Исследование и моделирование нестационарного термомеханического поведения вязкоупругих резиноподобных материалов и элементов конструкций при конечных деформациях

Оглавление
1 Введение 6
1.1 Список используемых сокращений......................................... 24
1.2 Основные используемые обозначения и соотношения теории конечных деформаций ................................................................. 25
2 Методические вопросы идентификации определяющих урав-
нений наследственной термовязкоупругости при малых деформациях 28
2.1 Модель вязкоупругого тела в изотермическом приближении................. 28
2.1.1 Изотропные материалы............................................ 32
2.1.2 Аналитические представления функций влияния в операторах наследственной вязкоупругости .......................................... 34
2.2 Идентификация моделей изотермического вязкоупругого поведения материалов ..................................................................... 38
2.2.1 Простейшие краевые задачи для образцов изотропного вязкоупругого
материала....................................................... 38
2.2.2 Обзор процедур идентификации интегральных операторов............ 42
2.2.3 Процедура идентификации интегрального оператора при произвольной истории деформирования............................................ 47
2.2.4 Тестирование процедуры идентификации ........................... 54
2.2.5 Примеры идентификации интегральных операторов вязкоупругости
для реальных экспериментальных данных........................... 59
2.2.С Статистическая интерпретация результатов решения математически
некорректной задачи идентификации............................... 64
2.2.7 Практическое использование идентифицированных операторов .... 70
2.3 Моделирование нсизотермичсского поведения вязкоупругих материалов ... 73
2.3.1 Учет температурного расширения.................................. 74
2.3.2 Зависимость вязкоупругих свойств от температуры................. 75
2.3.3 Температурно-временная аналогия (ТВА)........................... 77
2.3.4 Построение обобщенных кривых и определение функций температурно-временного сдвига................................................... 80
3 Анализ упругих моделей для изотропных эластомеров 90
3.1 Сравнительный анализ двухконстантных обобщений закона Гука для изотропных упругих материалов при конечных деформациях........................ 90
3.1.1 Анализируемые модели............................................ 91
3.1.2 Анализируемые виды НДС.......................................... 94
3.1.3 Выводы по анализу обобщений закона Гука.........................106
3.2 Формы определяющих соотношений для несжимаемых изотропных гипер-упругих материалов, пригодные для обобщения на случай вязкоупругого поведения..................................................................107
4 Построение тензорно линейных моделей вязкоупругого поведения ненаполненных и слабонаполнешплх изотропных эластомеров 111
4.1 Общие концепции построения уравнений состояния для изотропных вязкоупругих несжимаемых и слабосжимасмых материалов............................111
4.2 Обобщение двух моделей для изотропных гиперупругих материалов на случай вязкоупругого поведения................................................112
4.3 Модификации модели вязкоупругого слабосжимаемого материала для учета нестационарного температурного влияния.....................................114
4.4 Решения краевых задач вязкоупругости для предложенных моделей при экспериментально реализуемых видах НДС .......................................118
4.4.1 Гидростатическое напряжённое состояние..........................118
4.4.2 Одноосное деформированное состояние.............................119
4.4.3 Одноосное напряжённое состояние ................................119
4.4.4 Симметричное двухосное напряжённое состояние....................120
4.4.5 Несимметричное двухосное деформированное состояние..............121
4.4.6 Кручение, растяжение-сжатие длинного цилиндра из несжимаемого
вязкоупругого материала.........................................122
4.4.7 Нагружение внутренним давлением, растяжение замкнутого полого
тонкостенного длинного цилиндра.................................129
4.5 Процедуры идентификации моделей вязкоупругого поведения материалов
при конечных деформациях..............................................131
4
4.6 Разработка экспериментального обеспечения для реализации некоторых видов НДС.....................................................................133
4.6.1 Информационно - измерительная система в стандарте КАМАК .... 133
ф 4.6.2 Рслаксометры осевого растяжения .....................................136
4.6.3 Установка для кручения и растяжения-сжатия образцов СН-3 .... 138
4.6.4 Приспособление для реализации одноосного деформированного состояния ................................................................142
4.7 Примеры использования моделей для описания поведения конкретных вязкоупругих материалов........................................................144
^ 4.7.1 Резина ИРП - 1226 .................................................. 144
4.7.2 Полиуретан ГУП-26..................................................152
4.7.3 Материал ”В”.......................................................156
5 Построение нелинейных моделей термовязкоупругого поведения высоконаполненных эластомеров (ВНЭ) 169
5.1 Особенности строения и термомеханического поведения ВНЭ....................169
Щ 5.2 Обзор и анализ моделей термовязкоупругого поведения ВНЭ с учетом структурных изменений.........................................................................174
5.3 О реализованных подходах к экспериментальной оценке изменений структуры наполненных эластомеров................................................180
5.3.1 Оптическая микроскопия поверхности деформируемого образца . . . 180
* 5.3.2 Метод рентгеновской реконструктивной томографии......................189
5.3.3 Деформационная микрокалориметрия...................................194
5.3.4 Оценка деформационной анизотропии поданным кручения в разных
направлениях........................................................207
5.4 Выбор феноменологической модели термомеханического поведения ВНЭ с
учетом структурных изменений..............................................211
^ 5.4.1 Формальный термодинамический подход..................................212
5.4.2 Подбор уравнения эволюции для структурного параметра...............214
5.4.3 Конкретизация нелинейной модели термовязкоупругого поведения
ВНЭ.................................................................218
5.4.4 Программа экспериментального обеспечения...........................219
5.4.5 Методики идентификации......................................*. . . 222
5
5.5 К построению нелинейной модели вязкоупругого поведения наполненных резин при конечных деформациях............................................227
5.6 Обобщенная нелинейная модель термовязкоупругого поведения наполнен-
^ ных эластомеров при конечных деформациях.............................234
6 Разработка алгоритмов и программ для численного анализа элементов конструкций из ВНЭ при нестационарных термосиловых режимах нагружения 237
6.1 Вариационная постановка краевых задач с использованием разработанных
моделей термомеханического поведения ВНЭ.............................237
% 6.2 Конечноэлементная реализация двумерных краевых задач для случаев осесимметричной и обобщенно плоской конечной деформации..................................240
6.2.1 Используемые кинематические соотношения........................241
6.2.2 Пошаговая реализация конечноэлемеитной процедуры...............244
6.2.3 Выбор переменного шага по времени............................. 253
6.2.4 Сжатие хранимой информации о истории процесса..................255
»11 6.3 Примеры анализа неизотермического нагружения цилиндрических тел . . . 257
7 Основные результаты и выводы 267
Литература 270
ф Приложение 301
*
1. Введение
Научно-технический прогресс требует широкого применения новых полимерных и композиционных материалов с разнообразными физико-механическими свойствами. Рациональное и полное использование свойств конкретного материала при современном проектировании конструкций опирается на результаты математического моделирования его характеристик в рамках механики деформируемого твёрдого тела.
