-2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................. 4
1. ОПИСАНИЕ МОДЕНШ. ОЕЦИЕ УРАВНЕНИЯ................................... 12
1.1 Модель двуногого шагающего аппарата ......................... 13
1.2 Уравнения движения двуногого шагающего аппарата
в фазе опоры на обе ноги........................... 17
1.3 Вектора обобщенных координат С| и С\ .... 19
1.4 Уравнения удара двуногого шагающего аппарата . 24
1.5 Определение коэффициентов многочлена, удовлетворяющего краевым условиям........................... 28
2. ФАЗЫ УДАРА, ПОЛЕТА И ОПОРЫ ........................................ 30
2.1 Фаза "удар-1"...................................... 31
2.2 Фаза "удар-2"...................................... 34
2.3 Фаза "полет"....................................... 36
2.4 Фаза "опора"......................................... 39
2.5 Ходьба, бег вприпрыжку и бег....................... 42
2.6 Описание найденных оптимальных движений .... 51
3. ПРИБЛИЖЕННАЯ МОДЕЛЬ УДАРА.......................................... 69
3.1 Уравнения удара ДША с телескопическими ногат,т. Качественная картина удара ................................ 70
3.2 Уравнения удара плоской кинематической цепи . . 76
3.3 Приближенный метод расчета удара для Д1ГА с антропоморфными ногами.................................. 85
3.4 Некоторые замечания о различных подаодах к
удару ДПА.......................................... 87
-а -
4. некоторые алгоритмы управления лишением дьуногого
ШАШЩГО АППАРАТА........................................... 91
4.1 Управление модельным ДНА со стопами................... 92
4.2 Управление ДЦ1А без стоп........................... 97
4.3 Странное управление одним классом механических систем...................................................112
ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................124
СПИСОК ЖГЕРАТУРЫ.............................................126
ПРИЛОЖЕНИЕ..................................•................133
- ч-
ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена проблемам моделирования движения двуногого шагающего аппарата с учетом удара. Гагающий робот способен преодолевать непроходимые для колесных машин участки местности, обладает высокими возможностями адаптации к характеру местности, способен работать в опасных и недоступных для человека местах. Этой проблеме посвящено большое количество статей и монографии £9, 31, 47, 51, 6Х].
Все походки шагающих аппаратов можно разделить на два класса: статически устойчивые и статически неустойчивые [б, 54]♦
В настоящее время существуют шестиногие шагающие аппараты, передвигающиеся статически устойчиво. Но их скорость движения мала, а энергозатраты велики. Моделирование движения шагающих аппаратов с высокими скоростями показывает, что статически неустойчивые походки выгоднее по удельным энергозатратам (затраты энергии на метр пути). А изучать движение статически неустойчивого двуногого шагающего аппарата проще из-за малого числа ног.
В настоящее время имеется множество подходов к изучению движения шагающих аппаратов.
Геометрический подход, разрабатываемый П.В.Умновым \т\, сводится к конструированию некоторых блоков, которые, объединенные в многоногий шагающий аппарат, способны передвигаться с помощью механического движителя.
В работах В.Е.Ларина с сотрудниками ^44-48] изучается одномассовая модель двуногого шагающего аппарата (Д1А) с управляемыми стопами - перевернутый маятник. Исследуется также передвижение ДПА с телескопическими ногами и управляемыми стопами. Основное внимание уделяется вопроса?.* стабилизации аппарата,
-£Г-
возможности построения следящей системы, изменения режима передвижения с минимизацией управляющих моментов в переходном процессе. Развивается приближенный метод исследования, в предположении, что масса ног мала по сравнению с массой корпуса.
В монографии [31] исследуются вопросы моделирования движения шагающих аппаратов. Вводится понятие метода заданной синергии, что означает задание части обобщенных координат в виде явных функций времени, задачи решаются полуобратным методом. Приводится пакет программ моделирования движения, дан обзор некоторых существующих шагающих аппаратов. Работа автора завершилась созданием модели экзоскелетона - приспособления, которое одевается на человека и позволяет ходить человеку-инвалиду.
Б цикле работ Б.Б.Беледкого, Ю.Б.Болотина, Т.С.Кирсановой, П.С.Чудинова исследуются вопросы стабилизации двуногой ходьбы.
