Оптимальное проектирование стержней и подкрепленных пластин на основе минимизации энергии деформации

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ................................................ 7
1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ СТЕРЖНЕЙ И ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН... 15
1.1. Обзор литературы......................................... 16
1.1.1. Применение интегральных критериев в задачах максимизации жесткости........................................ 16
1.1.2. Оптимизация формы тела ............................ 19
1.1.3. Определение условий оптимальности в задаче разыскания формы............................................ 22
1.1.4. Определение форм равнопрочных контуров отверстий.... 24
1.1.5. Оптимизация подкреплений краев отверстий в тонкостенных элементах конструкций.......................... 25
1.1.6. Оптимизация пластин с ребрами жесткости............. 31
1.1.7. Пластины с подкрепленными отверстиями и ребрами жесткости при упругопластическом поведении материала. 33
1.1.8. Оптимизация форм поперечных сечений стержней 35
1.2. Постановка задачи оптимизации элементов конструкций на основе минимизации энергии деформаций.................... 39
1.3. Выводы по главе 1........................................ 40
2. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОДКРЕПЛЕНИЯ ОТВЕРСТИЙ В ПЛАСТИНАХ ИЗ УСЛОВИЯ МИНИМУМА ЭНЕРГИИ........................ 42
2.1. Применение модели плоского широкого кольца для подкрепления края отверстия в пластине.......................... 43
2.1.1. Постановка задачи и условия оптимальности........... 43
2.1.2. Преобразование уравнений с применением комплексных представлений напряжений и перемещений................. 50
3
2.1.3. Построение решения методом малого параметра 54
2.1.4. Численные результаты................................. 59
2.1.5. Оптимизация двусвязной области подкрепления при заданном одном из граничных контуров.................... 67
2.1.6. Минимум энергии и равнопрочные контуры отверстий.... 70
2.2. Оптимальное подкрепление края отверстия в пластине при
использовании модели тонкого стержня....................... 73
2.2.1. Постановка задачи об определении формы отверстия в пластине и закона изменения жесткости подкрепления... 73
2.2.2 Преобразование уравнений с применением комплексных
представлений напряжений и перемещений.................. 81
2.2.3. Решение методом малого параметра..................... 85
2.2.4. Оптимизация жесткостей подкрепления при фиксированной форме отверстия (плоское напряженное состояние).. 95
2.2.5. Оптимизация распределения жесткостей подкрепления
при фиксированной форме отверстия (изгиб пластины) 116
2.3. Оптимизация подкрепления при управлении толщиной пластины вокруг подкрепленного отверстия....................... 129
2.3.1. Общая постановка задачи об оптимальных форме отверстия, жесткости подкрепления и толщины пластины.. 129
2.3.2. Оптимальная толщина вокруг подкрепленного кругового отверстия при равномерном растяжении пластины 133
2.3.3. Численная оптимизация толщины пластины вокруг подкрепленных отверстий........................................ 138
2.4. Применение функций комплексного переменного и МКЭ
в задачах оптимизации формы............................................. 148
2.4.1. Описание способа автоматизации разбиения дву связной
области на сетку конечных элементов...................... 148
4
2.4.2. Применение функций комплексного переменного и МКЭ в
задачах оптимизации формы двусвязных тел............ 152
2.5. Выводы по главе 2..................................... 156
3. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОНКИХ РЕБЕР В ПЛАСТИНАХ........................................................ 158
3.1. Оптимизация положения и распределения жесткости ребра в пластине из условия минимума энергии деформации....... 159
3.1.1. Вариационная постановка задачи.................... 159
3.1.2. Преобразование уравнений и решение задачи оптимизации методом малого параметра................................... 162
3.2. Оптимизация жесткостей ребер, расположенных вдоль контуров заданной формы (плоское напряженное состояние)........... 169
3.2.1. Условия оптимальности при учете изгибной жесткости ребра...................................................... 170
3.2.2. Оптимальные распределения жесткостей ребер, расположенных вдоль концентрических окружностей....... 173
3.2.3. Конечно-элементные решения для распределения жесткостей ребер, расположенных вдоль заданных контуров 189
3.3. Оптимальное проектирование изгибаемых пластин с ребрами жесткости.................................................... 191
3.3.1. Постановка задачи и условия оптимальности......... 192
3.3.2. Оптимальные распределения жесткостей ребер, расположенных вдоль окружностей, в изгибаемой пластине 195
3.3.3. Численные решения задач оптимизации распределения жесткостей ребер в изгибаемой пластине..................... 211
3.4. Выводы но главе 3.................................... 216
5
4. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН ПРИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ МАТЕРИАЛА......................... 218
4.1. Численное исследование пластических зон вокруг подкрепленных отверстий в пластинах................................ 218
4.2. Оптимизация подкрепленных отверстий в пластинах при упру-гопластическом поведении материала.......................... 227
4.2.1. Постановка задачи оптимизации формы подкрепленного отверстия в пластине...................................... 227
4.2.2. Результаты оптимизации подкреплений краев отверстий
в пластинах при плоском напряженном состоянии......... 239
4.2.3. Численные результаты оптимизации подкрепления края отверстия в изгибаемой пластине........................... 247
4.3. Оптимальное распределение жесткостей тонких ребер при упругопластическом поведении материала пластины.......... 249
4.3.1. Оптимизация распределений жесткостей ребер, расположенных вдоль замкнутых линий............................ 250
4.3.2. Оптимизация распределений жесткостей ребер, расположенных вдоль пересекающих прямых........................ 256
4.4. Выводы по главе 4....................................... 259
5. ОПТИМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ С ПРОДОЛЬНОЙ ПОЛОСТЬЮ............................... 261
5.1. Оптимальные формы поперечных сечений однородных стержней с продольной полостью................................... 261
5.1.1. Формы сечений стержней максимальной крутильной жесткости при ограничениях на изгибные жесткости 261
5.1.2. Максимизация изгибной жесткости стержня при ограничениях на крутильную и другую изгибную жесткости 279
6
5.1.3. Задачи оптимизации формы сечения стержней по площади сечения и двум изгибным э/сесткостям.................. 284
5.1.4. Оптимизация формы сечения стержней по площади сечения, крутильной и изгибной жесткостям.................... 285
5.2. Оптимальное проектирование форм поперечных сечений стержней, составленных из различных материалов......... 303
5.2.1. Обобщение аналитических решений на случай неоднород-
н ых стержней...................................... 304
5.2.2. Задачи оптимального распределения материала внешнего слоя сечения составного стержня.......................... 314
5.3. Оптимальное проектирование формы поперечных сечений анизотропных стержней с продольной полостью............ 327
5.3.1. Постановка задачи................................. 327
5.3.2. Сведение к вспомогательной задаче оптимизации для изотропного стержня........................................ 329
5.3.3. Численный метод решения задачи оптимизации сечения анизотропного стержня.................................... 330
5.3.4. Частные случаи.....................................331
5.3.5. Оптимальные формы поперечных сечений анизотропных стержней с круговой продольной полостью.................. 333
5.3.6. Результаты оптимизации формы сечения ортотропного стержня с квадратной полостью............... 337
5.4. Выводы по главе 5..................................... 341
ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................. 343
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ........................... 346
ПРИЛОЖЕНИЕ. Акты внедрения результатов работы.............. 383
7
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы диссертации. Жесткость - это способность конструкции сопротивляться образованию деформаций при воздействии внешних нагрузок. Все конструкции должны иметь жесткостные свойства, гарантирующие ее безопасную эксплуатацию. В связи с этим обеспечение необходимой жесткости конструкции относится к одним из основных разделов теории оптимального проектирования [23]. При проектировании конструкции максимальной жесткости при заданном объеме материала возможны два подхода. В первом локальном подходе минимизируются перемещения в характерной точке конструкции. Во втором интегральном подходе, принятом в диссертации, в качестве меры жесткости используется потенциальная энергия деформации конструкции. Достоинство данного подхода заключается в простоте и естественности получения условий оптимальности. Эти условия получаются на основе минимизации расширенного функционала полной энергии Лагранжа за счет дополнительного управления параметрами конструкции. В настоящей работе минимизация энергии деформации осуществлялась за счет варьирования границы области, толщины пластины и жесткостей усиливающих ребер. Кроме условий оптимальности из этого же функционала получается полная система уравнений данной задачи. Таким образом, основная идея диссертации - минимизация энергии деформации конструкции за счет управления ее параметрами.