В качестве основного объекта, рассмотренного в данной работе, являются эластомеры или резиноподобные материалы, представляющие относительно новый класс конструкционных материалов. К ним относят каучуки, резины, герметики, термоэластонласты, полиуретаны, аморфные полимеры в температурной области высокоэластичного состояния. Представления об их молекулярной структуре, термодинамике поведения, о деформационных, релаксационных и прочностных свойствах изложены в многочисленных литературных источниках, в частности, в книгах [34, 39, 54, 80, 104, 114, 210, 211, 218].
Эластомеры получили широкое распространение благодаря потребностям инженерной практики и успехам химии высокомолекулярных соединений. Шины, приводные ремни, уплотнительные устройства, гибкие шланги, демп<}>еры и виброизоляторы, упругие звенья машин, транспортерные ленты и многие другие изделия эффективно работают только благодаря специфическим особенностям тсрмомсханичсского поведения эластомеров. Главной их чертой является способность к большим обратимым деформациям формы при низкой сдвиговой жёсткости. Моделирование в рамках статистической физики |211] объясняет такое поведение на основе представлений об энтропийном характере деформаций длинноцепочных молекул, объединенных в молекулярные сетки за счет относительно редких взаимных связей различной химической и физической природы.
Наполнение каучуков и других основ эластомерных материалов вулканизующими агентами, сажей, армирующими волокнами и материалами, пластификаторами, противо-старнтелями и другими ингредиентами позволяет создавать спектр композитных эластомерных материалов с разнообразными свойствами и структурой. В литературе имеется большое число публикаций, посвященных исследованию и описанию термо.механического поведения отдельных материалов в конкретных областях их применения. Но в настоящее
время существующее число рецептур только для резин оценивается пятизначными числами, поэтому большое значение имеют проблемы систематизации и классификации самих эластомеров и моделей их поведения.
Экспериментальные данные по механическому нагружению реальных резиноподобных материалов часто свидетельствуют о проявлении вязкоупругих свойств, тиксотрои-ных свойств (эффект Маллинза-Патрикеева, остаточные деформации), старения и других реологических эффектов. Во многих практических случаях этими эффектами можно пренебречь и в первом приближении использовать уравнения состояния упругого тела. Известно большое количество моделей упругого поведения эластомеров в рамках теории конечных деформаций, обзоры этих моделей приведены в [76,141,142,163,224-227,282,283]. Их разнообразие по сравнению с классической (инфинитезимальной) теорией упругости обусловлено существованием различных мер напряжённого и деформированного состояния, а также более общими функциональными зависимостями между ними.
Во многих технических приложениях сплошные (монолитные) эластомеры по соотношению сдвиговой и объёмной податливостей можно считать материалами, не изменяющими объём. Это обстоятельство породило для эластомеров специфический класс моделей упругого несжимаемого тела, их обзоры и конкретные формы можно найти в |42, 43, 76, 141, 142, 226, 245, 323, 356, 357]. Но реальная сопротивляемость эластомеров к объёмным изменениям соизмерима со сдвиговой жёсткостью конструкционных полимеров и существенно ниже сдвиговой жёсткости конструкционных металлов и сплавов. Поэтому появились модели, учитывающие слабую объёмную сжимаемость эластомеров [93, 192, 227, 303, 327, 328, 341]. В результате были открыты возможности адекватного анализа поведения эластомерных элементов конструкций типа уплотнительных шнуров и прокладок, тонкослойных резинометаллических шарниров и подобных им изделий, работающих в нестационарных температурных полях и/или при стесненных условиях [64, 67, 69].
Проблемы учета вязкоупругих свойств эластомеров важны в практических задачах, связанных с оценкой динамической жёсткости и диссипативных потерь при циклических режимах работы, с оценкой релаксации напряжений и ползучести эластомерных элементов конструкций, с анализом нестационарных термосиловых режимов нагружения. Диссипативные снойства эластомеров определяют работоспособность большой номенклатуры изделий. Но с другой стороны, диссипативный разогрев в совокупности с низкой теплопроводностью эластомеров приводят к существенным ограничениям при выборе материалов, параметров и форм конструкций при проектировании изделий с заданной надежностью и
долговечностью. Многие практические задачи «этой сфере приложений рассматриваются в постановке наложения малых динамических деформаций на конечные квазистатические деформации [6, 92, 110, 207, 272, 290).
Трёхмерным моделям вязкоупругости эластомеров при конечных деформациях посвящено огромное количество работ, часть из них представлена в [2-4, 10, 78, 90, 91, 108-111, 116, 117, 123, 129, 163, 169, 193, 190, 207, 243, 246, 247, 251, 252, 254-258, 201, 264-266, 209, 273, 274, 276-278, 287-293, 297, 298, 301, 302, 311, 318, 330, 331, 333, 334, 336, 342-345, 351, 354,355,358). Бурное развитие исследований этого направления наблюдается в течении последних 15-20 лет. Выполним краткий обзор некоторых аспектов построения определяющих уравнений для вязкоупругих материалов при конечных деформациях.
Начиная с классических статей (254, 264-206), посвященных теоретическим вопросам моделирования изотермического поведения изотропного вязкоупругого тела с точки зрения гипотезы о "затухающей памяти" и общего аксиоматического подхода, развитие определяющих уравнений шло по различным направлениям. В первую очередь для практического исполюования стремились сократить число "материальных" функций, определяемых из эксперимента (согласно (254), функционально полная линейная модель содержит 15 таких функций - три функции инвариантов меры деформации и двенадцать функций релаксации в интегральных операторах, воздействующих на различные истории инвариантов деформации). Использование нелинейного представления функционала напряжения в виде полиномиального ряда с интегральными операторами возрастающего порядка (264) существенно усложняет проблему идентифннации моделей. Было предложено значительное число частных моделей, содержащих различные упрощающие гипотезы и различное число интегральных операторов, обзор их дан в диссертации (92). Учёт объёмной сжимаемости вязкоупругих эластомеров нмсст то же значение, что и для моделей их упругого поведения [354).