В [16, 20, 2б] для плоского антропоморфного шагающего аппарата с невесомыми ногами строится система управления движением с заданной средней скоростью за счет изменения длины шага.
В [25] задача стабилизации решается за счет разделения обобщенных координат на "быстрые" и "медленные" переменные. Б результате работы алгоритма управления аппарат перемещается вперед с некоторой заданной средней скоростью.
Б связи с тем, что энергозатраты шагающих аппаратов значительно превышают энергозатраты колесных экипажей, особенно остро стоит проблема их снижения. В [41, 42] для снижения энергозатрат используется способ передвижения прыжками. Такой аппарат способен также преодолевать препятствия, непроходимые дня колесных и обычных шагающих машин (широкие рвы, высокие уступы и т.д.). Б качестве оптимизируемого функционала рассматривается свертка трех функционалов: а) среднего значе-
кия суммы механических мощностей в шарнирах ног, б) максимального значения суммы механических мощностей в шарнирах ног, в) максимального значения механической мощности в одном шарнире.
Прыгающий аппарат при передвижении по Земле предъявляет значительные требования к качеству двигателей в шарнирах. Управления велики по абсолютной величине в с.азе опоры и близки к импульсным.
Для двуногих шагающих аппаратов модельные примеры и качественные зависимости удельных энергозатрат от скорости рассмотрены в [12^. В [юЗ иссле,дуются задачи передвижения плоской антропоморфной модели с весомыми ногами и невесомыми управляемыми стопами. Выясняется влияние на походку аппарата и энергозатраты следующих факторов: введение в модель управляемых стоп, введение некомфортабельное™ по вертикали к некомуортабельнос-ти по горизонтали движения точки подвеса ног.
Введение удара в модель позволяет существенно приблизить исследование к реальной ситуации, расширить модель.
А.М.Формальский ъ' серии работ и монографии [59^ исследует импульсное управление двуногим аппаратом. Удельные энергозатраты получаются значительно меньше, чем при непрерывном управлении. Приведено аналитическое исследование удара циркуля (двузвенника) и трехзвеныика. Эти примеры показывают основные закономерности удара в более сложных механических системах.
Ю.В.Болотин вводит удар в ходьбу и бег. Рассчитываются энергозатраты в зависимости от средней скорости передвижения
параметры, определяющие позу ДША, но не оптимизируется синергия.
Большое внимание уделяется вопросам стабилизации ходьбы ^24, 2б]. Тем не менее, по сравнению с мягкой (безударной) походкой
7
достигнуто уменьшение энергозатрат.
Введение удара в ходьбу очень интересно также с точки зрения протезирования. При ходьбе на протезе бедра энергозатраты человека увеличиваются ка 30+50% (при ходьбе на протезе без коленного сустава - на "палке" - увеличение до 70%), и из-за этого люди не могут передвжгаться на большие расстояния и в течении длительного времени. Удар при ходьбе на протезе сильнее, чем при обычной ходьбе. Представляет интерес проблема, возможно ли снижение энергозатрат при передвижении инвалида за счет оптимизации протеза с учетом удара.
В настоящее время мягкая ходьба изучена достаточно хорошо. Подробно описаны множество типов движении и их энергозатраты. Бегу посвящено малое число публикаций. Поэтому стоит задача более подробного изучения бега, к, вообще, новых классов походок с разами движения полет и удар.
Диссертационная работа посвящена изучению влияния удара на периодическое оптимальное передвижение двуногого шагающего аппарата. Для ЭВМ написан программный комплекс, называемый конструктором, который позволяет моделировать и оптимизировать бю-бой сложности периодическое движение. Такими движениями в работе были ходьба, бег вприпрыжку и бег. Основная цель работы -выяснить влияние удара ка удельные энергозатраты Д!!!А при движении с заданной средней скоростью и типом походки. В работе строится приближенная модель удара в окрестности оптимальных походок. За счет некоторых упрощений вместо системы линейных уравнений явление удара описывается аналитическими формулами. Построен алгоритм управления движение Д21А без стоп.
- 8 -
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, • заключения, списка литературы и приложения.
