Континуальные модели поврежденности твердых тел

Оглавление
Основные обозначения................................... 6
Замечания об использовании индексов................... 20
Замечания об алгебраических и дифференциальных операторах .............................................. 22
Некоторые специальные тензоры и символы.............. 27
Введение.............................................. 32
Глава I. ТЕНЗОРНЫЕ МЕРЫ СОСТОЯНИЯ ПОВРЕЖДЕН-
НОСТИ И ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ ПОВРЕЖДЕННОСТИ 52
1.1. Введение.......................................... 54
1.2. Формальное описание анизотропного состояния повре-
жденности. Тензор новрежденности второго ранга .... 57
1.3. Тензоры поврежденности высших рангов. Главные оси и
спектр поврежденности.............................. 63
1/1. Спектральные характеристики локальной поврежденности 76
1.5. Гармонический анализ тонкой структуры поврежденности 81
1.6. Гармоническое описание состояния поврежденности. Со-
ответствие между гармоническим pi тензорным представлениями ..................’....................... 88
Глава II. ТОЧНОЕ УСРЕДНЕНИЕ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ
ПОВРЕЖДЕННОСТИ 97
II. 1. Введение.......................................... 98
11.2. Усреднение второго порядка........................100
11.3. Усреднение четвертого порядка. Амплитудный спектр
поврежденности.....................................106
11.4. Использование рядов Фурье для вычисления средней по-
врежденности.......................................120
11.5. Расчет осесимметричного состояния поврежденности . . 128
11.6. Двумерное распределение поврежденности............136
11.7. Экстремальные свойства ориентационного распределения сплошности........................................140
Глава III. МОДЕЛЬ АНИЗОТРОПНОЙ ПОВРЕЖДЕННОСТИ
С ТЕНЗОРОМ ПОВРЕЖДЕННОСТИ ВТОРОГО
2
РАНГА 144
III. 1. Модель Качанова-Работнова. Параметр поврежденности.
Эффективные напряжения ..............................145
111.2. Эквивалентная конфигурация континуума с внутренним
распределением повреждений...........................149
111.3. Определение и координатное представление тензора поврежденности ...............................................151
111.4. Главные поврежденности и главные оси поврежденно-
сти. Геометрическая и механическая интерпретация собственных элементов тензора поврежденности............156
111.5. Экстремальные свойства главных поврежденностей. Вы-
числение тензора поврежденности по экспериментальным диаграммам...........................................160
111.6. Возрастание напряжений в континууме с внутренним рас-
пределением повреждений. Тензор эффективных напряжений .............................................. 162
II 1.7. Тензор поврежденности для конфигурации упруго разгруженных поврежденных элементов ...........................166
III.8. Условия симметрии и симметризация тензора эффективных напряжений..............................................169
Глава IV. КАНОНИЧЕСКИЕ СКРЫТЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ СОСТОЯНИЯ ПОВРЕЖДЕННОСТИ 174
IV. 1. Введение............................................175
IV.2. Каноническое преобразование скрытых переменных состояния анизотропной поврежденности.........................178
IV.3. Канонические асимптотики энтропии и внутренней энергии ........................................................191
IV.4. Аппроксимация термодинамических потенциалов состо-
яния на начальной стадии развития повреждений. Глобальные канонические представления...................194
IV.5. Канонический тензор поврежденности..................198
IV.6. Механическая интерпретация канонических норм .... 200
IV.7. Каноническая асимптотика свободной энергии тела с повреждениями ................................................204
IV.8. Вариант канонического описания поврежденности .... 208
3
Глава V. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ И КАНОНИЧЕСКИЕ ИНВАРИ-
АНТНЫЕ ОТНОШЕНИЯ 213
V.l. Введение..........................................215
V.2. Уравнение баланса энтропии и энтропийное представление энергетических напряжений .............*............218
V.3. Условия термодинамической ортогональности.........223
V.4. Термодинамическое определение эффективных напряжений ....................................................228
V.5. Термодинамическая модель связки необратимая деформация - поврежденность..................................235
V.6. Баланс поврежденностей в связке неупругая деформация
- поврежденность (изотермическое приближение) .... 239
V.7. Канонический термодинамический анализ процессов накопления повреждений в твердых телах....................247
V.7.I. Процессы накопления хрупкой поврежденности .... 247
V.7.2. Влияние необратимых деформаций на рост хрупкой
поврежденности.................................. 251
V.7.3. Влияние микронеоднородности пластического течения
на рост поврежденности ..........................252
V.7.4. Процессы с постоянными энергетическими напряжениями ................................................255
Глава VI. О ВЛИЯНИИ УДАЛЕННОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗО-
НЫ И ПОВРЕЖДЕННОСТИ НА РАСКРЫТИЕ ТРЕЩИНЫ 258
VI. 1. Постановка задачи и основные уравнения............259
VI.2. Локализация пластических деформаций при повторном
нагружении.........................................275
VI.3. Вычисление раскрытия трещины при двухзонной локализации пластических деформаций ........................298
VI.4. Пример численного анализа ........................307
Глава VII. КАНОНИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ СВЯЗАННЫХ
УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ С ПО-ВРЕЖДЕННОСТЬЮ 311
4
VII. 1. Основные уравнения модели упругопластического тела с
условием пластичности Треска......................312
VI 1.2. Канонические инварианты уравнений пластического равновесия .................................................323
VII.3. Учет анизотропной поврежлениости..................336
VII.4. Инварианты плоской и пространственной связанной (плас-
тичность-повреждениость) задачи...................344
Заключение...............................................347
Литература ..............................................351
ПРИЛОЖЕНИЕ............................................. 369
5
Основные обозначения
Общая система обозначений, используемая в настоящей работе и принятая во многих статьях и монографиях по нелинейной механике, в основном подобна [198]. Незначительные отклонения подробно описаны в [78].1
Светлые курсивные буквы (латинские или греческие, прописные или строчные) обозначают скаляры и скалярные поля.
