2
Содержание
Введение................................................................ 6
1 Краткий обзор проблемы и ее современное состояние 8
1.1 Начала теории пластичности......................................... 8
1.2 Теория пластичности при сложном нагружении........................ 15
2 Основные положения и соотношения теории процессов пластического
деформирования 19
2.1 Процессы нагружения и деформирования.............................. 19
2.2 Геометрическое представление тензоров и процессов в линейном евклидовом пространстве напряжений и деформаций 20
2.3 Постулат макроскопической определимости и постулат изотропии . . 26
2.4 Общие определяющие соотношения теории процессов................... 29
2.5 Нелокальная форма определяющих соотношений........................ 34
2.6 Частные варианты определяющих соотношений теории процессов . . 35
2.6.1 Простой образ процесса деформирования ...................... 35
2.6.2 Теория квазипростых процессов деформирования................ 35
2.6.3 Теория процессов для траекторий малого кручения и гипотеза компланарности.................................................... 36
2.6.4 Теория неполных квазипростых процессов и постулат физической определенности............................................. 39
2.6.5 Плоские траектории с произвольными начальными углами сближения и депланации............................................ 41
2.6.6 Теория пластического процесса для траекторий малой кривизны и локально-простых процессов................................ 41
2.7 Гипотеза о разгрузке.............................................. 43
3
3 Математическое моделирование процессов пластического деформирования при сложном нагружении 44
3.1 Математическая модель теории процессов на основе локальной формы определяющих соотношений ........................................... 44
3.2 Приближенная математическая модель теории процессов на основе
нелокальной формы определяющих соотношений........................ 50
4 Аналитическое и геометрическое представление процессов пластического деформировании в расчетах и базовых опытах 55
4.1 Многозвенные пространственные и плоские ломаные траектории ... 55
4.2 Криволинейные пространственные и плоские траектории............... 57
4.2.1 Пространственные винтовые траектории........................ 62
4.2.2 Пространственные винтовые траектории переменной кривизны и кручения.................................................... 63
4.3 Численные методы решения основных дифференциальных уравнений задачи Коши........................................................ 66
5 Отображение результатов экспериментальных исследований на автоматизированном испытательном комплексе СН-ЭВМ 69
5.1 Автоматизированный расчетно-экспериментальный комплекс СН-ЭВМ 69
5.2 Основные расчетные формулы и параметры для включения в про-
грамму обработки экспериментальных данных......................... 73
5.2.1 Параметры напряженного состояния трубчатого образца . ... 76
5.2.2 Параметры деформированного состояния трубчатых образцов 77
5.3 Локальное сглаживание экспериментальных сеточных функций .... 79
5.4 Определение функционалов процессов деформирования................. 79
5.5 Численное дифференцирование сеточных функций с неравномерным
шагом параметра прослеживания процесса............................ 80
5.6 Блок-схема алгоритма вычислений и отображения данных.............. 81
4
6 Моделирование закономерностей процессов сложного упругопяастиче-
ского деформирования материалов в базовых экспериментах 83
6.1 Аппроксимация диаграмм деформирования и прослеживания процессов ................................................................... 83
6.2 Аппроксимации функционалов в математических моделях............... 88
6.3 Математическое моделирование процессов на основе нелокальной
формы определяющих соотношений.................................... 89
6.3.1 Математическое моделирование процесса по плоским многозвенным ломаным траекториям деформирования........................ 89
6.3.2 Математическое моделирование процесса по плоской сложной многозвенной траектории деформирования........................ 94
6.3.3 Математическое моделирование процесса по плоской траектории в виде многоугольников...................................... 98
6.3.4 Математическое моделирование процесса по траектории вида развертывающейся архимедовой спирали..............................102
6.3.5 Математическое моделирование процесса по траектории вида свертывающейся архимедовой спирали................................106
6.4 Математическое моделирование процессов на основе локальной формы определяющих соотношений ...........................................110
6.4.1 Моделирование процесса сложного деформирования на многозвенной ломаной траектории......................................110
6.4.2 Математическое моделирование процесса деформирования по траектории вида архимедовой спирали...............................114
6.4.3 Математическое моделирование процесса деформирования по траектории вида архимедовой спирали с новыми аппроксимациями ............................................................118
6.4.4 Математическое моделирование процесса деформирования по сложной четырехзвенной траектории.................................122
5
6.4.5 Математическое моделирование процесса деформирования по
сложной трехзвенной траектории ................................125
Заключение и выводы........................................................129
Список литературы..........................................................132
Введение
Теория пластичности — одно из главных направлений механики деформируемого твердого тела. Она играет фундаментальную роль в расчетах на прочность и деформируемость в машиностроении и строительстве. Для современных конструкций новой техники характерно увеличение интенсивности нагрузок и усложнение условий их работы. В этих условиях избежать появления ограниченных пластических деформаций не представляется возможным и поэтому их следует осознанно допускать. Анализ разрушений современных конструкций и машин показывает, что вследствие неучета пластического деформирования часто неверно оценивается предельное состояние и выбирается запас прочности и устойчивости конструкций, машин и аппаратов. Правильный учет упруго-пластической стадии деформирования конструкций, машин и аппаратов повышает надежность их инженерного расчета на прочность, долговечность и деформируемость, позволяет снизить материалоемкость, сэкономить ресурсы и быть уверенным в безопасном их функционировании. В последнее время бурно развивается новое направление в теории пластичности — теория процессов пластического деформирования. Эго направление было заложено выдающимся отечественным учеиым-механиком А. А. Ильюшиным [66-73]. В основе этого нового в теории пластичности научного направления положены понятия простого и сложного процессов деформирования и нагружения, векторного представления тензоров напряжений и деформаций, понятия образов процессов нагружения и деформирования в совмещенных линейных евклидовых пространствах напряжений и деформаций, постулат изотропии и принцип запаздывания, которые определили структуру основных законов связи напряжении и деформаций, а также теорию эксперимента при сложном нагружении.
