Температурные поля и напряжения в ферромагнитных электропроводных телах с плоскими границами при индукционном нагреве

ВВЕДЕНИЕ
Для построения рациональных режимов нагрева и термообработки тел из ферромагнитных материалов с помощью электромагнитных полей является важным исследование в этих телах во взаимосвязи процессов электропроводности, теплопроводности и деформации.
Различные вопросы промышленного применения индукционного нагрева, а также расчета и проектирования индукционных установок достаточно полно изложены в работах [7,9,23,26,36,37,51,72,82,87, 100,109,110].
Общая теория взаимодействия электромагнитных полей и материального континуума рассмотрена в работах [4,5,8,20,67-69,84,91, 102-105,123,140,141,146].
Разработке конкретных моделей определения и исследования механического поведения электропроводных как неферромагнитных так и ферромагнитных тел в электромагнитном поле посвящены работы [1,4, 5,19,20,22,25,47,50,62,67,73,77,85,94,100,105-108,123,127-130,133, 137-141,144,145].
В работах [22,60,93,100] предложена конкретная расчетная модель решения задач об определении напряженного состояния электропроводных неферромагнитных тел при индукционном нагреве, в которой влияние электромагнитного поля на процессы теплопроводности и деформации связывается с выделением джоулева тепла. При этом схема решения задачи состоит в последовательном решении уравнений электродинамики, теплопроводности и квазистатической термоупругости, причем в качестве непрерывно распределенных тепловых источников в уравнении теплопроводности принимается усредненное по периоду колебаний электромагнитной волны джоулево тепло. Оценка пределов применимости данной расчетной модели содержится в работах [22,92].
Решение задачи об определении термонапряженного состояния электропроводных тел даже в приведенной упрощенной модели, в связи
- 3 -
с ее комплексностью, в общем случае представляет значительные математические трудности. Поэтому при наличии большого количества работ посвященных определению и исследованию усредненного по периоду колебаний электромагнитной волны даоулева тепла [60,61,82] и обусловленного им температурного поля [101,136,142] известны только отдельные методики аналитического определения термоналряженного состояния при индукционном нагреве неферромагнитных тел, изложенные в работах [29,92,93,108]. Однако эти методики позволили провести конкретные исследования термонапряженного состояния в основном лишь в случаях одномерных задач индукционного нагрева полупространства [б1], слоя [эз], биметаллического слоя [22], сплошного и полого цилиндров, цилиндрических оболочек [92]. Исходя из такой расчетной модели найдены отдельные решения и для тел канонической формы из ферромагнитных материалов [22,92,100] при линейной зависимости между индукцией и напряженностью магнитного поля с постоянным коэффициентом магнитной проницаемости.
В литературе не имеется эффективной модели определения температурных полей и напряжений в телах из ферромагнитных материалов, учитывающей нелинейный характер зависимости индукции от напряженности магнитного поля.
Известны приближения В.К. Аркадьева [7] и Л.Р. Неймана [80] определения электромагнитного поля в ферромагнитных телах (соответственно для эллиптической зависимости с введением комплексной магнитной проницаемости и сведения нелинейной зависимости к координатной); отдельные численные с использованием метода сеток [125, 143], аналитико-численные [106,120,121] и аналитические [6,15,49] методы для одномерных по координатам задач. Однако эти методы не для всех нелинейностей обеспечивают достаточную точность решений или эти решения не являются удобными для определения других физических полей, обусловленных электромагнитным полем.
- 4 -
Имеются также работы, которые посвящены только определению и исследованию усредненного по периоду колебаний электромагнитной волны даоулева тепла и обусловленного им температурного поля в ферромагнитных телах [23,48,82,96,97,109,110], исходя из электромагнитного поля, найденного в приближении Л.Р. Неймана и В.К. Аркадьева.
Отдельные задачи о деформировании и колебаниях упругих ферромагнитных тел при действии внешнего магнитного поля без учета тепловых процессов рассмотрены в работах [3-5,10,77,107].