Жирные прямые строттные буквы (латинские или греческие) применяются для обозначения векторов и векторных полей.
Жирные прямые прописные буквы (латинские или греческие) как правило используются для обозначения тензоров и тензорных полей (обычно второго ранга).
Тензоры четвертого ранга, рассматриваемые как линейные операторы, действующие в пространстве тензоров второго ранга, обозначаются прописными жирными символами шрифта Euler fraktur: 21, 23, (£, ... .
В той части, где изложение касается прикладных задач механики деформируемого твердого тела, мы сочли необходимым придерживаться традиционных обозначений, что подразумевает, например, применение символов Oij и £ij для обозначения напряжений и малых деформаций.
В последней главе работы, посвященной анализу связанных уравнений теории пластичности и поврежденности, система обозначений в основном совпадает с [77].2
Ниже следует список основных обозначений, которые используются в работе. Символы (сначала латинские, а затем греческие) располагаются в алфавитном порядке.
А тензор деформаций Альманси
В“1, С тензоры деформации Коши
Сказанная работа Радаев Ю. Н. Теорил конечных деформаций сплошных сред. Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 1997. 103 с. может быть найдена на сервере Самарского гос. университета по адресу:
ЬЦр:/^^^\$8и.8ашага.ш/соттоп/8иисиіге/таіЬетаПх/га<іауеу/Ріпіїе8ігаіп8ТІгеогу.2Ір
2Указанная работа Радаев Ю. Н. Задачи и теоремы по курсу ”Математическая теория пластичности”. Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 1996. 80 с. также может быть найдена по адресу: http://www.ssu.samara.ru/common/structure/mathematix Дагіауеу/РІРгоЬІетя.гір
6
текущая деформированная конфигурации тела
отсчетная (и неповрежденная) конфигурации тела
эквивалентная неповрежденная конфигурация тела
конфигурация упруго разгруженных неповрежденных элементов тела
конфигурация поврежденных упруго разгруженных элементов тела
производная по направлению координатной линии с номером к
скалярный параметр поврежденности
тензор поврежденности
критическая поврежденность
канонический тензор поврежденности (энтропийное представление)
канонический тензор поврежденности (энергетическое представление)
главные поврежденности (собственные значения тензора поврежденности второго ранга)
ортонормированные собственные векторы тензора поврежденности второго ранга
(ІА
(ІАц
сІА* (ІА (ІА сІА*Ь)
сІеіА
(IX
(ІТ
геометрическая площадь плоского элемента поврежденной среды в актуальном деформированном состоянии
геометрическая площадь плоского элемента в от-счетном недеформированном и неповрежденном состоянии
геометрическая площадь плоского элемента поврежденной среды, ориентированного перпендикулярно главной оси тензора поврежденности О с номером 7
эффективная площадь плоского элемента поврежденной среды
эффективная площадь плоского элемента в конфигурации упруго разгруженных элементов
площадь плоского элемента в конфигурации поврежденных упруго разгруженных элементов
эффективная площадь плоского элемента поврежденной среды, ориентированного перпендикулярно главной оси тензора поврежденности О с номером 7
определитель тензора второго ранга А
неопределенный множитель теории идеальной пластичности
элемент объема в текущей деформированной конфигурации тела
8
элемент объема в отсчетной конфигурации тела
элемент объема в эквивалентной неповрежденной конфигурации тела
элемент объема упруго разгруженной неповрежденной конфигурации тела
элемент объема конфигурации поврежденных упруго разгруженных элементов
тензор деформации Грина
модуль Юнга
полный эллиптический интеграл второго рода
канонический неполный эллиптический интеграл второго рода
г—мерный вектор пространства внутренних переменных состояния с единичными компонентами
энтальпия (в расчете на единицу массы) тела с повреждениями
градиент деформации
упругая мультипликативная составляющая градиента деформации
пластическая мультипликативная составляющая градиента деформации
Г(<р, к) канонический неполный эллиптический инте-
грал первого рода
С градиент фиктивной деформации, преобразую-
щей поврежденный элемент в эквивалентный неповрежденный
С упругий модуль сдвига
дар метрика конвективной системы координат
длав метрика отсчетной системы координат
д*р метрика эквивалентной неповрежденной конфи-
гурации
Н функция Хевисайда
Н логарифмический тензор деформации
її вектор потока тепла (пространственное предста-
вление)
Ий вектор потока тепла (отсчетное представление)
Нт) свободная энтальпия (в расчете на единицу
массы) тела с повреждениями
I тензорная единица (единичный тензор второго
ранга)
3 тензорная единица (единичный тензор четвер-
того ранга)
10
1А первый главный инвариант тензора второго
ранга А
ІІА второй главный инвариант тензора второго
ранга А
IIIа третий главный инвариант тензора второго
ранга А
/і, /2, /3 канонические инварианты пространственных
