- г -
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ...........................4>.............................3
§ 0.1 Постановка задачи, состояние исследуемых вопросов в литературе, краткое содержание результатов диссертации. . .3 § 0.2 Основные обозначения, определения, вспомогательные
утверждения .............................................9
ГЛАВА 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАШСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРА РЕШЕНИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО-ВОЛЬТЕРРА; Щ, -ТЕОРИЯ..................................16
§ 1.1 Существование и единственность решения..................16
§ 1.2 Существование и единственность локального решения . . 22
§ 1.3 Продолжимость локального решения........................31
§ 1.4 Непрерывная зависимость решений от параметра.............34
§ 1.5 Существование слабого решения ......................... 3?
ГЛАВА 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРА РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО-ВОЛЬТЕРРА; £ -ТЕОРИЯ................................. ,42
§ 2.1 Решения с суммируемым вторым моментом ................... 42
§ 2.2 Существование и единственность стохастически
непрерывного решения.....................................47
§ 2.3 Решения с п.н. непрерывными траекториями..................52
§ 2.4 Непрерывная зависимость решения от параметра..............59
ГЛАВА 3. СУПЩСТЮВйНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ......................................62
§ 3.1 Существование и единственность решения....................63
§ 3.2 Многомерная теорема сравнения ........................... 74
§ 3.3 Уравнения с непрерывным сносом............................82
§ 3.4 Непрерывная зависимость решений стохастических дифференциальных уравнений с единичной диффузией от начальных условий .....................................................86
§ 3.5 Уравнения с одновременным вырождением ядер................88
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА.........................................92
- 3 -
ВВЕДЕНИЕ
§ 0.1 Постановка задачи, состояние исследуемых вопросов в литературе, краткое содержание результатов диссертации.
Стохастические интегральные уравнения Ито-Вольтерра вида 7 7 b J ’ * s b
о о
являются естественным обобщением стохастических дифференциальных уравнений типа К.Ито. Уравнения вида (0.1) также появляются при исследовании различных вопросов теории стохастических дифференциальных уравнений. Широкий класс стохастических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и стохастических интегро-дифференциальных уравнений может быть сведен к стохастическим интегральным уравнениям Ито-Вольтерра, это сведение аналогично соответствующему сведению в теории детерминированных уравнений.
С другой стороны, в последнее время появился ряд статей прикладного характера [1,7,40,43,46,54,58-60,6S^ $ в которых при построении математических моделей физических, технических, биологических и других явлений приходится пользоваться уравнениями вида (0.1). Таким образом, возникла необходимость построения общей теории таких уравнении. Хотелось, чтобы,по аналогии с детерминированной ситуацией, такая теория включала в себя (в соответствующих пределах) теорию стохастических дифференциальных уравнений типа К.Ито. Конечно, теория стохастических дифференциальных уравнений типа К.Ито заведомо окажется богаче теории стохастических интегральных уравнений Йто-Вольтерра, т.к. содержит результаты, специфические для дифференциальных уравнений. Например, в теории уравнений вида (0.1) нельзя пользоваться методами, основанными на независимости
- 4 -
приращений решения, существенно ограничены возможности аналитических методов.
В теории стохастических дифференциальных уравнений наиболее глубоко разработаны вопросы существования и единственности решений (см.,напр., £2-4,6,10,11,19,21,24,25,41,45,52,56,57,63-6511), в теории стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра основными следует считать те же вопросы.
В первых работах по теории стохастических интегральных уравнений [40,48,58-60,62,633 ядро в *) нулевое. Решения здесь рассматриваются как непрерывные функции со значениями в различйгс банаховых пространствах случайных величин, ядро Ас\,ъ,х} - как отображение при фиксированных А; и в в соответствующем пространстве случайных величин. Основные методы исследования здесь - теоремы о неподвижных точках, основное условие существования и единственности решения - условие Липшица на отображение АсЛ,^.,х) . Результаты в этом направлении подытожены в [441.
Позднее Мз'ло^а'ЛА. М.и., О.л.0 А.кг.У,С..Р. в £543 и £.613, \_evtfIVI Н, в £533 аналогичными методами исследовали общее уравнение (0.1).
<£).£451, у/.и. £463, Ю.Л.Далецкий [73
рассматривали некоторые частные уравнения вида (0.1) в гильбертовом пространстве, они получались в результате преобразования стохастических дифференциальных уравнений с локально Липшицевыми по фазовой переменной ядрами вне точек их одновременного обращения в нуль. Как показывает пример И.В.Гирсанова [З3» такие уравнения могут иметь неединственное решение, факт существования решения таких уравнений следует из теоремы §3.5 диссертации.
А.Ю.Шевляков £39},~1Аго Т. 1493 исследовали вопросы существования и единственности решения линейного стохастического интеграль-
- 5 -
ного уравнения Ито-Вольтерра с интеграруемым вторым моментом.
