Исследование динамических характеристик круговых цилиндрических оболочек с начальными неправильностями

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ...................................10
ВВЕДЕНИЕ .......................................................12
ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ И НЕРЕШЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ДИН АМИКИ ТОНКИХ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.........................................21
1.1. Введение.........................................21
1.2. "Линейное" направление...........................26
1.3. Расщепление изгибного частотного спектра.........31
1.4. "Нелинейное" направление.........................33
1.5. Влияние начальных неправильностей................41
1.6. Учет тангенциальных граничных условий............43
1.7. Исследования в близкой области...................43
1.8. Нерешенные проблемы. Выводы......................45
ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ..................................49
2.1. Уравнения нелинейной теории пологих оболочек.....49
2.1.1. Гипотеза Кирхгофа - Лява...................49
2.1.2. Перемещения и деформации...................51
2.1.3. Связь между усилиями и деформациями........52
2.1.4. Уравнения движения.........................53
2.2. Граничные и начальные условия....................55
2.3. Конечномерная модель оболочки....................56
2.4. Модальные уравнения..............................59
2.5. Заключение.......................................61
ГЛАВА 3. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕСКОНЕЧНО ДЛИННОЙ
ОБОЛОЧКИ (КОЛЬЦА ПРИ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ) 62
3.1. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ............................63
3.1.1. Математическая модель..........................63
3.1.2. Традиционное решение ..........................65
3.1.3. Новое решение. Колебания без растяжения .......67
3.1.4. Колебания с растяжением........................72
3.1.5. "Статический" прием............................73
3.1.6. Численное моделирование методом конечных элементов.............................................75
3.1.7. Выводы.........................................77
3.2. НЕЛИНЕЙНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ИДЕАЛЬНОГО КРУГОВОГО КОЛЬЦА....78
3.2.1. Вводные замечания..............................78
3.2.2. Математическая модель..........................79
3.2.3. Предположения о нелинейном взаимодействии форм колебаний.............................................80
3.3. СВОБОДНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕСОВЕРШЕННОГО КОЛЬЦА.................................81
3.3.1. Математическая модель .........................81
3.3.2. Скелетная кривая одномодового режима.
Метод Бубнова — Галеркина........................82
3.3.3. Метод Рунге - Кутга............................84
3.3.4. Колебания без растяжения.......................86
3.3.5. Асимптотический метод Крылова - Боголюбова.....87
3.3.6. "Статический" прием............................88
3.3.7. Режим бегущей волны............................89
3.4. ВЫНУЖДЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕСОВЕРШЕННОГО КОЛЬЦА.................................90
3.4.1. Модальные уравнения............................90
3.4.2. Симметричная реакция...........................92
3.4.3. Устойчивость симметричной реакции..............93
-1
3.4.4. Несимметричная реакция.........................96
3.4.5. Устойчивость несимметричной реакции............98
3.4.6. Прохождение зоны главного резонанса...........102
3.4.7. Заключительное замечание......................104
3.4.8. Выводы........................................105
3.5. ВЛИЯНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ..........................106
3.5.1. Математическая модель.........................106
3.5.2. Модальные уравнения...........................107
3.5.3. Собственные колебания.........................107
3.5.4. Численное моделирование методом
конечных элементов..............................108
3.5.5. Линейные вынужденные колебания................109
3.5.6. Нелинейные колебания..........................110
3.5.7. Скелетные кривые..............................111
3.5.8. Симметричная реакция и ее устойчивость........112
3.5.9. Несимметричная реакция и ее устойчивость......114
3.5.10. Прохождение зоны главного резонанса..........117
3.5.11. Выводы.......................................118
3.6. ВЛИЯНИЕ МАЛОЙ ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАССЫ 118
3.6.1. Вводные замечания.............................118
3.6.2. Математическая модель.........................118
3.6.3. Расщепление изгибного частотного спектра. Выводы. .119 ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ...............................122
4.1. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ
ОБОЛОЧКИ............................................122
4.1.1. Вводные замечания.............................122
4.1.2. Уравнения движения ...........................122
4.1.3. Частоты и формы собственных колебаний ........124
4.1.4. Пренебрежение тангенциальными составляющими
сил инерции..................................125
4.1.5. Численное моделирование методом конечных
элементов....................................127
4.2. ПРОДОЛЬНО-РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ С ОСЕСИММЕТРИЧОЙ НАЧАЛЬНОЙ ПОГИБЫО 127
4.2.1. Вводные замечания.........................127
4.2.2. Уравнения движения .......................128
ч
4.2.3. Частоты и формы собственных колебаний.....129
4.2.4. Идеальная оболочка........................130
4.2.5. Оболочка с начальной погибью..............133
4.2.6. Выводы....................................137
ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ
С АСИММЕТРИЧНЫМИ НЕСОВЕРШЕНСТВАМИ....................138
5.1. ТРАДИЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ОБОЛОЧКИ
С ОТКЛОНЕНИЯМИ В ОКРУЖНОМ НАПРАВЛЕНИИ. 138
5.1.1. Математическая модель.....................138
5.1.2. Модальные уравнения.......................139
5.1.3. Расщепление изгибного частотного спектра. Выводы.. 140
5.2. ТРАДИЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ОБОЛОЧКИ
С НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ, СООТВЕТСТВУЮЩИМИ ХАРАКТЕРУ ЕЕ ВОЛНООБРАЗОВАНИЯ....................142
5.2.1. Математическая модель.....................142
5.2.2. Модальные уравнения и собственные частоты.142
5.3. НОВОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ОБОЛОЧКИ
С ОТКЛОНЕНИЯМИ В ОКРУЖНОМ НАПРАВЛЕНИИ. 144
5.3.1. Формы движения несовершенной оболочки.