Б I главе приведено описание исследуемой модели двуногого шагаюшего аппарата - плоского пятизвенника с весомыми ногами и невесомыми управляемыми стопами. Обобщенные координаты ^ = =( ОС , "2 , 'у * ^2.» ^ ) • Наиболее общие уравнения
(уравнения Лагранжа второго рода для движения двуногого шагающего аппарата и уравнения Лагранжа второго рода для удара в момент постановки ноги на поверхность шагания) записаны в виде, наиболее удобном для дальнейшего использования ниже. Выведены формулы, связывающие два разных типа обобщенных координат ( и ). Получены полуаналитические формулы,
дающие решение краевой задачи для многочлена, часто используемые в дальнейшем.
Во П главе записаны уравнения четырех фаз движения: "полет", "опора" (одноопорное движение), "удар-1", "удар-2". Двуопорная фаза движения не рассматривается, так как она оптимальна по энергозатратам только при очень малых скоростях ходь-бы ( кГ<1 0.1 м/с). Уравнения движения в фазе полета с использованием полуобратного метода сводятся к одному дифференцкаль-ному уравнению ^ у += и где ,
0-^ функции времени и обобщенной координаты у . Обобщенные координаты х,“?. получаются интегрированием известных функций времени. Приводятся формулы для вычисления управлений. Фаза удара-1 возникает обычно в момент приземления аппарата на одну ногу после окончания фазы полета, причем другая нога не касается поверхности шагания. Удар считается абсолютно неупругим. Уравнения сводятся к системе линейных уравнений девятого порядка. Фаза удара-2 похожа на фазу удар-1, но возникает в тот момент, когда происходит удар при постановке ноги и обе
9
ноги находятся ка поверхности шагания. Фаза имеет два случая: одноударный и двуударный, и описывается системой линейных уравнений девятого или одиннадцатого порядка, соответственно. Фаза движения опора (с "выравниванием") обычно завершает любую походку и служит для построения периодического движения. Задача решается обратным методом. Приведены формулы для вычисления управлений.
Для моделирования фаз движения на ЭВМ написан комплекс программ (конструктор). С помощью конструктора из различных фаз движения строятся и моделируются следующие периодические походки: ходьба, бег вприпрыжку и бег. Организация движения при ходьбе: удар-2, опора; при беге вприпрыжку: удар-2, полет, удар-1, опора; при беге: полет, удар-1, опора. Эти три типа движения моделировались на ЭВМ. Удельные энергозатраты вычислялись с помощью биомеханического функционала. Выяснялось влияние отдельных параметров на энергозатраты и случай удара при ходьбе с почти неподвижным корпусом. В классе неимпульсных управлений ищется оптиглальный режим движения при заданной средней скорости и типе походки, причем задача оптимизации функционала удельных энергозатрат заменена задачей параметрической оптимизации.
В IГ главе изучается явление удара в момент смены ног для походок, близких к оптимальным по удельным энергозатратам, строятся качественные методы исследования удара. Рассматриваются две вспомогательные задачи. Первая - удар двуногого шагающего аппарата с телескопическими ногами. Уравнения удара похожи на уравнения фазы движения удар-2. Аналогично рассматриваются одноударный и двуударный случаи. Аналитически построено точечное отображение, порождаемое ударом, на фазовой плоскости . Вторая - удар кинематической цепи о преграду.
-40-
Пусть длина цепи N звеньев. Тогда уравнения удара записываются в виде системы линейных уравнений размерностью ,
АУ= В . Матрица А имеет простую блочную структуру. На ЗВМ моделируется удар восьмизвенной цепи о преграду и делаются качественные выводы об уменьшении удара на коней, цепи при увеличении числа звеньев в цепи. Также моделируется удар о преграду четырехзвенной кинематической цепи, напоминающей ноги шагающего аппарата. Рассмотрено влияние на удар изменения масс звеньев при сохранении общей массы цепи и изменение скорости конца ударяющегося звена. На основе результатов решения вспомогательных задач строится приближенный метод расчета удара для походок, близких к оптимальным по энергозатратам, для двуногого шагающего аппарата произвольной конструкции (двузвен-ные или многозвенные ноги, без телескопических шарниров). Показано, что этот метод для двуногого шагающего аппарата с антропоморфными ногами обеспечивает погрешность расчета менее 10%.