Следующая важнейшая проблема заключается в корректном учете теплового влияния на свойства и поведение эластомеров в достаточно широком температурном интервале их эксплуатации. В более широком понимании эта проблема сводится к построению связанной теории термовязкоупру1Ч>сти при конечных деформациях. Основные достижения теоретического характера здесь связаны с последовательным применением функционального и термодинамического анализа. Изложим эту последовательность, опираясь на [110, 207).
В соответствии с общим термодинамическим подходом [213, 235| прежде всего из физических концепций выбираются независимые и зависимые переменные состояния. Для
изотропного вязкоупругого тела (простой материал с затухающей памятью), не испытывающего структурных изменений, в качестве независимых переменных можно взять абсолютную температуру Т > 0 и меру деформаций (или тензор деформаций) Коши-Грина (текущие и прошлые значения этих переменных).
Затем задают систему определяющих функционалов, для указанного выше случая ими могут быть свободная энергия и тепловой поток. После этого определяются зависимые
Л
переменные состояния: тензор напряжений Коши Т и энтропия т) как частные производные от свободной энергии по тензору деформаций и температуре соответственно. Диссипативные потери вычисляются дифференцированием по Фрсше функционала свободной энергии, они в, общем случае, содержат тепловую, "структурную" и др. составляющие.
Несмотря на почти двухвековую историю с опубликования Гофом в 1805 г. наблюдений о разогреве резинового образца при его быстром растяжении, последующего осознания энтропийной природы деформации эластомеров в высокоэластичном состоянии, выявления энергетического вклада объёмных изменений (211], проблема учёта энтропийной составляющей на практическом уровне далека от полного решения из-за трудностей корректного микрокалоримстрнчсского исследования процессов деформирования материалов.
Если в теоретическом плане при построении модели часто считается достаточным формальное удовлетворение второму закону термодинамики при априори выбранных термодинамических переменных, то практическая идентификация термовязкоупругой модели и проверка её адекватности для широкого круга термодинамических процессов должны опираться на микрокалоримстричсские измерения в процессе деформирования и их трактовку с позиций первого закона - уравнения балансов для энергетических потоков.
После этого этапа микрокалориметрического исследования можно окончательно определиться с выбором термодинамических переменных состояния, а для экспериментального анализа второго закона необходимо разделить также диссигтированную механическую энергию на тепловую составляющую и "скрытую" энергию деформации, рапную энергетическим затратам на структурные изменения в материале (238].
Общие функциональные зависимости для энтропийной теории термоупругости и термовязкоупругости эластомеров развивались, например, в (78, 79, 90, 109, 110, 207, 241, 242, 249, 279, 316]. Микрокалоримстричсские исследования по выявлению вклада энтропийной составляющей сил восстановления представлены в (65, 66, 280, 295, 312, 317, 335].
Энтропийная природа деформации эластомеров с физической точки зрения позволила Г.Л.Слонимскому (200) выдвинуть гипотезу о существовании особого, самостоятельного типа упругой обратимой деформации - высокоэластичной. Её отличие от классической упругой деформации кристаллических решеток состоит в замедленном характере реагирования на изменение силовых факторов [34]. Для описания высокоэластичной деформации сегмента полимерной молекулы был предложен оригинальный математический аппарат - дробные производные [34, 308]. Они при переходе к интегральной форме определяющих уравнений напрямую приводят к слабосингулярным ядрам наследственной теории вязкоупругости, что подчеркивает тесную взаимосвязь этих теорий.
Но введение самостоятельного типа высокоэластичной обратимой деформации имеет более глубокие термодинамические корни, так как она сопровождается тепловым эффектом разогрева за счёт сдвиговых компонент деформации, наложенным на охлаждение-разогрев образцов при их объёмном растяжении-сжатии (соответственно). Именно суперпозицией этих двух противоположно направленных тепловых эффектов объясняется точка термоупругой инверсии растягиваемого резинового образца [211].
Разнообразие каучуков и добавляемых к ним ингредиентов вызвало проблемы адекватного описания нелинейных свойств эластомерных композитов. В частности, для резин с высоким содержанием активного наполнителя - тсхуглсрода, актуальной является проблема описания частотно- и амплитуднозависимого внутреннего трения. Причем оно существенно зависит не только от амплитуд циклического воздействия [319, 320, 333], но и от величины статической деформации [61, 272, 275, 326, 349]. К этой же проблеме примыкают задачи построения моделей механического поведения резни вплоть до их разрушения. Большой интерес среди исследователей резин сохраняется к описанию их "размягчения" за счёт предварительного значительного деформирования (эффект Маллинза-Патрикеева) [262, 263, 285, 286, 309, 321], достаточно полный обзор этой нелинейной проблемы до 1978 г. изложен в последней главе монографии [39]. Общепринятой точкой зрения на природу этих нелинейных эффектов является их объяснение разнообразными структурными изменениями материала (разрушение слабых межмолекулярных связей, разрушения углсрод-углеродных пространственных структур, сползанием сорбированных поверхностью наполнителя участков макромолекул и т.д.) при действии механических напряжений.
Для другого класса высоконаполнеиных эластомерных композитов, содержащих более крупные по сравнению с сажей частицы неактивных наполнителей различных фракций размерами от нескольких до сотен микрон, нелинейные проблемы обусловлены в
основном другим типом структурных изменений - отслоением частиц наполнителей от эластомерной матрицы в ходе термомеханического нагружения.
Можно выделить следующие основные направления моделирования этот класса эластомсрных композитов: построение упругопластических моделей [347], использование нелинейных функций напряжений и деформаций в операторно линейных уравнениях связи [55, 157, 195, 338, 339, 352], применение в этих уравнениях норм Лебега высокого порядка для описания "незатухающей памяти" [99-101, 212, 259, 313], введение дополнительных независимых термодинамических переменных скалярного или тензорного типа ("скрытых" или "внутренних" переменных [253, 350]) со своими уравнениями эволюции для описания структурных изменений материала [56, 111, 248, 252, 267, 269, 281, 290, 291, 324, 325, 332, 342, 353]. Многочисленные исследования механики наполненных полимеров, ряд из которых рассмотрен далее, свидетельствуют, что особенности поведения дисперсно наполненных композитов для рабочего диапазона нагрузок во многом определяются степенью накопления рассеянных структурных изменений материала, трактуемых зачастую как поврежденность.