Модальные уравнения..........................144
5.3.2. Частоты и формы собственных колебаний.....147
5.3.3. Численное моделирование методом конечных
6
элементов..................................153
5.4. НОВОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ОБОЛОЧКИ
С НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ, СООТВЕТСТВУЮЩИМИ ХАРАКТЕРУ ЕЕ ВОЛНООБРАЗОВАНИЯ..................154
5.4.1. Математическая модель...................154
5.4.2. Модальные уравнения.....................155
5.4.3. Частоты и формы собственных колебании...156
5.5. УПРОЩЕНИЕ МОДАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ................161
5.5.1. "Статический" прием.....................161
5.5.2. Уточнение "статического" приема.........162
5.6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НЕСОПРЯЖЕННЫХ ФОРМ 165
5.7. ВЛИЯНИЕ ФОРМУЛИРОВКИ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ..................................168
5.7.1. Математическая модель...................168
5.7.2. Модальные уравнения.....................168
5.7.3. Собственные частоты.....................174
5.7.4. Амплитудно-частотные кривые.............179
5.8. ОБОЛОЧКА, НАГРУЖЕННАЯ ВСЕСТОРОННИМ ВНЕШНИМ СТАТИЧЕСКИМ ДАВЛЕНИЕМ......................180
5.8.1. Статическая задача......................180
5.8.2. Собственные частоты.....................183
5.9. ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННАЯ ПО ТОРЦАМ ОБОЛОЧКА 186
5.9.1. Вводные замечания.......................186
5.9.2. Традиционное решение....................187
5.9.3. Новое решение...........................190
5.10. ВЫВОДЫ......................................196
ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ
С ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПОГИБЬЮ.........................198
6.1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УДОВЛЕТВОРЕНИЕ
ТАНГЕНЦИАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЯМ 198
6.1.1. Формы колебаний несовершенной оболочки.....198
6.1.2. Модальные уравнения........................201
6.1.3. Собственные частоты........................202
6.1.4. Численное моделирование методом конечных
ч/
элементов....................................203
6.2. ТОЧНОЕ УДОВЛЕТВОРЕНИЕ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЯМ 204
6.2.1. Уравнение движения. Собственные частоты....204
6.2.2. Численное моделирование методом конечных элементов.........................................213
6.3. ОБОЛОЧКА, НАГРУЖЕННАЯ ВСЕСТОРОННИМ ВНЕШНИМ СТАТИЧЕСКИМ ДАВЛЕНИЕМ.........................214
6.3.1. Статическая задача.........................214
6.3.2. Уравнение движения. Собственные частоты....214
6.4. ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННАЯ ПО ТОРЦАМ ОБОЛОЧКА 220
6.4.1. Уравнения движения.........................220
6.4.2. Собственные частоты........................222
6.5. ВЫВОДЫ..........................................224
ГЛАВА 7. СВОБОДНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ 225
7.1. ИДЕАЛЬНАЯ ОБОЛОЧКА..............................225
7.1.1. Вводные замечания..........................225
7.1.2. Традиционный подход к построению нелинейной конечномерной модели оболочки.....................225
7.1.3. Новый подход...............................226
7.1.4. Традиционное решение. Модальные уравнения 227
7.1.5. Одномодовый режим движения оболочки........229
7.1.6. Двухмодовый режим движения оболочки........232
7.1.7. Новое решение. Модальные уравнения.........233
7.1.8. Одномодовый режим движения оболочки.....235
7.1.9. Двухмодовый режим движения оболочки.....239
7.1.10. Заключительное замечание...............240
7.2. ВЛИЯНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПОГИБИ
И ВСЕСТОРОННЕГО ВНЕШНЕГО СТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ.......................................242
7.2.1. Модальные уравнения.....................242
7.2.2. Скелетные кривые........................244
7.3. ВЛИЯНИЕ АСИММЕТРИЧНЫХ НЕСОВЕРШЕНСТВ И ВСЕСТОРОННЕГО ВНЕШНЕГО СТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ...........................................247
7.3.1. Модальные уравнения.....................247
7.3.2. Скелетные кривые........................250
7.4. ВЛИЯНИЕ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ...........................................253
7.4.1. Функция напряжений......................253
7.4.2. Модальные уравнения.....................256
7.4.3. Скелетные кривые........................259
7.5. ВЫВОДЫ.......................................264
ГЛАВА 8. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ....................266
8.1. ИДЕАЛЬНАЯ ОБОЛОЧКА...........................266
8.1.1. Модальные уравнения.....................266
8.1.2. Симметричная реакция и ее устойчивость..268
8.1.3. Несимметричная реакция..................271
8.1.4. Устойчивость несимметричной реакции.....274
8.1.5. Прохождение зоны главного резонанса.....278
8.2. ВЛИЯНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПОГИБИ...............278
8.2.1. Модальные уравнения.....................278
8.2.2. Симметричная реакция и ее устойчивость..280
8.2.3. Несимметричная реакция..................282
8.2.4. Устойчивость несимметричной реакции.....285
8.2.5. Прохождение зоны главного резонанса.....288
8.3. ВЛИЯНИЕ АСИММЕТРИЧНЫХ НЕСОВЕРШЕНСТВ...289
8.3.1. Модальные уравнения.....................289
8.3.2. Симметричная реакция и ее устойчивость..290
8.3.3. Несимметричная реакция..................293
8.3.4. Устойчивость несимметричной реакции.....295
8.3.5. Прохождение зоны главного резонанса.....299
8.3.6. Заключительное замечание................300
8.4. ВЫВОДЫ.......................................303
8.5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.................304
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................307
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ..................................311
ПРИЛОЖЕНИЕ.................................................330
ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ю
Ах, А2 — безразмерные амплитуды нелинейных колебаний;
аХ9 а2, аъ - безразмерные амплитуды лг/нег/ных колебаний;
а0, д|0, а20, а30 - безразмерные амплитуды начальных неправильностей;
аи9 а2г, а3г - безразмерные амплитуды статического прогиба;
г> = £*712(1 - /л2) - цилиндрическая жесткость оболочки;
Еу <7 - модуль Юнга и модуль сдвига;
Ф5(*,у), Ф(дг,у,ї) - функции статических и динамических напряжений в срединной поверхности оболочки;
/,(/) =/Юі(/), /2(0 = ^2(0» /з(0 = /ю3(0, /4(0 = Лл4(/) - обобщенные координаты;
/о =йя0, /0 =//<2|0, /20 = /ю20, /10 = /юм - амплитуды начальных неправильностей;
/|5 = /7сг1т, /2і = /7Я25, /з, = /к/,, - амплитуды статического прогиба;
/7 - толщина стенки оболочки;
Ь, Vі =\72У~ — дифференциальные операторы;
/ — длина оболочки;
т, п- число полуволн в продольном и волн в окружном направлениях;
М- малая погонная присоединенная масса;
Мо — масса кольца при плоской деформации;
Мх, Мг, Н - погонные изгибающие и крутящий моменты;
Их, Д^2, Т - погонные тангенциальные усилия; д(ХуУуі) - поперечная вынуждающая нагрузка;
- всестороннее внешнее статическое давление; у * - критическое давление;
Я - радиус оболочки;
/ - время;
и, V, н> - перемещения точки срединной поверхности оболочки в продольном, окружном и радиальном направлениях; п>0(х,у) - начальные неправильности; х, у, I - координаты срединной поверхности оболочки; а = ткЦ, Р = п/Я - параметры волнообразования;
е = {п2И/я)г - параметр волнообразования, характеризующий относительную толщину оболочки;
£\> €2' У — компоненты деформации в срединной поверхности;
?] = И/Я - относительная толщина оболочки;
0 - частота вынуждающей нагрузки;
0 = т7гЯ/п1 - параметр волнообразования, характеризующий относительную длину оболочки;
Л — собственная частота; р - коэффициент Пуассона;
с = т7гЯ/1 - параметр, определяющий относительную длину оболочки; р— массовая плотность;
сг,, сх2, т — нормальные и касательное напряжения; т- безразмерное время;
<р0, Фх> (р2 - начальные фазы;
П, О0 - безразмерные частоты;
со, со0 - безразмерные частоты нелинейных свободных колебаний идеальной оболочки и оболочки с начальными неправильностями;
со, со0 — безразмерные собственные частоты идеальной оболочки и оболочки с начальными неправильностями.