Отметим, что интегральный критерий оптимальности применительно к проектированию конструкций минимальной податливости (максимальной жесткости) использовался во многих работах. В монографии Н.В.Баничука [23, с. 12] отмечается, что в некоторых задачах оптимального проектирования интегральный критерий - минимум работы, производимой внешними силами при квазистатическом нагружении, - дает характеристику максимальным перемещениям точек конструкции и может служить в качестве критерия жест-
8
кости. В настоящей диссертационной работе предложены новые постановки задач оптимизации для следующих элементов конструкций: пластины с подкрепленными отверстиями, пластины с ребрами жесткости и стержни с продольными полостями. Для перечисленных элементов, имеющих явные ослабленные места, применение интегрального критерия оптимальности - условия минимума энергии деформации при заданном объеме материала, - как показали расчеты, приводит к существенному снижению максимальных перемещений. При этом из расчетов следует, что концентрация напряжений в полученных оптимальных проектах элементов конструкций, как правило, снижается.
В задачах оптимального проектирования невозможно создать универсальный метод, который бы одинаково хорошо подходил к каждому из классов задач. Например, в работе [342] приведены сравнительные оценки восьми различных алгоритмов оптимизации и сделан вывод, что ни один из них не может быть успешно использован для решения всех задач. Поэтому разработка методов решения рассмотренных в диссертации задач является актуальным и практически важным.
Отметим, что рассматриваемые в диссертации задачи минимизации энергии деформации при заданном объеме материала эквивалентны задачам минимизации объема материала при заданном уровне энергии деформации. Это обстоятельство отмечается в работах [23, 222, 366].
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников. В первой главе дается обзор литературы по теме диссертации. В обзор включены как работы по проектированию элементов конструкций максимальной жесткости, так и работы, имеющие отношение к конкретным классам задач, рассмотренным в диссертации. Здесь же приводится общая постановка задачи оптимизации параметров конструкции с использованием интегрального критерия оптимальности - условия минимума энергии деформации.
9
Во второй главе метод оптимизации пластин на основе минимизации энергии деформаций применяется к пластинам с подкрепленными отверстиями. При этом рассмотрена общая вариационная постановка о разыскании формы контура отверстия, распределения по контуру усиливающего материала и толщины пластины из условия минимума энергии деформации. Получены условия оптимальности, разработаны как аналитические методы решения, основанные на теории функции комплексного переменного, так и численные итерационные методы, основанные на МКЭ.
В третьей главе решены задачи оптимизации для пластин, содержащих тонкие усиливающие ребра. При максимизации жесткости подкрепленной конструкции использовалось условие минимума энергии деформации. Исследовалась возможность оптимизации подкрепленной конструкции как за счет изменения положений ребер, так и за счет перераспределения их жесткостей. Найдены условия оптимальности. Получены аналитические и численные результаты, даны оценки эффекта оптимизации (снижение максимальных перемещений и во многих случаях - концентрации напряжений).
При значительном уровне внешних нагрузок в тонкостенных конструкциях вблизи ослабленных мест могут возникнуть пластические зоны. Представляет интерес исследовать свойства оптимальных в энергетическом смысле элементов конструкций, рассмотренных в гл. 2, 3, при упругопластическом поведении материала пластины и при упругом - подкрепляющих стержней и ребер жесткости. Именно эти исследования проведены в 4-ой главе. Получены практически важные результаты.
Пятая глава посвящена разработке методов решения задач оптимизации форм поперечных сечений стержней с полостью при действии крутящего и изгибающих моментов. При получении условий оптимальности использовалось то обстоятельство, что выражение для энерг ии деформации скручиваемого стержня с точностью до постоянной совпадает с выражением для крутильной жесткости. Оптимизировались: крутильная жесткость, одна из
10
изгибных жесткостей и вес стержня. Ограничения накладывались на два параметра стержня. Получены условия оптимальности. Разработан метод определения оптимальных форм поперечных сечений стержней, основанный на теории функций комплексного переменного и конформно отображающих функциях. Найдены аналитические и численные решения.
Цель работы заключается в разработке методов решения задач оптимального проектирования элементов конструкций на основе минимизации энергии деформации, решение с помощью этих методов практически важных задач оптимизации стержней и подкрепленных пластин, а также исследование свойств полученных оптимальных проектов при значительном уровне внешних на!рузок, приводящем к образованию пластических зон.
Научная новизна работы.
• Развит интегральный критерий - условие минимума энергии деформаций - для оптимального проектирования пластин с подкрепленными отверстиями и ребрами жесткости. Управляющими параметрами при оптимизации выступают граница области, толщина пластины и распределение жесткостей ребер.
• На основе предложенного критерия получены условия оптимальности в задачах:
- оптимизации форм подкрепленных отверстий в пластинах;
- оптимизации пластин с ребрами жесткости;
- оптимизации форм поперечных сечений стержней с полостями, работающих в условиях кручения и изгиба.
• Для решения указанных задач разработаны следующие методы: аналитические, использующие теорию функций комплексного переменного, и численные, основанные на приведенных в диссертации итерационных алгоритмах и МКЭ.
• Получены решения новых задач оптимизации для стержней и подкрепленных пластин.
и
• Исследованы свойства найденных оптимальных проектов элементов конструкций при упругопластическом поведении материала.
Методы исследований основаны на получении условий оптимальности при варьировании соответствующих данным задачам расширенных функционалов Лагранжа в областях с подвижными границами. Далее строится решение сформулированной задачи оптимизации с помощью аналитических методов, основанных на теории функций комплексного переменного, и численных итерационных методов, использующих найденные условия оптимальности и МКЭ.
Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в работе, основывается на:
• корректном использовании известных уравнений механики деформируемого твердого тела, методов вариационного исчисления, теории функций комплексного переменного и конечных элементов;
• исследовании сходимости разработанных численных алгоритмов;
• совпадении полученных результатов с известными аналитическими и численными результатами в частных случаях.
Практическая значимость и реализация результатов исследований заключается:
• в разработке численных алгоритмов проектирования элементов конструкций максимальной жесткости;
• в численных результатах оптимизации пластин с подкрепленными отверстиями и ребрами жесткости и форм поперечных сечений стержней, работающих в условиях кручения и изгиба; в выводах и рекомендациях, содержащихся в диссертации;
• во внедрении отдельных результатов и пакетов программ в ФГУП Сиб-НИА им. С.А. Чаплыгина (г. Новосибирск), Новосибирском филиале АООТ «ОКБ Сухого» (г. Новосибирск), ОАО ЭЛСИБ (г. Новосибирск).
12
Работа проводилась по договорам с ФГУТ1 СибНИА им. С.А. Чаплыгина и другими предприятиями Минавиапрома в соответствии с правительственными научно-техническими программами «Икарус-МАП», программой Минвуза РСФСР «Полет», а также выполнялась в рамках федеральной целевой программы «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997-2000 годы».