Работы последних лет по построению определяющих уравнений вязкоупругости при конечных деформациях в основном используют мультипликативное разложение полного градиента места |300] для выделения составляющих упругой деформации и деформации, обратимой в течение времени |261, 292, 305-310, 322].
При этом для представления физического смысла определяющих уравнений и их термодинамического обоснования зачастую используются "механически детерминированные" структурные одномерные модели линейной теории вязкоупругости |110] (диссипативные свойства полностью определяются типом модели и сс механическими параметрами), модифицированные введением нелинейных мер деформации, нелинейных форм связи для структурных элементов модели. Примеры построенных таким образом моделей приведены в [123, 169, 193, 196, 276, 345]. Используемый подход за счёт априорного выбора структуры модели, как правило, неявно содержит гипотезы термодинамического и механического плана, требующие экспериментального обоснования.
Приведённый краткий обзор и анализ литературных источников свидетельствуют о больших теоретических достижениях при построении моделей термомеханического поведения эластомеров при конечных деформациях и о дальнейшем прогрессе в этой области.
Более актуальным сейчас является достижение практических успехов в комплексном решении проблемы: построение модели термовязкоупругости для конкретного ма-
териала, экспериментальное обеспечение её идентификации, использование при анализе нестационарного поведения реальных конструкций.
Такому комплексному подходу посвящена данная работа.
Практическое построение определяющих уравнений термовязкоупругого поведения эластомеров может быть осуществлено лить на основе широкомасштабного экспериментального исследования конкретных материалов.
Большинство государственных стандартов РФ (СССР), регламентирующих механические испытания материалов, носит либо характер технологических проб, либо даст информацию лишь для простейших моделей механики деформируемого твердого тела, типа теории сопротивления материалов. Это обстоятельство препятствует реализации экспериментального обеспечения современных моделей механики деформируемого твёрдого тела, необходимых для эффективного использования современных численных методов оптимизации конструкций, оценки их прочности, долговечности и ресурса на стадии проектирования.
Стоявшие перед ИМСС УрО РАН актуальные задачи построения и идентификации сложных трехмерных моделей термовязкоупругого поведения наполненных эластомеров вызвали необходимость создания и совершенствования экспериментальной техники, разработки соответствующего методического и программного обеспечения. Некоторые результаты этих работ, полученные с участием автора, изложены в отчётах (124, 151, 177, 183, 184, 186, 187, 233, 234].
Экспериментальная и методическая часть данной работы базируется на следующих общих положениях, вытекаювщх из классической идеи (200] учета полной истории деформирования полимерного материала:
1. Из-за практической невозможности реализовать идеальные заданные режимы нагружения и деформирования типа "мгновенное нагружение", "нагружение с постоянной скоростью", используются реализуемые на практике режимы нагружения при условии регистрации полных историй изменения измеряемых параметров.
2. По возможности используется регистрация линейных и угловых перемещений на участках однородного деформирования образцов, регистрация нагрузок - передаваемых непосредственно на образец.
3. Во всех испытаниях с образца нужно стремиться получать максимально возможную информацию, характеризующую его напряженно-деформированное состояние (НДС) как трехмерного иросгранствениого объекта.
4. Все затруднения, связанные с отклонениями в опытах историй нагружения от идеальных, с нелинейными характеристиками первичных преобразователей регистрируемых величин, связанные с усреднением данных по образцам с близкими, но не идентичными историями нагружения, переносятся на "плечи11 математического и программного обеспечения по регистрации данных, по идентификации моделей и проверке их адекватности.
Следование этой идеологии позволило достичь минимально необходимого уровня развития экспериментальной базы для исследования резиноподобных материалов, достаточной для идентификации и независимой проверки феноменологических моделей термовязкоупругого поведения при различных видах ИДС и сложных историях нагружения.
В данной работе рассмотрены модели термомеханического поведения изотропных эластомсрпых материалов в эксплуатационном диапазоне умеренно больших деформаций (не превышающих но относительным удлинениям величин порядка -0.25—0.5 и далёких от предразрывных состояний), что соответствует условиям работы большинства эластомеров. Сознательное ограничение диапазона рассматриваемых деформаций позволяет существенно упростить проблему построения и идентификации моделей (330).
Если ограничиться рассмотрением изотермических и близких к изотермическим процессов, то для замыкания системы уравнений движения и деформации вязкоупругого тела достаточно |95, 107] задать функционал связи тензоров напряжений и деформаций. Из общего термодинамического анализа [213] следует, что требование изотермичности неравновесного процесса в вязкоупругих материалах приводит к сильным ограничениям на историю процесса, зависящим от свойств материала, геометрии тела, условий теплообмена и пр. Но для анализа этих ограничений необходима конкретизация упомянутых выше более общих функционалов состояния.
Поэтому ниже рассмотрены термомеханически несвязанные модели и задачи вязкоупругости при допущении, что тепловые потоки, возникающие за счет диссипации энергии деформирования, пренебрежимо малы и не оказывают влияния на связь тензоров напряжений и деформаций.
К разрабатываемым вариантам определяющих соотношений автором предъявлены дополнительные требования:
- все неизвестные параметры определяются по экспериментальным данным из доступных и реализуемых на практике опытов;
- модель поведения естественным образом (без определения новых материальных функций и параметров) сводится к более простым уравнениям состояния - вплоть до классического закона Гука для упругого тела при бесконечно малых деформациях;
- для упрощения реализации численных алгоритмов решения краевых задач при формулировке моделей используются главные инварианты мер и тензоров деформаций, а не главные удлинения.
Последнее требование является одним из проявлений "обратной" связи разрабатываемых моделей поведения со стороны их потребителей - разработчиков программного обеспечения для анализа поведения конструкций. Более плодотворным проявлением этой связи для упрощения и совершенствования модели, для внедрения ес в практику, является совмещенный анализ важности учитываемых факторов на стадии описания однородных видов НДС в образцах и на стадии расчёта неоднородных, статически неопределённых, видов НДС в реальных конструкциях.
Поэтому значительная часть данной работы посвящена разработке программного обеспечения для численного коисчпоэлементного анализа нестационарных термосиловых процессов с использованием разрабатываемых моделей.
Работа имеет следующую сгруктуру и содержание.