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность проблемы. Замкнутые тонкие круговые цилиндрические оболочки находят широкое применение в аэрокосмической и судостроительной промышленности, в других отраслях техники. В условиях эксплуатации они обычно подвергаются действию интенсивных динамических, в частности периодических, нагрузок, что может привести к возникновению вибрационных хлопков, а также других сложных нестационарных процессов, нежелательных с точки зрения обеспечения прочности. Поэтому понятен тот большой и постоянный интерес исследователей к проблемам динамики оболочек.
Па раннем этапе развития задачи динамики оболочек рассматривались в линейной постановке и сводились к определению частот и форм собственных колебаний. Целью этих задач было выявление и прогнозирование резонансных ситуаций при воздейс твии на оболочку внешних периодических нагрузок. Однако линейная математическая модель оказалась недостаточной для описания и объяснения ряда специфических явлений, обнаруженных при колебаниях оболочек. К ним можно отнести зависимость частоты от амплитуды колебаний, срывы колебаний в резонансных областях с переходом на другой режим движения, взаимодействие форм колебаний и др. Практическая важность этих явлений дала толчок ускоренному развитию нелинейной динамики оболочек.
Во многих случаях решение проблемы динамической прочности оболочки связано с изучением взаимодействия се упругих колебаний. Взаимосвязанными могут оказаться радиальные и продольные колебания, изгибные и радиальные и т. д. На практике чаще всего наблюдается взаимодействие изгибных форм колебаний (сопряясенных и несопряэкенных). Это объясняется тем, что низшие частоты собственных изгибных колебаний оболочки, как правило, много меньше основных частот продольных, крутильных и радиальных колебаний. Наиболее сильно взаимодействие изгибных форм проявляется при колебаниях с большими амплитудами и определенных соотношениях между собственными частотами, что создает предпосылки для перераспределения энергии между
обобщенными координатами. Такая "перекачка" энергии, вследствие которой могут возникать.интенсивные колебания по формам, непосредственно-не возбуждаемым.внешней нагрузкой, способна привести к аварийной-ситуации.
Число работ по нелинейной динамике оболочек достаточно велико. Однако, несмотря на высокую степень разработанности отдельных задач, практическую важность полученных результатов, некоторые фундаментальные вопросы остаются, по мнению автора, все же не до конца выясненными.
При изготовлении оболочки неизбежны отклонения м?0(х,у) от идеальной формы, принятой в расчетах. Эти отклонения принято называть начальными неправильностями, начальными несовершенствами; начальной погибыо. Многие реальные оболочки настолько- тонки, что их несовершенства могут превосходить толщину стенки в несколько раз [44, 133]. Существенное влияние погиби на поведение пластин отмечено еще в 1904 г. И.Г. Бубновым [8]. Сильное влияние ы0 на прочность кругового кольца и круговой цилиндрической оболочки, по-видимому, впервые установлено в работах П.Ф. Папковича [110] и Ю.А. Шиманского [136]. Влияние начальных неправильностей на устойчивость оболочек впервые исследовали В. Флюгге (1932 г.) [153] и Л. Доннелл (1934 г.) [146]. Теперь сильное влияние м>0 на устойчивость оболочек общеизвестно. Этой проблеме посвящено огромное количество исследований. Из последних работ можно отметить, например, статьи [30, 117]. Во второй из них, в частности, учитывается взаимодействие форм потери устойчивости.
Не менее сильно начальные неправильности влияют и на колебания оболочек, в частности на собственные частоты, являющиеся, как и критические нагрузки, интегральными характеристиками жесткости, а также на амплитудно-частотные кривые и области устойчивости возможных режимов движения при внешнем периодическом воздействии. Однако это влияние, имеющее большое практическое и теоретическое значение, исследовано еще недостаточно.
Среди работ, посвященных изучению влияния >г0 на динамику' оболочек, наметилось два направления: "линейное" и геометрически "нелинейное" [43].
14
Математическая модель базируется, как правило, на уравнениях теории пологих оболочек. В подавляющем большинстве случаев рассматривается оболочка, свободно опертая по торцам [43, 58, 139]. Анализ основывается на предварительном сведении оболочки к системе с конечным числом степеней свободы. Тангенциальные граничные условия удовлетворяются, в основном, "в среднем".
В работах "линейного" направления исследуются собственные колебания оболочки. Установлено, что начальные неправильности, соответствующие характеру волнообразования оболочки, супцествеино расщепляют изгибный частотный спектр, при этом основная час тота увеличивается по сравнению со случаем идеальной оболочки [55-58, 60 и др.]. Однако эти выводы противоречат известным опытным данным и здравому смыслу. Очевидно, что способность оболочки сопротивляться внешнему воздействию ослабевает при наличии упомянутых несовершенств, а это, в свою очередь, должно приводить к уменьшению, а не к увеличению основной частоты. Можно предположить, что в этих работах, не дающих энергетического толкования влияния и>0, определяются, не собственные, а парциальные частоты. Необходимо установить причины, приводящие к такому парадоксальному результату, и получить новое решение задачи о влиянии на частоты и формы собственных колебаний (в том числе и при точном удовлетворении тангенциальным граничным условиям), находящееся в соответствии с реальным поведением оболочки.