уравнений теории пластичности
її, І2, Із локальный базис отсчетной системы координат
іь і2, із локальный базис конвективной системы коорди-
нат
і;, із, І3 локальный (неголономный) базис эквивалентной
конфигурации
А А
іі, І2, із локальный (неголономный) базис упруго разгру-
женной неповрежденной конфигурации тела
іі, І2, із локальный (неголономный) базис упруго разгру-
женной поврежденной конфигурации тела
J Якобиан отображения отсчетной конфигурации
тела на его текущую деформированную конфигурацию
38 вектор потока энтропии (пространственное
представление)
вектор потока энтропии (отсчетиое представление)
11
обобщенный термодинамический поток (энтропийное представление)
обобщенный термодинамический поток (энергетическое представление)
материальные тензоры (энергетическое представление)
тензор напряжений Кирхгофа
модуль канонических эллиптических интегралов Лежандра; предел текучести при сдвиге
полный эллиптический интеграл первого рода
материальные тензоры (энтропийное представление)
пространственный градиент скорости
натуральные параметры (переменные длины дуг) вдоль линий главных напряжений
ортонормированный базис, ориентированный вдоль главных осей напряжений
полу длина трещины
главные удлинения иовреждснности (собственные значения тензора \/С^С)
главные удлинения поврсжденности по отношению к конфигурации В%
£увуа? материальные тензоры (энтропийное предста-
вление)
п
О
Р
р(ау0)
*п
к
Ли Л-2 ж
Го
г, у, г
директор (единичный вектор, определяющий ориентацию в пространстве)
ортогональный тензор в г-мерном пространстве переменных состояния
транспонированный вихрь тензора малых деформаций
обобщенная термодинамическая сила (энтропийное представление)
обобщенная термодинамическая сила (энергетическое представление)
присоединенные функции Лежандра
полиномы Якоби
тензор поворота (ортогональный сомножитель в полярном разложении градиента деформации)
радиусы кривизны линий максимальных касательных напряжений в состоянии плоской деформации
ортогональный тензор четвертого ранга
потенциал рассеяния (в расчете на единицу массы) тела с повреждениями
цилиндрические координаты в пространстве
13
сферические координаты п пространстве
критическое значение энтропии (в расчете на единицу массы) тела с рассеянной поврежденно-стью
энтропия (в расчете на единицу массы) тела с рассеянной ловрежденностыо
тензор напряжений Коши
тензор эффективных напряжений
симметризованный тензор эффективных напряжений
собственные значения тензора напряжений Коши (главные истинные напряжения)
собственные значения тензора эффективных напряжений (главные эффективные напряжения)
собственные значения симметризованного тензора эффективных напряжений
вектор напряжений (внутреннее контактное усилие на единицу площади в деформированном состоянии)
вектор эффективных напряжений (внутреннее контактное усилие на единицу эффективной площади)
время
£с время до разрушения
след тензора второго ранга А
ис критическое значение падения внутренней энер-
гии (в расчете на единицу массы) тела с рассеянной поврежден ностью
П[) внутренняя энергия (в расчете на единицу
массы) тела с рассеянной поврежден ностью
щ компоненты вектора малого перемещения
X положение (место) в отсчетной конфигурации
х положение (место) в пространстве
х* положение (место) в эквивалентной неповре-
жденной конфигурации
х положение (место) в конфигурации эквивалент-
ных неповрежденных элементов после их упругой разгрузки
х положение (место) в конфигурации поврежден-
ных элементов после их упругой разгрузки
Хк декартовы координаты в пространстве
У, Э пара энергетически сопряженных тензоров де-
формации и напряжения
У предел текучести при растяжении
Уа неупругая часть тензора деформации У
15
Уе упругая часть тензора деформации У
/ >л
У[ (©, Ф) сферические гармоники Лапласа
У^к\Эу Ф) нормированные сферические гармоники Лапласа
Z тензор сплошности (энергетическое представле-
ние)
г комплексная переменная
Я{,к, эталонная каноническая сплошность
7 длина дуги траектории пластических деформаций
символ Кристоффеля первого рода
Г” символ Кристоффеля второго рода
А тензор поврежденности по отношению к конфи-
гурации Вь
Д(с) главные поврежденности по отношению к конфи-
гурации Вь
й(а) ортонормированные собственные векторы тен-
зора поврежденности А
8 раскрытие трещины
£ц тензор малых деформаций
£1, £2) £з главные деформации
16
»ь
е, Ф Ъ
А
£
пси
£.0
п {у, и2, к)
тензор упругих деформаций
тензор пластических деформаций
скрытые (внутренние) переменные анизотропного состояния поврежденности
сферические углы
абсолютная температура (энтропийное представление)
абсолютная температура (энергетическое представление)
кривизна линии главного напряжения с номером { в локальной координатной плоскости, нормальной линии главного напряжения с номером ]
коэффициент Пуассона
тензор сплошности (энтропийное представление)
векторное представление канонических переменных состояния (энтропийный вариант)
