РАЗДЕЛ 2
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПОЛЫХ НЕКРУГОВЫХ ИЗОТРОПНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРОВ
2.1. Основные уравнения теории упругости для неоднородного упругого тела.
Рассматриваются упругие тела, ограниченные двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми, определяемое как толщина, постоянно. Материал упругого тела является изотропным и неоднородным по толщине и подчиняется соотношениям закона Гука. Предполагается, что перемещения малы по сравнению с толщиной, а относительные сдвиги - по сравнению с единицей. Таким образом, в качестве исходных принимаются соотношения линейной теории упругости [1,103,104,134,135]. При этом упругие тела являются сплошными и не претерпевают разрывов. Рассматриваемые тела могут находиться под действием неравномерных поверхностных силовых нагрузок.
При формулировке и решении краевых задач теории упругости используются различные системы координат, так, наряду с декартовой, пользуются и криволинейными системами координат. Выбор той или иной системы обусловлен как формой ограничивающих поверхностей рассматриваемого класса упругих тел, так и имеющимися возможностями решения соответствующих краевых задач математической физики.
В криволинейной системе координат положение произвольной точки однозначно определяется величинами , которые принято называть криволинейными координатами. Существуют взаимообратные функциональные соотношения между декартовыми координатами и криволинейными координатами
где - однозначные функции величин вместе со своими первыми производными.
Отнесем рассматриваемое упругое тело к криволинейной ортогональной системе координат , где и - линии главных кривизн некоторой координатной поверхности, а откладывается по нормали к этой поверхности. Боковые поверхности, ограничивающие рассматриваемое тело, задаются уравнениями , торцевые поверхности определяются уравнениями , . Будем считать отрезок перпендикуляра к координатной поверхности, заключенный между ограничивающими поверхностями, толщиной упругого тела, который обозначим через .
Дифференциал дуги в ортогональной системе криволинейных координат определяется выражением
, (2.1)
где являются коэффициентами Ламе и определяются по формулам
,
где k1, k2 - главные кривизны, А, В - коэффициенты Ламе на координатной поверхности.
При этом коэффициенты Ламе связаны между собой дифференциальными зависимостями
(2.2)
Уравнение координатной поверхности в декартовой системе координат в параметрической форме имеет вид
Первая квадратичная форма, характеризующая длину дуги кривой на выбранной координатной поверхности записывается в виде
Здесь - коэффициенты первой квадратичной формы, которые выражаются через декартовые координаты следующим образом:
. (2.3)
Вторая квадратичная форма, характеризующая кривизну линии на поверхности, имеет вид
где
(2.4)
Главные кривизны данной поверхности определяются как
где - радиусы главных кривизн.
Коэффициенты первой квадратичной формы связаны с радиусами главных кривизн условиями Кодацци - Гаусса
(2.5)
Предположим, что рассматриваемое тело ограничено поверхностями, эквидистантными координатной. Тело может быть как однослойным, так и многослойным, причем в последнем случае, поверхностями сопряжения слоев будут поверхности (рис.2.1). Пусть -й слой ограничен поверхностями и (в дальнейшем будем отмечать индексом все характеризующие его величины). Запишем основные соотношения линейной пространственной теории упругости для -ого слоя.
Перемещения упругого тела при его деформации, возникающей под действием приложенных нагрузок, характеризуются величинами , которые являются проекцией вектора перемещения на направления, касательные к координатным линиям .
Деформация -ого слоя характеризуется величинами представляющими собой относительные деформации по направлениям, касательным к координатным линиям, и которые являются относительными сдвигами, происходящими в плоскостях, касательных к координатным линиям в рассматриваемой точке. Указанные величины связаны с перемещениями соотношениями Коши
(2.6)
?
????
M
??????
i
?
????
2
????
???? 1
Рис.2.1
Фрагмент поперечного сечения полых неоднородных по толщине цилиндров
В принятой системе координат напряженное состояние -ого слоя характеризуется величинами . Здесь - нормал