В работах "нелинейного" направления устанавливается связь между амплитудой и частотой - в случае свободных колебаний оболочки, и амплитудой и параметрами внешнего периодического воздействия - в случае вынужденных. Несмотря на практическую важность полученных результатов, высокую степень разработанности отдельных задач, некоторые фундаментальные вопросы и в этом направлении остаются невыясненными. Так, в научной литературе, по существу, отсутствует решение задачи об изгибных колебаниях свободно опертой по торцам относительно короткой идеальной оболочки при точном удовлетворении граничным условиям. Все известные решения получены на ос-
15
нове нелинейных конечномерных моделей, которые не отвечают условию свободного опирания торцов оболочки по изгибающему моменту. Тангенциальные краевые условия удовлетворяются при этом "в среднем" [3, 56, 58, 60, 139]. Поэтому эти модели, приводящие к мягкой скелетной кривой, правомерны только для относительно длинных оболочек. Попытки решить эту' же задачу, используя конечномерные модели, удовлетворяющие всем граничным условиям, оказались безуспешными. Они всегда приводили к жесткой скелетной кривой [9, 56], качественно не согласующейся с известными опытными данными [27, 143, 166]. Сложилась ситуация, при которой все усилия по уточнению нелинейной конечномерной модели оболочки приводят к потере ее адекватности.
Требуется установить причины, приводящие к такому неожиданному результату. Необходимо разработать новый подход к построению нелинейной конечномерной модели оболочки (с н>0 или без) любой длины и получить новое решение задачи о нелинейных изгибных колебаниях оболочки при точном удовлетворении всем граничным условиям, в том числе и тангенциальным. Отмстим, что о необходимости разработки новых подходов к построению нелинейной конечномерной модели оболочки говорится в известном обзоре [58].
Целью диссертации является теоретическое исследование в линейной и геометрически нелинейной постановках недостаточно изученного влияния начальных неправильностей на свободные и вынужденные (периодические) из-гибные колебания тонких круговых цилиндрических оболочек; развитие положений этого раздела механики деформируемого твердого тела; уточнение математической модели и уже известных решений; получение новых научных результатов и предложение рекомендаций по их использованию.
Научная новизна. Традиционная математическая модель исследования динамических характеристик оболочек с начальными неправильностями состоит, как правило, из следующих частей: уравнения нелинейной теории пологих оболочек; граничные и начальные условия; конечномерная модель оболочки, позволяющая свести задачу о колебаниях континуальной оболочки к системе
16
динамических (модальных) уравнений, описывающих движение ее дискретной модели; модальные уравнения, из анализа которых и определяются динамические характеристики несовершенной оболочки.
В настоящей диссертационной работе, все части этой математической модели, за исключением первой, автором уточняются.
Одной из важнейших частей математической модели является конечномерная модель оболочки. Традиционный подход к ее построению основан на следующем. В линейной постановке несовершенная оболочка сводится к дискретной модели с двумя степенями свободы, что эквивалентно учету в выражении для се прогиба сопряженных изгибных форм. В нелинейной постановке, помимо упомянутого взаимодействия изгибных форм, подход предполагает и некоторые геометрические модельные представления о деформировании оболочки при больших прогибах (нерастяжимость контура поперечного сечения срединной поверхности оболочки [58, 139], "преимущественное выпучивание вовнутрь" [18, 56]). В линейной постановке этот подход приводит к результатам, которые не согласуются с известными опытными данными, а в нелинейной постановке - к проблемам, связанным с удовлетворением граничным условиям.
В работе предлагается новый подход к построению конечномерной модели оболочки. Он предполагает, что возбуждение изгибных колебаний оболочки по одной из собственных форм приводит к возникновению радиальных колебаний, которые, в свою очередь, генерируют сопря.женную изгибную форму. В линейной постановке механизмом, "запускающим" такое взаимодействие форм колебаний, являются начальные неправильности, а при колебаниях с большими амплитудами — начальные неправильности и/или геометрическая нелинейность оболочки. Предлагаемый подход реально отображает физические процессы, происходящие при колебаниях оболочки (радиальные колебания были впервые идентифицированы и измерены при изгибных колебаниях кругового кольца Д. Эвенсеном [151], а при колебаниях оболочки - М. Олсоном [166]).
Предложенный подход может быть, по мнению автора, использован и
17
при изучении широкого круга проблем, близких к проблемам, затрагиваемым в диссертации: устойчивость оболочек, параметрические колебания и др.
На основе уточненной математической модели в работе в линейной и геометрически нелинейной постановках выполнено исследование влияния:
• начальных отклонений от идеальной круговой формы, малой присоединенной массы, а также малых несовершенств в виде переменной толщины на свободные и вынужденные изгибиые колебания бесконечно длинной оболочки (кольца, находящегося в условиях плоской деформации);
• осесимметричной начальной погиби на взаимодействие малых радиальных и продольных колебаний оболочки;
• статической нагрузки, формулировки граничных условий (в том числе и тангенциальных), осесимметричных и асимметричных начальных неправильностей на свободные и вынужденные изгибные колебания оболочки.
Автор защищает:
• уточненную математическую модель;
• методику оценки влияния начальных неправильностей на линейные и нелинейные динамические характеристики оболочки конечной длины, а также кольца при плоской деформации;
• результаты решения многочисленных новых задач динамики оболочек с динамической асимметрией, а также качественные и количественные уточнения, внесенные в уже известные решения.
Достоверность исследования. Результаты выполненных исследований основываются на строго доказанных и корректно используемых выводах фундаментальных и прикладных наук. Они получены, благодаря использованию известных, проверенных практикой, теоретических методов исследования. Результаты работы сопоставляются с численными результатами, полученными методом конечных элементов в М8С/ЫА8Т11АЫ, с надежными экспериментальными данными, а также с результатами известных теоретических исследований, выполненных другими авторами. Проверка адекватности предложенной
конечномерной модели оболочки осуществляется контролем предельных переходов, выполнением граничных условий, соответствием здравому смыслу и др.
Практическое значение. Новые теоретические положения и результаты работы свидетельствуют о том, что во многих случаях нельзя пренебрегать влиянием несовершенств, неизбежных у реальных оболочек, в динамических расчетах. В противном случае высокая напряженность оболочек, усиливающая влияние и>0, может превратить нерезонансные по обычному расчету колебания в резонансные. Предложенная в работе методика позволяет с достаточной степенью точности оценить влияние начальных неправильностей на динамические характеристики оболочек. В первом приближении она может быть использована при выполнении динамических расчетов реальных оболочек, применяемых в ракетостроении, судостроении и других отраслях техники.
