2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ...................................................... 4
1. МУЧНО-ТЕаНИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ ОПРЕДО1ЕНИЯ НАПРЯШЕННО-
-ДВБОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ (ШШЕТРИЧШХ ОБЬЕКТОВ 9
1.1 Общие решения пространственных задач теории
упругости ............................................ 9
1.2 Обзор аналитических решений задач о полупространстве при различном характере загружения . . 13
1.3 Вопросы применимости решений линейной теории
упругости к грунтам ................................. 16
1.4 Обзор численных методов ............................. 18
Выводы............................................... 28
2. ОСЕСИШЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ МНОГОСЛОЙНОГО
УПРУГО-ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА, ОСЛАБЛЕННОГО
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ШРАБОТКСЙ................................... 30
2.1 Напряженно-деформированное состояние многослойного упруго-изотропного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены абсолютно жестким включением .... 30
2.2 Исследование напряженно-деформированного состояния трехслойного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены жестким включением, при различном характере загружения дневной поверхности ............................ 47
2.3 Исследование напряженно-деформированного состояния трехслойного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой без подкрепления, при различном характере загружения дневной поверхности 66
3
Выводы................................................ 74
3. ПРОГРАММА, РЕАЛИЗУЩАЯ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ОБЛАСТИ................................ 77
3.1 Подпрограмма дискретизации ..... 77
3.2 Подпрограмма формирования глобальной матрицы
теплопроводности и вектора нагрузок .................. 81
3.3 Подпрограмма "Решение системы" . 94
3.4 Подпрограмма формирования глобальной матрицы
жесткости и вектора нагрузок ......................... 96
3.5 Инструкция по составлению исходных данных к программе определения напряженно-деформированного
состояния осесимметричных конструкций.................102
Выводы................................................ИЗ
4. РАСЧЕТ И АНАЛИЗ ТЕРМОНАПРЯШЕНИЙ В ДЕТАЛЯХ И УЗЛАХ
ПРОМЫШЛЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ....................................115
4.1 Определение напряженно-деформированного состояния детали в виде круглой керамической пластины (изделие № I)............................................116
4.2 Исследование напряженного состояния составного изделия (изделие № 2).......................................122
4.3 Исследование напряженного состояния составного
изделия (изделие (Р 3)................................135
Выводы................................................144
ЗШШЕНЙЕ........................................................147
ЛИТЕРАТУРА.....................................................149
4
ВВЕДЕНИЕ
В диссертационной работе проведены исследования напряженно-деформированного состояния систем, испытывающих осесимметричную деформацию. Такие системы находят широкое применение в строительном деле, машине-и приборостроении.
Так, конструкции фундаментов надшахтных сооружений, как правило, занимают осесимметричное или близкое к нему расположение относительно оси вертикальной выработки. Эго позволяет трактовать их как осесимметричные пространственные системы, допускающие для расчетов соответствующие аналитические и численные методы строительной механики.
Принятый в СССР принцип проектирования оснований по второму предельному состоянию предъявляет повышенные требования к точности расчета перемещений фуццаментов под действующими нагрузками.
В нормативной литературе /99/ приведена методика определения перемещений оснований, которая сводится к решению осесимметричной задачи для упругого полупространства, загруженного по кольцевому участку поверхности дневного слоя. Однако данная методика расчета не учитывает: во-первых, многослойность породного массива, во-вторых, влияние шахтных стволов на перемещения грунта.
Поэтому проблема создания способов расчета моделей, учитывающих указанные особенности, и доведения их до инженерно-технического уровня представляется актуальной.
Не менее актуальной является проблема создания способов расчета, позволяющих проводить исследования напряженно-деформированного состояния систем, испытывающих осесимметричную деформа-
5
цшо и имеющих усложненную геометрическую форму меридионального сечения. Такие объекты находят применение в машино- и приборостроении.
Несмотря на упрощения, которые вносит осевая симметрия в основные уравнения механики твердого деформируемого тела, отыскание решений и особенно доведение их до конечного числового результата вызывает значительные затруднения. Если конструкция имеет сложную геометрическую форму или когда в задаче для данной конструкции поставлены сложные граничные условия, то математические трудности, встречаемые при применении аналитических методов, являются в большинстве случаев непреодолимыми. Подобные затруднения возникли на ряде предприятий, где осуществляется проектирование деталей и узлов промышленных конструкций, испытывающих осесимметричную деформацию при воздействии на них стационарного температурного поля в диапазоне температур +100°С. Данный режим соответствует эксплуатационным условиям работы этих объектов.