На защиту выносятся:
• разработанный метод оптимального проектирования элементов конструкций, основанный на интегральном условии минимума энергии деформации и примененный к подкрепленным пластинам и стержням с продольными полостями;
• разработанные алгоритмы и результаты оптимизации пластин с подкрепленными отверстиями и ребрами жесткости при упругом и при упругопластическом поведении материала пластины; рекомендации по проектированию указанных конструкций;
• метод решения и результаты оптимизации формы поперечных сечений однородных (изотропных и анизотропных) и составленных из различных материалов стержней
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Межвузовском совещании-семинаре молодых ученых «Проектирование и оптимизация элементов, устройств и систем ЛА с использованием ЭВМ» (Харьков, 1977г.); на Всесоюзной конференции по теории упругости (Ереван, 1979 г.); на IV Научно-технической конференции молодых ученых (Новосибирск, 1979 г.); на XII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Ереван, 1980г.); на Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов по проблемам оптимизации в машиностроении (Харьков-Алушта, 1983г.); на УШ, IX, XI, XII Дальневосточных научно-технических конференциях по повреждениям и эксплуатационной надежности судовых конструкций (г. Владивосток, 1981г., 1984г., 1990г., 1996г.); на IX Бубновских чтениях по экс-
13
плуатационной и конструктивной прочности судовых конструкций (Нижний Новгород, 1991г.); на Международной научно-технической конференции «Расчетные методы механики деформирования твердого тела» (Новосибирск, 1995г.); на межфакультетском семинаре СГУПС по прочности (Новосибирск, 1995г.); на I, II, III, IV Международных российско-корейских научно-технических конференциях СХЖШ «Научные основы высоких технологий» (Ульсан, Корея, 1997г., Томск, 1998г., Новосибирск, 1999 г., Ульсан, Корея, 2000г.); на IV Всероссийской конференции «Проблемы прочности и усталостной долговечности материалов и конструкций (Томск, 1997 г.); на Международной конференции «Всесибирские чтения по математике и механике» (Томск, 1997г.); на Межвузовской научно-технической конференции «Численно-аналитические методы решения краевых задач» (Новокузнецк, 1998г.); на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах» (Улан-Удэ-Томск, 1999г.); на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы механики машин» (Улан-Удэ-Томск, 2000г.); на II, III школах-семинарах СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1998г., 1999г.); на Международной конференции по численным методам ВЕМ-ИЕМ 2000 (Санкт-Петербург, 2000г.); на семинарах кафедры механики твердого тела НГУ (Новосибирск, 1999г., 2000г.); на семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2000г.); на объединенных семинарах кафедры прочности летательных аппаратов НГТУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 40 печатных работ. Результаты исследований автора, выполненные по заказам промышленности, отражены в ряде научно-технических отчетов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников из 384 наименований. Объем диссертации - 382 с., включая 184 рис., 15 таблиц.
14
Первые работы автора были выполнены под руководством д.т.н., профессора Л.М. Куршина и в соавторстве с ним. Завершающая часть работы была выполнена при научном консультировании и поддержке член-корреспондента РАН, д.ф.-м.н., профессора Б.Д. Аннина и д.т.н., профессора
Н.В. Пустового. Автор выражает им искреннюю благодарность и признательность. Автор благодарит также сотрудников кафедры прочности летательных аппаратов Новосибирского государственного технического университета за постоянное внимание и обсуждение результатов.
15
1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ СТЕРЖНЕЙ И ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН
Создание современных авиационных и машиностроительных конструкций невозможно без использования оптимального проектирования. Целью оптимального проектирования является определение таких параметров нагруженной конструкции, при которых она удовлетворяет выбранному критерию оптимальности (минимуму веса, максимуму жесткости и т.д.). На основе оптимального проектирования снижается вес и материалоемкость конструкций, улучшаются механические характеристики. Как известно, задачи оптимизации относятся к числу нелинейных задач механики. Нелинейность этих задач связана с нелинейностью условий оптимальности. В связи с этим решение задач оптимального проектирования связано с использованием различных численных методов механики, прикладной и вычислительной математики. Среди этих методов, следуя [32], можно отметить математическое моделирование, методы линейного и нелинейного программирования, теория оптимизации систем с распределенными параметрами, многокритериальная оптимизация, классическое вариационное исчисление, эффективные численные алгоритмы, основанные на МКЭ и МГЭ. Использование перечисленных выше методов описано в монографиях В.В.Алехина, Б.Д.Аннина,
A.Г.Колпакова [12], Ж.Л.-П.Армана [19], Н.В.Баничука [23, 28, 33],
B.И.Бирюка, Е.К.Липина, В.М.Фролова [41], А.Г.Бутковского [46], В.Б.Гринева, А.П.Филиппова [64], В.А.Заруцкого, Ю.М.Почтмана, В.В.Скалозуба [72], М.А.Каниболотского, Ю.С'.Уржумцева [79],
A.А.Комарова [92], В.А.Комарова [93], И.Б.Лазарева [122], К.А.Лурье [133], Р.Р.Мавлютова [138], В.П.Малкова, А.Г.Угодчикова [144], Л.С.Понтрягииа,
B.Г.Болтянского, Р.Б.Гамкслидзе, Е.Ф.Мищенко [149], Е.И.Михайловского [154], В.Н.Монахова [160], Ю.В.Немировского, В.Д.Кошура, В.М.Небогатова [98, 165], И.Ф.Образцова, В.В.Васильева, В.А.Бунакова [170],
16
И.Ф.Образцова, Б.В.Нерубайло, И.В.Нерубайло [171], В.Прагера [191], М.И.Рейтмана, Г.С.Шапиро [210], Г.Н.Савина, Н.П.Флейшмана [216], Н.Д.Сергеева, А.И.Богатырева [226], Т.К.Сиразетдинова [227], В.А.Троицкого, Л.В.Петухова [233], Г.Г.Тумашева, М.Т.Нужина [236],
Э.Хога, Я.Арора [245], Э.Хога, К.Чоя, В.Комкова [246], Ф.Л.Черноусько, Н.В.Баничука [251] и в статьях, приведенных в списке использованных источников. Ниже приведен обзор работ, который сгруппирован по разделам, имеющим отношение к диссертации.
1.1. Обзор литературы
1.1.1. Применение интегральных критериев в задачах максимизации жесткости
Как отмечалось во введении, при проектировании элементов конструкций максимальной жесткости при заданном объеме материала возможны два подхода. В первом локальном подходе минимизируются максимальные перемещения в некоторой точке. При решении подобных задач используют минимаксные методы (см. монографии Н.В.Ьаничука [23], Э.Хога, Я.Ароры [245]). Во втором подходе используется интегральная функция цели (энергия деформаций, работа внешних сил). Так как в настоящей работе развивается применение интегрального критерия к задачам проектирования элементов конструкций максимальной жесткости, то остановимся более подробно на обзоре исследований в этом направлении.
Ясно, что чем меньше накопленная энергия деформаций конструкции, тем больше (в интегральном смысле) ее жесткость. Поэтому применение условия минимума энергии деформаций (или работы внешних воздействий) при проектировании элементов конструкций максимальной жесткости является вполне естественным.
17
Свойства упругих тел, удовлетворяющих минимуму энергии деформаций, исследовались в работах Z.Wasiutynsky [364-367]. Получено, что оптимальная (в энергетическом смысле) форма поверхности обладает свойством равнонапряженности. Кроме того, в статье [366] доказывается, что задача минимизации энергии деформаций при постоянном объеме эквивалентна задаче минимизации объема материала при постоянном уровне потенциальной энергии.
Важному классу задач минимизации податливости за счет перераспределения неоднородного материала посвящены работы Б.Д.Аннина [14, 15], а за счет изменения ориентации анизотропных свойств - работы Н.В.Баничука, В.И.Бирюка, Д.М.Епураш [31], В.М.Картвелишвили, В.В.Кобелева [80]. Следует отметить, что условие минимума энергии деформаций часто используется при оптимальном проектировании крыльев летательных аппаратов как наиболее податливых элементов (работы А.А.Комарова [92], В.А.Комарова [93], Н.В.Баничука, В.И.Бирюка, Д.М.Епураш [31], В.И.Бирюка, Е.К.Липина, В.М.Фролова [41], Е.К.Липина, Б.Н.Антюхова [127], Е.К.Липина, Г.П.Грошева [128]).