Ро введении выполнен обзор проблемы построения и идентификации определяющих уравнений применительно к вязкоупругим резииоподобным материалам, рассмотрены методы решения нестационарных термовязкоупругих задач расчета изделий. Рассмотрено текущее состояние проблем, связанных с описанием сложного поведения материалов при конечных деформациях и определяются необходимые и возможные на сегодня направления дальнейшего исследования. Приведены используемые сокращения, основные обозначения и соотношения теории конечных деформаций.
Вторая глава посвящена методическим вопросам идентификации определяющих уравнений термовязкоупругости наследственного типа при малых деформациях. Приведены решения задач вязкоупругости для испытываемых образцов, связывающие измеряемые в опытах величины. Реализованы численные методики определения функции релаксации для произвольного операторного модуля при использовании её аналитических аппроксимаций и сведения задачи идентификации к задаче нелинейного программирования относительно вектора неизвестных параметров на основе совокупности опытов с произвольными
различными историями измеряемых экспериментальных величин в изотермических условиях.
На примерах определения операторного модуля сдвига для трёх материалов предложено построение усредненной функции релаксации, её доверительного интервала и временного интервала достоверной идентификации на базе статистического анализа выборок найденных реализаций искомой случайной функции релаксации, получаемых при решении математически некорректной задачи идентификации.
При моделировании термовязкоупругого поведения с использованием гипотезы о справедливости температурно-временной аналогии (ТВА) разработаны методики определения обобщённой функции релаксации и функции температурно-временного сдвига по совокупности опытов с произвольными историями измеряемых экспериментальных величин для различных уровней температуры. Приведен пример реализации этой методики при описании термомеханического поведения материала "Д".
В третьей главе проведено обоснование выбора наиболее подходящего по допустимому диапазону сжимаемости упругого определяющего уравнения при конечных де<1юр-мациях для обобщения его на случай вязкоупругого поведения. Выполнен анализ десяти двухконстантных моделей упругого и гиперупругого поведения изотропных материалов, являющихся обобщением закона Гука на область конечных деформаций в изотермических условиях. Получены решения краевых задач при пяти однородных видах НДС, реализуемых в экспериментальной практике, проведён их численный сравнительный анализ с целью выявления области применимости моделей по диапазону соотношения констант ///В, имеющих при малых деформациях смысл модулей сдвига и объёмного сжатия.
Основным результатом этого анализа является выявление преимуществ рассмотренного варианта модели Пенга-Ландела, обращающегося при предельном переходе в потенциал "неогукова тела".
Второй параграф этой главы также имеет вспомогательный характер для реализации процедуры обобщения на случай вязкоупругого поведения известных моделей несжимаемых материалов, он посвящен приведению общей формы связи "энергетического" тензора напряжений и деформаций для гииерупругих несжимаемых материалов к новому виду, содержащему в качестве множителя Лагранжа среднее "физическое" напряжение.
В четвёртой главе изложены результаты по описанию термовязкоупругого поведения ненаполненных и малонаполненных эластомеров с помощью тензорно линейных моделей несжимаемого и слабосж и маемого изотропного тела.
В данной работе рассмотрен один из возможных подходов к построению моделей вязкоупругого поведения первоначально изотропных материалов при конечных деформациях - обобщение известных и широко апробированных упругих моделей путем замены упругих постоянных интегральными операторами наследственной теории вязкоупругости (36-38, 92, 243, 246|. Этот прием широко практикуется в моделях, использующих математический аппарат инфинитезимальных деформаций и был, по утверждению авторов [53, 181), предложен ещё самим Вольтсрра.
Обобщение упругих моделей несжимаемого "неогукова тела” и слабосжимаемого материала Пенга-Ландела на случай вязкоупругого поведения выполнено путем замены упругих модулей ц, В указанными операторами в представлении связи "энергетического" тензора напряжений с тензором меры деформаций Коши-Грина, определенными в базисе недеформироваиной конфигурации, что позволило получить модели, удовлетворяющие принципу независимости материала от системы отсчета.
Использование такого подхода даст первое приближение общей гипотетической модели, предназначенное для области умеренных конечных деформаций.
Предложена модификация модели слабосжимаемого тела для учета нестационарного температурного влияния с использованием гипотезы ТВА и допущения о малости температурных объёмных деформаций.
Для построенных моделей приведены решения краевых задач вязкоупругости при тех же однородных видах НДС для обработки результатов экспериментального исследования, что рассмотрены во второй главе в упругом приближении. Кроме этого, для несжимаемого вязкоупругого материала получены решения экспериментально реализуемых краевых задач при кручении, растяжении-сжатии длинного цилиндра и при нагружении внутренним давлением, растяжении замкнутого полого тонкостенного длинного цилиндра.
Представлено методическое обеспечение по идентификации операторов наследственной термовязкоупругости, модифицированное для обработки экспериментальных данных при конечных деформациях.
Далее в главе представлены результаты разработки экспериментального обеспечения доя реализации некоторых видов НДС с регистрацией полных историй нагружения образцов: информационно - измерительная система в стандарте КАМАК, релаксометры осевого растяжения с комбинированной системой регистрации, установка для кручения и растяжения-сжатия образцов СИ-3, приспособление для реализации одноосного деформированного состояния.
Для трёх материалов выполнена идентификация моделей, осуществлена экспериментальная проверка их работоспособности при сложных историях нагружения трубчатых образцов внутренним давлением и осевой силой, а также при кручении и растяжении-сжатии сплошного цилиндрического образца. В последнем случае продемонстрированы возможности модели для описания эффекта Пойптинга в вязкоупругом приближении.
Пятая глава посвящена описанию термовязкоупругого поведения высоконаполнеи-ных эластомеров (ВНЭ), имеющих близкое к предельному наполнение дисперсными частицами неактивных наполнителей с размерами частиц порядка 1-300 мкм. Для этих материалов, помимо ярко выраженного термовязкоуиругого поведения, определяющим нелинейным фактором является накопление дисперсного рассеянного повреждения в виде отслоений высокоэластичного связующего от частиц наполнителя, что проявляется через эффекты дилатансии - возникновения объёмных деформаций за счет сдвигового деформирования. В работе поставлена задача описания существенных нелинейных особенностей поведения ВНЭ с помощью простых моделей, ограничивая их сложность возможностями экспериментального обеспечения.
Дан обзор и критический анализ известных моделей для высоконаполненых эластомеров, описывающих вязкоупругое поведение, объемные изменения, эффект Маллин-за, накопление повреждений. Наиболее подробно рассмотрена модель Фарриса-Фитндже-ральда.
