+ Оглавление
Введение 4
Глава 1. Задача Геллерстедта для одной системы уравнений смешанного типа 24
§1.1. Постановка задачи............................................24
§1.2. Экстремальные свойства модуля решений в области эллиптичности .............................................................26
§1.3. Экстремальные свойства модуля решений в области гипербо-
* личности..................................................... 30
§1.4. Экстремальные свойства модуля решений в смешанной области 32
§1.5. Примеры .....................................................36
§1.6. Условная разрешимость задачи Геллерстедта....................41
Глава 2. Существование решения задачи Геллерстедта для одной системы уравнений смешанного типа 48
§2.1. Постановка задачи........................................... 48
§2.2. Интегральное представление решения задачи Коши - Гурса . . 50 §2.3. Интегральное представление решения задачи Хольмгрена ... 75
#*
§2.4. Сведение задачи Геллерстедта к системе сингулярных интегральных уравнений.................................................84
Глава 3. Разностный метод решения задачи Геллерстедта для од-
2
ной системы уравнений смешанного типа 100
§3.1. Аппроксимация дифференциальной системы уравнений разностной. Постановка разностной задачи Си......................100
•4 §3.2. Принцип максимума в области эллиптичности.................106
§3.3. Принцип максимума в области гиперболичности.............109
§3.4. Принцип максимума в смешанной области и его применения . . 114
Библиографический список 121
14
V«
3
Введение
В 20 - х годах прошлого века первыми исследованиями в теории уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа явились работы Ф. Трикоми. Результаты итальянского ученого были обобщены в трудах С. Геллерстедта. Изучаемые ими задачи стали классическими и теперь известны в литературе как «задача Трикоми» и «задача Геллерстедта».
Обнаруженные в конце 40 - х годов многочисленные приложения уравнений смешанного типа в газовой динамике, в безмоментной теории оболочек, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, аэродинамике дали новый толчок исследованиям в этой области. Фундаментальными работами стали труды М.А. Лаврентьева, Ф.И. Франкля, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко. В этих работах наряду с классическими в теории уравнений смешанного типа были поставлены и решены новые задачи.
В дальнейшем краевые задачи для уравнений смешанного типа изучались в работах многих отечественных и зарубежных ученых. Обзор основных результатов можно найти в монографиях A.B. Бицадзе, Т.Д. Джураева, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдинова, Е.И. Моисеева.
Классической задачей в теории уравнений смешанного типа является задача Геллерстедта, возникающая в теории сопел Лаваля при нахождении потока сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками в случае несимметричного сопла.
Начало исследованиям этой задачи в своих трудах положил в 1937 г. S. Gellcrstedt [58]. Это было первым обобщением классического результата F. Tricomi [52].
Для уравнения
Утихх + иуу = 0, (0.1)
где т - натуральное нечетное число, в области D = U Di U D2 U A\A2, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > О с концами в точках i4i(ai,0) и ^2(02,0), а при у < 0 - характеристиками А\С\, С\Е, ЕС2, С2А2 уравнения (0.1), где Е(е10), ai < е < а2, D+ = D П {у > 0}, D\ — D П {у < 0 П х < е} и D2 = D П {у < 0 П х > е}, он исследовал краевые задачи с данными на Г U А\С\ U А2С2 (задача Gi) и с данными на Г U С\Е U ЕС2 (задача G2). Существование упомянутых задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда Г совпадает с «нормальной» кривой Го : х2 4- у*Ут+2 = 1,2/ ^ 0.
В работе C.S. Morawetz [59] единственность решения задачи G2 для уравнения Чаплыгина
К{у)ихх + Uyy ~ 0,
где у К (у) > 0 при у > 0, К (0) = 0, К'(у) > 0, К (у) - достаточно гладкая функция, доказывается методом вспомогательных функций и «abc» при некоторых ограничениях на рост градиента решения в окрестности точек Ai, Е и А2, и звездной относительно точки Е кривой Г.
Некоторое обобщение результатов С. Геллерстедта получено в [21], где рассматривается задача G2 для уравнения Чаплыгина, когда
К(у) =
уа при у > 0,
0 при у = 0, > 0.