В статье Н.В.Баничука, В.Г.Бельского, В.В.Кобелева [30] изложена методика получения условий оптимальности в задачах с интегральной функцией цели и переменной областью интегрирования.
Применительно к скручиваемым стержням задачи максимизации жесткости решались в работах Н.В.Баничука [23, 27, 28], Л.М.Куршина [102],
Н.В.Баничука, А.Д.Ларичева [35] и других. Задачи оптимизации формы упругих областей из условия максимума жесткости на основе интегрального "подхода решались С.Б.Вигдергаузом [50], Л.В.Петуховым [184, 187], Л.В.Петуховым, К.Е.Соковым [188], В.Прагером [191, 347], R.Reiss [353].
В статье Е.А.Николаевой, Л.В.Петухова [168] исследовалось существование оптимального (в энергетическом смысле) решения в задаче определения формы упругой линии стержня.
18
Задачи максимизации жесткости балок с применением интегральных условий оптимальности рассматривались в работах В.Прагера [191, 346J, N.C.Huang, C.Y.Sheu [309], U.Lepic [323], J.B.Martin [331]. Проектирование пластин переменной толщины из условия максимума жесткости исследовалось в публикациях Н.И.Диденко [69], Н.И.Диденко, А.М.Самсонова [70],
А.С.Братуся [44] и других. -
Оптимальному проектированию пластин с ребрами жесткости с использованием интегральных критериев оптимальности посвящены работы К.А.Лурье, А.М.Самсонова, В.В.Черкаева [134], К.А.Лурье, А.В.Черкаева [135], А.М.Самсонова [217-219], В.М,Картвелишвили, А.А.Миронова,
А.М.Самсонова [81]. При этом рассматривалась оптимизация как за счет перераспределения жесткостей ребер [218], так и за счет изменения положения линии, вдоль которого расположено ребро [81, 134, 217, 219]. В качестве интегрального критерия использовалось в том числе и условие минимума энергии деформаций.
Е.И.Михайловский [153, 154, 157] предложил условие минимума энергии деформаций дополнительного (вызванного концентрацией напряжений) напряженного состояния для оптимального проектирования пластин и оболочек с подкрепленными отверстиями. Аналогичное исследование проведено в более поздней работе С.Б.Вигдергаузом [51].
Условие минимума энергии деформаций при проектировании элементов конструкций минимальной податливости в случае упругопластического поведения материала использовалось в работах С.В.Селюгина [223, 224].
В публикации J.Barta [267] оптимизировались места приложения внешних нагрузок с целью минимизации энергии деформаций. В статье
А.П.Сейраняна [222] исследовались свойства изгибаемой пластины, удовлетворяющей условию минимума энергии деформаций.
Оптимальное проектирование конструкций при динамическом поведении рассматривалось в работах Н.В.Баничука, С.Ю.Ивановой, А.В.Шаранюк
19
132], КОШой* [340], Ю.В.Немировского, В.Д.Кошура [98], В.А.Троицкого, Л.В.Мегухова [233] и других.
Из проведенного обзора исследований следует, что применение инте-гральных критериев оптимальности для проектирования элементов конструкций является актуальным и приводит к практически важным результатам. Вместе с тем недостаточно исследовано применение интегрального критерия - условия минимума энергии деформации для оптимизации стержней и пластин с подкрепленными отверстиями и ребрами жесткости. В работах автора диссертации [108-116, 192, 194-205] развивается интегральный критерий оптимальности - условие минимума энергии деформаций как меры жесткости конструкции - применительно к подкрепленным пластинам и стержневым элементам. Эти исследования являются новыми для рассмотренных в диссертации элементов конструкций и проводились параллельно с исследованиями других авторов, начиная с 1979 г.
1.1.2. Оптимизация формы тела
Как известно, наибольший эффект в задачах оптимизации достигается при управлении формой тела. Задачи оптимизации формы тел рассматривались во многих работах, имеются монографии и обзорные статьи Ж.Л.-П.Армана [19], Н.В.Баничука [23, 28, 32], В.Прагера [191],
В.А.Троицкого, Л.В.Петухова [233], Э.Хога, Я.Арора [245], Э.Хога, К.Чоя, В.Комкова [246], Л.Т.НаЛка, Я.У.ОгапбЫ [301] и другие. Методы определения искомой оптимальной формы разнообразны. Все они сводятся к итерационным алгоритмам решения нелинейной краевой задачи.
В ряде методов предусматривается аналитическое задание формы тела, например, в виде функции, конформно отображающей искомую область на каноническую область. Среди работ в этом направлении можно отметить работы А.Я.Александрова, Л.М.Куршина и их учеников [4, 5, 102-107], В.Д.Бондаря [43], С.Б.Вигдергауза [49-53], А.С.Космодамианского [75, 97],
20
Н.В.Пустового, И.Д.Суздальницкого [193], Г.Н.Савина, В.И.Тульчего [215], Г.Н.Савина, В.Н.Флейшмана [216], Г.1 [.Черепанова [249, 280],
Н.М.Хугорянского [247, 248]. Конформно отображающие функции используются также при решении упругопластических задач в связи с отысканием упругопластической границы (см. монографии и статьи Б.Д.Аннина, Г.П.Черепанова [18, 2491, В.М.Мирсалимова [152], Н.И.Остросаблина [177], П.И.Перлина [182] и другие).
В ряде исследований искомая оптимальная форма задается параметрически (работы Н.В.Баничука [23], В.Г.Бельского [40], И.Н.Кандобы [78],
Н.А.Остапенко, В.И.Романенко, Г.Е.Якуниной [175], S.Chen, P.Liang, W.Han [279], Y.Ding [291], W.Enger [293], A.U.Kumar, D.S.Gossard [320], M.Weck, P.Steinke [368], W.Zhang, P.Beckers, G.Fleury [384]). В работах В.II.Бакулина, В.О.Каледина [22, 77] разработаны частные методики параметрического исследования напряженно-деформированного состояния, позволяющие оценить чувствительность конструкции к локальному изменения формы и жесткост-ных параметров.
Среди аналитических методов, позволяющих получить решение и оценить свойства оптимальных форм, следует отметить метод возмущений, который использовался в связи с определением оптимальной формы в статьях
A.Я.Александрова, А.В.Горбатого, Л.М.Куршина [5], Б.Д.Аннина [16],
Н.В.Баничука [23, 24, 27, 28], Д.Д.Ивлева, Л.В.Ершова [76],
Ю.В.Немировского, А.П.Янковского [166], А.М.Самсонова [218] и других.