Для неферромагнитных материалов имеется обобщение [21,29,92] вышеизложенной расчетной схемы определения термонапряженного состояния, в которой учитывается периодический характер изменения во времени дкоулева тепла, пондеромоторные силы, а также силы инерции. Эти факторы могут приводить к существенным как количественным так и качественным отличиям температурных полей и напряжений с найденными без их учета. Поэтому представляет также значительный интерес исследование влияния периодического характера изменения во времени тепловыделений и пондеромоторных сил на термоупругое состояние и для ферромагнитных тел.
В связи с вышеизложенным является актуальной и практически важной разработка эффективной расчетной модели приближенного определения термонапряженного состояния электропроводных тел из ферромагнитных материалов, обусловленного воздействием внешнего квази-установившегося электромагнитного поля.
Целью работы является разработка расчетной модели определения температурных полей и напряжений в электропроводных ферромагнитных телах, находящихся под воздействием внешнего квазиустановившегося электромагнитного поля; построение методики решения соответствующих задач математической физики; определение и исследование термонапряженного состояния ферромагнитных тел с плоскопараллельными
- 5 -
границами при индукционном нагреве.
Диссертационная работа состоит из трех глав и приложения.
В первой главе сформулирована математическая постановка задачи об определении термоупругого состояния ферромагнитных тел, обусловленного воздействием внешнего квазиустановившегося электромагнитного поля; приводятся феноменологические соотношения электродинамики, а также исходные уравнения электродинамики и термоупругости. При этом принимается, что взаимосвязь электромагнитных, температурных и механических полей осуществляется джоулевыми тепловыделениями и тепловыделениями связанными с перемагничиванием, пондеромоторными силами как воздействия электромагнитного поля на токи проводимости (силами Ампера) так и на молекулярные токи (силами дипольного типа), а также термоупругим рассеянием энергии. Исходная система уравнений термоупрутости записана с учетом изменяемости во времени джоулева тепла, пондеромоторных сил и связанности полей деформации и температуры.
Зо второй главе предложена методика решения задачи для тела из магнитомягкого материала, для которого зависимость между индукцией и напряженностью магнитного поля является нелинейной, но не имеет гистерезисного вида. Квазиустановившиеся во времени решения нелинейной задачи электродинамики находятся методом последовательных приближений (итераций), при определенным образом построенном нулевом приближении.
Методика иллюстрируется на примере плоской задачи для слоя при заданном значении амплитуды напряженности магнитного поля на лицевой поверхности (односторонний индукционный нагрев) или амплитуд напряженностей магнитного поля на обеих поверхностях (двусторонний индукционный нагрев). Для решения задач последовательных приближений применены методы интегральных преобразований.
Подробно исследовано влияние нелинейной зависимости индукции
- 6 -
от напряженности магнитного поля, периодического характера изменения во времени джоулева тепла, пондеромоторных сил, а также связанности полей деформации и температуры на термоупругое состояние слоя при заданном значении касательной составляющей напряженности магнитного поля постоянной амплитуды.
В третьей главе с использованием результатов изложенных во второй главе, сформулированная расчетная схема и дана методика решения задачи об определении температурных полей и напряжений в телах из магнитотвердого материала, для которого зависимость между индукцией и напряженностью магнитного поля имеет вид петли гистерезиса.
Приведено общее решение для плоской задачи и результаты исследований напряженностей электрического и магнитного полей, индукции магнитного поля, тепловыделений, пондеромоторных сил, а также температурных полей и напряжений в магнитотвердом слое при индукционном нагреве по толщинной координате. Изучено влияние гистерезисной зависимости индукции от напряженности магнитного поля на искомые решения, в частности, на тепловыделения вследствии перемагничива-ния.
В заключении приведены основные результаты работы и вытекающие из них выводы.
В Приложениях
- приведено квазигармокическое во времени представление индукции магнитного поля;
- исследованы пределы применимости предложенной методики;
- содержится акт об использовании результатов выполненных исследований.