Данная работа посвящена построению математических моделей пластического деформирования материалов на основе теории процессов, разработке алгоритмов и программного обеспечения достоверного отображения результатов численных расчетов и экспериментальных исследований базовых испытаний на автоматизирован-
7
ном испытательном комплексе СН-ЭВМ, разработке алгоритмов и программного обеспечения численного решения системы основных дифференциальных уравнений задачи Коши, к которым приводят разработанные модели процессов пластического деформирования материалов.
Проблема построения математических моделей упругопластического деформирования материалов при сложном нагружении остается одной из сложных и актуальных на сегодня в теории пластичности и механике деформируемого твердого тела. Особое внимание в работе уделено исследованию построенных аппроксимаций для функционалов пластических процессов и их достоверности.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору технических наук, профессору Н. Л. Охлопкову за постоянное внимание к работе и полезные советы, а также всем сотрудникам кафедры «Сопротивления материалов, теории упругости и пластичности» ТГТУ за критические замечания и внимание при обсуждении работы на научных семинарах и конференциях.
8
1 КРАТКИЙ ОБЗОР ПРОБЛЕМЫ И ЕЕ СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
1.1 Начала теории пластичности
Начала научным исследованиям в области пластичности материалов было положено ученым Треска [14] в 1864 г. Он опубликовал результаты своих опытов по необратимому деформированию ряда твердых тел и пришел к выводу, что «существует характеристика материалов, выражающая максимальное касательное напряжение, при которой независимо от типа опыта твердое тело течет» при
г,па* = = к, (1.1)
где к — некоторая физическая постоянная для каждого материала, с?\ > <т2 > аз — главные нормальные напряжения. Это условие (1.1) было использовано Б. Сен-Вснаном в 1870 г. для построения первой математической теории пластического течения для случая плоской деформации идеальных несжимаемых жесткопластических сред [30, 109]. М. Леви в 1871 г. пытался обобщить теорию Ссн-Венана на трехмерные задачи пластического течения, исходя из того же условия (1.1), но неудачно [109].
В 1913 г. Р. Мизес [30, 109] на основе выдвинутого им условия пластического течения идеальных жесткопластических сред
<7ЭКВ = -^= \/ {(71 - <72 )2 + («72 - <^3)2 + (<73 - (Ті)2 = О Ту ( 1.2)
іде сі'г — предел текучести при растяжении, обобщил теорию пластического течения на объемное напряженное состояние. Он считал материал пластически несжимаемым, а компоненты девиатора скоростей деформаций Э,у {і^ = 1,2,3) — пропорциональными компонентам девиатора напряжений т.е.
Эц = (м = 1,2,3), (1.3)
где V = \j3ij3ij — скорость деформирования (модуль девиатора скоростей деформации).
9
В 1924 г. Генки [30, 109] заметил, что условие пластичности Мизеса (1.1) имеет простой физический смысл. Оно эквивалентно условию достижения энергией формоизменения
1У “ гй?^71 ~ ~~ °^2 * ~ = И/г (^4)
некоторого предельного значения ТУт = «т^/бО, где С? — упругий модуль сдвига.
Надаи в 1933 г. [30, 109] заметил, что условие пластичности Мизеса отвечает достижению октаэдрическим касательным напряжением т0Кт некоторой предельной величины
Токг = |\Л^1 ~ +"(^2 “ Сз)2 + (<7.3 “ <7х)2 -Ст - -~<77’. (1.5)
В 1924 г. Генки [30, 109] создал альтернативную теорию пластического течения Сен-Вснана-Мизсса, которую теперь называют деформационной теорией течения. Он считал материал идеальным упругопластическим и, следуя Хаару и Карману [109], представил полные деформации как сумму упругих и пластических частей
= Зь«э& + э£. (1.6)
Генки считал, что упругие деформации подчиняются закону Гука
0е = т?. = — Э-• = — (17)
» к' 13 2(7’ К }
где 0е — относительное упругое изменение объема, К — модуль упругой объемной деформации, С — упругий модуль сдвига. Пластическое течение материала у Генки происходит согласно условию пластичности Мизеса (1.2). Пластическое изменение объема 0Р = 4 = 0, а пластические части компонент девиатора деформаций подчиняются закону формоизменения
= (1.8)
где
(1.9)
10
— функция течения Генки [30, 109]. Теория определяющих соотношений пластического течения Генки является естественным продолжением законов теории упругости.