-[-у)д при у < 0,
Для болсс общего уравнения
sgn у • \у\тихх + иуу + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = ф?, у), (0.2)
в [45] изучены аналоги задач б?1, б?2, в классе обобщенных решений К.И. Бабенко, когда на эллиптической границе Г задано третье граничное условие. При этом существенными оказываются условия малости коэффициентов уравнения вблизи линии у = 0. Относительно Г предполагаются выполненными известные условия К.И. Бабенко [49, с. 131].
В совместной работе А.Н. Кучкаровой [44] для одного уравнения смешанного типа вида (0.2) установлены принципы максимума решения задач бп и Сг из которых следует единственность решений без каких-либо ограничений геометрического характера на эллиптическую границу области. На основании экстремальных свойств доказана обобщенная разрешимость поставленных задач при произвольном подходе эллиптической границы области к оси Ох. Доказательство существования обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения (0.2) было предложено в [42].
При всей полноте исследований краевые задачи для систем уравнений смешанного типа изучены сравнительно мало, при этом традиционно рассматривается задача Трикоми.
В работе [26] были получены экстремальные свойства модуля
к=1
(с,*(я,у)), г, к = Т~п, п ^ 2 - отрицательно-определенная матрица, компоненты которой в области эллиптичности удовлетворяют условиям:
п
решений задачи Трикоми для системы
(*)
п
ущхх + Щуу + ^ с,*(х, у)ик = о
(п - 1) (<**(*, у) + сн{ху у)) < 2 (сц(х, у)скк(х, у))1'2, 1фк,
а в гиперболической области достаточно малы, на основании которых следует единственность решения. Если граничные функции достаточно гладкие и кривая Г оканчивается ортогонально к оси Ох или сколь угодно малыми дугами «нормальной» кривой, то на основе теоремы единственности методом интегральных уравнений получена теорема существования решения задачи Трикоми.
В работе [И] для системы
LU = G(y)Uxx - Uyy + (К(у) + \)U = Н(х,у),
где U = (wi,U2,...,t/rv), G(y), К(у) - заданные квадратные симметричные матрицы, Л = const ^ 0 устанавливается существование и единственность сильного решения из W\ задач с данными на одной из характеристик и на границе эллиптической части области при ортогональном подходе кривой Г к оси Ох.
М.М. Овезова [35] для системы
LU = sgn у Uxx + иуу - С{х, y)U = F(x, у),
U = (tii,...,tin), С(х,у) = \\Сч(х,у)\\Ъ F = (/i,...,/„) доказала единственность решения задачи Трикоми методом вспомогательных функций при ограничении на рост модуля градиента решения вблизи концов линии вырождения. В предположении, что эллиптическая граница области оканчивается отрезками перпендикулярных прямых, методом интегральных уравнений доказано существование решения.
Для системы вида
sgn у • Uхх + иуу + А(х, y)Ux + В(х, y)Uy + С(х, y)U = О,
где А{х,у), В(х,у), Ах(х,у), Ву(х,у), С{х,у) - ограниченные матрицы в областях эллиптичности и гиперболичности при условии, что в эллиптической
области
Мт В(х,у) ^ О,
у-> 0+
п
^ ^ > А0|*|2, Ло >> 1, (^*3)
м'=1
доказана единственность решения задачи Трикоми [37].
В [13], [14] в области с двумя линиями изменения типа рассматривается система
Ш = sgnу • \у\1ихх 4- хтиуу 4- А(х} у)их 4- £(х, у)Цу 4- С(х, у)и = 0,
где и = (щ,... уип), А(х)у), В(х,у)) С(х}у) - квадратные матрицы размерности п. В случае, когда матрицы Ах(х,у), Ву(х,у) являются неположительно определенными, а С(х,у) отрицательно определенной, доказана единственность решения аналога задачи Трикоми. При условии малости на коэффициенты системы в классе обобщенных решений К.И. Бабенко доказана однозначная разрешимость поставленной задачи, когда эллиптическая граница совпадает с «нормальной» кривой.