Таким образом, в диссертационной работе защищается предложенная расчетная модель приближенного определения термонапряженного состояния электропроводных ферромагнитных тел при индукционном на-
- 7 -
греве квазиустановившимися электромагнитными полями, которая учитывает конкретную нелинейную зависимость между индукцией и напряженностью магнитного поля для магнитомягких и магнитотвердых материалов, периодический характер изменения во времени джоулева тепла лондеромоторные силы как воздействия электромагнитного поля на токи проводимости так и на молекулярные токи, а также связанность полей деформации и температуры; разработана методика решения соответствующих задач математической физики, основанная на методах итераций и интегральных преобразований; приведенная оценка, с использованием методов малого параметра и численного, пределов применимости предложенной методики; получены новые результаты о влиянии ферромагнитных свойств материала на термомеханическое поведение тел с плоскопараллельными границами при индукционном нагреве; построена уточненная расчетная схема решения задачи.
Основные результаты работы докладывались на У-УП, IX, X конференциях молодых ученых Института прикладных проблем механики и математики АН УССР (г. Львов, 1977-1979, 1982, 1984 гг.), ХУ Научном совещании по тепловым напряжениям в элементах конструкций (г.Канев, 1980 г.), на семинаре Отделения физико-технических проблем энергетики АН УССР "Прикладные методы расчета физических полей" (Крым, пос. Кацивели, 1982 г.), II Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы нелинейной электротехники” (г. Киев, 1984г.), III Всесоюзном симпозиуме "Теоретические вопросы магнитоупрутости" (г. Ереван, 1984 г.), семинаре отдела теории физико-механических полей (г. Львов, 1984 г.) и семинаре отделов механики деформируемого твердого тела и теории физико-механических полей Института прикладных проблем механики и математики АН УССР (г. Львов, 1985 г.) и опубликованы в работах [31-34,88,111-115].
Считаю своим долгом выразить благодарность моему научному руководителю А.Р. Гачкевичу за большую помощь и постоянное внимание к работе.
- 8 -
І. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ.
Ставится задача об определении термоупругого состояния ферромагнитных тел, обусловленного воздействием внешнего квазиустано-вившегося электромагнитного поля. Примем, что взаимосвязь электромагнитных, температурных и механических полей осуществляется джоулевыми тепловыделениями и тепловыделениями связанными с пере-магничиванием, пондеромоторными силами как воздействия электромагнитного поля на токи проводимости (силами Ампера), так и на молекулярные токи (силами дипольного типа), а также термоупругим рассеянием энергии.
Будем рассматривать металлические ферромагнитные материалы для которых являются несущественными поляризация, механоэлектрические, термоэлектрические и магнитострикционные эффекты [2,3]. Будем пренебрегать также влиянием подвижности среды на токи [ 146].
Ограничимся температурами ниже точки Кюри |ію] для которых диэлектрическая и магнитная проницаемости практически не зависят от температуры [117]. Поэтому в дальнейшем в расчетной схеме эти характеристики, а также коэффициент электропроводности примем не зависящем от температуры. Считаем также не зависящими от температуры и равными приведенным на интервале нагрева все теплофизичес-кие и физико-механические характеристики материала.
Как и в известной в литературе расчетной модели определения напряженного состояния электропроводных нефферомагнитных тел в квазиустановившихся электромагнитных полях [92] , учтем периоди-
ческий характер изменения во времени джоулева тепла и пондеромо-торных сил.
В таком приближении задача об определении температурных полей и механических напряжений в ферромагнитном теле сводится к последовательному решению уравнений электродинамики с учетом ферромаг-
- 9 -
нитных свойств материала и динамической термоупругости при известных выражениях источников тепла и объемных сил.
В настоящей главе для принятой расчетной модели приводятся исходные соотношения и уравнения для нахождения электромагнитного поля, тепловыделений, температурного поля и механических напряжений в электропроводных ферромагнитных телах при воздействии внешнего электромагнитного поля.
§ I. Феноменологические соотношения электродинамики.
К ферромагнитным материалам относятся материалы, имеющие нелинейную зависимость между индукцией и напряженностью магнитного поля. Будем рассматривать изотропные ферромагнитные среды, в которых вектор индукции 8 параллельный вектору напряженности Н магнитного поля [121] , причем
Бу,н+Т(н),
где
Т(Н) - Ха(Н)/7
Тогда
В =/1а(Н)Н.
