РАЗДЕЛ 2
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СЛОЯ ПРИ СМЕШАННЫХ
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ НА ОСНОВАНИЯХ
2.1. Задача о колебаниях изотропного тела
Решение задачи о колебаниях упругого изотропного тела сводится к интегрированию
уравнения движения [128]
(2.1)
при заданных начальных и граничных условиях.
Если тело занимает сплошное пространство, то граничные условия не ставятся, а
начальные имеют вид
. (2.2)
Для ограниченного тела с некоторой достаточно гладкой поверхностью , кроме
начальных условий, должны быть заданы также граничные условия. Эти условия
могут задаваться в напряжениях или в перемещениях и соответственно записываются
так:
, (2.3)
. (2.4)
Начально-краевая задача (2.1) – (2.3) или (2.1), (2.2) и (2.4) называется
нестационарной динамической задачей теории упругости.
Если система (2.1) является однородной () и однородны условия (2.3) и (2.4), то
имеет место задача о свободных колебаниях. В этом случае движение
поддерживается за счет неоднородных начальных условий.
Для достаточно гладких функций в уравнениях движения и начально-краевых
условиях решение нестационарной динамической задачи по определению перемещений
при каждом называется классическим. Если же заданные функции (массовые силы,
функции в начальных и граничных условиях) не обладают требуемой гладкостью, то
необходимо рассматривать обобщенные (разрывные) решения, когда внутри тела
возникают движущиеся поверхности разрыва. Если на такой поверхности терпят
разрывы вторые производные от перемещений (слабые разрывы), то согласно теории
гиперболических систем они возможны лишь на характеристических поверхностях
функции , где – уравнение движущейся поверхности разрыва. Если же на
претерпевают (конечные) разрывы первые производные от , то имеют место сильные
разрывы (разрывы напряжений). В последнем случае разрывы на не могут быть
произвольными, они должны удовлетворять определенным условиям совместности,
кинематическим и динамическим. Это вытекает из того, что при распространении
поверхности разрыва в среде не должна нарушаться ее сплошность и должны
выполняться законы механики.
Задача об установившихся колебаниях соответствует случаю, когда внешние силы
(объемные и поверхностные ) являются периодическими функциями времени и,
следовательно, их можно представить в виде
. (2.5)
Соответственно представлениям (2.5) такой же вид имеют все полевые величины
. (2.6)
Подставив выражения (2.5) и (2.6) в уравнения движения (2.1), получим систему
уравнений установившихся (гармонических) колебаний в амплитудах
. (2.7)
Аналогичным образом получим систему уравнений движения в амплитудах
перемещений:
, (2.8)
где ; – скорость распространения в среде сдвиговых волн.
Если и граничные условия однородны, то система (2.8) описывает собственные
колебания упругого тела. Те значения , при которых однородная задача имеет
нетривиальные решения, называются собственными частотами, а сами решения –
собственными или нормальными, формами колебаний тела.
Для любого ограниченного изотропного тела доказаны [187, 231]: существование
счетного числа собственных значений , их действительность и неотрицательность,
ортогональность собственных колебаний, соответствующих двум различным
собственным значениям; полнота ортогональной системы собственных функций в
соответствующем энергетическом пространстве.
В неограниченном упругом теле происходит разделение волн на две независимо
распространяющиеся с различными скоростями части. Для доказательства этого
факта представим вектор перемещения в виде суммы функций
, (2.9)
где – потенциальная часть решения, причем ; – вихревая (соленоидальная) часть
решения, для которой . Такое представление всегда возможно в силу теоремы
Гельмгольца о разложении произвольного векторного поля .
Подставив потенциальное и вихревое составляющие (2.9) в уравнение движения
(2.10)
и применив к обеим частям получаемого равенства операцию , получим
. (2.11)
Очевидно, что
. (2.12)
Равенства (2.11), (2.12) справедливы во всем пространстве. Отсюда следует
волновое уравнение
. (2.13)
Аналогичным образом получаем волновое уравнение относительно сдвиговой
(поперечной) волны:
. (2.14)
Исключая в уравнениях (2.13), (2.14) время, в случае монохроматической волны
вида (2.5) приходим к векторным уравнениям Гельмгольца для соответствующих
амплитуд:
, (2.15)
где .
Если область, занятая телом, содержит бесконечно удаленную точку, то для
выделения единственного решения задачи о гармонических колебаниях необходимо
потребовать отсутствия на бесконечности источников. Математическую формулировку
этого положения дают условия излучения А. Зоммерфельда [218] для потенциального
и соленоидального полей (2.15):
, ,
, .
Для выделения единственного решения в областях, отличных от всего пространства,
используются принципы предельного поглощения и предельной амплитуды [161].
2.2. Задача о свободных колебаниях слоя
Рассмотрим шарнирно опертый по основаниям слой (рис. 2.1), отнесенный к системе
координат с толщинной координатой , в случае однородных граничных условий.
- Київ+380960830922