Значительная часть исследований посвящена разработке методов опре-' деления оптимальных форм на основе метода конечных элементов (работы,
B.Г.Бельского [40], И.Главачека [60], В.М.Картвелишвили, А.А.Миронова,
A.М.Самсонова [81], С.В.Лиликина, А.Н.Паутова, И.Н.Толкачева [126],
B.П.Малкова, А.Г.Угодчикова [144], М.А.Насирова [163], M.E.Botkin, R.J.Yang [274, 275], C.Cinquini [284], K.Dems [286], Y.Ding [291], A.J.Durelli,
S.Azarm, S.Bhandarkar [292], J.Fukuda [296], W.Gutkowski, J.Zawidzka [300],
21
R.S.Jong, K.N.Ju [312], A.Karafiat [317], E.Schnack, U.Sporl, G.Iancu [357], P.Y.Shim, S.A. Manoochehri [360], G.N.Vanderplauts, S.Kodiyalam, M.J.Long [361], K.Yamazaki, A.Aoki [376], RJ.Yang, K.K.Choi, E.J.Haug [382]), метода граничных элементов (работы Н.В.Баничука [23], Н.В.Баничука,
С.Ю.Ивановой, А.В.Шаранюка [32], Ю.А.Мельникова, Г.И.Ларионова [151],
A.Chaudouet-Miranda, F.El.Yati [278], J.H.Choi, B.M.Kwak [282], F.Espida, L.Gracia, M.Doblare [294, 299], T.Huo, Q.Du, Z.Yao [310], J.H.Kanc [316], Y.Miamoto и др. [333], E.Sangrem, S.Wu [356], K.Yamazaki и др. [379, 380]) или комбинации МКЭ и МГЭ (исследования N.Kamiya, E.Kita [314, 315]). Направление поиска формы оптимальной 1раницы во многих работах находится с помощью анализа чувствительности (работы Н.В.Баничука,
С.Ю.Ивановой, А.В.Шаранюка [32], С.П.Павлова, И.Ф.Сытника [179, 180],
Э.Хога, К.Чоя, В.Комкова [246], M.P.Bendsoe, Jan.Sokolowski [268], T.C.Cheu [281], K.K.Choi [283], Y.Ding [291], Z.Mroz, J.Piekarski [3341, K.Yamazaki, K.Shibuya [381], RJ.Yang, K.K.Choi, E.J.Haug [382]) или с помощью предварительно найденных условий оптимальности (работы Н.В.Баничука [23], Л.М.Куршина, П.Н.Оноприенко и автора диссертации 1102, 104, 107, 173]).
Вопросы существования самой оптимальной границы исследовались в работах Н.В.Баничука [23], Н.В.Баничука, В.Г.Бельского, В.В.Кобелева [30],
A.С.Братуся [44], С.Б.Вигдергауза [49, 50], Л.А.Ворожцова, А.Н.Года [56],
B.М.Картвелишвили, А.А.Миронова, А.М.Самсонова [81], Н.В.Краснощека [99], Л.М.Куршина [102], К.А.Лурье [133], Е.И.Михайловского [154],
В.Н.Монахова [160], Ю.В.Немировского [164-166], Л.В.Петухова [185-187],
В.Прагера [191], А.М.Самсонова [219], В.А.Троицкого, Л.В.Петухова [233], Г.Г.Тумашева, М.Т.Нужина [236], Н.П.Флейшмана [241], А.М.Хлуднева [243, 244], Н.М.Хуторянского [247, 248], Г.П.Черепанова [249] и других.
Из обзора работ следует, что актуальным является разработка как аналитических, так и численных методов определения оптимальных форм элементов конструкций. При этом универсального метода решения задач опре-
22
деления формы, пригодного для различных классов задач оптимизации и типов элементов не существует. Автор диссертации при определении оптимальных форм развивает аналитические методы, основанные на использовании конформно отображающих функций, метод возмущений, а также численные методы, использующие полученные условия оптимальности и МКЭ (работы [17, 107-116, 192, 194-203, 259]).
1.1,3. Определение условии оптимальности в задаче разыскания формы
При определении условий оптимальности в задаче оптимизации формы используется аппарат варьирования соответствующих функционалов в областях с подвижными границами. Варьирование функционалов с переменной областью интегрирования рассматривалось в работах М.В.Остроградского [176], А.К.РогзтЬ [295], Н.М.Гюнтера [67], О.Во1га [273], Р.Куранта, Д.Гильберта [101], М.А.Лаврентьева, Л.А.Люстерник [118], И.М.Гельдфанда,
С.В.Фомина [58] и других. В частности, для первой вариации функционала, содержащего функцию и(х,у) и ее первые производные их, Ну при варьировании границы области имеем [101]:
5
\С1
\\р(х,У,и,их,иу) Му = Д —Триу [Ьи-ихЬх-иуЬу)сЬссіу+
) о V аУ ) ^
|[/^ СО$(х, п) + СОВО7,")] (&* “ их^х ~ иу$у) Ж + йп .
ап ап
Через 60 обозначена граница области О, проходимая в положительном направлении (так, чтобы область оставалась слева); 5и - полная вариация функции и(х,у); 6х, Ьу - вариации точек границы в направлении осей ху\ Ъп -вариация точек контура по нормали п к исходной (оптимальной) границе. Введем на границе локальную систему координат п (/ - касательная к исходному контуру, п - нормаль, см. рис. 1.1).
X
Рис. 1.1. Локальная система координат
Для граничных точек имеем:
ихдх + иуЬу = ипЪп + ,
(1.2)
где нижними индексами обозначено дифференцирование по соответствующей переменной. Если предположить, что контур сравнения (штриховая линия на рис. 1.1) перемещается только по нормали п по отношению к исходному (оптимальному) контуру, то вариация точек по касательной 5/1 обращается в нуль и выражение (1.2) принимает вид:
Отметим, что учет только нормальных перемещений при получении вариаций упрощает выкладки и широко используется при варьировании интегралов в областях с переменной областью интшрирования (см., например, монографию Н.М.Гюнтера [67]). Если функционал содержит несколько областей и на общей границе варьируемые функции непрерывны (соблюдается равенство функций и и их производных по касательной и,), то множитель при вариации по касательной 5/ обращается в нуль. Следовательно и в этом случае можно учитывать только перемещения контура сравнения по нормали по отношению к исходному. Тогда (1.1) с учетом (1.3) примет вид:
Одной из первых работ механиков, в которых этот аппарат использовался при получении условий оптимальности в задаче оптимизации формы,
у хЪх + иуЪу = ипЪп.
(1.3)
8 \р{х,у
\а
+
24
была работа 2.\Уа8аи:уп81а [364], опубликованная в 1960 г. (это отмечается в работе [30]). В дальнейшем аппарат варьирование функционалов с переменной областью интегрирования стал часто использоваться при постановке задач, в которых разыскивается граница (работы Б. Д. Аннина [13], Н.В.Баничука [23-29], Н.В.Баничука, В.Г.Бельского, В.В.Кобелева [30],
С.Б.Вигдергауза [50-53], И.А.Ибрагимова [74], Л.М.Куршина [102], К. А. Лурье, А.М.Самсонова, А.В.Черкаева [133-135, 218, 219],
В.А.Троицкого, Л.В.Петухова [232, 233, 184-188] и других).
В работах автора диссертации [34, 107-113, 115, 195-198, 202, 203] также используется аппарат варьирования функционалов в областях с подвижной границей при получении условий оптимальности. При варьировании контурных интегралов автором в диссертации совместно с Л.М.Куршиным [109] разработано параметрическое представление подынте1рального выражения, при котором исходный интеграл преобразуется в интеграл с фиксированным контуром (см. п. 2.2.1 диссертации).
1.1.4. Определение форм равнопрочных контуров отверстий
Определение форм равнопрочных контуров отверстий и полостей в упругих телах рассматривается во многих работах. Считалось, что наименьшей концентрации напряжений соответствуют равнопрочные контуры отверстий (такая гипотеза высказывалась Х.Нейбером [337]). Классическое решение -равнопрочный контур в виде эллипса при двухосном растяжении пластины -получен Г.П.Черепановым, которому принадлежат также и другие интересные результаты [249, 250, 280]. Задачи об определении равнопрочных контуров отверстий решались также в работах Н.В.Баничука [23, 24, 26, 28], Ю.А.Богана [42], В.Д.Бондаря [43], С.Б.Вигдергауза, А.В.Черкаева [49, 52-54], Л.А.Ворожцова, Л.А.Гоца [56], А.С.Космодамианского, Г.М.Иванова [75, 97], Н.В.Краснощека [99], П.А.Кунташева, С.А.Максимова [100], М.И.Лыськова, Т.Л.Ярошенко [137], Р.Р.Мавлютова [138], А.В.Мартыненко,
25
И.В.Куликова [145], В.М.Мирсалимова [152], В.А.Окишева [172], Н.В.Пустового, И.Д.Суздальницкого [193], И.Н.Толкачсва 1231],
Н.М.Хугорянского [247, 248], S.K.Dhir [289], AJ.Durelli, S.Azarm,
S.Bhandarkar [292], F.Espiga, L.Gracia, M.Doblare [294], J.Fukuda [296], T.R.Walker, R.Hoff [363].