В специальной литературе отсутствуют публикации, содержащие численные результаты напряжений, на основании которых можно получать научно обоснованные рекомендации по выбору оптимальных величин геометрических параметров изделий. К тому же отсутствие в практике проектирования прочностного расчета лишает уверенности проектировщиков в эксплуатационной надежности дорогостоящих объектов.
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОШ. Цель работы состоит в создании надежных доступных для инженерной практики способов расчета напряженно-деформированного состояния составных систем, претерпевающих осесимметричную деформацию и нашедших применение в строительном деле, машино- и приборостроении.
б
В работе поставлены и решены следующие основные задачи:
1. Получить аналитическое решение задачи об определении напряженно-деформированного состояния многослойного упруго-изотропного полупространства, ослабленного цилиндрической полостью, стенки которой подкреплены жестким включением.
2. Разработать программу определения напряженно-деформиру-емого состояния осесимметричных объектов, реализующую метод конечных элементов, предназначенную для решения осесимметричных задач теории упругости и термоупругости.
3. Цровести сопоставление численных результатов напряжений и перемещений, полученных в аналитическом решении и при помощи разработанной программы, реализующей метод конечных элементов.
4. Провести исследование напряженно-деформированного состояния полупространства, состоящего из 3-х слоев конечной толщины, и заканчивающегося бесконечны?.! массивом, ослабленного цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены жестким включением. Исследование провести при различных видах нагрузки на поверхности дневного слоя.
5. Провести исследование напряженно-деформированного состояния полупространства, ослабленного бесконечной цилиндрической выработкой без подкрепления, состоящего из 3-х слоев конечной толщины, и заканчивающегося массивом. Исследование провести при различных видах нагрузки на поверхности дневного слоя.
6. Провести исследование напряженно-деформированного состояния ряда деталей и узлов промышленных конструкций, испытывающих осесимметричную деформацию при воздействии на них стационарного температурного поля, соответствующего режиму эксплуатации.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе применяются два метода: аналитический, в основе которого лежит общее решение осесимметрич-
7
ной пространственной задачи теории упругости в форме, предложенной К.В.Соляником-Красса, и метод конечных элементов. Аналитический метод используется в задачах, решения которых достигаются в замкнутом виде: элементарной форме и форме сходящихся несобственных интегралов. Для определения напряженно -деф ормир о -ванного состояния объектов, имеющих сложную геометрическую форму меридионального сечения или сложные граничные условия, применяется метод конечных элементов.
НАУЧНАЯ НОШЗНА РАБОТЫ. Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Получено аналитическое решение задачи о напряженно-деформированном состоянии многослойного упруго-изотропного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены жестким включением.
В решении учтены:
1) многослойность породного массива;
2) влияние шахтных стволов на напряженно-деформированное состояние грунта.
2. Показано, что выполнение ствола шахты без подкрепления приводит к существенному увеличению упругих перемещений основания.
3. Показано, что незначительное удаление фундамента надшахтного сооружения от крепи ствола приводит к существенному уменьшению радиального воздействия на подкрепление.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов и заключения.
В первом разделе приводятся: различные виды общих решений о се симметричной задачи теории упругости; обзор аналитических решений задач о полупространстве при различном характере загру-
8
жения. Рассматриваются вопросы обоснованности применения решений, доставляемых при помощи линейной теории упругости в механике грунтов. Проводится обзор численных методов: метода конечных разностей, вариационно-разностного метода и метода конечных элементов.
Во втором разделе рассматривается задача о многослойном полупространстве, ослабленном цилиндрической выработкой. Задача решается в двух вариантах.
I вариант. Напряженно-деформированное состояние многослойного упруго-изотропного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены абсолютно жесткой оболочкой.
П вариант. Напряженно-деформированное состояние многослойного упруго-изотропного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой без подкрепления.
Третий раздел посвящен программе, реализующей метод конечных элементов, предназначенной для решения осесимметричных задач теории упругости и термоупругости.
