раздел 2.2).
Процесс может быть проведен над последовательностью иерархий: в этом случае
результаты, полученные в одной из них, используются как входные данные при
исследовании следующих.
Для структуризации процесса оценки проектов развития автодорог строится
иерархическая структура многокритериальной оценки. В элементарном виде иерархия
строится из вершины (цели), через промежуточные уровни (частные критерии) к
наиболее низкому уровню, который являются перечнем в данном случае возможных
проектов развития дорог (рисунок 3.2).
Рисунок 3.2. Иерархическая структура многокритериальной оценки проектов
развития автодорог на перспективу
Для синтеза субъективных оценок строится матрица попарных сравнений.
Обозначим через n число проектов развития дороги. Эти проекты имеют разные
характеристики. Пусть известны некоторые положительные числа , которые будут
характеризовать степень наличия данного свойства (характеристики) у
альтернативного проекта развития дорог. Чем больше число , тем больше мера
этого свойства выражена у данного проекта развития дороги. Соответственно
терминологии, введенной в МАИ, эти числа называются весами, интенсивностями или
коэффициентами важности проектов развития дороги. Суммарный вес этих
коэффициентов нормализуется и должен равняться единице [101].
(3.1)
Для коэффициентов важности проектов строится матрица относительных весов:
. (3.2)
Данная матрица имеет следующие свойства:
1. для всех и , поскольку все веса и положительные.
2. для всех
3. Матрица обратно симметричная в том значении, которое
для всех и .
4. Матрица имеет свойство совместимости, то есть
для всех , и k.
Из весов образуем вектор-столбец
(3.3)
Можно доказать, что имеет место векторное равенство:
(3.4)
Выполнение этого равенства означает, что число n является собственным значением
матрицы относительных весов а - соответствующий этому собственному значению
собственный вектор.
имеет лишь два действительные собственные значения: n и 0, из чего получается
(3.5)
(3.6)
Это равенство лежит в основе метода Саати.
Значения сначала неизвестные и их необходимо определить. В МАИ вес определяется
при помощи выставления экспертных оценок элементов путем их парного сравнения.
С этой целью строится матрица парных сравнений:
(3.7)
Произвольный элемент этой матрицы является числом, которое показывает, во
сколько раз вес проекта больше веса проекта . При этом считается, что матрица
парных сравнений имеет все свойства, приведенные для матрицы (3.2), кроме
четвертого.
Вычисление индекса согласованности (ИС) производится следующим образом:
1. Суммируется каждый столбец суждений.
2. Сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты
нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца на вторую
компоненту и т.д.
3. Полученные числа суммируются. Их сумма обозначается .
4. Индекс согласованности вычисляется таким образом: , - число сравниваемых
элементов.
5. Отношение согласованности ОС=ИС/число случайной согласованности. Случайные
согласованности для матриц разного порядка выбираются из таблицы 3.1. Величина
ОС должна быть порядка 10% или меньше, чтобы быть приемлемой. В некоторых
случаях можно допустить 20%, но не более. Если ОС выходит из этих пределов, то
участникам нужно дополнительно исследовать задачу и проверить свои суждения.
Таблица 3.1
Значение средней случайной согласованности для случайных обратно симметричных
матриц разного порядка
Размер матрицы
8
10
Случайная согласованность
0,58
0,9
1,12
1,24
1,32
1,41
1,45
1,49
Реализация метода Саати состоит из определения максимального собственного
значения матрицы парных сравнений и в вычислении собственного вектора . Если
число найдено, то вектор можно найти, решив систему линейных уравнений,
получаемых из равенства
, (3.8)
где - единичная матрица. Если найденный вектор , не отвечает условию
нормирования (3.1), то нужно разделить каждую его компоненту на сумму всех его
компонент. В результате получим вектор, который удовлетворяет условию
нормирования и равенства (3.8), он и будет решением задачи.
Компоненты этого вектора является весовыми оценками для категорий, сравниваемых
в матрице попарных сравнений, то есть указывают на приоритеты. В связи с этим
вектор называют также вектором приоритетов.
Для многоуровневой иерархии результаты, полученные на одном из уровней,
используются как входные данные при изучении следующих уровней, как это
представлено на рисунке 3.2.
Синтез оценок проектов по каждому критерию и вычисление индекса согласованности
матриц попарных сравнений проектов, производится аналогичным образом, как
синтез субъективных оценок, который приведен выше.
Для иерархии с несколькими уровнями, чтобы ввести в расчет один из
промежуточных уровней нужно выполнить следующие операции. Составить матрицу
попарных сравнений для критериев верхнего уровня и вычислить вектор приоритетов
. Составить матрицу попарных сравнений по каждому критерию для низшего уровня и
вычислить соответствующие им вектора приоритетов, и из этих векторов составить
матрицу. Умножить эту матрицу на вектор приоритетов . В результате будет
получен новый вектор приоритетов, который учитывает преимущества для низшего
уровня. Этот вектор следует нормализовать.
Если существует более высокий уровень иерархии, то такой вектор будет давать
для него необходимые входные данные, причем дальнейшие шаги выполняются
аналогичным образом.
После синтеза результирующих (обобщенных) оценок и ранжирования проектов
необходимо сф