Дифференциальные включения второго порядка на римановых многообразиях

Оглавление
Введение 3
1. Предварительные сведения 19
1.1. Многозначные отображения....................... 19
1.2. Элементы стохастического анализа............... 25
1.3. Элементы теории римановых многообразий......... 29
1.4. Интегральные операторы с параллельным переносом 31
2. Двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка на римановом многообразии. 34
2.1. Дифференциальные включения с правой частью типа Каратеодори.......................................... 36
2.2. Двухточечная краевая задача для дифференциальных включений с полунепрерывной снизу правой частью ................................................ 40
2.3. Двухточечная краевая задача для механических систем с отражением.................................... 47
2.4. Случай систем со связями....................... 59
3. Стохастические дифференциальные включения на римановых многообразиях 67
3.1. Стохастические дифференциальные включения Лан-жевена .............................................. 69
3.2. Включения типа Ито............................. 85
3.3. Дифференциальные включения второго порядка со случайными возмущениями скорости..................... 92
2
Введение
Дифференциальные включения (иными словами - дифференциальные уравнения с многозначной правой частью) естественным образом возникают в различных прикладных и теоретических разделах математики и в настоящее время активно изучаются. Укажем, например, что при описании дифференциальных уравнений с управлением используется естественный переход к дифференциальному включению - в этом случае в правой части уравнения рассматривают множество значений скорости или силы при всех допустимых значениях управляющего параметра. Другой широко известный случай возникновения дифференциальных включений -когда включениями заменяют дифференциальные уравнения, у которых правая часть существенным образом разрывна. Для этого разработан уже ставший стандартным прием, предложенный А.Ф. Филипповым. В связи с большим прикладным и теоретическим значением дифференциальных включений с 50-х годов прошлого века началось бурное развитие этой теории. Укажем, например, современное монографическое изложение различных ее аспектов, принадлежащее J.P. Aubin и A. Cellina, K. Deimling, A.A. Товстоногову, А.Ф. Филиппову и др.
Задачи с управлением и с разрывными правыми частями на гладких многообразиях также исследовались методами теории дифференциальных включений (M.L.J. Hautus, G. Stefani и P. Zecca, Б.Д. Гельман и Ю.Е. Гликлих, G. Grammel и др., [37], [45], [7], [36],
[15], [35]). Они описывают системы на нелинейных конфигурационных и фазовых пространствах, и их исследование существенно использует геометрические идеи. Однако из-за значительно более сложного аппарата включения на многообразиях были изучены в меньшей степени, чем в линейных пространствах.
3
В последние десятилетия, начиная, по-видимому, с работ E.D. Conway [28], J.P. Aubin и G. Da Prato [25] активно развивается теория стохастических дифференциальных включений, (см. также, * например, [8], [41], [29], [44]). Заметную роль здесь играют пред-
ставители польской школы (М. Киселевич, Е. Мотыль, М. Михта и др.). Наиболее часто в приложениях стохастические дифференциальные включения возникают из стохастических дифференциальных уравнений аначогично нестохастическому случаю.
Изучение стохастических дифференциальных уравнений на многообразиях было начато работой Ито 1950 г. и к настоящему вре-* мени получило большое развитие (имеется монографическое изло-
жение в книгах K.D. Ehvorthy [31], Ю.Л. Далецкого и Я.И. Бело-польской [1], Ю.Е. Гликлиха [15], М. Emery [32], Е. P. Hsu [38] и др.). Отметим, что даже изучение стохастических дифференциальных уравнений на многообразиях является существенно более сложной задачей, чем в линейных пространствах, и требует значительно более сложной техники, основанной на современной геометрии многообразий. Поэтому стохастические дифференциальные включения на многообразиях ранее практически не исследовались несмотря на то, что они естественно возникают во многих задачах.
Одним из наиболее важных для приложений классов дифференциальных включений являются дифференциальные включения второго порядка, которые имеют физический смысл механических систем с многозначной силой. В терминах подобных включений описываются системы с управляющей силой или с разрывными силами (движение в сложных средах, в присутствии сухого трения и т.д.). Подобные системы на многообразиях позволяют включить в рас-f смотрение случай нелинейных конфигурационных пространств. В
работе Б.Д. Гельмана и Ю.Е. Гликлиха 1980 г. [7] были разработаны новые геометрические методы и получены важные резуль-
4
таты о качественном поведении решений подобных включений, учитывающие геометрические и топологические свойства конфигурационного пространства. Однако в этой работе рассматри-
* вались только полунепрерывные сверху многозначные силы с выпуклыми образами. Для других типов многозначных сил, также встречающихся в приложениях, подобное исследование не проводилось.
