2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ...................................................... 4
1. ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА. ЦЕЛИ РАБОТЫ И ЕЕ СОДЕРЖАНИЕ.................................... 5
1.1. Этапы развития теории пластичности...................... -
1.2. Теория упругопластических процессов. Гипотеза компланарности....................................... 13
1.3. Численные методы решения краевых задач.................. 24
1.4. Заключение по разделу 1. Цели исследования и структура диссертационной работы............................... 30
2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПЛОСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ... 35
2.1. Основные уравнения метода конечных элементов в скоростях -
2.2. Аппроксимации функционалов пластичности и диаграммы деформирования....................................... 48
2.3. Пошаговый метод решения................................. 56
2.4. Численная реализация алгоритма решения задачи на ЭВМ ... 52
3. ПРОЦЕССЫ ПРОСТОГО И СЛОЖНОГО НАГРУЖЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ОДНОРОДНОГО НДС................................. 68
3.1. Расчетная конечно-элементная схема...................... -
3.2. Учет изменения границы пределов текучести при простом нагружении - разгружении............................. 70
3.3. Оценка влияния учета изменения границы пределов
текучести для двузвенных траекторий нагружения.......... 81
3.4. Влияние повышения предела текучести на прямоугольной замкнутой траектории нагружения...................... 92
з
4. ПРОЦЕССЫ СЛОЖНОГО НАГРУЖЕНИЯ В УСЛОВИЯХ
НЕОДНОРОДНОГО НДС................................. 103
4.1. Моделышя задача................................... -
4.2. Квадратная пластина при нагружении сосредоточенньши силами в условиях плоского напряженного состояния. 111
4.3. Влияние характера распределения нагрузки по поверхности контакта.......................................... 124
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.......................... 135
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.............................. 137
ПРИЛОЖЕНИЯ............................................ 148
4
ВВЕДЕНИЕ
При решении краевых задач теории пластичности, в расчет должны закладываться физические соотношения, достоверно описывающие свойства материалов. В настоящее время имеется достаточное количество экспериментальных данных о свойствах материалов при сложном нагружении и их физически достоверное описание в рамках гипотезы компланарности А.А.Ильюшина с помощью функций пластичности В.Г.Зубчанинова, Для получения достоверных расчетных результатов при решении краевых задач при неупругих деформациях необходимо использовать численные методы решения. Здесь имеется ряд новых актуальных вопросов, которые нужно исследовать. В частности, это вопросы построения вычислительного алгоритма, использующего соотношения между напряжениями и деформациями в скоростях в соответствии с современной математической теорией упругопластических процессов, корректировка аппроксимаций функционалов пластичности для получения достоверных расчетных результатов.
В большинстве программных комплексов по расчету конструкций за пределом упругости не используется современная теория упругопластических процессов. Решение задач, в которых учитываются экспериментальные зависимости между напряжениями и деформациями при сложном нагружении, наталкивается на трудности, связанные с достоверным описанием таких зависимостей. Это представляет собой самостоятельную задачу теории пластичности даже в условиях однородного напряженно-деформированного состояния. При неоднородном НДС краевых задач на основе общих соотношений теории упругопластических процессов решено мало. Все это делает выбранную тему диссертации актуальной.
5
1. ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА. ЦЕЛИ РАБОТЫ И ЕЕ СОДЕРЖАНИЕ
1.1. Этапы развития теории пластичности
Для математической постановки задачи механики деформируемого твердого тела необходимы соотношения, определяющие связь между силовыми и кинематическими параметрами в рассматриваемой среде. В теории упругости такими определяющими соотношениями являются уравнения связи между напряжениями и деформациями, основой для получения которых служат законы термодинамики обратимых процессов. Пластическое деформирование среды является процессом необратимым, следовательно, выбор параметров внутреннего состояния является неопределенным, в связи с чем, приходится идти на дополнительные предположения.
Для исследования процессов упругопластического деформирования конструкции необходимо определить расчетным путем кинетику НДС в отдельных ее элементах. Поэтому одной из главных задач механики сплошных сред является создание моделей, описывающих необратимое деформирование элементов конструкций. Основные уравнения таких моделей - соотношения связи между напряжениями и деформациями. Основная трудность определения напряжений и деформаций в упругопластической стадии связана с их зависимостью не только от значения внешних нагрузок, но и от истории процесса сложного нагружения и деформирования. Исследование упругопластического поведения материалов и разработка, на основе экспериментальных исследований, методик и теорий расчета является, одним из самых развиваемых разделов МДТТ. К настоящему времени сформулированы фундаментальные постулаты и разработан ряд теорий пластичности [81, 87, 48, 49, 91, 94, 12], определяющих структуру соотношений между напряжениями и
6
деформациями. Этапы становления, современные достижения и перспективы развития теории пластичности наиболее полно отражены в [48, 49, 56, 87,94, 107,130,153,121].
