ОГЛАВЛЕНИЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ 3
ВВЕДЕНИЕ 4
1. МАТРИЦА КОШИ: ПОСТРОЕНИЕ С ГАРАНТИРОВАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ. 30
§1.1 Постановка задачи................................................ 30
§1.2 Необходимые сведения из теории функционально-дифференциальных уравнений.................................................................. 33
§1.3 Необходимые сведения о вычислимых объектах....................... 35
§1.4 Приближенное построение резольвенты интегрального уравнения в пространстве Ln с гарантированной оценкой погрешности..................... 37
1.4.1 Построение резольвентного ядра R(t,$) для ядра K(t,s)....... 37
1.4.2 Оценка погрешности.......................................... 40
§1.5 Матрица Коши: построение и оценка погрешности.................... 42
§1.6 Другой метод построения матрицы Коши..............................47
§1.7 Иллюстрирующие примеры........................................... 50
2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
И ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ. 53
§2.1 Постановка задачи................................................ 53
§2.2 Периодичность матрицы Коши....................................... 55
§2.3 Построение и исследование вспомогательной задачи на отрезке [0,Т].59
§2.4 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения и оценка скорости стабилизируемости................................................ 63
§2.5 О периодических решениях системы с запаздыванием..................67
2.5.1 О существовании периодических решений системы с запаздыванием на
полуоси..................................................... 67
2.5.2 Интегральное представление решений системы с запаздыванием на по-
луоси. Матрица Грина........................................ 68
2.5.3 Интегральное представление решений системы с запаздыванием на оси.
Матрица Грипа............................................... 72
2.5.4 Иллюстрирующие примеры...................................... 75
§2.6 Конструктивное исследование задачи о стабилизируемости с помощью аппроксимации параметров................................................. 77
2.6.1 Постановка задачи........................................... 77
2.6.2 Построение и исследование вспомогательной задачи для аппроксими-
рующей системы.............................................. 79
1
2.6.3 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения аппроксимирующей системы и оценка скорости стабилизируемости. . . 80 2.6.4 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения
исходной системы и оценка скорости стабилизируемости........... 81
§2.7 Эффективная оценка нормы оператора АВ : Dn[0,T]—>Dn[0,T]............. 86
2.7.1 Условие сходимости в D”[0, Г] итераций для вспомогательного урав-
нения аппроксимирующей системы и оценка скорости стабилизируемости.......................................................... 86
2.7.2 Условие сходимости в D”[0,T] итераций для вспомогательного урав-
нения исходной системы и оценка скорости стабилизируемости. ... 88
2.7.3 Оценка нормы оператора АВ : Dn(0, Т}—»Dn[0,T]................... 90
§2.8 Оценка спектрального радиуса для некоторых специальных случаев. ... 97
2.8.1 Вычисление к-ой степени оператора A -f В........................ 97
2.8.2 Оценка спектрального радиуса для случаев, сводящихся к вычислениям
над матрицами.................................................. 99
§2.9 Иллюстрирующие примеры...............................................101
3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ. 105
§3.1 Постановка задачи....................................................105
§3.2 Построение вспомогательной задачи....................................106
§3.3 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения и оценка скорости стабилизируемости..................................................111
§3.4 Конструктивное исследование задачи о стабилизируемости решений нелинейных систем с помощью аппроксимации параметров.........................116
3.4.1 Постановка задачи...............................................116
3.4.2 Построение и исследование вспомогательной задачи аппроксимирую-
щей системы....................................................118