В четвертом разделе при помощи разработанной программы проводится исследование напряженного состояния деталей и узлов промышленных конструкций, испытывающих осесимметричную деформацию при воздействии стационарного температурного поля, соответствующего режиму эксплуатации.
Диссертационная работа выполнена в Ленинградском электротехническом институте им.В.Й.Ульянова (Ленина).
Автор выражает глубокую благодарность проректору по научной работе Ленинградского инженерно-строительного института доктору технических наук профессору В.3.Васильеву за научное руководство данной работой и помощь, оказанную при ее выполнении.
9
I. НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАГРЯЙЕННО-ДЕЗЮРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБЪЕКТОВ
1.1 Общие решения пространственных задач
теории упругости
В 1862 г. ори получил решение уравнений равновесия в плоской задаче теории упругости, в которой компоненты напряжений представлены с помощью одной функции. Решение ори позволило свести плоскую задачу теории упругости к решению бигармонического уравнения при заданных граничных значениях бигармонической функции и ее нормальной производной. Для трехмерной задачи долго не удавалось свести задачу теории упругости к краевым проблемам, однако успех использования идеи Зри обнадеживал исследователей, стремившихся с помощью общих решений внести существенные упрощения в решение пространственной задачи.
Одна из общих форм общего решения была предложена в 1870 г. Максвеллом, который выразил составляющие напряжений через три функции напряжений.
В 1932 г. П.Ф.Папкович /86/ получил общее решение уравнений равновесия изотропного тела в перемещениях при помощи четырех гармонических функций. Через два года аналогичное решение было получено Нэйбером. Как отмечает П.Ф.Папкович, такое же решение в 1928 г. было получено Г.Д.Гродским /51/, работа которого до 1935 г. не была опубликована.
Решение на основе трех бигармонических функций предложено Б.Г.Галеркиным /34/.
В 1940 г. В.А.Гастев опубликовал статью /36/, в которой
10
показал, что решение П.Ф.Папковича может быть получено значительно проще. Статья В.А.Гастева долгое время была мало известна, так как большая часть тиража сборника трудов, где была опубликована статья, не сохранилась. В 1975 г. работа В.А.Гастева была перепечатана /37/; в ней автору удалось получить решение при помощи трех гармонических функций.
Многие авторы рассматривали задачу о равновесии тел вращения и, в частности, задачу осесимметричной деформации как частный случай общей задачи равновесия изотропного тела. В случае осевой симметрии в общем решении П.Ф.Папкович оставляет три гармонические функции, из которых одна по произвольному выбору (в зависимости от граничных условий задачи) может быть принята равной нулю; из трех функций Б.Г.Галеркина остаются две функции, одна из которых совпадает с функцией Лява /78/, а другая связана соотношением с функцией Мичела (любую из этих двух функций можно принять равной нулю).
Для функции напряжений, представляющей решение осесимметричной задачи, дифференциальное уравнение четвертого порядка получено Дж.Мичелом в 1900 г.
К.Вебер предложил для решения осесимметричной задачи теории упругости две гармонические функции.
В работе /100/ К.В.Соляник-Красса предложил решение, в котором напряжения получаются однократным дифференцированием функции напряжений, составленной из двух функций, удовлетворяющих квазигармоническому уравнению.
В диссертации использовано решение в форме К.В.Соляника-Красса. Большим достоинством такого решения является простота формул. Известны три модификации этого решения:
I. Функция напряжений Ф вводится соотношением
II
ф =Ц[+ 1
Э|р
Зн
где У и уравнению
1р - квазигармонические функции, удовлетворяющие
зг( ) 1 а ( ), з2( ) п
9 г2 г 9 г 9 г2
(1.1.2)
Компоненты тензора напряжений и перемещения представляются следующими зависимостями:
6 -L ,9Ф_.о . бг » 3 г у '
бг —
бр =
тГгн = тт
и =
1 8 Ф
га? 2(1+у) Эф •г а*г 1 ЭФ .
г Эн 1
2Ц2
aw_ 1
ф-2(1—р)(р
а
(1.1.3)
9 ? 23 г
Л а_
а н
Ф -2(1-12) 1р
2^2 Эг Ф+2(1-1/) (р
Ф+2г/1р);
2 Э(р
где V - коэффициент Пуассона; - модуль сдвига;
- перемещения вдоль осей $ и 2 .