Отметим, что качественное поведение решений дифференциальных уравнений и включений на многообразиях может существенно отличаться от их аналогов в линейных пространствах. Имеются А примеры (см. [15], [35]) дифференциальных уравнений второго по-
рядка на компактных римановых многообразиях с гладкой ограниченной правой частью, в которых некоторые пары точек нельзя соединить решением (двухточечная краевая задача не разрешима ни на каком отрезке времени). В связи с этим важным является изучение двухточечной краевой задачи для дифференциальных включений второго порядка на многообразиях и использование полученных условий разрешимости, в частности, в задаче об управляемо-^ сти для механических систем. Ранее подобные исследования были
проведены только для достаточно простого случая многозначных полунепрерывных сверху сил на многообразиях без края.
Особо следует упомянуть системы с неголономными связями, для которых корректно поставлена задача о возможности выпустить из заданной точки такое решение, которое достигает заданного подмногообразия конфигурационного пространства (обычная двухточечная краевая задача для них некорректна, см. например [14], [15], [35]). Отметим, что ранее рассматривались только диф-
♦ ференциальные включения с неголономными связями, у которых правая часть полунепрерывна сверх}" и имеет выпуклые образы
[14], [15], [35].
5
Учет случайных возмущений силы или скорости в задачах, описываемых дифференциальными включениями второго порядка на многообразиях, т.е. переход к стохастическим дифференциальным включениям второго порядка на многообразиях и их исследование, ранее не были осуществлены. Более того, для ряда важных физических задач, приводящих к подобным включениям, даже не была создана адекватная математическая формализация.
Целью работы является изучение дифференциальных включений второго порядка на римановых многообразиях (как детерминированных, так и стохастических), возникающих в математической физике при описании движения с разрывными силами или скоростями или в системах с управлением; изучение качественного поведения решений детерминированных включений указанного типа, в частности, вопроса о разрешимости двухточечной краевой задачи (вариант задачи об управляемости); создание адекватного математического описания на языке стохастических дифференциальных включений второго порядка на римановых многообразиях для некоторых физических задач, исследование вопроса о существовании решений (сильных и слабых) для различных классов указанных стохастических дифференциальных включений.
Методика исследований. Использовались идеи и методы современного глобального анализа, нелинейного анализа и стохастического анализа на многообразиях, в частности, разработанный Ю.Е. Гликлихом метод интегральных операторов с римановым параллельным переносом и годографов скорости.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
1. На полных римановых многообразиях найдены геометрические условия разрешимости двухточечной краевой задачи для диф-
ференциальных включений второго порядка, удовлетворяющих верхним условиям Каратеодори
2. На полных римановых многообразиях исследованы дифференциальные включения с полунепрерывной снизу правой частью и получена теорема существования решения для двухточечной краевой задачи. Рассмотрены приложения данной теоремы в задаче об управляемости при экстремальных значениях управляющей силы.
3. На языке дифференциальных включений описана механическая система на римановом многообразии с отражением на границе некоторой области; получена теорема существования решения двухточечной краевой задачи для таких систем в области с гладкой границей.
4. Изучены дифференциальные включения второго порядка с полунепрерывной снизу правой частью на римановых многообразиях, подчиненные неголономным связям; найдены некоторые условия существования решений, соединяющих заданную точку с заданным подмногообразием.
5. Введены стохастические дифференциальные включения типа Ланжевена на римановых многообразиях, для которых доказаны теоремы существования слабых и сильных решений.
6. Изучены стохастические дифференциальные включения второго порядка со случайными возмущениями скорости в евклидовом пространстве и получена теорема существования их ослабленного решения.
Теоретическая и практическая значимость.
Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании механических систем на нелинейных конфигурационных пространствах с разрывными силовыми полями или с управлением, а также с силовыми полями, содержащими случайную (стохастическую) составляющую.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международном конгрессе ” Качественная теория дифференциальных уравнений” (Сиенна, Италия, 2000), на международных
* научных конференциях по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2000, 2002, 2004 гг.), на международной научной конференции Stochastic Analysis and Related Topics (Санкт - Петербург 2001), на международной научной конференции International Gnedenko Conference(KneB, 2002), на международной научной конференции Kolmogorov and Contemporary Mathematics (Москва, 2003), на международной научной конференции Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений (Воронеж, 2003), на Воронежских зимних математических школах 2002 и 2004 гг., на семинаре по стохастическим методам в финансовой математики кафедры дифференциальных уравнений МГУ (апрель, 2004), на научных сессиях института математики и математического факультета ВГУ (2000 - 2004 гг.).
Основные результаты опубликованы в работах [47] - [62]. Из совместных работ [47, 48, 51, 52, 53, 55, 56, 59] в диссертацию вошли только принадлежащие А.В. Обуховскому результаты.
Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на одиннадцать параграфов и списка литературы
Первая глава носит вспомогательный характер и посвящена изложению необходимых понятий и утверждений из многозначного и стохастического анализа, а также теории римановых многообразий и интегральных операторов с параллельным переносом.
В второй главе рассматривается двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка на римановом
♦ многообразии. Эта задача интерпретируется, как вопрос о суще-
ствовании траектории механической системы с многозначной силой, соединяющей две заданные точки тпо и mi конфигурационного
8