С технической точки зрения очень важно знать фактические несовершенства реальной оболочки. Прямой подход, используемый в настоящее время для контроля ее формы, сложен и требует длительных измерений. В работе [115] предложен косвенный подход, позволяющий дать предварительную оценку величины начальных неправильностей. Для этого, по мнению ее авторов, необходимо возбудить изгибные колебания оболочки и по отклонению основных частот несовершенной и идеальной оболочек.определить амплитуду несовершенств. Результаты настоящей работы, могут быть использованы для осуществления и дальнейшего развития косвенного подхода, предложенного в [115], а также для определения фактических условий закрепления торцов оболочки.
Апробация работы. Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались на совместном заседании кафедр теории и проектирования корабля, механики деформируемого твердого тела и конструкции судов ДВГТУ (1999), семинаре ИММ ДВО РАН (2000), семинаре отдела МДТТ Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (2000), заседании диссертационного совета по динамике и прочности машин при МГТУ им. Н.Э. Баумана (2001), семинарах НАЛУ ДВО РАН (2000, 2009).
19
Автором были сделаны доклады на Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы прочности и надежности конструкций перспективных транспортных судов и плавучих сооружений" (Ленинград, 1979), V Всесоюзной конференции "Статика и динамика пространственных конструкций" (Киев, 1985), Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы прочности в машиностроении'1 (Севастополь, 1989), международной конференции "Кораблестроение и океанотехника. Проблемы и перспективы" (Владивосток, 1998), международной конференции "Проблемы прочности и эксплуатационной надежности судов" (Владивосток, 1999), XIX международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов" (Санкт-Петербург, 2001), конференции по строительной механике корабля, посвященной памяти профессора П.Ф. Папковича (Санкт-Петербург, 2002), региональной научно-технической конференции с международным участием "Кораблестроительное образование и наука - 2003" (Санкт-Петербург, 2003), XXI международной конференция по теории оболочек и пластин" (Саратов, 2005), VIII всероссийской конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2008), VII международной конференции по математическому моделированию (Ульяновск, 2009) и др.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в научных статьях и в двух монографиях, приведенных в библиографическом списке.
Структура и объем диссертации. Текст диссертации, состоящей из введения, восьми глав, основных выводов и библиографического списка из 173 наименований, изложен на 329 страницах. Диссертация содержит 155 рисунков и 4 таблицы. Нумерация формул и иллюстраций даются по главам. К диссертации на 3 страницах прилагаются три акта внедрения.
В первой главе сделан обзор современного состояния динамики круговых цилиндрических оболочек с начальными неправильностями, перечислены основные нерешенные проблемы, сформулированы цель и задачи диссертации.
Вторая глава посвящена математической модели исследования.
20
В третьей главе, являющейся ключевой, изучается влияние начальных неправильностей на линейные и нелинейные свободные и вынужденные колебания бесконечно длинной оболочки (кольца при плоской деформации). На более простой модели продемонстрированы неточности, имеющие место в традиционных исследованиях по обсуждаемой проблеме. В этой же главе изучается влияние малой присоединенной массы и малых начальных несовершенств в виде переменной толщины на динамические характеристики кольца.
В четвертой главе рассматриваются линейные колебания идеальной оболочки, а также исследуется влияние осесимметричной начальной погиби на связанность радиальных и продольных колебаний оболочки.
Пятая и шестая главы посвящены малым изгибным колебаниям оболочки с различными видами несовершенств. Изучается влияние формулировки граничных условий (в том числе и тангенциальных), а также статической нагрузки на собственные частоты и взаимодействие форм колебаний.
В седьмой и восьмой главах рассматриваются, соответственно, свободные и вынужденные нелинейные колебания оболочки. Изучается влияние начальных неправильностей, формулировки тангенциальных граничных условий, а также статической нагрузки на амплитудно-частотные кривые.
В заключительной части формулируются выводы и теоретические положения, вытекающие из полученных в настоящей работе научных результатов.
Работа выполнена в Комсомольском-на-Амуре государственном техническом университете при частичной поддержке гранта 2.1.2/3046 Министерства образования и науки РФ по целевой программе "Развитие научного потенциала высшей школы. Проведение фундаментальных исследований".
Выражаю искреннюю признательность своему Учителю, ныне покойному, доктору технических наук, профессору Владимиру Сергеевичу Калинину.
Благодарю своего научного консультанта, доктора технических наук, профессора Николая Алексеевича Тарануху за многие полезные советы, которые способствовали написанию диссертации и подготовке ее к защите.
21
ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ И НЕРЕШЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ ТОНКИХ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ.
ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ,
1.1. Введение. Динамика круговых цилиндрических оболочек относится к одному из самых разработанных разделов механики деформируемого твердого тела. Будучи простейшими, такие оболочки являются наиболее важным типом оболочек с точки зрения их практического применения. Многие задачи динамики оболочек изучены на сегодняшний день исчерпывающим образом [18, 35, 58, 106, 139, 141 и др.]. Значительное количество исследований в данной области уже получило свое материальное воплощение в практике. Вместе с тем, по мнению автора, можно выделить ряд нерешенных (иногда фундаментальных) проблем, которые представляются актуальными и на сегодняшний день.
В экспериментах с оболочками неоднократно наблюдались некоторые специфические особенности их движения, не соответствующие представлениям классической теории [27, 45, 56, 58, 139, 143, 166 и др.]. С. Тобьяш [173] еще в 1951 г. обратил внимание на то, что начальные неправильности, разно-толщинность сгенки оболочки и наличие малых присоединенных масс не только изменяют собственные частоты, но и исключают неопределенность отсчета круговой координаты образующихся узлов. Вследствие такой динамической асимметрии для каждой моды колебаний существуют две узловые конфигурации, которым соответствуют различные собственные частоты (для идеальной оболочки этим формам колебаний соответствуют равные частоты). Установленный эффект расщепления частотного спектра представляет собой значительный теоретический и практический интерес [56, 158, 173].
При свободных колебаниях реальных оболочек, даже в тех случаях, когда в начальный момент времени внешняя нагрузка возбуждала только одну из собственных изгибных форм, почти всегда реализуются нечистые (с биениями)
22
осциллограммы затухающих колебаний. Анализ полученных осциллограмм позволил установить, что движение оболочки представляет собой наложение двух связанных изгибных форм, сдвинутых в окружном направлении на угол я/2. Увеличение амплитуды колебаний одной из этих форм всегда сопровождается соответствующим уменьшением амплитуды другой формы, и наоборот.
При изучении вынужденных колебаний оболочек в околорезонансной зоне наблюдалось искривление амплитудно-частотных кривых, а также появление двух близких резонансных пиков. Движение оболочки в этой области представляло собой либо стоячую волну, либо бегущую в окружном направлении изгибную волну, либо нестационарные процессы перехода от одной формы колебаний к другой. Обнаружено еще одно явление — появление радиальных колебаний при возбуждении изгибных колебаний оболочки 1166].
