью определения £>(/>) = {и С И7|(ф) : (ди/дн)\()^ = 0} является нормальным. Кроме того, А. Л. Скубачевским [19] были получены необходимые и достаточные условия нормальности таких операторов. Без предположения нормальности оператора А для произвольной области () с гладкой границей и достаточно гладкого невырожденного взаимно-однозначного преобразования д общего вида А. Л. Скубачевским [20] было доказано существование бифуркации периодических решений задачи (1) методами исследования бифуркации Андронова—Хопфа в бесконечномерном случае [27, 28] Е. П.Беланом |1] при таких же предположениях об операторе Ь, области и преобразовании д методом центральных многообразий были получены условия существования и устойчивости бифуркационных решений задачи (1), а также формулы для определения их топологических свойств. В работе А В.Разгулина [15] была изучена задача управления преобразованием пространственных переменных д в случае, когда С} — произвольная область с гладкой границей, а преобразование д задано в обобщенном виде с помощью некоторого функционала и, вообще говоря, не является обратимым.
В настоящей диссертации рассматривается обобщение задачи (1) на
-7-
случай конечного числа произвольных достаточно гладких невырожденных взаимно-однозначных преобразований пространственных переменных, а также исследуется нормальность линеаризованного эллиптического функционально-дифференциального оператора такой задачи и разрешимость первой и второй смешанных задач для линейных параболических функционально-дифференциальных уравнений.
2. Диссертация состоит из введения и трех глав.
В первой главе получены необходимые и достаточные условия нормальности линейных эллиптических функционально-дифференциальных операторов А : V(A) С Lo(Q) —' L‘i{Q) виДа
N
(Аи){х) = (Дм)(.г) + 52«г«Ыг))
г-0
с областью определения V(A) = [и G IV22(Q) : Ви = ()}. Здесь Q с К" — ограниченная область с границей 8Q € Сх. (Q) обозначает простран-
ство Соболева комплекснозначных функций, принадлежащих /^(Q) вместе со всеми обобщенными производными вплоть до порядка к включительно, оператор Ви = г|,я2 или Bv = (Ov/Ov^q задает краевые условия, «1,...,ал\ — вещественные числа, не равные нулю, а д\,...,дх — преобразования пространственных переменных, принадлежащие классу
б = {у € С1: c/(Q) С (J. у взаимно-однозначно, |</,Дл:)| ф 0 (л: G Q)} ,
где |.А,(т)| = I det Jq{x)\, а ./^(г) — матрица Якоби преобразования д.
А.Л.Скубачевским [19] в случае одного преобразования у пространственных переменных (N = 1) было доказано, что при некоторых условиях оператор .4 нормален тогда и только тогда, когда # —ортогональное преобразование.
-8-
В диссертации показано, что при наличии нескольких преобразований пространственных переменных между ними могут возникать
компенсирующие взаимодействия, благодаря которым оператор А оказывается нормальным в случае преобразований более общего вида. Рассмотрены все случаи таких взаимодействий в терминах групповых свойств преобразований <71,...,//\. Доказано, что такие взаимодействия возможны лишь при выборе коэффициентов аь...,«д оператора /1 из некоторого множества меры нуль в ЕЛ и при наличии пар взаимно обратных преобразований. При соответствующих конструктивных дополнительных условиях, исключающих компенсирующие взаимодействия преобразований г/ь..., </д\ доказано, что оператор А является нормальным тогда и только тогда, когда преобразования </ь • • •, 9х являются коммутирующими ортогональными преобразованиями (§1.2). Для всех введенных условий построены контрпримеры, показывающие их существенность.
Оператор А имеет компактную резольвенту. Поэтому его нормальность эквивалентна существованию в 1^{0) ортонормированного базиса, состоящего из собственных функций оператора А (§2.2). Опираясь на существование такого базиса, во второй главе диссертации методом Фурье исследованы первая и вторая смешанные задачи для линейных параболических функционально-дифференциальных уравнений вида
у
—= Аф, 0 + ^2 а'и(з<0г)> о + /(■'■’ 0. (2)
<-1
(.г,/) € С? х (0.71), содержащих конечное число преобразований пространственных переменных (/ьпринадлежащих классу б и удовлетворяющих условиям нормальности оператора Л, полученным в первой главе
-9-
диссертации Уравнение (2) рассматривается совместно с краевыми условиями первого либо второго рода
и начальным условием
и
ди
ди
и
сИ?х(0,Г) ^
= О (4)
(КЫЪП
= РСО- (5)
Здесь () С К"— ограниченная область с границей ОС} е 6,эс, // — единичный вектор внешней нормали к <9(? х (0тТ). / € х (О//’)), ^ € /-2(С?)*
Оператор .4, входящий в правую часть уравнения (2), предполагается нормальным. Для этого используются условия нормальности оператора А, полученные в первой главе диссертации (§ 1.2). Доказано, что спектр оператора А локализован в полуполосе, содержащей отрицательную действительную полуось и конечный отрезок положительной действительной полуоси (§2.2).
Для задач (2), (3), (5) и (2), (4), (5) введены понятия обобщенных решений в пространствах Соболева (§2.1). Доказаны существование (§2.4) и единственность (§2.5) обобщенных решений задач (2), (3), (5) и (2), (4), (5). Указан конструктивный метод получения решений в виде разложения в ряд по базису из собственных функций оператора А (§2.3), доказана сходимость рядов к обобщенным решениям в анизотропном пространстве Соболева (§2.4).
В третьей главе диссертации изучено возникновение бифуркации периодических решений квазилинейных параболических функционально-диф-
- Київ+380960830922