Свое развитие теория пластичности получила в конце 19 и первой половине 20 века трудами Б.Сен-Венана, Р.Мизеса, Л.Прандтля, Е.Рейса, В.Прагера, Г.Генки, А.Надаи, А.А.Ильюшина и ряда других ученых [128, 106, 109, 120, 122, 30, 111, 88, 78]. Основы теории пластичности были заложены исследованиями Б.Сен-Венана [128]. Обобщение результатов небольшого количества экспериментов французского ученого Треска по простому нагружению, выполненных к тому времени, позволило Б.Сен-Венану выдвинуть гипотезу, что переход твердого тела из упругого в пластическое состояние происходит при достижении максимальным
касательным напряжением предельного значения (предела текучести) для
данного материала:
w=£Lp-- (1-1.1)
Б.Сен-Венан в 1870 г. создал теорию пластического течения для случая плоской деформации. Она основывается на гипотезе пропорциональности девиатора напряжений и девиатора скоростей деформаций:
е v=XSJr (1.1.2)
Б.Сен-Венан использовал модель жесткопластического материала, не учитывающую упрочнение, и пренебрегал упругими деформациями, то есть
считал 8у = zfj. Теория Б.Сен-Венана хорошо описывает пластическое
деформирование материалов на траекториях малой кривизны и дает неплохие результаты в расчетах, когда траектория нагружения близка к простой [48].
В 1871 г. М.Леви [101] сделал неудачную попытку обобщить теорию Сен-Венана на случай трехмерного напряженного состояния. Он получил сложные соотношения, которые не нашли практического применения, и
7
исходил, как и Б.Сен-Венан из условия постоянства максимальных касательных напряжений при пластическом течении материала [48, 101].
Дальнейшее развитие теория пластичности получила в работах В.Лоде и Р.Мизеса [106, 109]. Р.Мизес в 1913 г. обобщил теорию Сен-Венана на случай объемного напряженного состояния и предложил свое условие пластичности материала:
о = (ст, -ст2)2 + (о2 -о3)2 + (<*3 -°1 )2 = стТ• О-1-3)
Деформации, описываемые данной теорией можно назвать «свободными» пластическими деформациями [48], поскольку они происходят при постоянных напряжениях.
Л.Прандтль [120] в 1921-1924 гг. обратил внимание на то, что в ряде
задач зоны пластических деформаций стеснены окружающими их зонами
упругих деформаций, следовательно пластические деформации ограничены, и имеют тот же порядок, что и упругие [48]. Ранее на это в 1909 г. указывали
А.Хаар и Т.Карман [142]. Л.Прандтль также различает упругие в» и
пластические ву деформации и представляет полную упругопластическую деформацию в виде их суммы:
5у = Еу + б£, (1.1.4)
и предлагает теорию течения для плоской задачи. Он принимает условие пластичности Б.Сен-Венана и приходит к представлению об идеальной упругопластической среде. В 1924 г. А.Рейс [122] воспользовался условием пластичности Р.Мизеса и обобщил теорию Л.Прандтля на трехмерный случай. Характерными недостатками теории Прандтля-Рейса являются неучет упрочнения материала и неучет предшествующей пластической деформации, поэтому при сложном нагружении теория дает неверные результаты [48].
8
Г.Генки [30], заметил, что левая часть уравнения Мизеса с точностью до множителей равна энергии формоизменения, а в 1924 г. он разработал свою теорию пластичности, которую теперь называют деформационной теорией пластического течения Г енки по терминологии А.А. Ильюшина [48, 88J, поскольку' она связывает с напряжениями полные деформации или их составляющие вместо скоростей деформаций или их приращений. Генки считал материал идеальным упругопластическим, подчиняющимся условию пластичности Мизеса (1.1.3), а полную деформацию также представил в виде суммы упругих и пластических деформаций (1.1.4).