каноническая норма (энтропийное представление)
канонические переменные состояния (энтропийное представление)
канонический неполный эллиптический интеграл третьего рода
17
р
Рк
Рь Р2 <71, <?3
£
с(п)
£е[$Х)]
£»[•*£>]
ПЛОТНОСТЬ
плотность в отсчетной конфигурации
радиусы кривизны линий главных напряжений в состоянии плоской деформации
тензор напряжений
главные напряжения
векторное представление канонических переменных состояния (энергетический вариант)
каноническая норма (энергетическое представление)
среднестепенное и в частности среднеквадратичное (по единичной сфере) значение ориентационного распределения сплошности
канонические переменные состояния (энергетическое представление)
ориентационное распределение сплошности
производство (на единицу массы) внутренней энергии
внешнее производство (на единицу массы) энтропии
внутреннее производство (на единицу массы) энтропии
18
фв свободная энергия Гиббса (расчитанная на еди-
ницу массы) тела с повреждениями
фр свободная энергия Гельмгольца (расчитанная на
единицу массы) тела с повреждениями
V пространственный оператор Гамильтона
V а отсчетный оператор Гамильтона
19
Замечания об использовании индексов
Использование различных классов индексов для трех систем координат (пространственной, отсчетной и конвективной) совершенно необходимо для сознательного оперирования такими понятиями, как градиент деформации и тензоры конечной деформации.
Иногда тензор может наиболее просто и естественно представляться в смешанном диадном базисе, когда векторы диады принадлежат различным базисным системам, и в этом случае компоненты тензора имеют индексы различных классов. Так, градиент деформации наиболее просто и естественно представляется (просто частной производной) в диадном базисе, левый множитель которого есть пространственный базисный вектор, а правый - отсчетный. Это естественное представление тензора дистор-сии влияет затем на координатную запись полярного разложения и так на все координатное оформление теории конечных деформаций. Термин естественное представление тензора (см. [78]) широко используется в настоящей работе.
1. Латинские индексы применяются при записи компонент тензорных полей относительно пространственного (эйлерова) базиса і
2. Греческие индексы применяются для записи компонент тензорных полей относительно конвективного базиса іа.
3. Греческие индексы с предшествующим символом И, применяются для записи компонент тензорных полей относительно отсчетного базиса і я,*. Сам отсчетный базис для сокращения записи часто обозначается 1а.
4. Действие символа Л распространяется на все греческие индексы, расположенные за ним. Сам символ Л никогда индексом не является.
5. Индексы, заключенные в треугольные скобки, используются для обозначения физических компонент тензора относительно данной ортогональной криволинейной кооігдинатной системы.
6. Индекс, заключенный в круглые скобки, указывает на представление в собственном ортонормированном базисе симметричного тензора второго ранга. В зависимости от смысла тензора этот индекс может быть как греческим, так и латинским.
7. Два и более индексов, заключенных в круглые скобки, обозначают
20
симметризацию по этим индексам:3
■^(ц*2-ч) ~ Ту 53 ■^■р(1)*/,(2) --‘р(*) •
К' Р
Здесь символ Р обозначает произвольную перестановку множества натуральных чисел 1,2,3,..., к..
Так, например:
А(к\ц) — ^(ЛсАд + А\цк Н- ЛжА + АдА + Акр + Ац\к).
8. Фигурные скобки, которые заключают четное число индексов, обозначают девиаторную часть симметричного тензора четного ранга, определенную так, что свертка по любой паре индексов равна нулю:
= 70 ^»1«2".»2г^"72 %1*2*^*3*4-»2г)ЙД + *■■ +
72г ${ч *2 ^*3*4 • • • ^2г—1 ®2г) А-у 121 ЗгЗг ■ ■ -)г)г ’
где
2г _ у-1; 02г°2г-1 /2(7 ^2(7 »
°4г-1
а круглые скобки обозначают симметризацию индексов.
3 Исключением из этого правила являются собственные значения тензоров поврежденности высоких рангов когда круглые скобки не следует понимать как оператор симметризации индексов.
21
Замечания об алгебраических и дифференциальных операторах
1. Скалярное умножение векторов и внутреннее умножение тензоров обозначается точкой (•). При внутреннем умножении тензоров второго ранга (закон композиции) и при умножении тензора второго ранга справа на вектор знак умножения для сокращения записи опускается.
2. Векторное умножение векторов и внешнее умножение тензоров обозначается крестом ( X ).
3. Тензорное умножение обозначается крестом, обведенным окружностью (®).
4. След тензора второго ранга А обозначается символом 1;гА :
ігА = А*.
5. Симметричная и антисимметричная части тензора второго ранга А обозначаются соответственно символами эут и аБут : Бут А, аэутА.
6. Операция транспонирования тензора второго ранга А обозначается символом Т вверху справа: А1.
7. Операция обращения тензора второго ранга А обозначается символом -1 вверху справа: А“1.