В 1У главе изложен алгоритм стабилизации двуногого шагающего аппарата без стоп. Выяснено поведение аппарата в окрестности периодического движения на фазовой плоскости при условии отработки двигателями управлений, соответствующим периодическому движению, без обратной связи. Задача построения движения вперед и алгоритма управления им разделятеся на две: предварительная к текущая. Предварительная задача сложна, обычно она сводится к краевой! задаче для дифференциального уравнения, решается она до начала движения, начала работы алгоритма управления, Текущая задача - собственно работа алгоритма управления - элементарна. 13 зависимости от значения известной функции (иногда линейной) от обобщенных координат и скоростей выбирается тот или иной закон управления, который отрабаты-
-н -
вается без обратной связи.
Предложенный алгоритм не требует большого объема вычислений в процессе его исполнения. Не используется понятие"но-минальный режим движения”. Алгоритм управления распространяется на класс систем с переменной структурой, одна, две, или несколько степеней свободы которых неуправляемы,
В заключении кратко излагаются основные результаты диссертационной работы, делаются выводы об их практической и теоретической ценности.
В приложении приведены зависимости энергозатрат и случая удара от некоторых параметров, определяющих позу аппарата, даны графики обобщенных координат и управлений для найденных в главе П оптимальных движений.
Диссертационная работа выполнялась по плану научно-исследовательских работ кафедры теоретической механики механикоматематического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.
-42.-
ГЛАВА І. ОПИСАНИЕ МОДЕМ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ.
В настоящей главе описывается модель двуногого шагающего аппарата и выписываются уравнения, на которые в дальнейшем часто делаются ссылки.
В §1.1 описана плоская модель двуногого шагающего аппарата. Введены обойзначекия для линейных размеров, обобщенных координат, управлений. Описывается и обсуждается функционал для вычисления энергозатрат.
В §1.2 выписаны наиболее общие уравнения движения двуногого шагающего аппарата. Это уравнения Лагранжа второго рода в тот момент времени, когда аппарат опирается на обе ноги. Уравнения других фаз движения получаются обнулением соответствующих сил реакции.
Уравнения §1.2 записаны для вектора обобщенных координат С| . Всюду ниже для задания движения используется вектор б| . В §1.3 устанавливается взаимно-однозначная связь между ними, и в дальнейшем вектор ^ также называется вектором обобщенных координат, и не делается никакой разницы между и .
В §1.4 записаны уравнения Лагранжа второго рода для удара двуногого шагающего аппарата. Уравнения записаны в наиболее общем виде, когда ударяются о поверхность шагания сразу обе ноги. Все используемые ниже уравнения удара легко получаются из них.
В §1.5 решается краевая задача для многочлена: определить коэффициенты многочлена, у которого заданы значения и производные на левом и правом концах интервала. Задача сводится к системе линейных уравнений четвертого порядка, которую удалось решить аналитически. Решение этой задачи часто используется.
Полученные аналитические формулы экономят машинное время по сравнению с методом Гаусса.
1.1 Модель двуногого шагающего аппарата.
Приняты следующие сокращения:
ДША - двуногий шагающий аппарат,
ТПН - точка подвеса ног,
ГП'1 - поверхность шагания.
ДША состоит из весомого инерционного корпуса и двух одинаковых ногрС^ . В точке подвеса ног 0 находится материальная точка массы Уу10 , которая моделирует таз. Корпус и звенья ног представляют собой тонкие однородные стержни. Величина М -масса корпуса, Я, - расстояние от ТПН до центра масс корпуса,
- длина корпуса, X - момент инерции корпуса относительно ТПН. Каждая нога состоит из бедра (верхнее звено) и голени (нижнее звено). Величина - масса бедра, Л- - рассто-
яние от ТПК до центра масс бедра, 2 ои - длина бедра, Ъ -момент инерции бедра относительно ТПН. Величина ^ - масса голени, $ - расстояние от точки колена до центра масс голени,
- длина голени, - момент инерции голени относительно точки колена.
Изучается только плоская модель шагания. Пусть прямоугольная декартова система координат, аппарат идет в плоскости вдоль оси Л/Х . Ось мг параллельна силе тяжес-
ти и направлена вверх. Ускорение свободного падения обозначено ^ и принято =9.8 м/с .
Углы у , показаны на рис. 1.1. Положительные направления отсчета углов обозначены стрелочкой. Величины X . 2 - координаты ТПН 0 .
В конце каждой ноги находится невесомая безынерционная
-44-
R^»ce d.. A.
-45’-
стопа. Вектор £<~(^іхАг) - сила реакции поверхности шагания.