В 1977 г. Н.В.Баничук в работе [29] доказал, что равнопрочные контуры отверстий соответствуют минимуму наибольшего значения концентрации напряжений. Этот результат получен как при плоском напряженном состоянии, так и при изгибе пластины [24]. Таким образом, гипотеза Х.Нейбера была доказана. Следует отметить, что Н.М.Хуторянским [248] было получено, что второй инвариант девиатора напряжений имеет минимум для равнопрочных контуров отверстий. Исследованию свойств равнопрочных контуров отверстий посвящены также работы L.Wheeler [370, 371].
Автором диссертации в статьях [109, 111], которые были опубликованы совместно с Л.М.Куршиным в 1979 г., показано, что равнопрочные контуры отверстий доставляют минимум энергии деформаций пластине по сравнению с другими контурами, ограничивающие ту же площадь (см. п. 2.1.6 настоящей работы). Таким образом, равнопрочные контуры отверстий оптимальны как с точки зрения минимизации концентрации напряжений, так и с точки зрения минимизации энергии деформаций.
В настоящей работе предлагается метод определения формы равнопрочного контура отверстия в конечной пластине, основанный на МКЭ и функциях комплексного переменного (п. 2.4 диссертации).
7.7.5. Оптимизация форм подкреплений краев отверстий в тонкостенных элементах конструкций
Как известно, отверстия в тонкостенных конструкциях образуют ослабленные места, приводящие к существенному снижению жесткостных и прочностных свойств конструкции. Для компенсации потерь применяют раз-
26
личные подкрепляющие элементы. Большое число результатов расчета тонкостенных конструкций с различными типами подкреплений краев отверстий содержится в монографиях Г.Н.Савина [214], Г.Н.Савина, Н.П.Флейшмана [216], Г.Н.Савина, В.И.Тульчего [215], МП. Шереметьева [253],
Д.В.Вайнберга, Е.Д.Вайнберга [46].
Одними из первых работ по оптимальному подкреплению краев отверстий в пластинах являются работы Е.Н.Mansfield [324, 327, 3281. Им было введено в рассмотрение так называемое нейтральное отверстие в пластине -подкрепленное отверстие, вне которого напряженное состояние не возмущено. Разыскивались как форма отверстия, так и распределение по краю отверстия жесткости тонкого безмоментного подкрепляющего стержня. Исследования показали, что для получения нейтрального отверстия требуется слишком большой вес подкрепления. Например, при равномерном растяжении пластины объем необходимого подкрепления почти в 3 раза превышает объем удаленной части пластины для образования отверстия. К тому же область существования нейтральных подкреплений ограничена узким диапазоном соотношений внешних нагрузок. В более поздней работе R.Richards,
G.S.Bjorman [354] решение для нейтрального отверстия было обобщено на случай дополнительного учета изгибной жесткости подкрепления.
В отечественной литературе вместо термина «нейтральное отверстие» используется термин «эквивалентное подкрепление». Значительный вклад в решение проблемы эквивалентного подкрепления внесен Н.П.Флейшманом [241, 216]. Исследованы случаи изгиба и плоского напряженного состояния пластины.
В.ИЛульчим [234, 235] изучена в общей постановке задача об эквивалентном подкреплении отверстий в пластинах. Получены формулы для жесткости эквивалентного подкрепления. Рассмотрены примеры, из которых сделан вывод, что на значение коэффициента концентрации напряжений в пластине слабо влияют изгибная жесткость подкрепляющего стержня (при плос-
27
ком напряженном состоянии) и жесткость на кручение (при изгибе пластины). Отметим, что оценка погрешности, вносимой при пренебрежении из-гибной жесткости и жесткости на кручение подкрепляющего стержня для частных примеров приведены также в работах E.H.Mansfield [328], Г.Н.Савина,
Н.П.Флейшмана [216], М.П.Шереметьева 1253, 254], В.М.Картвелишвили,
А.А.Миронова, А.М.Самсонова [81], S.R.Heller [302], J.R.M.Radok [348].
В.П.Малковым [141-143] предложен дискретный метод расчета эквивалентных подкреплений отверстий в пластинах и оболочках. Подкрепление рассматривается как упругий тонкий криволинейный стержень. Условия контакта пластины с подкреплением удовлетворяются в отдельных точках, что сводит задачу к решению системы нелинейных уравнений.
Е.И.Михайловский [155] получил выражения для жесткостей эквивалентного подкрепления произвольного отверстия в пластине, воспринимающей на бесконечности нагрузку общего вида. Из полученных зависимостей следуют условия, при которых возможно решение задачи об определении эквивалентного подкрепления.
В работе А.А.Дудченко, А.Н.Елпатьевского [71] для модели подкрепления в виде тонкого криволинейного стержня исследовалась возможность определения формы отверстия и параметров подкрепления с целью сохранения невозмущенного напряженного состояния вне отверстия.
В работе А.Я.Александрова и Л.М. Куршина [8] рассмотрена задача определения эквивалентного подкрепления, отличающаяся от предшествующих работ тем, что в качестве подкрепления выбрано широкое кольцо. Напряженные состояния подкрепляющего кольца и пластины описываются уравнениями плоской задачи теории упругости. Предлагаются методы решения, основанные на введении функций комплексного переменного. В работе
A.Я. Александрова, A.B. Горбатого, Л.М. Куршина [5] аналогичная задача решена методом малого параметра, в работах А.Я.Александрова [4],
B.К.Косенюка [96] - способом численной реализации метода интегральных
28
уравнений, а в статьях Л.М.Куршина и П.Н.Оноприенко [103, 106] - на основе метода двух конформных отображений.
Проблема эквивалентного подкрепления исследовалась также в работах И.А.Зоненашвили [73], С.Д.Клячко [88-90], E.Senocak, A.M.Waas [358].
Из рассмотренных исследований можно сделать вывод, что задача об определении эквивалентного подкрепления, полностью устраняющего концентрацию напряжений в пластине, далеко не всегда имеет решение и имеет существенные недостатки. Эквивалентное подкрепление к тому же образует очень податливую конструкцию. В случае неполного контакта между пластиной и эквивалентным подкреплением может возникнуть значительная по величине концентрация напряжений. То обстоятельство, что повышение податливости может привести к снижению концентрации напряжений, отмечается в работе N.A.Noda, T.Matsuo, J.Fujita [338], в которой показано, что малое отверстие определенного радиуса и местоположения вблизи большого отверстия приводит к снижению концентрации напряжений в пластине.
В связи с указанным выше, параллельно с решением задач об эквивалентном подкреплении проводились исследования по рациональному подкреплению отверстий в пластинах, которое полностью не устраняет концентрацию. Остановимся на работах, содержащих исследования по рациональным подкреплениям краев отверстий в тонкостенных конструкциях.
В статьях E.H.Mansfieid, C.J.Hanson [329, 325] на основе обратного метода определялось, какое распределение усиливающего материала вдоль края кругового отверстия вызывает наименьшую концентрацию напряжений. Рациональное подкрепление краев круговых и эллиптических отверстий в пластинах исследовалось также в работах В.Г.Кичигина [86], М.П.Шереметьева [253, 254], S.Benneti, S.Forte [271], L.Beskin [272], R.Hicks [303-305],
A.A.Wells [369], D.Williams [372], W.H.Wittrick [373, 374].