8. Определитель тензора второго ранга А обозначается через сІеіА.
9. Пространственный оператор Гамильтона определяется формулой
V = і*—
дхк'
Отметим также представление пространственного оператора Гамильтона в конвективном локальном базисе:
дХа'
10. Отсчетный оператор Гамильтона определяется формулой
V» = іЯа—— к дХа
22
11. Пространственные градиенты скалярного, векторного и тензорного поля определяется соответственно формулами:
grad/ = V/, gradv = (V ^v)1, gradA = (V 0 А)т.
12. Пространственная дивергенция векторного и тензорного поля определяется соответственно формулами:
divv = V • v, divA = V • Ат.
13. Пространственный ротор векторного поля v определяется формулой
rotv = V х v.
Аналогичным образом определяется пространственный вихрь тензора второго ранга Р
rotP = V х Р.
14. Ковариантная (контравариантпая) производная векторного поля v определяется как коэффициент в разложении тензора второго ранга gradv по базисным диадам одного из четырех возможных типов:
gradv = vkllik 0 і' = i^ijt 0 і' = г/*|гі* 0 і; = vj‘ik 0 i(l где, в частности,
k._dvk(x°,t) Jk v-\‘- дх‘ +гУ1’1’
dvk(xs, t) ^ - viL кї
- дх‘
Аналогично определяется ковариантная производная тензора второго ранга А. В частности, градиент тензора второго ранга может быть разложен по базисным полиадам в виде
23
gradA = Аф[г ® Р ® г =Ах\кц ® ^ <8)1 =
7|*]
где коэффициенты разложения
=АгАки <8 V <8
^,-1* = - г'Иу - Г^Л,, лч* = я1Г + ГИУ + г?ИЙ.
^ = ^ + Гк4-Г'^
суть ковариантные производные.
15. При использовании символа
д_
дь
аргументы дифференцируемой функции почти всегда указываются, поэтому всегда ясно, какие именно переменные следует считать фиксированными при выполнении дифференцирования. Так, например, в выражении
дук{х3,г)
дЬ
при выполнении дифференцирования следует считать постоянными переменные Эйлера хв.
Как правило, оператор используется для обозначения локальной производной по времени, т.е. производной при постоянных координатах х*.
16. Полная (материальная) производная, т.е. производная при постоянных координатах Лагранжа Ха, обозначается точкой над дифференцируемой функцией или полем:
А _ ад(м) + (V 8 А) г..
17. Треугольником, обращенным вниз, вверху справа от символа тензора второго ранга обозначается объективное дифференцирование по времени тензоров конечной деформации и напряжений, причем действие этого
24
оператора на напряжения и деформации - совершенно разное. Так, например, объективное дифференцирование по времени применительно к паре тензор деформации Альманси А - тензор напряжений Кирхгофа К означает дифференцирование тензора деформации Альманси согласно Коттеру-Ривлину
А7 = А + АЬ + ЬТА
и объективное дифференцирование по времени тензора, напряжений Кирхгофа согласно Олдройду
к7 = к - ьк - кьт.
Подобное определение объективного дифференцирования по времени тензоров напряжений и деформаций исключительно удобно, поскольку с одной стороны в силу
(у!з) =-Ьг(АК7)
правильно вписывается в энергетические уравнения, а с другой - позволяет установить взаимное соотношение
(;г (бу) = ^ (КА7).
Различные операторы объективного дифференцирования по времени достаточно подробно обсуждаются в монографии [65].
18. Инвариантное интегрирование в недеформированном и деформированном состояниях осуществляется с помощью элементов объема
(1та = ^Х\с1Х1<1Х\1Х\
йт = у/\д^\йХЧХ2йХ3.
19. Среднее (по единичной сфере) значение функции ориентации определяется формулой
2 л- 7Г
</>=2- I ! /(©, Ф) ЗШ вйОс!Ф. о о
25
20. Среднестепеиное, и в частности среднеквавдратичное, (по единичной сфере) значение ориентационного распределения ^ = <^(п) определяется как следует ниже:
= ’</^
Я2$ > =
N
2тг 7Т
— I J $2з(Э, Ф) втвсЮ(1Ф
о о
26
Некоторые специальные тензоры и символы
1. Символ Кронекера 8\ определяется как
1 ~ 3
3 \0,
независимо от рассматриваемой координатной системы.
2. Дискриминантные символы и е1]к равны и вычисляются как
е123 = £312 = £231 = 1, £213 = в321 = £132 = “1,
а остальные еу* равны нулю, независимо от системы координат.
3. Ковариантный и контравариантный дискриминантные тензоры е^к и ег*к, определяемые в правоориентированной координатной системе следующими равенствами:
£ук = \f9Zijky рЩ =
у/9 ’
где д = \д^ \, - широко используются для записи векторного произведения:
с* = е^ка,{Ъ],
Ск = £цкО> ^.