3.4.3 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения аппрок-
симирующей системы и оценка скорости стабилизируемости.........119
3.4.4 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения исход-
ной задачи и оценка скорости стабилизируемости.................121
§3.5 Иллюстрирующий пример................................................125
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 127
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 128
ПРИЛОЖЕНИЯ 135
2
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Rn - пространство вещественных векторов а = сої {а і,- - •,«„} с нормой Мл» = М= max М|;
II • 11 х - норма элемента нормированного пространства X;
IIЛIIх—y ■ норма оператора А : X—>Y ;
А* - оператор, сопряженный к оператору А\
Rnxn - пространство вещественных п х п - матриц А — {а1;}^=1 с нормой
ИІ- Kl;
1А|М{|вц|};
L” = L"[Ü, Т] - пространство суммируемых функций z : [ü,T]—*Rn с нор-
т
мой IIг ИL" = ||г||ь->[0,Г)-Г /|-г(<)ИЧ
Dn = D"[0, Т] - пространство абсолютно непрерывных функций х : [0,7і]—>ЯП, таких, что £*ЄЬП, с нормой ||#||d«=Ïæ(0)| + ||æ||l»;
L!^ = LJ^[0, T] - пространство измеримых и ограниченных в существен-ном функций 2 : [0,Т]—>Д" с нормой ЦгЦц» = ||z||L" [о,т]-vrai sup |г(*)|;
0<<<Т
D!^ = [О, Т] - пространство абсолютно непрерывных функций
х : [0, T]—>Rn, таких, что ієЬ.х,, с нормой ||æ||d&=Ï#(0)| +
С = С[0,7і] - пространство непрерывных функций х : [0,Т]—с нормой
N|cd=fina*W*)l;
DS'1 = DSrî[0,T](m) = DSn[0,#i, • • • ,<m,T} - пространство функций y :
[0,7і]—> і?" представимых в виде y(t) = у(0) + f z(s)ds + £ x\teT[(t)&y(tq);
0 q= 1
функция z&jn> Ay(tq) = y(tq) - y(tq - 0);
Г1, если te[tq,T],
X[tqtr\ = { о если t$[t\ T], " хаРактеРистическая Функция отрезка [tv T] ; определим (mn + п) - вектор
А у = col{y(Q), Ay(t\), • • •, Ay(tm)} ; ||£||ds" = |№I|l" + II Агу|| ;
E - единичная матрица;
I - тождественный оператор;
□ - конец доказательства или замечания.
3
ВВЕДЕНИЕ
Детальное описание и исследование различных явлений окружающего мира в разных областях современной физики, биологии, экономики, медицины, экологии и других наук зачастую требует учитывать предысторию изучаемого процесса, а в некоторых случаях и состояние процесса в будущем. Математические модели для изучения задач, возникающих при исследовании этих процессов, как правило, описываются функционально - дифференциальными уравнениями (ФДУ). Функционально-дифферснциалыюс уравнение является математической моделью, позволяющей учитывать многие специфические свойства, характеризующие реальную прикладную задачу.
При решении конкретных задач, возникающих в приложениях, применяя компьютерные методы численного анализа, мы часто убеждаемся в том, что теоретические критерии разрешимости оказываются неэффективными (трудно проверяемыми), а имеющееся достаточные условия слишком грубыми и дающими практический результат лишь в исключительных случаях. Сказанное приводит к мысли о попытке использования при проверке критериев возможностей современных вычислительных средств. К сожалению, при этом не удается ограничиться традиционными численными методами и алгоритмами, которые не могут гарантировать достоверность полученного результата. Недостатки традиционных численных методов и их программных реализаций приводят к постановке принципиального вопроса о возможности эффективного исследования конкретных задач с помощью методов, ориентированных на получение гарантированного результата и основанных на фундаментальных положениях общей теории и использовании возможностей современных вычислительных систем. Назовем такие методы конструктивными (методами доказательных вычислений) (computer-assisted methods). При этом необходимо отметить, что основное назначение этих методов - достоверное установление факта разрешимости задачи с помощью доказательных вычислений, и в случае разрешимости - построение приближенного решения с гарантированной оценкой погрешности. Важпо отметить, что при решении задачи традиционными численными
4
методами невозможно получать достоверные оценки точности полученного решения. При конструктивном исследовании вместе с полученным результатом удается построить гарантированные апостериорные (a posteriori) оценки качества полученного результата.