Таким образом, к началу сороковых годов 20-го века сформировались два направления - теория течения Прандтля-Рейса и теория упругопластического течения деформационного типа Генки. В данных теориях пластичности материал считался идеально упругопластическим без упрочнения.
Разработка вышеописанных теорий пластичности послужила толчком к развитию экспериментальных методов в механике деформируемого твердого тела по проверке основных положений теории пластичности. В опытах
А.Надаи и В.Лоде [111, 106], были проверены условия пластичности Сен-Венана и Мизеса и установлено, что экспериментальные данные лучше соответствуют условию Мизеса. В 1927 г. М.Рош и А.Эйхингер в своих опытах [128] над тонкостенными трубками установили, что при одновременном действии растяжения и внутреннего давления зависимость между октаэдрическим касательным напряжением и октаэдрическим сдвигом является универсальной:
токт = /(Уокт)> (1-1-5}
или
а = Фр(Эр), (1.1.6)
где т0КТ = а/V3, уокт = 2Э/yfl, Фр - функция упрочнения.
9
Р.Шмидт [147] в 1932 г. провел испытания стальных и медных трубчатых образцов при одновременном и раздельном действии растяжения и кручения для проверки закона упрочнения Роша и Эйхингера (1.1.5). В результате было установлено, что при сложном нагружении данный закон нарушается. Универсальность закона упрочнения в случае пропорционального нагружения трубок растягивающей силой и внутренним давлением была подтверждена в опытах Е.Дэвиса [35]. Используемые в упомянутых вариантах теории пластичности гипотезы о пропорциональности девиаторов напряжений и деформаций или скоростей деформаций были подтверждены в опытах на пропорциональное нагружение.
Основы теории пластичности упрочняющихся сред при пропорциональном нагружении (теория малых упругопластических деформаций) были разработаны профессором МГУ им. Ломоносова
А.А.Ильюшиным в 1943 году [88, 82], как результат развития теории пластического течения Генки. Он обобщает теорию Генки на случай упрочняющего тела, используя закон упрочнения Роша и Эйхингера [124] и опыты по объемному изменению деформаций П.Бриджмена [15] и записывает определяющие соотношения деформационной теории для упрочняющихся сред при простом нагружении и сложном напряженном состоянии в виде четырех законов. А.А.Ильюшин впервые выявил зависимость напряжений от истории упругопластического деформирования и ввел понятие упругопластического процесса как основного в исследовании свойств материала. Был выделен класс простых упругопластических процессов и применительно к ним созданы и обобщены соотношения теории малых упругопластических деформаций, адекватно отражающие физические закономерности [88, 48]. Им были доказаны теоремы о простом нагружении и разгрузке, предложены методы решения краевых задач при простом нагружении. Обобщение этих исследований содержится в монографии [88]. Теория малых упругопластических деформаций, созданная А.А.Ильюшиным
10
нашла широкое применение в инженерных расчетах. Теперь эту теорию часто называют деформационной теорией пластичности [48].
В 1947 г. А.А.Ильюшиным [78] было сделано обобщение на упрочняющиеся среды теории пластического течения идеально пластических сред Сен-Венана - Мизеса. При этом он не считал целесообразным разделять полную деформацию на упругую и пластическую части, как в теории малых упругопластических деформаций [88]. Ильюшин отмечает, что при простом нагружении, все частные теории пластичности совпадают с теорией малых упругопластических деформаций. Таким образом, обобщенную Ильюшиным теорию Сен-Венана - Мизеса по праву можно назвать обобщенной теорией пластического течения Сен-Венана - Мизеса - Ильюшина [48].
Попытка обобщить теорию пластического течения Прандтля - Рейса для идеальных упругопластических сред при сложном нагружении на упрочняющиеся материалы была предпринята В.Прагером в 1947 г. [119]. Однако функционал пластичности он предложил определять из опыта на простое нагружение. Таким образом, полученные им соотношения не содержали новых экспериментальных функций, которые бы характеризовали процесс деформирования, отличающийся от простого [48]. Поэтому он не сумел для упрочняющихся сред решить задачу учета сложного нагружения.
