2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ......................................................... 4
1. ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ................................. 16
1.1. Уравнения равновесия оболочки и её граничные условия... 16
1.2. Осесимметричное напряжённо-деформированное состояние кру-
говых цилиндрических оболочек конечного прогиба перед потерей устойчивости........................................ 26
1.3. Решение краевой задачи деформирования оболочки методом Ре-
лея -Ритца.............................................. 36
1.4. Решение системы нелинейных алгебраических уравнений равновесия оболочки методами продолжения.......................... 55
1.5. Оценка погрешности определения деформированного состояния
оболочки................................................ 66
2. РАСЧЕТ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ..................................................... 68
2.1. Оболочка с граничными условиями 84 (опирание) при действии
всестороннего сжатия..............*..................... 68
2.2. Оболочка с граничными условиями СЗ (защемление) при действии только бокового давления.................................. 80
2.3. Оболочка с граничными условиями 83 (опирание) при действии
только бокового давления......•......................... 88
2.4. О влиянии способов закрепления и нагружения оболочки на её
критическую нагрузку..................................... 95
3. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С
МАЛЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ........................... 97
3.1. Оболочка с граничными условиями Б4 (опирание) при действии
всестороннего сжатия..................................... 97
п
.5
3.2. Оболочка с граничными условиями СЗ (защемление) при действии только бокового давления.................... 102
3.3. Оболочка с граничными условиями БЗ (опирание) при действии только бокового давления.......................... 106
3.4. Диапазон возможных значений верхней критической нагрузки цилиндрической оболочки.................................... 109
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................... И2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.................................... 114
ВВЕДЕНИЕ
Знание полной картины поведения тонкостенной оболочки, в которую помимо устойчивых состояний равновесия включены и ес неустойчивые состояния, позволяет по-иному взглянуть на процесс её деформирования и понять те его явления, которые с позиций идеализированных математических моделей оболочки остаются необъяснёнными. Примером этому служит проблема рассогласования теоретических и экспериментальных данных по критическим нагрузкам для тонкостенных конструкций, в частности, для цилиндрических оболочек (см. рис.В.1), как наиболее подробно изученных наряду со сферическими куполами в этом плане объектов.
Рис.В.1. Тонкая цилиндрическая оболочка.
История исследований процесса устойчивости цилиндрической оболочки, нагруженной внешним всесторонним или боковым давлением, насчитывает более чем полуторавековую историю. По всей видимости, первой опубликованной работой было экспериментальное исследование Фёйербейрна 1858 года [83]. В нём автор впервые обратил внимание на явление потери устойчивости цилиндрической оболочки, нагруженной внешним давлением. Уже через год в
свет выходят работы Грасгофа [87] и Бресса [68], в которых авторы, независимо друг от друга, приводят зависимость для определения наименьшего критического давления для труб, но без учёта коэффициента Пуассона. Последний недостаток был исправлен вышедшей в 1888 году работой Брайана [70], которому удалось получить исправленную формулу в виде
Екъ
?кр_4(1-у2)Л3 '
Здесь Е — модуль упругости материала трубы, И - толщина её стенки, V — коэффициент Пуассона материала трубы, 11 — радиус её кривизны. В последствии эта зависимость получила название формулы Грасгофа-Бресса.
Спустя почти полвека после первой экспериментальной работы, в 1911 году, Лоренцу удалось получить, судя по всему, первое аналитическое решение [93] для цилиндрической оболочки со свободно опёртыми торцами, нагружеиой равномерным поперечным давлением.
Следующим шагом в изучении процесса потери устойчивости была серия работ Саусвэлла [111 ](1913—15), Мизеса [94,95](1914, 29), Бубнова ] 8]( 1916), Папковича [55]( 1929), Токугавы [ 117]( 1929), Зандена и Только |105](1932), Флюгге [84]( 1932), Винденбурга и Триллинга [ 123](1934) и многих других. По результатам этих работ в практику расчётов на устойчивость свободно опёртых цилиндрических оболочек вошла формула для определения наименьшего критического давления - верхнего критического давления, получившая название формулы Саусвэлла-Папковича. Эту формулу обычно записывают в виде
Ч ~Ч ~
где безразмерное внешнее давление q и параметр тонкостей но сти // оболочки определяются соотношениями
а количество волн по окружности оболочки для вычисленной критической на-
6
грузки определяется выражением
где удлинение оболочки даётся отношением Я = Ь/К.