Перечисленные выше особенности объясняются геометрической нелинейностью, а также тем, что реальные оболочки имеют неизбежные начальные неправильности, разнотолщинность стенки и малые присоединенные массы. Влияние динамической асимметрии на поведение оболочек уже относительно давно стало предметом ряда теоретических исследований (ссылки на них можно найти в [56, 58, 123, 124 и др.]). Однако результаты, полученные в них, к сожалению, не всегда согласуются с известными опытными данными.
Приведем три характерных примера, показывающих, что некоторые фундаментальные вопросы динамики оболочек остаются все еще невыясненными.
Пример 1. Традиционное теоретическое решение задачи о собственных колебаниях оболочки с асимметричными начальными неправильностями [55-58, 60 и др.] приводит к существенной расстройке изгибиого частотного спектра. Однако в экспериментах эта расстройка оказывается очень незначительной. При этом известно, что интенсивное взаимодействие сопряженных изгибных форм, наблюдаемое в опытах, возможно только в том случае, когда собственные частоты, отвечающие этим формам, мало отличаются друг от друга.
Пример 2. Известно, что начальные неправильности уменьшают критиче-
23
скую нагрузку оболочки. Поскольку частота основного тона, как и критическая нагрузка, является интегральной характеристикой жесткости оболочки, следует ожидать, что м0(х9у) должны уменьшать и основную частоту. Однако традиционные теоретические решения приводят к прямо противоположному выводу. Авторы известных экспериментальных исследований, как правило, обходят ответ на этот вопрос [56, 58]. Пожалуй, только в [39, 63] отмечается, что в экспериментах было обнаружено снижение собственных частот.
Пример 3. На сегодняшний день, по существу, отсутствует аналитическое решение задачи о нелинейных колебаниях свободно опертой по торцам относительно короткой оболочки при точном удовлетворении граничным условиям. Все известные решения [3, 18, 56, 58, 60, 139 др.] получены на основе конечномерных моделей, которые не отвечают условию свободного опирания по изгибающему моменту. Тангенциальные краевые условия при этом удовлетворяются "в среднем". Поэтому эти модели, приводящие в анализе к мягкой скелетной кривой, правомерны только для относительно длинной оболочки. Попытки решить эту же задачу, используя конечномерные модели, удовлетворяющие всем граничным условиям, всегда приводили к жесткой скелетной кривой, качественно не согласующейся с известными опытными данными. Сложилась парадоксальная ситуация, при которой все усилия по уточнению конечномерной модели оболочки приводят к потере ее адекватности.
Подробный анализ научной литературы, посвященной исследованию линейного и нелинейного динамического поведения оболочек с начальными неправильностями, занял бы большую часть диссертации. Поэтому ниже анализируются только те публикации, которые дают наиболее полное представление по обсуждаемой проблеме. Речь идет, прежде всего, о свободных и вынужденных колебаниях, происходящих под действием гармонической нагрузки. В обзоре очень кратко затрагиваются исследования по другим проблемам динамики несовершенных оболочек, которые выходят за рамки настоящей работы.
Основные положения линейной теории оболочек, а также других, уточ-
24
пенных теорий, изложены в известных монографиях [12, 28, 44, 105, 133 и др.]. Современное состояние теории оболочек и перспективы ее.развития излагаются в работах [4, 10, 35, 111, 112], а также в справочной литературе [11, 29, 114].
Выводы о необходимости учета начальных неправильностей и нелинейных факторов при деформировании пластин были сформулированы еще в начале XX века И.Г. Бубновым .[8]: Однако в первой половине двадцатого столетия этими проблемами занимался лишь узкий*круг специалистов [110, 136].
Изгибные колебания оболочек являются, как правило, геометрически нелинейными. Это объясняется большой гибкостью оболочек, в результате чего ее прогибы оказываются одного порядка с толщиной. На начальном этапе развития нелинейной теории оболочек основное внимание уделялось вопросам обоснования гипотез и упрощающих предпосылок, которые используются при формировании этого раздела механики деформируемого твердого тела. В тридцатые годы прошлого столетия Л.Г. Доннелл [145-147] и Х.М; Муштари [102], по-видимому, первыми предложили и обосновали простейший вариант нелинейной теории оболочек, использующий гипотезу Кирхгофа - Лява и основанный на возможности пренебрежения перерезывающими усилиями в уравнениях мембранного состояния, а также другими малыми величинами. В следующем десятилетии усилиями В.З. Власова [12, 13], а также Х.М. Муштари разработка этого варианта теории оболочек была завершена. Полученные таким образом уравнения, именуемые уравнениями Доннелла - Муштари - Власова (ДМВ), известны, как уравнения теории гибких пологих оболочек. К. Мар-герр [160] обобщил эту теорию на случай оболочек произвольной кривизны.
Для статически нагруженной тонкой круговой цилиндрической оболочки с начальными неправильностями w0(x,^) эти уравнения имеют вид [18]
— V’Ф = -L(w0 + w,, w)- -L{w, w) -;
E v 0 i 1 2 K)R&2
—VSv = L{Фж + Ф, w)+L(Ф, w0 + w ) + —^ + — — p ^ w
(1.1)
h 4'5 v"?"u s/ R dc2 h dr ’
где V4, L — известные дифференциальные операторы; ws(x9y), w(x,y9t) —
25
статический и динамический прогибы; Ф3(х,у), Ф(х,у,Г) - статическая и динамическая функции напряжений; D = Eh \/ 12(l-//2) - цилиндрическая жесткость; Е - модуль Юнга; ц, - коэффициент Пуассона; h - толщина; R - радиус; р - массовая плотность; q(x,y,t) - поперечная нагрузка; / - время.
Уравнения (1.1) в настоящее время чаще всего используются при определении динамических характеристик оболочек с w0(x,y) [58]. В работах [18, 23, 34, 35, 44, 112, 167 и др.] обсуждаются и другие, уточненные варианты теории оболочек (в том числе основанные на кинематической модели С.П. Тимошенко), которые также используются при решении различных динамических задач.
Строгое математическое обоснование геометрически нелинейной теории пологих оболочек дано в работах И.И. Воровича [21, 22]. В [22] также содержится исторический обзор работ, посвященных этому классу задач. Возможность использования уравнений (1.1) при расчете нелинейных изгибных колебаний оболочек подтверждена и в работе В.И. Седенко [116].