Другой подход обобщения теории Прандтля-Рейса на упрочняющиеся среды был предложен Р.Хиллом [153]. В качестве закона упрочнения материала при сложном нагружении им был выбран закон Ф.Одквиста [114], полученный в 1933 г. Этот закон предполагает, что зависимость между модулем девиатора (вектора) напряжений а и длиной дуги траектории пластических деформаций является универсальной:
а = ат+/^) = //(^). (1.1.7)
Отмеченные теории пластичности при простом нагружении сводятся к деформационной теории пластичности А.А.Ильюшина. Поэтому эта теория
11
для упрочняющихся сред является общей теорией пластичности при простом пропорциональном нагружении. То, что при сложном нагружении теория малых упругопластических деформаций дает неверные результаты [88], стало поводом для критики этой теории, поскольку многие процессы нагружения имеют сложный характер, в частности это относится к задачам устойчивости пластин и оболочек [48].
В 1949 году В.Прагер обобщает пластические свойства материалов при сложном нагружении, создает общую теорию пластического течения [157, 158], которая является результатом развития теорий пластического течения Сен-Венана, Мизеса, Прандтля-Рейса, Хилла. В ее основе лежит гипотеза о возможности разделения полных деформаций на упругую и пластическую части.
В.Прагер впервые вводит понятие предельной поверхности нагружения. Он также впервые вводит понятие девятимерного векторного пространства. Пользуясь своим графическим изображением тензоров
напряжений и деформаций в виде векторов S и гр, он представил историю процесса нагружения в виде траектории в тензорном пространстве напряжений. Он допустил, что существует некоторая начальная поверхность нагружения, на которой в некоторой точке впервые достигается пластическое состояние. Процесс нагружения, при котором возникают необратимые деформации, назван активным процессом нагружения или упрочнением.
Процесс, при котором dzfj = 0 назван В.Прагером пассивным процессом или
разгрузкой. Он также впервые ввел понятие кривой нагружения. Кривую, описываемую концом вектора деформаций в во введенном пространстве,
В.Прагер назвал кривой деформации [48].
Таким образом, к 50-м годам прошлого века были построены теории пластического течения, в том числе с учетом упрочнения материала, и проведены многочисленные экспериментальные работы по их проверке и
12
обоснованию [88, 157, 158, 153, 114, 124, 119 и др.]. Были введены понятия процессов нагружения и деформирования, простого и сложного нагружения, направляющих тензоров, функций нагружения и деформирования. Эти понятия и определения позволили на рубеже второй половины 20-го века разобраться в состоянии теории пластичности на данном этапе развития и увидеть те принципиальные задачи, которые еще предстояло решить.
13
1.2. Теория упругопластических процессов. Гипотеза
компланарности
Во второй половине 20-го столетия различные направления теории пластичности получили развитие в трудах А.А.Ильюшина, Д.Драккера, Р.Хилла, В.Прагера, В.В.Соколовского, Ю.И.Кадашевича, В.В.Новожилова,
В.Д.Юношникова, В.С.Ленского, А.М.Жукова, Б.Е.Победри, И.А.Кийко,
А.С.Кравчука, Дао Зуй Бика, В.Г.Зубчанинова, В.И.Малого, А.А.Лебедева, Ю.Н.Шевченко, Л.А.Толоконникова, С.А.Христиановича, Е.И.Шемякина, Р.А.Васина, А.Ю.Ишлинского, Д.Д.Ивлева, В.С.Бондаря, Ю.Г.Коротких,
А.А.Поздеева, П.В.Трусова, Н.Д.Тутышкина, Н.Н.Малинина, и других ученых. [84, 81, 87, 37, 153, 130, 92, 94, 103, 38, 99, 33, 48, 49, 74, 108, 140, 144-146, 91, 76-77, 22, 141,118, 107, 12 и др.]
Толчком к этому послужила разработка А.А.Ильюшиным [83, 84, 86, 87, 81, 79] основ общей математической теории пластичности при сложном нагружении. Частный вариант этой теории на основе постулата изотропии
А.А.Ильюшина [84, 79, 86] был назван теорией упругопластических процессов. Это был существенно новый этап в развитии теории пластичности в широком смысле этого слова. Векторное представление процессов деформирования, нагружения и определяющих соотношений связи напряжений с деформациями оказалось эффективным и геометрически ясным при описании сложных процессов нагружения, встречающихся в практике инженерных расчетов. Эта была другая конкретизированная форма общей математической теории пластичности, отличная от теории течения Мелана-Прагера [157, 158]. В теории процессов разложение полной деформации на упругую и пластическую составляющие не применяется, за исключением случаев простого нагружения - разгружения [48].
Основополагающей была работа А.А.Ильюшина [84], в которой были изложены основные положения общей теории пластичности при сложном
- Київ+380960830922