В нашей работе при конструктивном исследовании существенную роль как в установлении разрешимости исследуемой задачи, так и в построении гарантированных апостериорных оценок играет матрица Коши линейного функционально-дифференциального уравнения [1]. Наш подход, использующий матрицу Коши, позволяет, в частности, существенно улучшить точность апостериорных оценок (см. пример 1 §1.1 и примеры
1.7.1, 1.7.2).
Задача о конструктивном исследовании различных классов операторных уравнений и сопутствующая ей задача о построении приближенного решения с гарантированной точностью является актуальной и привлекает внимание многих исследователей [74, 47, 48, 53, 51, 60, 50, 39, 63, 64, 65]. Первое систематическое изложение теоретических результатов и практического опыта ” компьютерного" исследования указанных моделей можно найти в монографии [51]. В ней, с той или иной степенью подробности рассмотрены классы задачи в следующих основных направлениях исследований:
1. исследование задачи Коши (Initial Value Problem) для обыкновенных дифференциальных уравнений и для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных;
2. исследование краевых задач (Boundary Value Problem) для обыкновенных дифференциальных уравнений и для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных;
3. исследование интегральных уравнений;
4. исследование операторных уравнений.
Представленные в ней результаты базируются на интервальных вычислениях в конечномерных и функциональных пространствах и специальных методах округления при выполнении вычислительных процедур р с а л ь н ы м компьютер ом.
Остановимся кратко на известных нам работах в указанных направлениях.
1. Применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям проблема о построении решения задачи Коши с достоверной оценкой погрешности рассматривалась различными исследователями (см. [54, 56, 59,
5
57]). в частности, в работе [72] автор изучает следующую начальную за-
дачу
x(t) = x(to) = x^DÇR",
(0.1)
где / - гладкая функция в [/.0,T]x.D, Т > t^R. 13 этой работе обсуждаются три основных метода, используемых для доказательства нелокальной разрешимости задачи Коши и для построения гарантированных оценок, а также трудности, возникающие при их компьютерной реализации: метод итераций (Picard-Lindelôf iteration); метод дифференциальных неравенств (differential inequalities); метод разложения в ряд Тэйлора (Taylor expansion).
Заметим, что последний метод лежит в основе наиболее часто используемой программы AWA (AnfaiigsWertAufgabe), разработанной Р.Лохнером [58, 60, 53].
В работах [48, 47, 49] Б.С. Добронец изучает задачу
где x£Rn, xq£Ru, параметр k£Rm и /гЄС<?([0, l]xRn xRm), q<3. Автор
развивает двухсторонний метод исследования задачи Коши используя интервальный вариант теоремы о дифференциальном неравенстве и применяет один способ построения решения с помощью сплайнов.
В [74] объектом исследования является система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В ней исследуются задачи Коши:
Для этих задач автор строит приближенное решение и оценивает погрешности приближения с помощью компьютерного метода основанного на использовании разложения решения в ряд Тэйлора.
2. В работе [48] Добронцом показано что двухсторонние методы могут эффективно быть применены к исследованию вопроса о разрешимости и построении приближенного решения с гарантированной (апостериорной) оценкой погрешности краевых задач для уравнений эллиптического и параболического типов. В частности, автор исследует задачу Дирихле:
x(t) = f(t, х, к), гє(0,0, 4і(0) = z0,
ÿ(t) = Ay(t), 2/(0) = a,
W) = Ay{t) + /(<), 2/(0) = a,іє[0,Т].
(0.2)
(0.3)
u(x) = 0, xedfi.
6
Полагая что а,-6C*(Q), q,f£C(Q) и аг>с > 0, <?>(), x£Q.
В [74] изучается краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
у = Aiy(t) + /(£), <€[0,Г],
Ly(0) = *>, Ру(Т) = ф;
AeRnxn, £€ДП,ХП, ReRn*xn, pGiT1, ^еЯ"2;
77 j 4- /22 = п; в предположении, что задача разрешима, рассматривается вопрос о приближенном построении решения с оценкой погрешности приближения.