Здесь I (Н) - вектор намагниченности, ^а(Н) » 9?« (Н) - со-
ответственно абсолютные магнитная проницаемость и восприимчивость; у/0 - магнитная постоянная, уУ0 (Н) уИ0 + дв(Н) 5 Н= /Я/,
В =/в/ или /-/= ^//У/э В = ±1В1 прп циклическом перемагничива-нии [58,67,68,77,138,139,147].
При больших значениях напряженности магнитного поля ( /У»
»НКр ~ Ю дГ ) намагниченность стремится к насыщению /5 . При этом в зависимости (1.1) можно пренебречь вторым членом. В полях,
(1.1)
(1.2)
- 10 -
для которых Н «Нкр,обычно пренебрегают в этой зависимости первым членом [55 ] .
При циклическом перемагничивании кривая намагничивания образует динамическую петлю гистерезиса. Семейство таких кривых при различных значениях амплитуды магнитного поля схематически показано на рис. 1.1. Петлю гистерезиса при насыщении называют предельной. Форма петли для конкретного материала зависит от частоты и амплитуды внешнего поля, а также в общем случае - температуры. Так как мы ограничиваемся рассмотрением температур ниже точки Кюри, то форма соответствующих петель гистерезиса практически не зависит от температуры [по] .
Для слабых полей и высоких частот кривая намагничивания имеет вид эллипсов [52,58,79,99] .
Геометрическое место вершин симметричных петель гистерезиса, получающихся при циклическом перемагничивании, образуют основную кривую намагничивания. На этой кривой принято различать четыре характерных области (рис. 1.2), связанные с физической природой процесса намагничивания при увеличении напряженности намагничивающегося поля [58,99]. Функции (Н) соответствующие основной кривой намагничивания, приведены на рис. 1.3 (сплошные линии).
В экспериментальной практике для зависимостей В =В(Н.) измеряют и приводят в справочной литературе характеристики О^ ,
и соответственно уннач и уЧтах . Здесь Вв -индукция насыщения, Вг - остаточная индукция, //с - коэрцитивная сила, - напряженность магнитного поля, соответствующая
гистерезисному насыщению, у^нач и “ соответственно начальная
и максимальная относительная проницаемости [7,11,49,53,89,98].
Ферромагнитные материалы иногда характеризуют также с помощью дифференциальной магнитной проницаемости
- 12 -
Л ф=1 —
'*+ Л(]Н '
(1.3)
которая представляет собой тангенс угла наклона касательной к кривой намагничивания и может быть определена экспериментально [99]. Такая кривая показана на рис. 1.3 пунктирными линиями.
По способности намагничиваться ферромагнитные материалы разделяются на магнитомягкие и магнитотвердые [12,13,44,45,53,54,99] Характерны™ свойствами магнитомягких материалов (технически чистое железо, электротехнические стали, пермаллои и др.) являются их способность намагничиваться до насыщения даже в слабых полях (высокая магнитная проницаемость) и малые потери на перемагничивание. Магнитотвердые материалы (мартенситные стали, материалы на основе сплавов Г е-№-/!£ и пр.) обладают большими потерями на перемагничивание. Они имеют большие остаточную индукцию Вг и коэрцитивную силу Не. [79,83].
Сравнивая петли гистерезиса, характерные для обеих групп материалов, можно отметить, что форма петли и индукция насыщения для них примерно одинаковы, а разница в коэрцитивной силе достигает большой величины. Границы значений Нс , по которым материал можно отнести к группе магнитомягких или магнитотвердых,обычно принимают следующими: для магнитомягких материалов Нс < 800 £ ,
а для магнитотвердых - Нс > 4 /03 — . Вследствии этого, магнитомягкие материалы имеют узкую петлю гистерезиса, а магнитотвердые - широкую.