Отметим также следующие формулы:
^ ' (*7 ^ ^к) >
е#* = г • (V X Р), 1г X = бгаА 5
Г X Р =
27
4. Символы Кристоффеля первого и второго рода определяются как коэффициенты в разложениях частных производных от векторов локального базиса
0?1_г І*
Эх’ - 1 ііМ '
^- = Гк\
дхз у *
и могут быть вычислены также по формулам
ддік 0д]к дд,}
2Гу’* “ дх* + Эх•
дхк 5
рА: „кїітл
і і] — я ^
5. Тензор Римана-Кристоффеля определяется уравнением
д\ _ _ г,';-
дхкдх1 дх1дхк 1
и вычисляется с помощью дифференцирования уравнения
^і = ггі
дх* ^
Равенство нулю тензора Римана-Кристоффеля есть условие голономно-сти базиса и возможности ввести декартову метрику — 5^. Смешанные и ковариантные компоненты тензора Римана-Кристоффеля могут быть вычислены с помощью определителей [84], [93]:
<9 дхк д дх1 + г,* Г',
Vі
і]кІ — д дхк д дх1 + Г5 1зк
Г )к>\
Ковариантные компоненты тензора Римана-Кристоффеля могут быть вычислены также по формуле
28
2 д.. d2g,t дІ 9)і 92дік д2дік
*к1 дхЮхк дхгдхк дхЮх1 дхгдх1
(Vjk^u^ ~ Гji.sTік,г)•
В трехмерном пространстве имеется всего шесть существенных компонент тензора Римана-Кристоффеля: ЯШ2, Яшз, ^2323, ^1213, Я2ш, Дзш, равенство которых нулю и выражает условие сплошности (совместности) деформаций [29].
Несовместность поля деформаций, обусловленная микроструктурой пластического течения, выражается также через Тензор Римана-Кристоффеля, который уже не будет нулевым. Конкретные представления тензора несовместности имеются, например, в монографии [64].
В случае малых деформаций условие сплошности имеет следующий вид [54]: V хР = 0, где тензор Р есть транспонированный вихрь тензора малых деформаций.
Заметим, что физические компоненты вихря тензора второго ранга Р в ортогональной криволинейной сетке могут быть вычислены по следующим формулам:
/т-г п\ _ 1 (ду/ШР<Я> ду/922Р<21>\ , п 1 д 1 J-
( )п v'svs; \ »{' v ) <a>vsr»e1 ^
“p<1!>vfe^lnvS'
/гг 1 (ду/9ззР<32> ду/д^Р<22>\ , п 1 д , ,— i
( )l2 vWsiV W ^ ) <31>у/зП9Є Пу/^2
д 1 д
+p<33>v^W1п ^+Р<23>^/Шдё111 ^
/гг гп _ 1 (ду/9*Р<П> ду/922Р<23>\ D 1 <9 1
( )l3_vW^V др ) <32>v5ii^3 nv^
ln ^ ln ^
29
/гг г>\ _ 1 (ду/дГ\Р<п> д^ШР<31>\ і д , /—
(v х р)п - 1-8?-----------------------»?—) -р<“> vsw
.. г,\ 1 /ЗУ5ЇТР<12> дл/д^р<32>\ 19—
(V х Pfe = Ж/S І-^ J+ p<J'^a?lnvSI-
/UyP/ _ 1 fgv/gIT-p<i3> _ d^MP<33>\ 1 9 —
( )a VHv^V 5Є3 9^ J+ P<12>pg^dp Ьч/^+
+P<11> v5Wln ^ + Р<31>ршдр ln ^
err V. D\ _ 1 (dV<ft2P<2\> dy/gUP<n>\ n 1 9 /_1
( )з1 \fm-Jgn \ dp dp ) <2Z> pm dp ^
д 1 d
+P<22>pmW2 ln ^ + P<n>pm.dpln ^ CT7 ~ m _ 1 fdpg^P<22> dpgUP<i2>\ n 1 9 , /—
( )з2 vWs^V ae1 ae2 j <21>v^9e2 ^
~Р<13>^^ln ^ “ p<u>vfe^ln л
m - ел - 1 (дРд^Р<23> av^TP<i3>>i , n 1 9 , ,—
( )з3 v^Tv^V ^ 5C2 J <12>v5i^3 ^
1 ^ , л—
—P<2\>-=-К7ї In v0n-
у/Шд?
В декартовой системе координат в геометрически линейном приближении уравнения совместности деформаций приобретают форму:
30
б 'кіз Є І ти Зтп п — О*
Несовместность пластической деформации выражается уравнением (см., например, [64]):
где тензор несовместности г]ц, который также часто называют тензором расхождения Кренера, связан с тензором плотности дислокаций посредством соотношения
<Пк1 = 2
Тензор плотности дислокаций определяется уравнением
Ьк = otikd.Su
где Ьк - вектор Вюргерса, (ІБі - векторный элемент площади, ограниченный контуром Бюргерса, через который проходит достаточно много линий дислокаций.
Отметим уравнение неразрывности дислокаций:
діаїк = 0.
Если на единицу площади приходится р параллельных линий дислокаций, то тензор плотности дислокаций вычисляется в виде:
оц к = рп/6*.
31
Введение
Иод поврсжденностью мы, следуя [161], понимаем сокращение упругого отклика тела вследствии сокращения эффективной площади, передающей внутренние усилия от одной части тела к другой его части, обусловленного, в свою очередь, появлением и развитием рассеянного поля микродефектов (микротрещины - в упругости, дислокации - в пластичности, микропоры - при ползучести, поверхностные микротрещины - при усталости).