Для выбора и обоснования феноменологической модели термомеханического поведения ВНЭ с учетом структурных изменений реализованы следующие подходы к экспериментальной оценке изменений структуры наполненных эластомеров: оптическая микроскопия, метод рентгеновской реконструктивной томографии, деформационная микрокалориметрия, оценка деформационной анизотропии по данным кручения в разных направлениях. Выполнен анализ экспериментальных результатов, полученные в каждом подходе.
Рассмотрен термодинамический подход к построению системы определяющих уравнений с внутренними переменными состояния. Попытки количественного экспериментального разделения диссипируемой при механическом деформировании энергии на тепловую и скрытую составляющие не привели к успеху из-за отсутствия высокоточного деформационного мпкрокалориметра. Необходимость идентификации полной системы функционалов в этом подходе на порядок усложняет задачу конкретизации определяющих уравнений по сравнению с частной проблемой установления связи напряжений с независимыми переменными состояния.
Поэтому, несмотря на всю привлекательность термодинамического подхода, обеспечивающего согласованность системы определяющих уравнений и удовлетворение началам термодинамики, далее развивается на эмпирическом уровне нелинейная модель с одним скалярным структурным параметром Zc(t) > 0, имеющим своё уравнение эволюции и учитывающим изменение жесткости материала за счет отслоения частиц наполнителя от связующего, разрыва других связей, разрушения частиц наполнителя. За основу модификации взята представленная в предыдущей главе модель слабосжимаемого термовязкоупругого материала.
Приведена программа экспериментов для идентификации различных вариантов построенной нелинейной модели термовязкоупругого поведения ВНЭ при конечных деформациях.
Методики численной идентификации этой модели имеют три этапа - на первом определяются параметры и "материальные” функции в диапазоне линейного поведения по методикам, изложенным в гл. 2,4, на втором - параметры нелинейных функций с использованием экспериментальная информация в диапазоне существенного проявления нелинейных эффектов, на третьем - выявляются температурные зависимости параметров нелинейных функций с их последующей аппроксимацией.
В пятом параграфе главы приведены варианты определяющих соотношений для резин с относительно высоким содержанием активного наполнителя - техуглсрода. Этот тип материалов обнаруживает существенно нелинейное поведение при одноосном напряжённом состоянии в области малых относительных удлинений до (5-г 15)% и амплитудно-зависимое внутреннее трение. Модели идентифицированы по результатам квазистатиче-ского исследования двух марок резины. Продемонстрированы их возможности при описании периодического деформирования в рабочем диапазоне деформаций с учетом амплитудных и частотных зависимостей.
В шестой главе приведены алгоритмы программ для численпого анализа элементов конструкций из ВНЭ при нестационарных термосиловых режимах нагружения. Вариационное уравнение в смешанной постановке записано на основе подхода Б.Г.Галеркина.
Реализация пошаговой по времени процедуры конечноэлементного анализа проведена для случаев осесимметричной и обобщенно плоской деформации (осевая деформация постоянна, не равна нулю) при решении на каждом шаге задач теплопроводности, расчета НДС и скалярного структурного параметра в рамках теорий малых и конечных деформаций.
В задаче теплопроводности для дискретизации по времени используется конечно-разностная неявная схема первою порядка, не учитываются распределенные по объему диссипативные источники тепла, но принимается во внимание конечное формоизменение расчетной области. Связанность задач НДС и скалярною структурного параметра, зависимость термомеханических свойств от температуры учитывается простейшим способом с отставанием на один шаг с последующим итерационным уточнением.
При выводе системы разрешающих уравнений для конечного элемента использована линейная аппроксимация неизвестных величин по времени на каждом временном шаге, четырехугольные изопараметрические элементы с квадратичной аппроксимацией температуры, приращений перемещений и полилинейной аппроксимацией приращений среднего напряжения. Использование МКЭ-процедуры и линеаризация всех выражений относительно приращений узловых неизвестных приводят задачу на текущем шаге при известных в прошлом историях полей температуры, скалярного параметра и НДС к решению несимметричной ленточной системы линейных алгебраических уравнений.
При численной реализации алгоритма для повышения точности и снижения затрат машинного времени использованы нерегулярные сетки конечных элементов, разрывные по границам элементов аппроксимации скорости изменения среднего напряжения, процедуры автоматического выбора шага по времени и приближенного учета удаленных прошлых отрезков истории деформирования, различные процедуры вычисления интегралов по времени в зависимости от истории температуры.
Для двух изделий в виде цилиндра из 1ШЭ со стальной упругой оболочкой проведен расчет реальных режимов нагружения при действии внутреннего давления, нестационарного теплового воздействия с граничными условиями первого и третьего рода, при совместном воздействии давления и температуры. В рассмотренных примерах с приближёнными приёмами учёта истории изменения температуры нодчернута необходимость се полного учёта. Дай анализ вклада различных нелинейных факторов в уточнение НДС. Показано, что наиболее мощным фактором является нелинейность, обусловленная объёмными изменениями за счёт порообразования по границам частиц наполнителей.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы по представленной работе.
Приложение содержит два акта внедрения (использования) результатов работы.
Общая структура работы. Работа содержит 303 страницы текста, 99 рисунков, 29 таблиц и 358 библиографических ссылок.
Публикации. Содержание диссертационной работы изложено в 1-3, 9,10 главах монографии:
Адамов A.A., Матвеенко В.П., Труфанов II.A., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. - Екатеринбург: УрО PA1I, 2003. - 411 с.
Публикации в журналах
1. Адамов A.A. К построению нелинейной модели вязкоупругого поведения наполненных резин при конечных деформациях // Каучук и резина, - 1996, Л» 5. - С. 27-30.
2. Адамов A.A. Неизотермическое деформирование элементов конструкций из нелинейного дисперсно наполненного эластомера // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1999. - Т. 5. - № 2. - С. 101-107.
3. Адамов A.A. Сравнительный анализ двухконстантных обобщений закона Гука для изотропных упругих материалов при конечных деформациях // Прикл. мех. и техн. физика. - 2001. - Т. 42, № 5. - С. 183-192.
4. Адамов A.A. Статистический подход к идентификации функций влияния в теории линейной вязкоупругости // Высокомолек. соед. - Сер. А. - 2002. - Т. 44, № 6. -С. 1-6.
5. Курозасв В.П., Пименов Л.А., Адамов A.A., Селиванов Б.И. Применение метода рентгеновской вычислительной томографии для исследования повреждаемости наполненного эластомера // Дефектоскопия. - 1986. - №7. - С. 39-43.