2. Функция напряжений ф вводится соотношением
Э 1р
д'г
(1.1.4)
12
виде
В этом случае напряжения и перемещения представятся в
і аФ
« 9 е 5
2(і+т?) Зір ~
—7—іті g»
TW= — U =
і ЗФ .
г 3 z 5 1
2joig
aw_ 1 з
ф -2(і-гР)ір ф +2(i—i?) ip
(I.1.5)
3 г 2ул 3z SW- * |_(ф_2уір);
9 z 2>te
Q -
і
Зф-2ф-2(Н?)ір
3. Функция напряжений вводится соотношением
ф=ф-вЦ
В этом случае напряжения и перемещения определяются по формулам (I.I.3).
Формулу (I.I.I) удобно использовать для изучения деформаций при точном выполнении граничных условий только по плоскостям Z- Const* При исследовании деформаций цилиндров, когда определяющими будут граничные условия по цилиндрическим поверхностям '8= Const » необходимо применять формулу <1.1.4) либо (I.I.6).
В ряде работ исследовались вопросы о взаимной связи реше-
13
ний осесимметричной задачи и ограничения, налагаемые на различные функции напряжений при удовлетворении уравнений равновесия. Сюда следует отнести работы П.§.Папковича /87/, В.А.Гастева /37/, К.В.Соляника-Красса /101/.
1.2 Обзор аналитических решений задач о полупространстве при различном характере загружения
Во введении было отмечено, что при расчете осадок оснований надшахтных сооружений нормативная литература рекомендует рассматривать основание в виде подупространства, загруженного по кольцевому участку поверхности.
Одной из первых задач для полупространства была задача Буссинеска, в которой рассматривалось воздействие на полупространство сосредоточенной силы. Дальнейшее развитие эта задача получила в работе А.Лява /78/, рассмотревшего случай воздействия давления, распределенного по кругу.
Влияние нагрузки, приложенной на дневной поверхности полупространства и распределенной по площади кольца, исследовалось
А.Я.Александровым /6/.
Задача о передаче давления через слой, когда на поверхности дневного слоя действует нагрузка, равномерно распределенная по площади крута, рассматривалась в работе Г.С.Шапиро /115/. Основание при этом предполагается абсолютно гладким и несжимаемым.
Нередко в практике приходится встречаться со случаем, когда массив состоит из нескольких слоев пород. В работе Р.М.Раппопорт /91/ исследовано напряженно-деформированное состояние двухслойного упруго-изотропного полупространства, верхний слой которого имеет конечную толщину. При решении данной задачи ис-
14
пользовано общее решение осесимметричной задачи в форме А.Лява; автором получены численные результаты контактных напряжений при различных соотношениях модулей упругости верхнего слоя и бесконечного массива в случае загружения дневного слоя полупространства силами, равномерно распределенными по площади кольца.
В работах В.3.Васильева /27,28/ рассмотрено взаимодействие полупространства с цилиндрическим включением. В этих работах цилиндрическое включение принимается абсолютно жестким и гладким. Так в работе /27/ рассмотрена осесимметричная деформация полупространства, ослабленного цилиндрической полостью, стенки которой подкреплены абсолютно жестким и гладким включением. Автором были получены численные результаты напряжений, в частности, радиального напряжения (5 ^ , которое при значении радиуса, равного радиусу абсолютно жесткой оболочки, определяет давление массива на подкрепление; в работе также выполнен расчет осадок поверхности вблизи выработки. Полученный расчет является обобщением известного решения об осесимметричной деформации цельного полупространства при нагружении дневной поверхности нормальными силами, равномерно распределенными по площади круга. Последнее достигается как частный случай, если в соотношениях для напряжений и перемещений устремить внешний радиус абсолютно жесткой оболочки к нулю. Сравнение полученных результатов показывает, что для полупространства с выемкой, подкрепленной абсолютно жесткой оболочкой, значительно увеличивается осадка массива по сравнению с осадкой цельного массива: в непосредственной близости к подкреплению она позрастает более, чем в два раза.
В работе /28/ рассмотрена осесимметричная деформация двухслойного упруго-изотропного полупространства с цилиндрической
- Київ+380960830922