Поврежденность за редким исключением нельзя непосредственно наблюдать и измерять так, как в физике и механике измеряются, скорость, сила и температура. Деградация механических свойств тела может быть обнаружена в результате анализа реакции тела на различные внешние воздействия. Наличие поля повреждений в твердых телах согласно современной экспериментальной практике может быть косвенно обнаружено и отчасти количественно представлено через уменьшение модуля Юнга, уменьшение скорости прохождения ультразвукового сигнала, уменьшение плотности, изменение твердости, падение электрического потенциала, падение амплитуды напряжений при циклическом испытании, ускорение ползучести в третьей стадии. Методы акустической эмиссии позволяют достаточно определенно выявлять зоны локализации поврежденности.
Механика повреждепного континуума интенсивно развивается, начиная с основополагающих работ Л. М. Качанова [40] и Ю. Н. Работнова [70]. Ценность этих первых работ, признанных ныне классическими, заключается в возможности применения единой схемы представления поврежденности для описания поврежденности в упругих и упругопластических телах, а также ее развития в условиях ползз'чести. Сущность нового подхода заключалась в использовании новой мезо-переменной - параметра поврежденности, - отражающей присутствие в теле поврежденности (или различных видов повреждений) - феномена совершенно другого масштаба - микро-масштаба. Последующее развитие теории происходило, в частности, по пути обобщения основных положений механики поврежденного континуума для случая трехмерного состояния анизотропной поврежденности [1291, [135], [150], [169], [95], [108], [142], [135], [170], [171], [150], [144], [188].
В ряду важнейших разделов механики деформируемого твердого тела
32
механика континуума с внутренним распределением повреждений - по-прежнему, один из наиболее динамично развивающихся. Круг потенциальных приложений континуальной механики поврежденных тел чрезвычайно широк. Проникая в классические разделы механики твердого тела, такие как теория пластичности, ползучести, механика трещин и разрушения, механика поврежденности не только обогащается новыми концепциями и методами, свойственными этим ветвям механики твердого тела, но и заставляет переосмыслить традиционные для классических теорий подходы и постановки задач при расчетах напряженно-деформированных состояний твердых тел.
Наиболее полно и с единой точки зрения механика поврежденности, ее концепции, методы, результаты и перспективы развития изложены в монографии [144], где заинтересованный читатель может найти большой библиографический список работ, посвященных этой тематике. Здесь мы акцентируем внимание на работах советских и российских ученых, посвященных моделированию состояния поврежденности в твердых телах.
Согласно сложившейся традиции основополагающими для континуальной механики поврежденности следует считать известные статьи Л. М. Качанова [40] и Ю. Н. Работнова [70]. Вклад Л. М. Качанова в механику поврежденности выразился в большом количестве работ, посвященных в основном описанию поврежденности и кинетики ее развития в условиях ползучести и подытоженных в монографии 435].
Важное место в научном творчестве Ю. Н. Работнова занимают проблемы моделирования и расчета поврежденности и длительной прочности элементов конструкций в условиях ползучести, при циклическом нагружении и под влиянием агрессивной внешней среды. Соответствующие оригинальные статьи 10. Н. Работнова (в том числе и основополагающая работа [70]) могут быть найдены в сборнике его избранных трудов [72]. Заметим, что теория ползучести и длительной прочности металлов интенсивно развивалась в СССР, особенно в 50-е годы (см. коллективную монографию [63]). Значительный вклад в конкретизацию определяющих зависимостей теории ползучести и длительной прочности, включающих скалярную меру поврежденности, принадлежит С. А. Шестерикову [90], [91].
Учет поврежденности и микронеодродности напряженно-деформированного состояния металлов при пластическом течении был выполнен В. В. Новожиловым в цикле оригинальных работ (см. сборник его научных трудов [62]). Исторический аспект проблемы, основные идеи, методы и результаты
33
феноменологического подхода к описанию поврежденности и разрушения твердых тел подытожены в докладе [60].
Влияние поврежденности на развитие трещин и моделирование пред-разрушения и задержки разрушения рассматривались А. А. Вакуленко и
Н. Ф. Морозовым [20], [21].
В. Н. Кукуджановым в работе [48] предложена микромеханическая модель упруговязкопластической среды с поврежденностью и дано ее приложение к исследованию процессов локализации пластических деформаций. Согласно концепции В. Н. Кукуджанова пластическое течение и разрушение есть единый процесс, вызванный движением дислокаций, а на более поздней стадии - зарождением и развитием микродефектов (микропор различной геометрии). Модель может учитывать форму микропор: эллипсоидальную или сферическую. В случае эллипсоидальных микропор повре-жденность тела представляется с помощью тензора поврежденности второго ранга. В этой же работе предложено условие пластичности пористого материала с кинематическим упрочнением, сформулирован соответствующий ассоциированный закон течения и получена определяющая зависимость для пористости.
Коррозионное растрескивание металлов в водородсодержащей среде под напряжением с позиций континуальной механики поврежденности исследовалось в работах В. И. Астафьева и Л. К. Ширяевой [9], [10]. В недавно изданной монографии [10] имеется довольно подробный обзор работ по указанной проблеме и соответствующая библиография.