В работах [63, 64] рассматривается скалярная нелинейная двухточечная краевая задача:
-У» + £/(*), £/'(*)) = 0. o?G[0,1], (0.4)
В0[17] = Вг[Ц] = 0.
Здесь F - заданная непрерывная на [0,1]хЯхЯ функция, В$,В\ - линейные ограниченные функционалы одного из двух видов:
В0[и] = -а0и (0) + 7ou(0), В\[и] = aiu (1) + 7iw(l)>
или
Bq[u] = t*(l) - г/(0), В\[и\ = и (1) - и (0).
Предлагается метод, с помощью которого можно доказать разрешимость задачи (0.4) и построить приближенное решение с указанием окрсстпости, содержащей точное решение задачи (0.4).
3. Проблема компьютерных методов оценки погрешности приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма привлекала и привлекает внимание многих исследователей [46]. Основная задача состоит в построении решения с достоверной оценкой погрешности. В работе [50] для интегрального уравнения Фредгольма второго рода:
1
z(t)~ JK(t,s)z(s)ds = f{t), <£[0,1],
0
рассматриваемого в пространстве непрерывных функций, предложен один конструктивный метод оценки погрешности приближенного решения. Основная идея метода состоит в переходе от исходного уравнения к уравнению с вырожденным ядром, аппроксимирующим ядро K(t,s):
Kn(t9$) = Ё £
*"—1 j—i
7
4. В работе Бабенко К.И. и Петровича. В.Ю. [б] исследуется вопрос о разрешимости так называемого функционального уравнения Фейген-баума, возникающего в теоретической физике (см., например, [61]). Доказательство разрешимости этого уравнения получено авторами на основе ”компьютерной” проверки условий теоремы Л.В. Канторовича о неподвижной точке.
Большинство упомянутых работ, основаны на применении методов интервального анализа [73, 55]. При использовании интервального анализа как инструмента для получения гарантированных результатов характерны трудности, связанные с плохо контролируемым и , как правило, катастрофически быстрым расширением интервалов, что является существенным препятствием для решения практических задач. Этот недостаток носит принципиальный характер [72].
В нашей работе при построении и реализации конструктивных методов исследования интервальные вычисления не используются. Мы используем другой подход основанный на операциях в классах так называемых вычислимых объектов, введенных в работах [1, 39, 40]. Необходимые сведения о вычислимых объектах (функциях и операторах) изложены в главе I. При этом мы продолжаем исследования Максимова В.П. и Румянцева А.Н., разработавших конструктивные методы исследования применительно к исследованию разрешимости линейных краевых задач [39, 40, 29, 42]; к локализации собственных значений краевых задач [42]; к исследованию устойчивости периодических систем с запаздыванием [42, 40]; к исследованию управляемости и наблюдаемости линейных систем управления [42]; к исследованию разрешимости нелинейных краевых задач [28, 42, 41].
Продолжая упомянутые исследования мы применим конструктивные методы к изучению одного класса функционально - дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами.
Значительный вклад в развитие теории уравнений с запаздыванием был сделан за последние 45 лет. Первая книга, посвященная указанной проблематике, была опубликована Мышкисом в 1951 г. Второе издание этой книги, вышедшее в 1972 г. [36], содержит большое число литературных ссылок, а также интересных исследований, посвященных теории линейных уравнений с запаздыванием. Развитию общей теории уравнений с запаздыванием, а также отдельных ее направлений (устойчивость, колебания), частично или полностью посвятили свои монографии Веллман и Кук [11], Хейл [18], Эльсгольц и Поркин [27], Колмановский и
8
Носов [14], Азбелев, Максимов и Рахматуллина [1], и другие.
Нас интересуют результаты, для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающимся аргументом и периодическими параметрами, касающиеся свойства асимптотической периодичности решений. В связи с этим необходимо также упомянуть некоторые работы, посвященные уравнениям с запаздыванием и периодическими параметрами, например, [20, 22, 43, 44, 13, 12, 16, 15, 17, 4], а также добавление Зверкина А.М. г Дифференциально-разностные уравнения с периодическими коэффициентами" в [11].
