РОЗДІЛ 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ УДАРУ ОДНАКОВИХ ПРУЖНИХ ЗАТУПЛЕНИХ ТІЛ
Математичне моделювання нестаціонарних процесів у пружних системах полягає у виборі рівнянь, які в рамках прийнятих припущень описують збурений рух елементів системи, і подальшому їх розв'язанні з урахуванням відповідних граничних та початкових умов. В даній роботі в якості вихідних використовуються лінійні рівняння руху однорідного ізотропного пружного середовища та рівняння руху центрів мас контактуючих тіл.
У розділі наводяться вказані рівняння як у прямокутних, так і у криволінійних ортогональних системах координат. Крім того, виконано постановку задач співудару циліндричних тіл та тіл обертання.
2.1. Загальні рівняння руху однорідного ізотропного пружного середовища
Розглянемо пружне середовище, яке задовольняє лінійним співвідношенням закону Гука. Вважатимемо, що середовище ізотропне, однорідне, а процес деформування відбувається адіабатично. Лінійні рівняння руху пружного середовища в векторній формі являють собою рівняння Ламе, які при умові відсутності об'ємних сил мають вигляд
, (2.1)
де - оператор Лапласа; - вектор переміщень; К - об'ємний модуль пружності; - модуль зсуву; - щільність середовища.
Довільне векторне поле може бути представлене у вигляді суми безвихрового та соленоїдального полів
, (2.2)
де - скалярний потенціал, - векторний.
Введення потенціалів і дозволяє звести векторне рівняння (2.1) до системи двох незалежних хвильових рівнянь
(2.3)
де
Потенціальна функція описує повздовжні хвилі в пружному середовищі, які поширюються зі швидкістю і переносять об'ємне розширення (стиск), що супроводжується зсувом, але без обертання.
Потенціал визначає поперечні хвилі в пружному середовищі, які поширюються зі швидкістю та переносять обертання і зсув, але без зміни об'єму.
Оскільки рівняння (2.1), (2.3) записані у векторній формі, вони справедливі у будь-якій системі координат.
Рівняння (2.3) мають бути доповнені співвідношеннями закону Гука, які в ортогональній у загальному випадку криволінійній системі координат мають вигляд
, (2.5)
де - компоненти тензора напружень, - компоненти тензора деформацій, - символ Кронекера, який визначається наступним чином:
(2.6).
Зупинимось на окремих випадках представлення векторного поля (2.2) та хвильових рівнянь (2.3).
Нехай пружне тіло знаходиться в умовах плоскої деформації в площині Oxy декартової системи координат Oxyz. Тоді
, - орт вісі
, (2.7)
вектор переміщення визначається за формулою
. (2.8)
В цьому випадку друге з хвильових рівнянь (2.3) буде скалярним, і система (2.3) матиме вигляд
(2.9)
Компоненти тензора напружень визначаються за формулами (2.5), де
.
Крім цього
, (2.10)
Якщо пружне тіло знаходиться в умовах осесиметричного напружено- деформованого стану (циліндрична система координат , вісь - вісь симетрії) без обертання, тоді
, ,
, . (2.11)
Вектор переміщення визначається наступним чином:
(2.12)
Система хвильових рівнянь (2.3) матиме вигляд
, (2.13)
Таким чином, друге з рівнянь (2.13) не хвильове, але воно залишається рівнянням гіперболічного типу.
Слід зазначити, що отримані формули (2.2), (2.3) мають суттєвий недолік у випадку просторової задачі, а саме, при розв'язанні задачі у криволінійних координатах векторне рівняння (2.3) в проекціях на вісі координат зводиться, взагалі кажучи, до зв'язаної системи рівнянь для визначення скалярних функцій - проекцій вектора , - які мають розв'язуватися разом. Якщо ж використати прямокутну систему координат, то стикаємося з труднощами при виконанні граничних умов, при цьому всі проекції вектора виявляються зв'язаними за рахунок криволінійності границі.
Щоб обійти ці труднощі, автори [81] запропонували представити вектор через дві скалярні функції і , кожна з яких окремо задовольняє скалярному хвильовому рівнянню для поперечних хвиль
(2.14)
, (2.15)
де - одиничний вектор, спрямований вздовж вісі ортогональної системи координат ; - функція однієї змінної , яка залежить від системи координат.
При цьому задовольняє векторне хвильове рівняння для поперечних хвиль
. (2.16)
В роботі [81] показано, що подібне представлення для векторного потенціалу можливе лише у шести системах координат: прямокутній, в якій за можна вибрати , або ; трьох циліндричних (кругових, еліптичних та параболічних, де за треба взяти ); сферичних і конічних системах координат, в яких (). В перших чотирьох системах , а в двох останніх .
Таким чином, векторне рівняння Ламе (2.1) еквівалентне у вказаних шести системах координат в загальному випадку трьом скалярним хвильовим рівнянням
, . (2.17)
Представлення векторного поля в прямокутних, циліндричних (кругових), еліптичних і параболічних системах координат має вигляд
, (2.18)
а у сферичних і конічних системах координат
.
З того, що поперечні хвилі в трьохвимірному випадку характеризуються двома скалярними потенціалами та , випливає, що в пружному тілі можуть поширюватися два види поперечних хвиль, у яких вектор переміщення по різному поляризований.
У випадку осесиметричного напружено-деформованого стану без крутіння (вісь - вісь симетрії) представлення (2.18) матиме вигляд
(2.19)
.
Таким чин