В статьях А.Я.Александрова и В.К.Косенюка [6, 7] решены задачи о нахождении так называемого равнопрочного подкрепления в пластине, вы-
29
бранного в виде широкого кольца. Под равнопрочным подкреплением понимается такое, при котором для всех точек пластины, лежащих на контуре выреза, выполняется условие постоянства интенсивности напряжений, равной интенсивности напряжений в бесконечно удаленной точке пластины. Внутренний граничный контур подкрепления задавался, а внешний разыскивался с помощью метода интегральных уравнений. На основе анализа численных результатов предложено разрывное подкрепление для наиболее нагруженных участков пластины. Рациональному проектированию разрывных подкреплений посвящена также работа S.K.Dhir, J.S.Brock [289, 290], а определению равнопрочного подкрепления - статья И.Н.Толкачева [231].
Оптимальные окантовки постоянной толщины у краев отверстий численно найдены в работе А.Я.Александрова, И.Б.Лазарева и др. [9].
Интегральный критерий подкрепления отверстий в оболочках предложен Е.И.Михайловским [153, 154]. Жесткостные характеристики подкрепляющего стержня, постоянные по контуру отверстия заданной формы, разыскивались из условия минимума упругой энергии дополнительного (обусловленного наличием отверстия) напряженного состояния оболочки. В другой работе Е.И.Михайловский совместно с М.П.Чауниным [156, 157] применил этот интегральный критерий для определения подкрепления кругового отверстия в пластине. Энергетический критерий оптимальности для подкрепления края отверстия использовался также С.Б.Вигдергаузом [51, 362].
Среди работ по оптимальному подкреплению отверстий в оболочках отметим работы А.Ю.Глеба, А.А.Галаси [61], П.В.Греса, И.Б.Лазарева [62],
В.П.Малкова [142], Б.Л.Пелеха, А.Ю.Глеба [181], В.Р.Терровере [228],
В.В.Ужва [237], Л.А.Фильштинского, В.Н.Долгих, В.А.Любчак [240], P.J.Hodge [307], E.H.Mansfield [324] и другие.
Достаточно интересными при проектировании упругих пластин являются задачи, в которых управляющей функцией служит толщина пластины. Задачи проектирования рациональных и оптимальных распределений толщи-
30
ны в пластинах без отверстий исследовались во многих работах (Ж.-Л.П.Арман [19], Н.В.Баничук [28], A.C.Братусь [44], А.С.Григорьев [63],
Н.И.Диденко, А.М.Самсонов [69, 70], В.Г.Литвинов [129,131], В.Прагер [191], С.И.Репин, Г.А.Серегин [211], В.А.Троицкий , Л.В.Петухов [233],
C.Cinquini [284], N.Olhoff, R.D.Parbery [340, 341], P.Salac [355]).
Остановимся более подробно на работах, в которых рассматривается проектирование пластин переменной толщины вблизи отверстий в тонкостенных элементах.
В работе Г.Н.Савина и Н.П.Флейшмана [216] исследовалось влияние распределений толщины и параметров подкрепления вокруг кругового отверстия в изгибаемой кольцевой пластине на концентрацию напряжений.
В статьях E.H.Mansfield [326, 330] найдены распределения толщины возле подкрепленного кругового отверстия в радиально растянутой пластине. В [326] использовалось условие постоянства максимального касательного напряжения в пластине, соответствующее критерию Треска-Ссн-Венана, а в [330] - условие постоянства интенсивности напряжений по Мизесу.
А.Я. Александровым, В.П.Валуйских, И.Б.Лазаревым [3] определено наименьшее по весу распределение толщины возле свободного эллиптического отверстия в растянутой пластине. Использовался метод конечных элементов. В аналогичной постановке В.П.Валуйских, И.Б.Лазаревым [48] найдено распределение толщины для пластины с двумя круговыми отверстиями, а в работе И.Б.Лазарева, В.П.Валуйских, П.В.Греса [123] - для пластины с отверстием, подкрепленным плоской шайбой. Проектирование пластин переменной толщины вблизи отверстий рассматривается также в работах
В.А.Комарова [93], С.Д.Клячко [88]. В статье Е.К.Лииина и Г.Н.Грошева [128] методом конечных элементов найден закон изменения толщины возле отверстия в пластине из условия минимума работы внешних воздействий и конструктивном ограничении на толщину.
31
Из проведенных исследований по проектированию эквивалентного подкрепления, полностью устраняющего концентрацию напряжений, можно отметить, что эквивалентное подкрепление имеет следующие недостатки:
• имеет узкую область существования решения;
• требуемый объем эквивалентного подкрепления в несколько раз (в 3 и более) превышает объем удаленного материала за счет образования отверстия;
• эквивалентное подкрепление образует очень податливую конструкцию и при неполном контакте между пластиной и подкреплением могут возникнуть участки со значительным уровнем концентрации напряжений.
Рациональные подкрепления краев отверстий, снижающие концентрацию напряжений в тонкостенных конструкциях, также имеют похожие недостатки. В связи с этим актуальной и практически интересной является задача нахождения оптимальных (в энергетическом смысле) форм подкрепленных отверстий в пластинах. При этом в общем случае можно управлять формой отверстия, распределением вдоль него усиливающего материала и толщиной пластины. Именно эти новые по постановке задачи решаются в главе 2 диссертации. Получены условия оптимальности, разработаны методы решения и приведены практически важные результаты, опубликованные в статьях автора [17, 107, 109-115, 192, 197, 205, 259].
1.1.6. Оптимизация пластин с ребрами жесткости
Ребра жесткости в тонкостенных конструкциях, имея относительно небольшой вес, значительно улучшают несущую способность подкрепленной конструкции. Подкрепленные тонкостенные конструкции широко используются в качестве силовых элементов авиационных, машиностроительных и судовых конструкций. Задачи расчета на прочность тонкостенных подкрепленных конструкций рассматривались во многих работах (см., монографию Г.Н.Савина, Н.П.Флейшмана [216], статью В.Н.Максименко [139] и др.). Об-
32
ратимся к работам, связанным с оптимизацией ребер жесткости в подкрепленных конструкциях.
В статье \V.A-Nash [336] исследован эффект снижения прогиба и силовых факторов в центре изгибаемой круговой пластины в зависимости от радиуса окружности, вдоль которог о расположено ребро. Задача оптимизации положения и распределения жесткостей ребра на пластине была поставлена в работе К.А.Лурье, А.М.Самсонова и А.В.Черкаева [134].
A.М.Самсоновым [218] методом возмущений решена задача о разыскании дискретного распределения жесткостей ребра, при которых достигается минимум среднеквадратичного прогиба упругой пластины. В других работах
А.М.Самсоновым исследованы задачи об оптимальных положении [219] и распределении жесткостей [217] ребра на упругой пластине, подверженной изгибу. Получены условия оптимальности. Рассмотрены конкретные примеры, в которых в качестве критерия оптимальности принято условие минимума энергии упругой деформации пластины с ребром.
B.М.Картвелишвили, А.А.Мироновым, А.М.Самсоновым [81] предлагается основанный на МКЭ численный метод решения задач оптимизации подкрепленных конструкций, в которых определяются жесткости на изгиб и кручение ребер. Минимизировалась энергия деформаций при постоянном объеме материала. Отмечается, что жесткостью на кручение ребра во многих случаях при изгибе пластины можно пренебречь.
Задачи оптимизации подкрепленных конструкций исследовались также в работах В.И.Бирюка, Н.К.Липина, В.М.Фролова [41], И.И.Воровича, Л.П.Лебедевой [55], В.А.Заруцкого, Ю.М.Почтмана, В.В.Скалозуба [72], М.Л.Каца [82], Р.П.Моисеенко [159], Ю.В.Немировского, А.П.Янковского [166], А.К.Никифорова, В.В.Чедрик [167], Л.И.Ощипко [178], Н.П.Флейшман [241], Е.А1-8ИгеебаЬ [258], \V.Banachewics [264], К.ГЗетэ, Z.Mroz,
[288], К.УатагаИ, А.Ао1и, Юёа [376, 378].