Х-to Т. [50] и Т.Н.Кравец £1б] показали, что для существова-вания и единственности решения уравнения (0.1) с почти наверное непрерывными траекториями достаточно, чтобы ядра и
6 сАт,£>,х) удовлетворяли условию Липшица по первому и третьему аргументам. Поэднее. А.М.Колодий £.13,143 ослабил условие на модуль непрерывности ядер по первому аргументу. В доказательствах прямо или косвенно используется известная теорема А.Н.Колмогорова о непрерывности траекторий случайного процесса (см.,напр., L53) или ее обощения £5,с.2353,[22,с.139].
Стохастически непрерывные решения уравнения (0.1) с почти наверное суммируемыми с квадратом траекториями рассмотрены Т.Н. Кравец [153. Достаточные условия существования и единственности решений здесь весьма жесткие, например, ядра линейных уравнений им не удовлетворяют.
В £18] Т.Н.Кравец рассмотрен вопрос о существовании слабого решения уравнения (0.1). Основное условие здесь - непрерывность детерминированных ядер А и и их частных
производных по -Ъ первого порядка.
Следует отметить также статью М, А, ,W\ \ геРг 4,3.
£42], посвященную изучению свойств решений линейных стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра.
Диссертация посвящена вопросам существования, единственности и зависимости от параметра решений стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра. Хорошо известно, что в случае дифференцируемости ядер AcAjSjX*) И ПО t уравнение (0.1)
может быть сведено к стохастическому дифференциальному уравнению без последействия, рассматривавшемуся И.Й.Гихманом и А.В.Скорохо-
- 6 -
дом в 1.4,63 и другими. В диссертации условие дифференцируемости ядер ПО -Ь, в каком бы то ни было вероятностном смысле или ему эквивалентное на ядра уравнения (0.1), нигде не накладывается.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. В первой главе рассмотрены непрерывные в среднем квадратическом решения уравнения (0.1), во второй - стохастически непрерывные решения и решения с почти наверное непрерывными траекториями, в третьей рассмотрен важный частный случай - стохастические дифференциальные уравнения типа К.Ито.
Первая глава состоит из пяти параграфов. В § 1.1 изучается вопрос о существовании и единственности непрерывного в среднем квадратическом решения уравнения (0.1). Для доказательства сходимости последовательных приближений к решению уравнения используются теоремы об интегральных и функциональных неравенствах Вольтерра (см.,напр.,ЦЗб1).
В § 1.2 при частичном ослаблении условий § 1.1 доказано существование и единственность локального решения уравнения (0.1).
В § 1.3 исследуются условия продолжимости локального решения.
В § 1.4 приведены условия непрерывной в среднем квадратическом зависимости решения от параметра, входящего в ядра и свободный член уравнения (0.1).
В § 1.5 показано, что при условиях типа условий Каратеодори (см.,напр., Г37,55]), накладываемых на детерминированные ядра уравнения (0.1), существует слабое решение этого уравнения.
Вторая глава состоит из четырех параграфов. § 2.1 носит вспомогательный характер, здесь приведены условия существования и единственности стохастически непрерывного решения уравнения (0.1), второй момент которого суммируем по + .
В § 2.2 получены условия существования и единственности
- 7 -
стохастически непрерывного решения уравнения (0*1) с почти наверное локально суммируемыми с квдратом траекториями. Условие на модуль непрерывности ядер по фазовой переменной здесь более жесткое, чем в главе 1.
В § 2*3 приведены достаточные условия существования и единственности решения с почти наверное непрерывными траекториями*
В § 2.4 изучается зависимость решения от параметра, входящего в ядра и свободный член уравнения.
Используемая в главах 1 и 2 диссертации методика оценок с помощью интегральных и функциональных неравенств Вольтерра позволяет получить результаты, обобщающие не только известные условия существования и единственности решения уравнения (0*1), но и ряд теорем существования и единственности решения стохастического дифференциального уравнения типа К.Ито. В частности, из результатов этих двух глав следуют теорема о существовании и единственности решения стохастического дифференциального уравнения с локально липшицевыми коэффициентами [4,с.4бЗ и теорема и |^65,т.4].
Глава 3 состоит из пяти параграфов. В § 3.1 методика оценок из глав 1 и 2 применяется для получения условий существования и единственности решения стохастического дифференциального уравнения
сАх = А<^,Х + £ЬсЬ,х л (0.2)
X •*: -ъ -ъ О
Основной результат (теорема 3.3) обобщает не только упоминавшиеся условия существования и единственности решения уравнения (0.2), но и теорему Н.В.Крылова И Б. Л. Розовского [19, с. 1093 , основанную на т.н. условии монотонности.
§ 3.2 носит вспомогательный характер, здесь доказывается многомерная теорема сравнения, утверждение которой аналогично теоремам сравнения А.В.Скорохода [24,с.40] и Уа™ас!аТ.[ббЗ.
- Київ+380960830922