В научно-технической литературе основные кривые намагничивания [49,58,96] , приведенные на рис. 1.1 - 1.2, аппроксимируют различными аналитическими зависимостьями, которые используются при расчете режимов работы ферромагнитных элементов (с помощью степенных, дробно-рациональных, логарифмических, экспоненциальных, гиперболических, тригонометрических и др. функций). Аппроксимацией наиболее
e*I *01y
г*і #овд
н
- ei -
- 14 -
полно описывающей характер экспериментальной зависимости В -В1Н) и учитывающей возможность насыщения является аппроксимация Дрейфуса
где уЗ = Вв , сС ~ р , относительная началь-
ная магнитная восприимчивость, Э?нау = №нач~1 . В полях, практи-
/ /Ч
чески применяемых при индукционном нагреве ( Н«~ т )
Р ?
в соотношении (1.4) можно пренебречь первым членом (зависимость Моллера) [58] . Отметим, что для малых полей и больших частот ос-
новная кривая намагничивания вырождается в прямую с угловым ко эф-фициентом 1^сС =УЦД-
В расчетной практике принимают, что зависимость между В и Н для магнитомягких материалов в связи с малостью значений Нс и Ву. (незначительные потери на перемагничивание) с достаточной точностью описывается основной кривой намагничивания, т.е. соотношениями вида (1.4).
Связь между индукцией и напряженностью магнитного поля для магнитотвердых материалов описывается динамической петлей гистерезиса, вид которой в переменных электромагнитных полях зависит от величины поля и частоты (7,99].
При малых амплитудах и высоких частотах, когда петля гистерезиса является эллипсом (рис. 1.4), а основная кривая намагничивания есть прямой
В /У, ц.5)
параметрическое уравнение такой зависимости при гармонической напряженности магнитного поля (заданной коэффициентами /7 и С ), будет
15
Рис. 1.4
- 16 -
H(t)~ftcob(^t + С Smoot
B(t)=flcobut + С Sin bit, (1.6)
где Ы = Z3T))0 , i)e - частота, t - время.
Исключая из системы (1.6) параметр t , получим уравнение исходного эллипса
(я‘‘*с‘‘>н‘-гш'+сс'т*(д (1>7)
Конкретно выбранный эллипс будем определять характерными точками
HL<’ 8L-Br■
Здесь Нс и Вг - соответственно коэрцитивная сила и остаточная намагниченность, которые соответствуют текущему значению амплитуды
напряженности магнитного поля Н0 -[7F+C? • Тогда из соотноше-
ний (1.7) и (1.8) будем иметь
Д-&С, C'^r R + jflhf С, (1.9)
и‘
где х = — • При этом уравнение эллипса (1*7) запишется
^ к
(ff) -г § +(§f=t. (i.xo)
С Су —Т
Тангенс угла У наклона большой оси данного эллипса к оси Н будет [ез]
(1-ш
17 -
Сравнивая формулы (I.II) и (1.5), получим соотношение
=/!Д (Т.12)
Таким образом исходный эллипс можно характеризовать величинами ис , в; , к или Mq , , Нр .
Дифференцируя первое уравнение системы (1.6) по t и выражая
из него и полученного соотношения функции coicot И Sift cot
через HU) и -ffi- > а затем подставляя их во второе урав-
dt
нение (1.6), и используя соотношение (I.I2), получгол такое эквивалентное системе (1.6), параметрическое представление эллипса (1.10)
Hit) - йсоо соt + С Sin cot
вт-м[Я?н-£%]. (1ЛЗ)
В справочной литературе приводятся величины Нс и Вг для граничного эллипса (Н = Нтау) , и известно, что для Н«Нтах все эллипсы с одинаковым эксентриситетом, т.е. выполняется соотношение
к = л
и: нтах • (I.I4)
^ И,
Поэтому величина Л = тг одинакова для всего семейства эл-
Нтах
липсов и зависимость (1.13) описывает при х = у~- это семей-
Птах
ство для любого текущего значения амплитуды напряженности магнитного поля.
В случае, когда Н0 > Нтах » для всех последующих эллипсов
Нс не увеличивается /24] . Тогда примем, что всего семейства
Н Н
таких эллипсов тс = —- и формула (1.13) справедлива при ус = т-г
Н0 Но
для каждого эллипса из этого семейства. Таким образом, зависимость
- 18
между ^ и /-/ в общем случае будем приближенно описывать формулой (1.13), при
( Не/ц для Н 4 Нтлх
У =1 ,, (1.15)
( Нс/ДЛЯ Н > Нв .
