РАЗДЕЛ 2
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ГРУППОВОГО СИГНАЛА СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ГАРМОНИЧЕСКИМИ СИГНАЛАМИ
2.1 Оптимальный спектр сигнала при передаче по полосноограниченному каналу связи с линейными искажениями и аддитивным шумом
Известна задача поиска оптимальной формы спектра передаваемого сигнала s(t), при которой скорость передачи информации по полосноограниченному каналу связи с функцией спектральной плотности мощности шума N(f) и передаточной функцией H(f) достигает пропускной способности.
Решение этой задачи описано в работе [71]. Согласно [71], оптимальный спектр s(f) мощности сигнала определяется формулой
(2.1)
где FB область частот, для которой спектральная плотность мощности приведенного ко входу канала связи шума (эквивалентного шума) N(f)/H2(f) < B,
а B является решением уравнения
где P - мощность передаваемого сигнала s(t).
На рис. 2.1 приведена графическая интерпретация решения (2.1) задачи оптимизации спектра передаваемого сигнала: на тех частотах, где спектральная плотность мощности эквивалентного шума n(f) = N(f)/H2(f) меньше константы, оптимальный спектр мощности s(f) дополняет спектр мощности эквивалентного шума до константы. На остальных частотах s(f) = 0. Наглядной физической интерпретацией решения этой задачи является заполнение мощностью сигнала s(f) (водой) сосуда, форма дна которого определяется кривой эквивалентного шума. По этой причине оптимальное решение получило название принцип "заполнения водой".
Рис. 2.1. Распределение спектра мощности сигнала в соответствии с принципом "заполнения водой"
Реализация этого принципа в системах передачи с ортогональными гармоническими сигналами оптимизирует не только спектр группового сигнала, но и распределение передаваемой по каналам СП ОГС информации. На рисунке 2.2 приведена иллюстрация действия алгоритмов, реализующих принцип "заполнения водой" в СП ОГС. Заметим, что эти алгоритмы являются инициализационными, т. е. действуют на этапе установления соединения. График слева ? модуль передаточной функции (АЧХ) некоторого канала связи, в котором присутствует сосредоточенная по спектру помеха (ССП). Предполагается, что в канале связи действует белый аддитивный шум. График справа отражает полученное в результате выполнения алгоритма распределение количества бит, передаваемых за посылку, по каналам СП ОГС. Как видим, в результате оптимизации в лучших каналах передается больше информации, чем в худших, а канал, на частоте которого действует ССП, вообще не используется.
Рис. 2.2. Зависимость скорости передачи в каналах СП ОГС от АЧХ канала связи и помех
2.2 Распределение количества передаваемой информации по каналам модема
Для определения оптимального (например, с точки зрения достижения максимальной скорости передачи данных) распределения количества передаваемой по каналам СП ОГС информации необходимо соотношение, связывающее число бит b(i) информации, передаваемой в течение посылки на i-й несущей (i = 1, 2, ..., n, n - общее количество несущих), с отношением сигнал/шум SNR(i) на частоте этой несущей и с вероятностью ошибки p на выходе приемника. Выведем это соотношение.
Как известно, вероятность ошибки p на выходе i-го канала приемника СП ОГС определяется соотношением
(2.2)
где K - коэффициент размножения ошибок, приблизительно равный 5,5 в предположении, что в системе используется дифференциальная фазовая модуляция и 3-отводный скремблер;
М(i) число уровней сигнала по каждой из двух взаимно ортогональных осей в графическом представлении КАМ-сигнала, M(i)=2b(i)/2;
Q-функция определяется как
(2.3)
h отношение "полурасстояния" a(i) между сигнальными точками к среднеквадратическому отклонению гауссовского шума мощности N(i):
.
Обозначив
,
перепишем (2.2) в виде
.
Из (2.2) требуется определить b(i). Однако, так как M(i)=2b(i)/2, то в правой части формулы (2.2) b(i) стоит в 3-х местах. Для успешного решения этого уравнения усредним ?(i), считая, что b(i) меняется от 2 до 8 бит [72 ? 74]. Для этого представим ?(i) как функцию от b(i):
. (2.4)
Среднее значение ?(i) обозначим ?. Нетрудно проверить, что при b(i) = 2 ?(i) = 1, а при b(i) = 8 ?(i) = 15/32. Тогда среднее значение ? = (1+15/32)/2 ? 0,73. Теперь формула (2.2) принимает вид:
. (2.5)
Для дальнейших рассуждений нам необходимо вывести формулу, определяющую зависимость b(i) от h.
Известно, что средний квадрат амплитуды среди сигналов созвездия равен 2/3(M2(i)-1)a2. Средний по времени квадрат сигнала равен средней мощности сигнала. Так как в СП ОГС используются гармонические сигналы, то средняя мощность сигналов созвездия равна среднему квадрату амплитуды этих сигналов, делённому на 2:
.
Отсюда
а поскольку , то и
(2.6)
где SNR(i) = Pc(i) / N(i).
Учитывая, что M2(i)=2b(i) и что b(i) может принимать только целые значения, можно записать:
(2.7)
где - операция отбрасывания дробной части x.
Из формул (2.5) и (2.7) получаем окончательный результат
(2.8)
где функция, обратная Q(x).
Заметим, что формула (2.8) получена с учетом того, что b(i) меняется от 2 до 8 бит, как это чаще всего происходит в модемах тональной полосы частот. Однако в системе высокоскоростного абонентского доступа ADSL b(i) может принимать значения от 2 до 15 [9]. Поэтому результат усреднения выражения ?(i) (формула (2.4)) будет другим [74]. Так как при b(i) = 2 ?(i) = 1, а при b(i) = 15 ?(i) ? 0,27, то среднее значение ? ? (1+0,27)/2 = 0,635. Кроме того, в ADSL-системе фазоразностная модуляция не применяется, в результате чего коэффициент размножения ошибок KADSL будет в 2 раза меньше, чем в модемах тональной полосы частот: KADSL = K / 2 ? 5,5 / 2 = 2