В теории пластического течения Прандтля-Рейсса [30, 109] было учтено, что в таких задачах, как вдавливание жесткого штампа в полуплоскость, изгиб балок за пределом упругости, зоны пластических деформаций стеснены окружающими их зонами упругих деформаций. Это означает, что в подобного рода задачах пластические деформации ограничены и имеют тот же порядок, что и упругие. Ранее на это обстоятельство указывали Хаар и Карман [109].
Теория Прандтля-Рейсса окончательно была разработана в 1930 г. [109]. Деформации е# в этой теории разлагаются на упругие £?• и пластические еТ части. Упругие части подчиняются закону Гука (1.7). Принимается условие пластического те-
чения Мизеса (1.2). Пластическое изменение объема отсутствует (вр = А = 0). Компоненты девиатора скоростей деформации
э = 4 = ^0, К" = фЩг (1.10)
Полные скорости деформации
+ (1-11)
Физические законы теории Прандтля-Рейсса по существу не учитывают предысторию предшествующей пластической деформации.
В 1932 г. Прагер [30, 109] предложил видоизменить запись определяющих соотношений теории Прандтля-Рейсса и представил их в виде приращений
<1Эц = ^ + (м = 1,2,3). (1.12)
Первыми обстоятельными опытами по проверке теорий пластического течения были опыты Иадаи и Лоде [109]. В этих опытах были проверены условия пластичности Сен-Венана и Мизеса и установлено, что экспериментальные данные лучше соответствуют условию пластичности Мизеса. В работах Надаи и Лоде впервые в
11
теории пластичности был введен параметр вида напряженного состояния [100]
„ = 2^3-!, (1.13)
(7) - СГ3
названный их именами.
Экспериментальные результаты по свободному пластическому течению без упрочнения подтвердили теории Сен-Венана-Мизеса и Праидтля-Рейсса. Установлению закономерностей пластического деформирования были посвящены опыты Тейлора, Квини, Девиса и других исследователей [30, 109].
В 1927 г. Рош и Эйхингер в своих опытах [109] над трубчатыми образцами из стали с площадкой текучести и участком упрочнения при одновременном действии растяжения, кручения и внутреннего давления в условиях пропорциональною нагружения установили, что зависимость между октаэдрическим касательным напряжением т0К1 и октаэдрическим сдвигом 7окт является универсальной и описывается законом «единой кривой» [30, 109]
Этот закон упрочнения записывают в современной теории пластичности обычно в виде
— модули дсвиаторов напряжений и деформаций [30].
В отмеченной работе [109] Рош и Эйхингер допускали разложение полных деформаций на упругие и пластические части в условиях пропорционального нагружения. Они также выдвинули гипотезу о том, что в процессе последующего пластического деформирования в условиях упрочнения материал остается изотропным (квазиизотропным).
В опытах Шмидта [109] в 1932 г. закон «единой кривой» для пропорционального нагружения на трубчатых стальных и медных образцах также был подтвержден.
Токт — Ф(Токт)*
(1.14)
(7 = Ф(Э),
(1.15)
где
(1.16)
12
Кроме того, в опытах Шмидта растягивающая сила и крутящий момент могли действовать независимо друг от друга. Были проведены опыты с промежуточными разгрузками и чередованием нагрузок на растяжение и кручение. В этом случае закон «единой кривой» после упругого догружения и гипотеза о кпазиизотропии не подтверждались.
В опытах Девиса [109] в 1943 г. и 1945 г. подвергались испытаниям трубчатые образцы из меди и стали при пропорциональных нагружениях при одновременном действии растяжения и внутреннего давления. Деформации при разрушении были достаточно большими и достигали 40%. Закон «единой кривой» Роша и Эйхингера в этих опытах подтвердился.
В опытах Хоэнемзера и Пратера [109] в 1932 г. использовалась форма определяющего соотношения (1.12), из которой можно получить соотношения других частных теорий течения. Испытывались трубчатые стальные образцы при одновременном раздельном действии растяжения и кручения.
В данной работе впервые было предложено изображай, тензор напряжений (<7у) и деформаций (€ц) в линейном многомерном пространстве в виде векторов, где за ортонормированный базис принимались единичные векторы, в направлении которых откладывались компоненты тензоров. Для плоского напряженного состояния при растяжении с кручением трубчатых образцов тензоры в индексных обозначениях имели вид
ап <712 0 £ц £12 0
= <701 0 0 > (су) — £21 с*22 о
\
а их девиаторы при условии несжимаемости ец =
II £Ц = 0 — ВИД /
£11 £12 й
» (Эу) = £21 £22 О
О О -£<7Ц у
О 0 £33 у
- Київ+380960830922