33
Из проведенного обзора исследований можно сделать вывод, что условие минимума энергии деформаций является естественным критерием при оптимальном проектировании тонкостенных подкрепленных конструкций. Практически не получены результаты по оптимизации положений ребер. Не исследованы задачи оптимизации пластин с ребрами при плоском напряженном состоянии. В третьей главе диссертации исследуются задачи оптимизации пластин с ребрами жесткости, удовлетворяющие условию минимума энергии деформации. Получены условия оптимальности, разработаны методы решения, приведены аналитические и численные результаты, имеющие научное и практическое значение. Материалы опубликованы в работах автора [107, 108, 116, 199,201].
1.1,7, Пластины с подкрепленными отверстиями и ребрами жесткости при упругопластическом поведении материала
При высоком уровне внешних нагрузок вблизи подкрепленных отверстий и ребер жесткости в пластинах появляются пластические зоны. Остановимся на работах, имеющих отношение к задачам расчета и оптимизации, рассмотренным в диссертации.
Пластические зоны вокруг неподкрепленных отверстий определялись в работах Л.А.Галина [57], Б.Д.Аннина, Г.П.Черепанова [16, 18, 249], Д.Д.Ивлева, Л.В.Ершова [76], А.С.Космодамианского [97],
В.М.Мирсалимова [152], В.Н.Монахова [160], Н.И.Остросаблина [177], П.И.Перлина [182], Г.Н.Савина [214] и других. Влияние подкреплений на размеры пластических зон вокруг отверстий не исследовано.
Укажем работы, посвященные оптимизации с учетом упругопластического поведения материала. В статьях С.В.Селюгина [223, 224] предлагается использовать условие минимума энерг ии деформаций при постоянном объеме для конструкции из упрочняющихся упругопластических материалов,
34
подчиняющихся деформационной теории. Получены условия оптимальности, которые определяют равнонапряженность конструкции.
Среди других работ по оптимизации упругопластических систем можно отметить следующие работы: Н.Х.Арутюняна, Ю.Н.Радаева [21] (рассматриваются оптимальные задачи упругопластического кручения); А.Е.Гиацинтова, А.С.Либерзона [59] (оптимизировалась геометрически нелинейная пластина); И.Главачека [60] (оптимизировалась форма упругопластического тела МКЭ); А.С.Дсхтяря [68] (определялась несущая способность жесткопластических подкрепленных конструкций); И.А.Кийко,
A.Д.Чарухчсва [84, 85] (оптимизировались стержень и пластины при упругопластическом изгибе); П.А.Кунташева, С.А.Максимова [100] (задача минимизации напряжений в упругом теле сведена к задаче идеальной пластичности); И.Б.Лазарева [121, 122] (оптимизировались стержневые конструкции с учетом приспособляемости); Ю.В.Немировского, И.'Г.Вохнянина,
B.М.Небогатова [164, 165] (оптимизировались жесткопластические конструкции); Г.П.Черепанова [249] (определялись формы равнопрочных контуров отверстий); В.В.Чехова, С.В.Селюгина [252] (получены условия оптимальности для физически нелинейных конструкций); С.Стяшт [284] (оптимизировалось упругопластическое тело МКЭ); \V.Enger [293] (оптимизировалась граница упругопластического тела на основе полиномиального представления); 1.Н1ауасек [306], [343] (оптимизировалось упругопластическое
тело, подчиняющееся деформационной теории); Э.КаПзхку, Т.Науабу
[313] (рассматривалась оптимизация упругопластических тел при различных нагрузках и условиях закрепления); К.Уатагак!, К.БЫЬиуа [381] (с помощью анализа чувствительности оптимизировалось упругопластическое тело).
Из проведенного обзора литературы следует, что отсутствуют исследования по влиянию подкреплений краев отверстий и ребер жесткос ти в тонкостенных конструкциях на распределение пластических зон. Не решались задачи оптимального проектирования пластин с подкрепленными отверстиями
35
и ребрами жесткости при унругопластическом поведении материала пластины. Такие задачи являются важными как с теоретической, так и с практической точки зрения, так как применение оптимальных проектов элементов конструкций повышает их несущую способность при высоком уровне внешних нагрузок. В главе 4 диссертации содержатся исследования в этом направлении, материалы отражены в публикациях автора [65, 146, 147, 194, 198, 204].
1.1.8. Оптимизация форм поперечных сечений стержней
Призматические стержни являются силовыми элементами авиационных и машиностроительных конструкций и работают в основном при действии крутящих и изгибающих нагрузок. Оптимизация форм поперечных сечений стержней позволяет повысить их несущую способность и снизить вес. Остановимся на предшествующих результатах по оптимизации формы стержней.
В 1856 г. Б.Сен-Венаном [225] сформулирована и лишь в 1948 г.
G.Polya [344, 187] на основании принципа симметризации доказана теорема: при заданной площади сечения максимальную крутильную жесткость имеет стержень кругового сечения. Этот результат G.Polya, A.Weinstein [345] был обобщен на случай стержней с полостью: при известных значениях площади сечения и площади, охватываемой внутренним граничным контуром, наибольшей жесткостью кручения обладает стержень кольцевого сечения, огра-ничейного двумя концентрическими окружностями. В случае упругопластического кручения оптимальность кругового стержня доказана в работе
H.Х.Арутюняна, Ю.Н.Радаева [21]. В работе В.В.Кобелева [91] доказано изо-пери мегрическое неравенство Сен-Венана: максимальное касательное напряжение для кругового стержня имеет наибольшее значение по сравнению со всеми другими стержнями, имеющими ту же площадь сечения.
36
Н.В.Баничуком [26, 266] и Л.М.Куршиным [102] для задачи об определении формы сечения стержня максимальной крутильной жесткости при заданной площади поперечного сечения получено дополнительное условие для функции напряжений на контуре, подлежащем определению: производная по нормали функции напряжений при кручении должна быть постоянной. Это позволило решить задачи об отыскании формы сечения стержня с полостью, имеющего наибольшую жесткость кручения при условии, что наряду с площадью сечения задан один из граничных контуров, отличный от окружности.
Н.В.Баничуком такие задачи для тонкостенных стержней решались методом малого параметра [26, 27], а Л.М.Куршиным совместно с П.Н.Оноприенко и автором диссертации - с помощью специально разработанного метода, основанного на введении двух конформных отображений [104, 105, 107, 112, 173, 174].
Задачи максимизации крутильной жесткости исследовались также в следующих работах: Н.В.Баничука, А.Д.Ларичева [35] (рассматривались стержни из композитных материалов); В.А.Бараненко [36, 37] (с помощью нелинейного программирования оптимизировались составные валы); И.А.Ибрагимова [74] (дана вариационная постановка задачи максимизации крутильной жесткости, по существу повторяющая исследования
Н.В.Баничука [26] и Л.М.Куршина [102]); И.П.Кандобы [78] (на основании параметрического представления оптимизировалась из условия максимума крутильной жесткости форма внешнего граничного контура сечения при заданном внутреннем); Н.А.Лаврова, К.А.Лурье, А.В.Черкаева [120] (дано решение задачи о распределении упругого материала по сечению стержня с целью максимизации жесткости кручения); А.Ю.Медникова [150] (на основе МГЭ оптимизировалась внешняя граница многосвязного сечения для обеспечения максимума крутильной жесткости); Ю.А.Мельникова, Г.И.Ларионова [151] (с помощью методов потенциала и нелинейного программирования оптимизировалась форма сечения валов при фиксированной площади из уело-