Естественно, наряду с теоретическими изысканиями выполнялись ^экспериментальные исследования. Здесь, кроме работы Фёйербейрна [83] 1858 года, следует упомянуть работы Кармана [72](1905), Кармана и Карра [/7” 3] (.1906), Стюарта [111](190б), Саусвэлла [111](1913—15), Кука [75,76](1914, 25), ЗВинден-бурга [ 120]( 1930), Сондерса и Виндеибурга [ 106](1931), Редшоу [£>5^](1933), Винденбурга и Триллинга [123](1934), Винденбурга [121, 122](1 5=^34, 37), Штурма [113](1941), Эбнера [80](1952), Кливера [74](1956), Нагаева [3 3](1958), Тилеманна [114](1962), Вейнгартена [118](1962), Экстрема £813(1963), ^Звенсена [82](1964), Вейнгартена и Сеиде [119]( 1965) и ряда других исследователей.
Практически во всех этих исследованиях рассматривалась тонкая цилиндрически оболочка, заделанная или опёртая ко торцам, нагруженная либо всесторонним давлением, либо только боковым давлением. Сопоставление этих экспериментальных данных с расчётом критического давления по формуле Са-усвэлла-Папковича показало их достаточную для инженерной практики согласованность в смысле средневзвешенных экспериментальных значения. Об этом свидетельствует рис.В.2, взятый из книги Э.И.Григолюка и В.В.Кабглиова [16|. Г1о оси абсцисс представлены значения параметра тонкостенности, отнесённые к числу 7Г, а по оси ординат - значения критической нагрузки, отнесённые, к значению верхнего критического давления. На этом рисунке критическому значению внешнего давления, для опертой оболочки, рассчитываемому зл о формуле Саусвэлла-Папковича, отвечает значение <7равное 1. Оно для всех значений параметра тонкостенности ц показано прямой, отмеченной хдифрой 2. Точками на рис.В.2 показаны экспериментальные данные для заделанных или опёртых на торцах оболочек, полученные разными авторами. Сравнивая экспериментальные значения критической нагрузки и её значения, получалЕОщиеся по
формуле Саусвэлла-Папковича, можно видеть, что разброс экспериментальных данных достигает 40%. Формула Саусвэлла-Папковича качественно не объясняет причин такого разброса, поскольку была получена для идеализированного объекта - цилиндрической оболочки идеальной формы с идеализированными физико-механическими свойствами. Кроме этого, формула Саусвэлла-Папковича была получена для случая свободного опирания торцов оболочки, а эксперименты проводились как для опёртых, так и для заделанных горцами оболочек. Поэтому вполне понятным становится стремление исследователей уточнить формулу для определения критического давления оболочек, приблизив её к условиям экспериментов.
1.6
1.2
0.8
0.4
1 V- !
г
О о О <й о о о о
° °°<г ^ о! ОО с ОРо^о. 0 о ° ^°о й ° о О^О о °0 °о ОО О 1 1 о
Ъ о ООО ^ £ ОО э о0 0 <3Ь0о ч <2°° О о
< о ° /
1
Рис.В.2. Сравнение теоретических и экспериментальных данных по критическому значению внешнего давления для тонкой цилиндрической оболочки.
В качестве исследований в этом направлении, рассматривающих в частности влияние отличных от свободного опирания граничных условий па величину критической нагрузки, следует отметить работы Салерно и Левина 1104](1950), Нэша [96](1953) и [97](1954), Бейларда [66](1954), Саченкова [59](1958), Исан-баевой [29]( 1958), Юматова [64](1959), Зингера [109.1(1960), Алфутова [1](1964)
8
и [2~4|(1965), Шнеля [107](1965), Соубела [110](1964), Тилеманна и Эслипгср [115]( 1964) и Мяченкова [52]( 1970) и др. Одним из основных результатов, проведённых упомянутыми авторами, исследований стало установление того факта, что наименьшее критическое давление для заделанной торнами цилиндрической оболочки, при рассмотрении её линейной математической модели, оказывается в 1.5 раза выше, чем для случая свободного опирания. Соответствующая этому решению прямая обозначена на рис.В.2 цифрой 1. В результате сложилась парадоксальная ситуация, когда уточнение расчёта привело к ещё большему рассогласованию теоретических и экспериментальных данных по критическим нагрузкам.
В дальнейшем положение с расчётом цилиндрических оболочек на устойчивость характеризовалось с одной стороны постоянным увеличением экспериментально полученной информации о значениях их критических нагрузок, а с другой стороны - нескончаемыми попытками подвести под эти данные теоретическую базу. Для этого проводились расчёты но линейной теории с учётом моментного напряжённо-деформированного состояния оболочки перед потерей устойчивости для различных граничных условий. Это работы Зандена и Толькс [105](1932), Салерно и Левина [104](1950), Шоу, Боднера и Беркса [ 109]( 1952), Палия [54]( 1958), Рейнольдса [100](1960) и [101 ](1962), Браша и Альмрота [691 (1962), Ямаки [88]( 1969), Мяченкова [52](1970), Бадрухина и Галкина [6| (1974) и других.