В нашей работе рассматриваются:
1. система линейных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием и периодическими параметрами
в предположениях: столбцы пхп -матрицы Р : [0, оо)—>ЯПУП и функция / : [0, сю)—►/?” - периодические с периодом Т > 0 и суммируемы на периоде; запаздывание /г : [0, оо) —>Я имеет вид Н(1) = £ - А(<), 0<Д(£)<Т, где функция Д : [0, оо)—>[0,Т] измерима и периодична с периодом Т; начальная функция р : [—Т, 0]—, такова, что функция р*1 : [0,х)—>Яп, определенная равенством
измерима и ограничена в существенном на [0, оо);
2. система нелинейных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием и периодическими параметрами
в предположениях: столбцы пхп-матрицы Р : [0, оо)—и функция / : [0, оо)—>7?” - периодические с периодом Т > 0 и суммируемы на периоде; запаздывания Н : [0,оо)—и q : [0, оо)—>Я соответственно имеют вид /?.(*) = t — Д(*)> 0<Д(*)<?3 #(0 = * -
, где функции Д : [0,оо)—>[0,Т], д : [0,оо)-+[0,Т] измеримы
я(г) - Р(г)х[к(г)] = /(<), ге[0,оо), я(0 = ¥>(0, если £ < О,
т(0) = а
(0.5)
(0.6)
£(<) - РЦ)х[к^)} = /(<) + Р(а:[д(*)]), *е[0,оо), *(0 = ¥>(£). еслп £ < °.
х(0) = о
(0.7)
(0.8)
9
и периодичны, с периодом Т; функция F : i?n—дифференцируема и sup \F^x\<\ Vz£Rn (| • | - норма в Rn); начальная функция, N<1
ip : [—Т, 0]—>Rn такова, -что функции iph, <pq : [0, oo)—>Rn, измеримы и ограничены в существенном на [0, оо).
В центре нашего исследования - вопрос о существовании такой Т-периодической функции у : [0, ос)—>R”, что всякое решение x(t) задачи Коши (0.5). (0.6) (или (0.7), (0.8)) асимптотически стремится (’’стабилизируется”) к y(t).
Дадим точное определение, используя при этом удобный для дальнейшего рабочий термин ” стабилпзируемость”.
Определение 0.1 Будем говорить что решение x(t, а) задачи (0.5), (0.6) ((0.7), (0.8)) стабилизируется к периодической функции у : [0, ос)—>Rn, периода Т, если
lira max |я(*,с*) - у (t)I я» = 0.
Будем говорить также, что в условиях определения 0.1 решение x(t, а) обладает свойством стабилизируемости.
Детальная разработка конструктивных методов исследования задачи о стабилизируемости решений систем. (0.5) и (0.6), включающая пол,учение конструктивных теорем об условиях стабилизируемости, а также построение эффективных оценок скорости стабилизируемости, основанных на приближенном построении матрицы Коши линейной системы с гарантированной точностью, является основной целью настоящей диссертационной работы.
Упомянутые теоремы и конструкции составляют теоретическое обоснование доказательного вычислительного эксперимента, реализация которого даст возможность эффективно исследовать конкретные системы с периодическими параметрами.
Отметим, что основная идея конструктивного исследования, которое мы проводим, остается классической и традиционной: по исходному объекту строится вспомогательный объект с достоверно вычислимыми параметрами, допускающий эффективное компьютерное исследование разрешимости. Если такая вспомогательная задача разрешима, окончательный результат зависит от ’’близости” исходной и вспомогательной задач. В так называемых реализуемых теоремах формулируются эффективно проверяемые с помощью компьютера условия, гарантирующие разрешимость исходной задачи. В случае, если условия пе выполняются, при-
10
- Київ+380960830922