Цикл работ [12], [13], [26], [27], [28] посвящен моделированию по схеме Баренблатта-Дагдейла интерфейсной трешины-расслоения с локализованными у вершин трещины зонами пластического течения, разупрочнения и возможных нелинейных связей в концевых областях с целью описания подготовки разрушения в этих областях. Особый интерес здесь представляет анализ влияния нелинейности связей внутри концевых зон на состояние трещины-расслоения. Оригинальная математическая модель термофлукту-ационного зарождения и развития дефектов в области ослабленных связей на плоской границе сопряжения двух тел предложена в [28]. На основе этой модели разработан метод оценки времени зарождения дефекта в зоне ослабленных связей на плоской интерфейсной границе полимер-метал л.
В конце 70-х годов были предложены первые теоретические модели роста трещин в металлах в условиях ползучести с явным учетом деградации прочностных свойств металла. Моделирование основывалось на предполо-
34
жении, что рост трещины происходит в том случае, если некоторая мера, поврежденности достигает своего критического значения на некотором расстоянии от вершины трещины. В [5], [115] при моделировании роста трещин использовался скалярный параметр поврежденности Качанова-Работнова. В [182] параметр поврежденности связывался с величиной пористости материала и, предполагалось, что процесс накопления повреждений обусловлен совместным действием диффузионного и вязкого механизмов роста нор в условиях высокотемпературной ползучести. В [106] в качестве меры поврежденности материала принималась величина интенсивности накопленных деформаций ползучести. Модель, описывающая рост трещин в условиях ползучести в более общей постановке была предложена в [6]. В рамках этой модели предполагалось, что величина критической поврежденности материала не является постоянной, зависит от уровня напряжений и убывает при возрастании интенсивности напряжений.
Асимптотическое решение для поля напряжений у вершины трещины в упрочняющейся среде, формально пригодное и для случая установившейся ползучести, было исследовано в работах [130], [181]. В работе [184] проанализировано перераспределение напряжений, вызванное влиянием упругих деформаций, для случая неподвижной трещины. В условиях ползучести происходит перераспределение напряжений у вершины подрастающей трещины. Новый тип сингулярности поля напряжений для растущей в условиях ползучести трещины был определен в [128].
Однако, наиболее существенное влияние на перераспределение напряжении и деформаций в окрестности вершины трещины несомненно оказывает величина накопленной поврежденности. Первые теоретические модели, учитывающие процесс накопления рассеянных повреждений, основывались на несвязанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности. В несвязанной постановке накопленная поврежденность определялась посредством интегрирования кинетического уравнения после определения поля напряжений. Таким образом, величина накопленной поврежденности не влияет на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины. Немногочисленные работы [124], [125] были посвящены конечноэлементному анализу процесса роста трещины в условиях ползучести на основе связанной постановки задачи теории ползучести с поврежден-иостыо, предложенной впервые Ю. Н. Работиовым [71].
В связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности параметр поврежденности входит в определяющие соотношения
35
задачи и, следовательно, влияет на напряженно-деформированное состояние.
Проблема моделирования роста трещин в связанной постановке представляет собой одну из важных задач механики деформируемого твердого тела и к настоящему времени предприняты попытки рассмотреть распространение трещины в связанной постановке. Так, в [7] дано решение задачи о росте трещины антиплоского сдвига в среде с поврежденностью в связанной постановке. Исследование показало, что у вершины трещины отсутствует характерное для теории трещин сингулярное поле напряжений: эффективные напряжения ограничены, сами напряжения и сплошность линейно падают до нуля, к свободным от нагрузок берегам трещины вблизи ее вершины примыкает области полностью разрушенного материала, в которых все напряжения и сплошность равны нулю.
Таким образом, связанность постановки задачи проявляется прежде всего в исчезновении традиционной для механики разрушения сингулярности напряжений у вершины трещины и приводит к относительно меньшим значениям скорости страгивания трещины.
В [8] рассмотрена задача о растущей в процессе ползучести трещины нормального отрыва в среде с поврежденностью. Результаты показывают, что к берегам растущей трещины примыкает область полностью поврежденного материала. Такое поле напряжений принципиально отличается от соответствующего сингулярного поля напряжений в несвязанной постановке задачи.
В [202] изучен усталостный рост трещины в среде с поврежденностью. Установлено, что принципиально невозможно удовлетворить граничным условиям на берегах трещины, что в свою очередь приводит к необходимости модификации постановки задачи: введения области, в которой все компоненты тензора напряжений и сплошность равны нулю.
Наряду с построением асимптотик полей напряжений и сплошности в окрестности вершины прорастающей трещины, как это было сделано в работах [7), [8], [202], в [183] введены автомодельные переменные для задачи о росте трещины в среде с поврежденностью. Однако полное решение данной задачи к настоящему времени отсутствует.
Целью настоящей работы является разработка математической модели и средств представления анизотропной поврежденности, которые в рамках единой схемы и на основе принципов механики континуума позволяют описывать сколь угодно сложное (или вообще недетерминированное) распреде-
36