РОЗДІЛ 2
ДИСКРЕТНІ МОДЕЛІ ЗВАЖЕНОГО УСЕРЕДНЕННЯ
У ЗАДАЧАХ ВІДНОВЛЕННЯ ГАРМОНІЧНИХ ФУНКЦІЙ
В багатьох задачах при складанні математичної моделі, а також при виборі методу розв'язування математичної задачі слід враховувати можливість застосування як "неперервної", так і "дискретної" методики. Після застосування методу сіток виникає дискретна модель - дискретна система вузлів сітки. Оскільки при вивченні суцільного середовища перехід до дискретної моделі на обчислювальному етапі широко застосовується і показав свою адекватність, то можна поставити питання про дискретну вхідну математичну модель, пристосовану до безпосереднього застосування обчислювального методу без попередньої зміни цієї моделі. Такі моделі були створені Ф. Харлоу, С. Уламом та Дж. Паста [9]. В даному розділі на основі інтегрального критерію гармонічності функції розглянуто загальну методику побудови таких моделей і проведено їх порівняльні характеристики.
2.1. Інтегральний критерій гармонічності
Найчастіше знаходження гармонічної функції пов'язують з розв'язуванням рівняння Лапласа. На початку XIX століття розв'язок рівняння Лапласа для кругової області у вигляді інтеграла по границі кола (інтеграла Пуассона) було отримано С. Пуассоном. Інтегральне представлення гармонічної функції стало основою для знаходження її середнього значення. Фактично, формула Пуассона при перетворені ядра в одиницю (тобто в центрі кола) переходить у формулу знаходження середнього значення гармонічної функції на колі.
У 1906 році Кьобе ?47? довів обернену теорему про те, що неперервна в області G функція u, яка приймає в кожній точці Р області значення, що дорівнює середньому арифметичному значень цієї функції на будь-якому колі з центром в точці Р, що цілком належить області G, є гармонічною в G. Тобто, виконується властивість середнього :
,(2.1)де - значення функції на колі радіуса r з центром в точці Р (x;y); - елемент дуги кола.
Ця теорема стала інтегральним критерієм гармонічності функції. У 1925 році І.І. Приваловим було узагальнено ці результати на двовимірний випадок (подвійний інтеграл по кругу) та на тривимірний (поверхневий інтеграл по сфері та інтеграл по об'єму) ?71?. Також ним була встановлена еквівалентність між диференціальним та інтегральним критеріями гармонічності. Результати досліджень Кьобе та Привалова зводяться до наступних формул знаходження середнього значення гармонічної функції:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Слід зауважити, що формула (2.1) має місце тільки на крузі. При дослідженні функції двох аргументів околом точки традиційно вважається круг з центром в досліджуваній точці . Але таким околом може бути будь-який вписаний правильний n-кутник або довільна область, для якої точка (x;y) є внутрішньою, вписана (вкладена) в область G гармонічності функції.
Для інтегральної умови гармонічності можна записати їїу дискретний аналог. Для цього коло розбивається на n рівних дуг, в центрі кожної з яких вибирають точку Mk. Тоді значення функції u(x;y) у центрі кола наближено обчислюється за формулою:
.(2.2)
2.2. Моделі випадкових блукань та функції форми скінченних елементів
Можливості формули (2.1) обмежуються тільки обчисленням значення для центральної точки. Спробуємо розповсюдити інтегральну умову гармонічності на випадок, коли контрольна точка є довільною точкою області. В крузі ця ситуація моделюється формулою Пуассона:
, .При наближених обчисленнях ця формула дає досить точні результати, якщо контрольна точка знаходиться поблизу центру круга. Але чим ближче до границі області, тим більшою стає похибка, і, нарешті, поблизу границі цією формулою взагалі не рекомендовано користуватися, оскільки точність результату дуже мала [132].
Дискретний варіант інтегральної умови гармонічності дає можливість досягти більших успіхів у знаходженні наближеного значення функції у довільній точці області. Для цього слід розглянути маршрути випадкового блукання частинки по дискретному елементу.
Для центральної точки круга було встановлено, що значення функції апроксимується вибірковим середнім значень цієї функції на границі області. Обмеживши кількість доданків у (2.2), можемо отримати чотиримаршрутну схему блукання частинки (рис. 2.1) з ймовірністю переходу :
,(2.3)
Рис. 2.1. Чотиримаршрутна модель.
Рівність (2.3) співпадає з точністю до позначень з формулою, яка використовується у методі скінченних різниць для рівняння Лапласа на квадратній сітці [74]:
. Це добре відомий скінченно-різницевий аналог рівняння Лапласа. Його легко побудувати заміною похідних у рівнянні Лапласа центральними різницевими відношеннями другого порядку. Легко бачити, що обидва підходи до означення гармонічної функції, інтегральний та диференціальний, приводять до одного обчислювального шаблону.
З іншого боку, цей шаблон можна розглядати, як суперпозицію двох триточкових шаблонів одновимірних блукань:
,
де uk=u(Mk), k=1, ..., 4 .
Розбивши коло на шість рівних частин і тричі застосувавши двоточковий шаблон, отримаємо шеститочковий обчислювальний шаблон (рис. 2.2):
,де uk=u(Mk), k=1, ..., 6 .
Рис. 2.2. Шестимаршрутна модель
Обмеживши кількість доданків у (2.2) отримаємо інший шаблон - симплекс (рис. 2.3) у вигляді правильного трикутника:
.
Рис. 2.3. Тримаршрутна модель
У всіх наведених випадках довжина маршрутів переходу частинки з центральної точки у вузол на границі однакова. Якщо розглядати маршрути випадкового блукання частинки для довільної точки трикутника, то вони не будуть однакові (рис. 2.4). Зрозуміло, що і значення коефіцієнтів у (2.2) не будуть однаковими. Позначимо ці коефіцієнти ?k, тоді:
.(2.4)
Рис. 2.4 Схема блукання для довільної точки М0
у випадку рівномірного розбиття границі області
Необхідно сформулювати правила, за якими можна було б визначати перехідні ймовірності для блукаючої частинки. Для цього будемо розглядати всі вузли в (2.5) як систему матеріальн