Б аппарате действуют активные управляющие моменты: р*.
• .
в Б-й стопе, в колене (между і -й голенью и бедром),
С|. в ТИН (между I -гл бедром к корпусом).
Следуя работам с*, и 1 для оценки энергозатрат
на одном шаге периодического движения будем пользоваться формулой гр
С±л.±)
Здесь и всюду далее считается, что суммирование ведется по й от I до 2, если индекс не указан явно.
Этот функционал равен механической работе управляющих моментов без рекуперации энергии.
Как показано в Ги"] многие другие функционалы отличаются от (1.1.1) лишь на коэффициент. Например, для двуногого аппарата с использованием гидравлических поршневых двигателей в суставах, работа совершается каждым двигателем при (5- б|^0 (нагнетание жидкости в цилиндр, С)*и - обобщенное управление ( » и1 . - обобщенная скорость ( , •
к;.- ^ ^ )); при С^,<0 работа равна пулю (свободный вы-
пуск). Следовательно, функционал работы есть
/V - \
о
11 Аг„9,Г1&а-
При оценке энергозатрат человека имеем
Амг ^ Р
-46-
т
ь « Из:
^ (.+) о Я:^°
а. -1
* в^<0 г 1
Согласно данным биомеханики, ВМ'ХО^З \23] и следовательно, Л
Лм=1/2^^А>-0.^А
В ^м^исследоЕалось влияние отдельных параметров па оптимальное передвижение пятизвенника с точки зрения различных критериев. Сделан вывод, что оптимальное значение параметра примерно одинаково как для функционала (1.1.1), так и для функционалов-с моментами
л X 1»-и.А 1V/ а А \у и м* >> 1 л
А««,“
О
Т
Ион. к*.
о
В настоящей работе качество периодической походки с заданной скоростью (У определяется функционалом
А*= А/и (1ЛЛ)
где А - затраты механической энергии на одном шаге, 1д -
длина этого шага. Функционал удельных энергозатрат (1.1.2)
позволяет сравнивать походки с различными скоростями (функцио-
кл
нал (1.1.1) для этого не годится). Наряду с А будем пользоваться величиной 6 , отличающейся коэффициентом:
аЛздЬ)
где 1<1 - общая масса ДР'д (К.^=М^Гп0-+-2^*21^). Физический смысл 6. - "коэффициент трения" ДНА о поверхность шагания.
В самом деле, если имеется брусок весом , коэффициент
ІЧ
трения которого с поверхностью Є , то на перемещение его на расстояние потребуется работа Аі ~ ^ ^ •
Обозначим - координаты центра масс ДШЛ
в системе координат - координаты конца первой (переносной) ноги (стопы), О^г^гГ) “ к00?-
дішатн второй (опорной) стопы.
1.2 Уравнения движения двуногого шагающего аппарата в (разе опоры на обе ноги.
Запишем уравнения движения двуногого шагающего аппарата в виде уравнений Лагранжа второго рода. За вектор обобщенных
•НГ
координат q примем (ос , 2 , с/2, ^ . Фазовым сос-
тоянием назовем вектор «Л) . Вектор "с^ будем также называть позой Д!’!А.
Введем константы, зависящие от конструкции аппарата.
У*4Г Ы0 + М = ЗГ
хе с3 у4
2.$ №\ ^
Аа£т€
Пусть любое звено (корпус, голень, бедро) представляет собой тонкий однородный стержень. Тогда
Кинетическая энергия аппарата будет равна величине
■| к1(сс2+22) +1 I; + г +
1^«^- (£. «А +-2. +
а.2.3)
+ +йч*
Силовая функция задается выражением
СгТ>*> 4-|Ч (4.*-*0
Пусть в концах обоих ног действуют силы реакции с ПИ . Если 1-я нога не касается опорной поверхности, то ~о . Обобщенные силы, не входящие б силовую функцию
Ох=Г(^' ; Оу= -Г«ц.;
-«С *<\1 *2«.(^См,^ +^се "<0 (1.2.5)
Уравнения Лагранжа второго рода запишутся в виде
+ г Ъ'Е=Ох с±* ^ " г *4 *^^)+
* ^с+ ^ ^ С)^
Кц^ ^ ^ +£к, (> *-с
^{К£+хк»£+4
- Київ+380960830922