РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНИЙ АПАРАТ ТЕОРІЇ ФОРМУВАННЯ СТРУКТУР У РЕАКЦІЙНО-ДИФУЗІЙНИХ СИСТЕМАХ
Коротко розглянемо математичний апарат теорії формування структур у реакційно-дифузійних системах, а саме елементи лінійної теорії стійкості та теорії біфуркацій. На їх основі встановлюються умови існування та обмеження, що накладаються на контрольні параметри реакційно-дифузійної системи для реалізації у ній тих чи інших динамічних режимів. Серед яких ті, що виникають внаслідок біфуркацій Хопфа чи Тюрінга. У пункті 2.2 розділу розглянемо особливості методу імпедансної спектроскопії як методу дослідження лінійної стійкості електрохімічних систем. Він дозволяє ідентифікувати біфуркації електрохімічних системах на основі аналізу їх комплексного імпедансу, а саме імпедансних діаграм, які отримуються експериментально чи теоретично з базових рівнянь.
2.1. Елементи лінійної теорії стійкості
У нелінійній динаміці можна виділити два тісно пов'язаних між собою об'єкти досліджень - динамічні системи в 0-мірному просторі (0-D) (точкові системи), що описуються звичайними диференційними рівняннями, і динамічні нерівноважні структури в просторово-розподілених системах (1-D, 2-D), що описуються диференційними рівняннями в частинних похідних (3-вимірні структури поки ще слабко вивчені). Більшість понять, розроблених для 0-D систем з дисипацією, таких як атрактор (стійка стаціонарна точка, граничний цикл і т.д.), біфуркація, стійкість рішення, застосовується і для опису просторових структур, що існують в області далекій від рівноваги.
Для дослідження лінійної стійкості нелінійної системи поблизу стаціонарної точки звичайно використовується добре відома процедура знаходження власних значень матриці Якобі [92, 93, 179-182]. Для найпростіших двох-компонентних динамічних систем власні значення матриці Якобі визначаються з характеристичного рівняння , звідки . На рис. 2.1 зображено фазові портрети двох-компонентної системи в околі її стаціонарної точки в залежності від знаків та .
Рис. 2.1. Схематичне зображення типів поведінки у фазовому просторі двох-компонентної динамічної системи в околі її стаціонарної точки в залежності від знаків детермінанта та трейса матриці Якобі, за [92].
Як видно з рис. 2.1 для виникнення у системі періодичних коливань необхідно існування особливих точок типу фокуса або центру, що реалізується, коли реальна частина пари комплексних власних значень проходить через нуль і у системі відбувається біфуркація Хопфа.
Умови реалізації біфуркації Тюрінга, що не є динамічною, більш складні. Вони накладаються на хвильове число та дискримінант характеристичного поліному лінеаризованої реакційно-дифузійної системи.
2. 1. 1. Н е с т і й к і с т ь Х о п ф а
Більшість періодичних процесів, що виникають у нерівноважних системах, можна пояснити на основі нестійкості Хопфа. Це локальна ? просторово незалежна динамічна нестійкість, що можлива у нелінійній системі з кількома часовими шкалами (швидкими та повільними). У фазовому просторі системи вона викликає появу нового атрактору - граничного циклу (замкненої орбіти) [183]. Механізм виникнення біфуркації Хопфа для системи двох змінних та схематично зображений на рис. 2.2 (a, б).
Рис. 2.2. (а) Схематичне зображення біфуркації Хопфа у фазовому просторі змінних та та біфуркаційного параметра ; (б) схематичне зображення стійкого фокуса (для ) та граничного циклу (для ), за [92]
У фазовому просторі системи при зміні контрольного параметра стійкий фокус, що існує при значеннях , стає нестійким при значенні . Тоді в системі народжується стійкий граничний цикл, що існує при значеннях . На рис. 2.2 зображений випадок надпорогової біфуркації Хопфа, що характеризується появою стійких коливань, чия амплітуда зростає пропорційно до квадратного кореня з в околі точки біфуркації .
Граничні цикли у теорію коливань ввів О.О. Андронов. Як періодичні розв'язки диференційних рівнянь із двома змінними, граничні цикли вивчалися ще А. Пуанкаре. Він показав, що в таких системах можливі коливання, що відновлюються в первісному вигляді після малого збурення, прикладеного в будь-якій фазі коливань. А. Пуанкаре назвав такі коливання стійкими граничними циклами. Йому належить більшість основних положень, яким повинна задовольняти модельна система для існування у ній розв'язку у вигляді стійкого граничного циклу, зокрема це теорема Пуанкаре-Бендіксона [92]. Згідно з негативним критерієм Бендіксона для системи , якщо величина не змінює знаку у деякій однозв'язній області фазової площини, то в цій області не існує граничного циклу. У фазовій площині (x, y) він повинний перетинати криву, задану . З теореми Пуанкаре-Бендіксона для системи диференційних рівнянь першого порядку випливає, що будь-яка траєкторія системи повинна асимптотично наближатися або до її фіксованої точки (стійкого стаціонарного стану), або до її замкненої орбіти (періодичного розв'язку). При цьому замкнена траєкторія містить всередині принаймні одну (стійку або нестійку) стаціонарну точку. Якщо параметри системи є такими, що періодичних розв'язків у ній немає, то єдиним довготривалим розв'язком системи є її стійкий стаціонарний стан.
Зазначимо також, що і сам термін "біфуркація" (роздвоєння, розгалуження) ввів А. Пуанкаре у 1885 р. Таким чином, під біфуркаційним значенням деякого контрольного параметра системи або під її точкою біфуркації розуміють таке значення , при якому динамічна система стає структурно нестійкою. Так як структурна нестійкість буває локальною та глобальною, то розрізняють, відповідно, локальні та глобальні біфуркації.
Ще одним важливим інструментом дослідження граничних циклів є біфуркаційна теорема Хопфа [92, 183]. У двовимірному випадку вони доповнюють один одного, так як теорема Пуанкаре-Бендіксона дає інформацію про розміщення граничних циклів та їх кількість, в той час коли біфуркаційна теорема Хопфа дає інформацію про існування та періоди граничних циклів в околі точки біфуркації. Нестійкі