В последние годы интерес к нелинейной динамике оболочек увеличивается. Наиболее существенные результаты по колебаниям оболочек с большими амплитудами получены А.Н. Гузсм, В.Ц. Гнуни, Э.И. Григолюком, А.М. Григо-ренко, А.С. Вольмиром, B.C. Калининым, В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчуком,
А.П. Филипповым, а также М. Амабили, Е. Рейсснером, М. Олсоном, Д. Эвен-сеном и многими другими. Параллельно с исследованиями в этой области разрабатывались теории динамической устойчивости, параметрических колебаний и др. Обсуждаемой в диссертации проблеме посвящено несколько монографий [18, 56, 123, 124] и обзорных статей [35, 43, 58, 106, 139], в которых можно найти соответствующие библиографические ссылки. Поэтому ниже будут упомянуты только те работы, которые, по мнению автора, дают наиболее полное представление о рассматриваемой проблеме. Автор приносит свои искренние извинения всем тем, кто, возможно, предпочел бы этим работам другие.
Среди исследований, посвященных изучению влияния и>0(л:,у) на динамические характеристики оболочек, наметилось два направления [43].
В.работах первого, ".линейного", направления изучается влияние w0(x9y)< на-спектр собственных частот статически нагруженных и ненагруженных оболочек. Главной-целью этих исследований является-выявление и прогнозирование возможных резонансных ситуаций, которые могут возникнуть при воздействии на оболочку внешних периодических нагрузок. Анализ, как правило, ос-нован на уравнениях (1.1), линеаризованных относительно динамического прогиба. При этом статический прогиб может быть сравним с толщиной оболочки.
Ко второму, "нелинейному", направлению относятся, работы, в которых при w0 0 и выбранной форме колебаний оболочки устанавливается;связь между амплитудой и частотой - в случае свободных колебаний и амплитудой-и параметрами внешнего периодического воздействия - в случае вынужденных. Исходными для анализа, как правило, также являются уравнения (1.1).
Этих двух направлений мы и будем придерживаться ниже, а также при выполнении исследований в настоящей диссертационной работе.
1.2. ’’Линейное” направление. Обзор ранних работ "линейного" направления сделан в 1974 г. Н.Ф. Гришиным и B.C. Калининым [43]. Начало теоретическим исследованиям влияния w0(x,y) на колебания оболочек было положено в 1964 г. в работе О.П. Проценко [113]. В ней рассматривается свободно опертая по торцам оболочка с асимметричными несовершенствами
w0(x,y> = (/;0sin^ + /20cos/^)sinax; а = ж/1; P=njR, (1.2) где fw и /20 — амплитуды; / — длина оболочки; п — число волн в окружном направлении. Считается, что форма несовершенств соответствует одному из членов ряда, которым представляется прогиб. Тангенциальные граничные усилия удовлетворены "в среднем". В дальнейшем задача сведена к анализу системы с одной степенью свободы. Показано, что несовершенства вида (1.2) увеличивают собственные частоты, при этом основной частоте соответствует большее число волн п в окружном направлении, чем для случая идеальной оболочки. Вывод автора об увеличении основной частоты противоречит здравому смыслу'. Поскольку и авторы последующих исследований, в которых изучалось влияние
27
начальных неправильностей вида (1.2), пришли к аналогичному выводу, мы, в дальнейшем, остановимся на этом вопросе более подробно.
В 1970-1974 г. г. Н.Ф. Гришин опубликовал серию статей по обсуждаемой тематике. В работе [38] изучаютсясобственные изгибные колебания оболочки с осесимметричной начальной погибыо
и'0(х) = /31)8та%. (1.3)
Прогиб представлен одним членом двойного тригонометрического ряда, удовлетворяющим условиям свободного опирапия торцов оболочки. Тангенциальные граничные условия удовлетворены "в среднем". Обнаружено, что с ростом амплитуды погиби /30, направленной к-оси оболочки, частота основного тона сначала снижается, проходит минимум и далее начинает возрастать. В случае выпуклой образующей (/30 < 0) основная частота всегда увеличивается.
В работах [39, 40] влияние погиби вида (1.3) изучено более подробно. Рассмотрены четыре типа тангенциальных закреплений торцов оболочки, которые впервые были удовлетворены точно. При сопоставлении решений с различными тангенциальными граничными условиями установлено, что степень влияния и>0(х) на собственные частоты меняется. Наиболее сильное понижающее влияние погиби наблюдается при свободном сближении торцов оболочки. Показано, что удовлетворение тангенциальным граничным условиям "в среднем" приводит к существенной погрешности в собственных частотах. Эта погрешность убывает с ростом относительной длины оболочки. К сожалению, в этих работах автором была допущена ошибка при ортогонализации уравнения движения, что, в конечном итоге, повлияло на количественную оценку влияния начальной погиби и формулировки тангенциальных граничных условий на собственные частоты. Эта ошибка, заметная для относительно коротких оболочек, обнаружена и устранена автором в настоящей диссертации.
В [39] влияние погиби (1.3) изучалось на основе уравнений движения оболочки, записанных с учетом тангенциальных составляющих сил инерции. Установлено, что погрешность уравнений теории пологих оболочек для низ-
28
ших собственных частот очень незначительна.
В статье [41] решена задача о свободных колебаниях оболочки с погибью
(1.3), нагруженной всесторонним внешним статическим давлением. Статическое напряженное состояние оболочки, свободно опертой по торцам, найдено с учетом обжатия ее торцов. Динамический прогиб по концам оболочки равен нулю. Условия отсутствия на торцах оболочки динамических продольного усилия N1 и окружного перемещения у(х,у,() удовлетворены точно. Показано, что удержание в бесконечном двойном тригонометрическом ряду, которым аппроксимировался динамический прогиб, только одного члена ряда приводит при определении основной частоты оболочек короткой и средней длины к ошибке менее трех процентов. Начальная погибь искажает весь частотный спектр. Наиболее сильное снижение основной частоты наблюдается при приближении давления к критическому значению, вычисленному с учетом и'0(л;).
В работе [42] Н.Ф. Гришиным изучено влияние начальных неправильностей более сложной формы: они включали в себя осесимметричную и асимметричную составляющие. Показано, что расчет частот основного тона с достаточной степенью точности можно вести по первому приближению. Характер влияния начальных неправильностей на частоты, в общем, такой же, как и в вышеупомянутых исследованиях. В частности, для случая только асимметричных несовершенств вывод автора совпадает с выводом статьи [113].