После использования линейный подходов для описания деформирования оболочки перед потерей устойчивости, в момент потери ею устойчивости были предприняты попытки использования геометрически нелинейных уравнений теории оболочек. Это работы Исанбаевой [28] (1955) и [29]( 1958), Нэша [981
(1955), Нагаева [53]( 1958), Кемпнера, Пандалаи, Пателя и Крозет-Паскаля [90] (1957), Алфутова и Соколова [5](1958), Погорелова [58](1961), Диркса [77] (1965), Терсбушко [61](1959), Тилеманна [ 114]( 1962), Михайлова [501( 1966) и других. В этих работах были получены полные траектории решения цилилдри-
ческой оболочки вместе с закритическими ветвями её деформирования при действии на неё внешнего давления. Такой подход к расчёту оболочки позволил несколько уточнить её верхнее критическое давление которое определяет ординату точки бифуркации траектории решения, соответствующей моменту эйлеровой потере устойчивости оболочки. Кроме этого, в результате исследований в расчётную практику было введено понятие нижней критической нагрузки д*1{, при которой происходит выщёлкивание оболочки в результате уменьшения значения внешнего давления после её потери устойчивости. Нижняя критическая нагрузка соответствует предельной точке на закритической части кривой деформирования. Зависимость этой нижней критической нагрузки от параметра тонкостенности оболочки показана на рис.В.2 по работе Тсребуш-ко [61] кривой, обозначенной цифрой 3.
Одной из основных причин наблюдаемого расхождения результатов экспериментальных и теоретических работ по нахождению критических значений внешнего давления, но всей видимости, является отклонение рассматриваемой в расчётах оболочки от своей идеальности. Наиболее явным из них является отклонение формы. Это стало очевидным для исследователей в начале 1940-х годов, хотя первая работа по учёту начальных неправильностей относится к 1930 году - статья Б.В.Булгакова [9]. Поэтому, помимо описанных выше подходов к расчёту цилиндрической оболочки па устойчивость, нагруженной внешним давлением, для получения всего диапазона.экспериментальных значений критической нагрузки рассматривались оболочки с начальными несовершенствами формы, контурных условий и способов нагружения и т.д.
В линейной постановке влияние начальных неправильностей формы цилиндрической оболочки исследовали Штурм [113 ](1941), Боднср и Беркс [67] (1952), Исанбасва [28]( 1955), Галлетли и Барт [86](1956), Броуде [7] (1963) и другие. Рассматривались бесконечно длинные оболочки, оболочки с опёртыми и заделанными торцами. Для инженерных вычислений предпринимались попытки учитывать форму и величину начальных неправильностей в виде попра-
10
вочных коэффициентов к формуле Саусвелла-Папковича для разных граничных условий. Однако такой подход не дал качественной картины причин расхождения результатов расчёта и эксперимента. Причём, в случае применения классической линейной постановки было показано, что оболочка с начальными неправильностями не теряет устойчивости, сё траектория решения представляет собой кривую, асимптотически стремящуюся при бесконечном увеличении максимального прогиба оболочки к асимптоте, определяемой верхней критической нагрузкой идеальной оболочки.
С позиций геометрически нелинейной теории влияние начальных неправильностей формы оболочки изучалось Нэшем |98](1955), Доннеллом [781
(1956) и [79]( 1958), Вольмиром [131(1957), Исанбаевой [29](1958), Ивановым |27](1958), Кемннером [89]( 1962), Саченковым и Выборновым [60](1965), Дир-ксом |77](1965), Будянским и Хатчинсоном [71 ](1966), Погореловым [581(1966), Тилеманном и Эслингер [116]( 1967) и многими другими исследователями. В большинстве работ рассматривалась постановка задачи о потери устойчивости Доннелла, а начальный прогиб принимался подобным форме выпучивания. Все результаты получены для оболочек, находящихся в условиях всестороннего или только бокового давления с граничными условиями в виде опирания или заделки. Однако во многих работах наблюдается явное противоречие. Так, например в одних работах отмечается хорошее совпадение с экспериментальными данными, а в других наблюдаются явления, не находящие подтверждение в экспериментах. Примером тому служит работа [13], в которой обнаружено, что явление прощёлкивания исчезает при величинах начального прогиба, превышающих толщину самой оболочки. В то же самое время, в работе [89] наблюдалось снижение критической нагрузки на 10% при малых амплитудах начального прогиба внутрь оболочки, тогда как при больших величинах отклонения такого же типа, и вообще, при любых прогибах наружу, критическое давление получалось даже выше, чем по формуле Саусвелла-Папковича. Ещё большее противоречие в результатах наблюдалось в работах, где в качестве граничных условий
- Київ+380960830922