Депонированная статья
Дырда В.И., Адамов A.A., Мазнецова A.B., Селиванов Е.И. Описание вязкоупругого поведения резиновых элементов при конечных деформациях. Ин-т геотсхн. мех. АН УССР. Днепропетровск, 1984. 14 с. Рук. дсп. в ВИНИТИ 25 янв. 1985, A»74G-S5 Дсп.
Статьи в сборниках и трудах конференций
21
l*
1. Адамов A.A. О неединственности определения параметров в интегральных уравнениях вязкоупругости по данным квазистатичсских испытаний // Исследования по механике полимеров и систем. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1078. - С. 16-20.
2. Адамов A.A. К выбору функционала для описания поведения вязкоупругого материала при конечных деформациях // Науч. тр. Краснодар, политехи, ин-та, 1980. - Вып. 101. / Механика эластомеров. - Т. 3. - С. 56-59.
3. Адамов A.A. Об идентификации модели наследственной вязкоупругости при конечных деформациях // Структурная механика неоднородных сред. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. - С. 8-11.
4. Адамов A.A. Кручение вязкоупругого цилиндра из несжимаемого материала при конечных деформациях // Напряженно-деформированное состояние и прочность конструкций. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. - C. G1-65.
5. Адамов A.A. Анализ малых вынужденных поперечных колебаний вязкоупругого стержня, предварительно растянутого до конечных де<]>ормаций // Статические и динамические задачи упругости и вязкоупругости. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. - С. 27-32.
6. Адамов A.A. О построении образа процесса нагружения при конечных деформациях // Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. - С. 3-5.
7. Адамов А.Л., К построению модели вязкоупругого поведения наполненных эластомеров с учетом структурных изменений // Исследования но механике материалов и конструкций. - Свердловск: УрО АН СССР, 1988. - С. 4-6.
8. Адамов A.A. Моделирование нелинейное вязкоупругое поведения наполненных резин при циклическом нагружении и при различных видах иапряжёнио-деформированного состояния // Междунар. конф. но каучуку и резине IRC’ 94: Труды. - Москва, 1994. - Т. 4. - С. 349-355.
9. Адамов A.A. Об одном преобразовании соотношений напряжение -деформация для изотропных гиперупругих несжимаемых материалов при конечных деформациях // Математическое моделирование систем и процессов: Науч. тр. Пермского гос. техн. ун-та. - Пермь. - 2001. - Л* 9. - С. 6-9.
22
$
10. Адамов A.A., Дегтярёв А.И. Построение математической модели термореологически простого материала при конечных деформациях // Динамика и прочность механических систем: Тр. Пермского политехи, ин-та, 1983. - C. 61-6G.
11. Адамов A.A., Кароид Е.И. К оценке микронеоднородности температурного поля при виборазогреве полимерных материалов с жесткими наполнителями // Механика микронеоднородных структур. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1988. - С. 38-42.
12. Адамов A.A., Кожевникова JI.JL, Кузнецов Г.Б., Матвеев ко В.П. Метод конечных элементов в задачах линейной термовязкоупругости // Напряженно-деформированное состояние конструкций из упругих и вязкоупругих материалов. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1977. - С. 25-30.
13. Адамов A.A., Кузнецов Г.Б. К методике описания реологических процессов при конечных деформациях теорией наследственности // Прикладные задачи механики полимеров и систем. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1977. - С. 11-20.
14. Адамов A.A., Леонтьев В.А. Установка для микрокалориметрического исследования тепловых эффектов при квазистатическом деформировании высоконаполнсн-ных эластомеров // Статические и динамические краевые задачи механики деформируемых тел. - Свердловск: УрО АП СССР, 1990. - C. 12G-130.
15. Адамов A.A., Санников Л.С., Селиванов Е.И. Вязкоупругая реакция цилиндра из резины при сложном многопараметрическом нагружении // Краевые задачи упругих и неупругих систем. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. - С. 32-36.
1G. Адамов A.A., Соловьев Г.П. К решению вязкоупругой задачи для осесимметричной конструкции с учетом структурных изменений материала // Статические и динамические краевые задачи механики деформируемых тел. - Свердловск: УрО АН СССР, 1990. - С. 30-35.
17. Адамов A.A., Соловьев Г.П. Об одном алгоритме вычисления интегралов от реологических функций влияния // Численное моделирование статического и динамического деформирования конструкций. - Свердловск: УрО АН СССР, 1990. - С. 60-64.
Автор искренне благодарен своим учителям A.A. Поздесву , Г.Б. Кузнецову , И.Е. Трояновскому , стоявшим у истоков данной работы. Автор выражает глубокую
23
благодарность Л.А. Роговому за всестороннюю поддержку и постоянное внимание к данной работе, Г.П. Соловьёву за участие в разработке программного обеспечения и решении краевых задач, Г.П. Богатырёву, А.И. Дегтярёву, Е.И. Кароиду, В.А. Леонтьеву, С.Н. Лы-
, Л.С. Савинкову, Е.И. Селиванову, А.И. Судакову за их участие в реализации различных программ экспериментальных работ.
сенко,
II.В. Писцову
♦
Список используемых сокращений
АЦП — аналого-цифровой преобразователь,
ВНЭ — высокоиаполненный эластомер,
ГНС — гидростатическое напряженное состояние,
ИИС — информационно-измерительная система,
КАМАК — международный стандарт |130) на приборный интерфейс для автоматизации экспериментальных исследований,
КЭ — конечный элемент,
МКЭ — метод конечных элементов,
НДС — напряженно-деформированное состояние,
НДЦС — несимметричное диуоспос деформированное состояние,
ОДС — одноосное де<]юрмированное состояние,
ОНС — одноосное напряженное сосгояние,
ОПД — обобщенно плоская деформация,
ОСД — осесимметричная деформация,
РС — персональный компьютер,
СДНС — симметричное двуосное напряженное состояние,
ТВ А — температурно-временная аналогия,
ТВУ — термовязкоупругость,
Материалы "Б”, “В", "Г", ПД" — композитные инертные материалы, в общем обозначенные выше как ВНЭ, на основе высокоэластнчпых связующих типа полидие-нэпоксиуретана, наполненные с разными степенями объёмного наполнения порошкообразными частицами металлов и солей различного фракционного состава.