Задача Геллерстедта для общих линейных систем уравнений смешанного типа рассматривалась лишь в работе [38]. В ней рассматривается система вида
Ьи = К(у)ихх 4- иуу 4- А(х, у)их 4- В(х, у)Цу 4- С{х} у)1/ = 0, (0.4)
где и = (иь...,пп), уК(у) > 0 при у -ф 0, К(0) = 0, К'{у) ^ 0, А(х,у) = ИаоОг,*/)!!?, В(х,у) = ]]%(*> У)11ь С(х,у) = \\сц(х, у)]]?, а*у = ад, Ьу = для всех г, у = 1,... ,п, п ^ 2. Методом «аЬс» при некоторых ограничениях на коэффициенты системы (0.4) и границу эллиптической части области доказана единственность решения и(х,у) однородной задачи
В работе К.Б. Сабитова [40] устанавливаются экстремальные свойства модуля (*) решения задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа
(0.4), когда А(х,у), В(х,у) - числовые функции, С(х,у) - квадратная матрица порядка п, на основании которых следует единственность решения поставленной задачи без каких-либо ограничений на эллиптическую границу области и при более слабых условиях на коэффициенты системы, которые присутствуют в перечисленных выше работах. В данной диссертации идея, предложенная для доказательства принципа максимума модуля решения задачи Трикоми для систем переносится на случай задачи Геллерстедта.
Задача Геллерстедта для систем первого порядка изучалась в работах Ганеева P.M. [7], [8].
Теория разностных методов решения краевых задач для уравнений смешанного типа начала свое развитие в работах [54], [19], [24], [5].В работах [54], [19] при условии существования точного решения предложен метод конечных разностей для определения приближенного решения Uh задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе в смешанной области. Приближенное решение щ задачи Трикоми сводится к решению алгебраической системы с количеством неизвестных равным количеству узлов сетки внутри всей области D.
В [24], [5] задача Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе сводится к эллиптической задаче, которая решается методом конечных разностей. В работе [53] изучена разностная задача для уравнения Трикоми, методом конечных разностей во всей смешанной области D. В [60] и [22] показано, что метод, изложенный в [53] применим и для более общего уравнения типа (0.2). В [20] впервые применен метод сеток для доказательства существования решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. В [15] —[17] рассмотрены разностные аналоги задач Трикоми и Геллерстедта для модельных уравнений смешанного типа с одной и двумя перпендикулярными линиями изменения типа. Решение краевых задач для систем уравнений смешанного
типа разностными методами не проводилось.
Как видно из анализа, первые исследования в теории уравнений смешанного типа проводились для модельных уравнений Лаврентьева-Б и цадзе, Три-N коми и обобщенного уравнения Трикоми. Изучение этих задач имело важ-
ное прикладное значение. В последствии, различные обобщения стали носить чисто теоретический характер. Такие обобщения шли в следующих направлениях: во-первых, усложнение уравнений за счет добавления новых слагаемых, повышения порядка вырождения, образования нелинейности, во-вторых, увеличение количества рассматриваемых уравнений (изучение систем), в-третьих, изменение геометрии области, в-четвертых, замена классических краевых условий новыми, в частности, нелокальными, в-пятых, изучение спектральных задач и т.д. Однако, до сих пор, несмотря на большое количество работ в этой области, остаются нерешенными в полной мере клас-I сические задачи. И особенно ценным в таких условиях является результат, где
получены известные факты, но при существенно более слабых ограничениях на коэффициенты, геометрию области, граничные функции.
Практически во всех указанных работах авторы не избавляются от ограничений геометрического характера на область, в которой исследуется задача: ортогональность подхода эллиптической границы области к оси Ох; малость длины линии вырождения. При доказательстве теорем единственности и существования в определенном смысле решения задачи Геллерстедта накладываются жесткие ограничения относительно коэффициентов системы: существенная знакоопределенность; малость по норме £2• Задача Геллерстедта изучалась в пространстве обобщенных решений У/\ С.Л. Соболева или классе И\ К.И. Бабенко, а существование регулярного решения задачи Геллерстедта доказано не было.
ю
- Київ+380960830922