Результаты, по-видимому, первого экспериментального изучения влияния и>0 на собственные частоты оболочки представлены в [39]. Получено качественно хорошее согласование опытных и расчетных собственных частот.
Первым исследованием влияния начальных неправильностей на собственные колебания оболочек, выполненным за рубежом, является, по-видимому, работа А. Розена и И. Зингера [115]. В ней рассмотрена оболочка с погибью
(1.3), свободно опертая по торцам и равномерно сжатая вдоль оси. Использованы уравнения теории пологих оболочек. Тангенциальные граничные условия удовлетворены "в среднем". Показано, что влияние и>0(л) на частоты сильное.
29
Оно возрастает по мере приближения значения статических сжимающих усилий к критическому. Результаты работы аналогичны тем, что получены ранее Д.Е. Липовским и В.М. Токаренко [97], а также P.E. Гейзенблазеном [24,25].
Принципиально важным и на сегодняшний день остается вопрос о том, увеличивают или уменьшают асимметричные начальные неправильности основную частоту. Вывод авторов [42, 113] об увеличении основной частоты по сравнению со случаем идеальной оболочки является ошибочным. В этом легко убедиться, если в выражении для отношения квадратов частот несовершенной и идеальной оболочек, приведенном в этих исследованиях, устремить длину оболочки к бесконечности. Тогда, например, при /:о = 0 получим
{a>0jcof =\ + 6{fJh)2. (1.4)
Из (1.4) видно, что при предельном переходе к бесконечно длинной оболочке (к кольцу при плоской деформации) и, например, при /|0 = h это отно-
шение равно 7, что, вне всякого сомнения, противоречит здравому смыслу.
Способность оболочки сопротивляться внешнему воздействию ослабевает при наличии и>0(л-,у), а это, в свою очередь, должно приводить к уменьшению, а не к увеличению основной частоты, являющейся интегральной характеристикой жесткости оболочки. Этот факт был подтвержден в 1975 г. в работе автора диссертации [61]. В ней рассмотрена свободно опертая по торцам оболочка с начальными неправильностями вида (1.2) (при /20 = 0). Анализ основывался на уравнениях теории пологих оболочек. В отличие от предыдущих исследований прогиб оболочки впервые был аппроксимирован выражением
Mx,y,t) = [./; (Osin ßy + /з (0]sinca, (1.5)
предполагающим, что асимметричные неправильности приводят к взаимодействию изгибных колебаний оболочки с радиальными. Тангенциальные граничные условия удовлетворены "в среднем". Показано, что частоты преимущественно изгибных колебаний уменьшаются по сравнению со случаем идеальной оболочки. Однако в этой статье не учтено взаимодействие сопряо/сенных изгиб-
30
ных форм, обусловленное несовершенствами и установленное, правда, позднее.
Авторы последующих работ [55-57, 60, 172], а также ряда других исследований, упомянутых, например, в обзорах [46, 58], по-видимому, не были знакомы с результатами работы [61]. Их вывод - асимметричные начальные неправильности, соответствующие характеру волнообразования' оболочки, увеличивают основную частоту по сравнению со случаем идеальной оболочки.
В работе [65] автором было продолжено изучение влияния асимметричных начальных неправильностей на собственные колебания свободно опертой оболочки. Впервые получено решение задачи для четырех вариантов тангенциальных граничных условий, удовлетворяемых точно. Показано, что н>0(л*,у) снижают частоты преимущественно изгибных колебаний, при этом для оболочки конечной длины степень влияния начальных несовершенств существенно зависит от формулировки тангенциальных граничных условий.
Результаты, полученные в [38, 40-42], были проанализированы автором в работе [14] па примере непогруженной оболочки. Прогиб представлен выражением (1.5). Рассмотрены четыре варианта тангенциальных закреплений торцов оболочки, которые удовлетворены точно. Обнаружено, что в [38, 40, 41] допущена неточность при ортогонализации уравнения движения, которая привела к уменьшению понижающего влияния несовершенств на собственные частоты, а в [42] не выполнено условие периодической непрерывности окружного перемещения v(x,y,t), что, в итоге, также отразилось на конечном результате.
Необходимость учета асимметрии прогиба была подтверждена и в работах автора [68, 69]. Несовершенства, изменяющие изгибную жесткость криволинейной трубы, должны влиять на ее статическое поведение не только при действии внутреннего давления, что общеизвестно, но и при чистом изгибе. Однако обнаружить это влияние в теоретических исследованиях не удавалось. Это объясняется тем, что при решении задачи вариационным методом выражение для прогиба, например в [130], не учитывало предпочтительного его развития по направлению к центру кривизны поперечного сечения трубы.
1.3. Расщепление изгибного частотного спектра. В 1951 г. С. Тобьяш [173] экспериментально обнаружил, что динамическая асимметрия оболочек приводит к расщеплению частотного спектра. Этот факт нашел свое теоретическое подтверждение в работах [56, 57]. В них показано, что несовершенства вида (1.2), соответствующие характеру волнообразования свободно опертой по торцам оболочки, связывают сопряженные изгибные формы ьтахьтру и зтсюссов/Зу, а также всегда расщепляют частотный спектр (®01тп Ф (О02тп).
На рис. 1.1 представлены результаты расчетов, выполненных автором, для оболочки с параметрами //Я = 2,5; /г/Л = 3,125-10”3; // = 0,3 по формулам работ [56, 57]. Сплошная вертикальная линия отвечает квадрату собственной частоты аидеальной оболочки. Графики квадратов собственных частот
несовершенной оболочки Юо1тп(аЮ>а20>П) И ^Юяи»(Л10»Л20»,0'П0ка3аны ПуНКТИр-ной и штриховой линиями, соответственно. Видно, что с ростом амплитуды несовершенств 0,0 =/ю/А (о-20 = /20/й = 0,5) обе частоты и й)0|„„, и а02тп уве-личиваются по сравнению с частотой сотп, соответствующей идеальной оболочке. При этом расстройка частотного спектра оказывается существенной.
XX I
с
| 010
0
г • • • •
!---05
1 а,°
I
П
о
0 00416 0.00417 0.00418
со01шп(а10»^»5) .0)о2тп(а10»^'^) *ютп(5)
Квадрат безразмерной частоты
Рис. 1.1. Расщепление изгибного частотного спектра [56, 57]
В [56] приводятся также многочисленные ссылки на экспериментальные работы, подтверждающие эффект расщепления изгибного частотного спектра. Вывод авторов работ [56, 57] об увеличении основной частоты, вследст-
///? = 2,5;
А« «3,125-ИГ3; т = 1; п = 5;