25
У
#>
1.2. Основные используемые обозначения и соотношения теории конечных деформаций
Математический аппарат механики сплошных сред для описания конечных деформаций существенно отличается от используемого его представления при бесконечно малых (инфинитезимальных) деформациях. Из-за отсутствия единой общепринятой системы обозначений ниже приведены, следуя в основном книгам А.И.Лурье |141, 142], используемые в работе понятия и обозначения в компактной форме, достаточной для их однозначного истолкования. индексы:
г,у, 5, г = 1,2,3 — если не оговорено другое;
используется правило суммирования по "немому"индексу; конфигурации рассматриваемого тела:
Со — начальная исдеформированная для момента времени £ = £о;
С* — текущая деформированная для момента времени £ > £0;
Ст — прошлая деформированная для момента времени £0 < т < £; системы координат, векторные базисы и вектор перемещений: qt — материальные координаты точки сплошной среды в произвольно выбранной системе координат для С0; а*(ях* О1} <?3> 0) — декартовы координаты точки в Со; х3 (д1, д2, д3, £) — декартовы координаты точки в С«; і3 — орты декартовой системы координат в Со; г = г(д1,д2>(?,0) = і,а, — вектор-радиус точки в конфигурации Со;
і,£, — вектор-радиус точки в конфигурации С*; г, — векторный базис в Со:
дг . да, . дд*
г> = г' = іі7г-;
дд> " 'Зд<?' да/
и = Я — г = и'Г{ = гцгх — вектор перемещения точки;
II, — векторный базис в С*:
_ Ж _ дх; дд’
а — О , — ^ Т о I И — ^ О »
ад9 дд3 * ох)
V = г*д/дд* — векторное представление набла-оператора в Со;
V = Кад/дд$ — векторное представление набла-оператора в С«;
метрические тензоры и меры деформаций:
Е = і\г* = Я* Я* — единичный тензор (совпадающий с д и С); д = дугхг* = д^ГіГ}- — метрический тензор в Со:
9а = г» * г>; д** = г* • г7;
д = (ру) — определитель матрицы ковариантных компонент тензора д\
С = СуЯ’Я' = (У'іКіЩ — метрический тензор в С<:
Су = Кі • Яі; С* = Я* • Я;;
С = «Ы (Су) — определитель матршцл ковариантных компонент тензора С;
Р = сІК/(іт = (УЯ)* = Я»г* — тензор-градиент места;
Р* = VII = г*Я* — транспонированный тензор-градиент места;
Р~х — (1г/({К = ГіЯ* — обратный тензор-градиент места;
С!* = Р* • Р = Суг*г* — тензор меры деформаций Коши-Грина:
сх. = Су, (с*)<7‘ =
(Сх) =7п= г» Я* • Шг;- = т^ГіТу — обратный тензор меры деформаций Коши-Гри
т° = С°; ту = дьд^О*; д* = Я*г» • = руЯ1Я7 — тензор меры деформаций Альманзи:
9Їі = 9*
(дх)~1 = А/ = Я*г* • г^Я^ = Л/1;Я*Я^ — обратный тензор мери деформаций
Альманзи (мера деформаций Фингера):
Щ = С*С;Г<Г;
С = (6х - д)/2 = Суг’і0 = [У и + (Уи)* + У и • (Уи)*]/2 - тензор
деформаций Коши-Грина; є = £уг*г^ — [Уи -Ь (Уи)*]/2 — тензор бесконечно малых
(инфинитезимальных) деформаций;
Л = (С — дх)/2 = Л‘>ЯЛ1, — тензор деформаций Альманзи;
N — логарифмическая мера деформаций, определённая в базисе главных осей деформации;
инварианты деформации:
С,х — главные значения Сх;
О Л
е» — единичные векторы главных осей Сх;
= ^57 — главные степени относительного удлинения;
<5< = А; — 1 — главные относительные удлинения;
А А
и — инварианты С4, равные инвариантам М:
— 91*@ч — А? + А? + А*;
к = (?‘У' ~ 9"^’)СцС„ = кдцСР = А?А| + А1А1 + А|А*;
13 = С/д = А|А|А1;
О = л//з — 1 — относительное изменение обт>ема; силовые и энергетические характеристики:
IV — потенциал гиперупругого изотропного тела;
Т = — тензор напряжений Коши;
С,) — • Т • — "энергетический" (приведенный) тензор напряжений;
Тх = уДзФ = л/7з£‘;г,г, — тензор напряжений Пиола-Кирхгофа 2-го рода; а = <7уГ*г^ — тензор напряжений при инфинитезимальных деформациях; и — главные значения тензора напряжений Коши ("истинные” напряжения); е» — единичные векторы главных осей Т\
а е= £* = 1ху/ТЦ\{\ (■’Иг) ~ главные значения тензора напряжений Пиола-Кирхгофа
2-го рода ("номинальные", "условные" напряжения).
2. Методические вопросы идентификации определяющих уравнений наследственной термовязкоупругости при малых деформациях
Теория вязкоупругости в качестве основы имеет модели, описывающие механическое поведение материалов при постоянной температуре [28, 45, 107, 129, 180, 190, 218). Условие изотермичности приближённо выполняется при медленных квазистатических режимах нагружения, что накладывает термодинамические ограничения на рассматриваемые процессы деформации вязкоупругих тел. Некоторые аспекты этой проблемы рассмотрены в разд. 2.3.
Для изотермических процессов деформирования математическая формулировка определяющих уравнений вязкоупругого тела сводится формально к обобщению определяющих соотношений упругих сред путем замены постоянных упругости соответствующими интегральными операторами наследственной теории вязкоупругости, называемых также операторами Больцмана-Вольтерры.
2.1. Модель вязкоупругого тела в изотермическом приближении
Для гиперупругого тела при малых деформациях между компонентами симметричного тензора напряжений сг и симметричного тензора деформаций є существует линейная зависимость (обобщенный закон Гука для анизотропного тела) [137, 141, 161)
<7=4Я--є; <7у = Яуы є и', 1,2,3; (2.1)
с тсігзором 4-го ранга постоянных упругости 4Л, обладающим следующими свойствами симметрии
•НуМ — ІІШі = їїіЦк = Н-іікІ • (2*2)
С учетом этих условий число независимых постоянных сокращается с 81 до 21. Далее по умолчанию индексы при компонентах тензоров, набранные малыми латинскими буквами, будут принимать значения от 1 до 3, если не оговорено другое правило. По «немому» (дважды повторяющемуся) индексу проводится суммирование также от 1 до 3, если нс оговорено другое.