Отметим, что при И > Н этим приближением вносится определенная погрешность в описание зависимости В -В(Н) при малых по сравнению с Нтах значениях амплитуды напряженности магнитного ПОЛЯ ( /-/« Нпа*) • Однак0 эти значения являются пренебрежимо ма-
лыми по сравнению с величинами магнитного поля в окрестности Н~
=■ НтаХ и не влияют на эти величины.
Для описания эллипсоидальной зависимости между В и Н иногда вводят также комплексную магнитную проницаемость ^ =
в =Втё“\ Н-Нте1“\ где вт И Н„-
комплексные амплитуды) и соответствующий тангенс угла потерь
^ 1?1 • Такое описание эквивалентно формулам (1.13)
при
/«V. «.да
Полагая в соотношениях (1.13) ^ =0 (Нс =0) придем .для данного случая (эллиптической зависимости) к приближению магнитомягкого материала. При этом зависимость В) ~В(Н) будет
НШ — /] + С £шо>/
вш-^нт, (1Д7)
Т.е. второе соотношение совпадает с уравнением основной кривой намагничивания (1.5) и является зависимостью для линейного материала. Таким образом, из выражений (1.13) следует, что для эллипса
19
основная кривая намагничивания - прямая, а исходные параметрические представления петли гистерезиса при заданном законе изменения Н(Н могут быть формально получены из уравнения основной кривой намагничивания В -заменой функции Н на
jc д_Н_ dt
В случае магнитотвердого материала при неэллиптической кривой намагничивания гистерезиснуто зависимость построим подобным образом: производя в уравнении основной кривой намагничивания В = ВІН)
О II
замену /у на {7-х* Н - — ^гг • При этом зависимость
J w dt
между индукцией и напряженностью магнитного поля для гармонических полей предстанет как
H(t)=/]ccK>u)t + С Sin a)t
(I.I8)
B(t)=B(W
где
х-/£гн-йЦг-
На рис. 1.5 показана построена таким образом зависимость В -ВІН) для сплава ЮНДК 4 при Вг = /, 2 Тл, Нс = 55Ю3 ■— , Нтах =240 Ю £ когда основная кривая намагничивания описывается аппроксимацией Мюллера, т.е.
H(t) = flcoi><jdt + С Sinu>t
Пунктирной линией представлена экспериментальная кривая размагничивания для этого же материала. Из рисунка видно, что вышеприведенная аппроксимация кривой намагничивания на участке размагничивания с достаточной точностью совпадает с экспериментальной.
- 20 -
-ZW -120 о 120 H, ~г
П
Рис. 1.5
- 21
К полученным феноменологическим соотношениям (1.1) - (1.2), (1.4) или (1.19) между индукцией и напряженностью магнитного поля необходимо добавить соотношения, связывающие векторы напряженности и индукции электрического поля, а также плотности тока проводимости с напряженностью электрического поля. При принятом пренебрежении поляризацией, механоэлектрическими эффектами, а также влиянием подвижности среды на токи эти соотношения примут вид
д=еевЕ, (1.20)
где в0 , £ - соответственно абсолютная и относительная диэлектрические постоянные вакуума и материала, (3” - коэффициент элек-
тропроводности.
Отметим, что из соотношений (1.1) - (1.2), (1.20) при^(Н) =
= придем к феноменологическим зависимостям
B-fft.iT, й-ее,Е, /-©£\ (1.21)
для линейного материала.
§ 2. Исходные уравнения электродинамики.
Рассмотрим твердое изотропное электропроводное ферромагнитное тело, в области которого (область V трехмерного пространства ИЗ ограниченная поверхностью *5* ) отсутствуют "сторонние" заряды и токи. Тело находится под воздействием внешнего квазиустаяовившего-ся электромагнитного поля (60,68] , заданного вектором напряженности магнитного поля на поверхности $
Н,0(ЕЛ) =НШН'°Ы)ссъЫ *(2.1)
Здесь с? - радиус-вектор рассматриваемой точки, У0 - начальная фаза, Н(0 - функция, которая относительно мало изменяется за