Эффекты нетривиальных условий квантования полевых систем и поляризации в глубоконеупругом рассеянии

Оглавление
Введение 3
1 Эффекты нетривиальных условий квантования 12
1.1 Топологические эффекты при ненулевой температуре и плотности . . 12
1.1.1 Химический потенциал и температура............................ 13
1.1.2 Киральная аномалия в среде. Два измерения..................... 15
1.1.3 Киральная аномалия в среде. Четыре измерения.................. 16
1.1.4 Черн-саймоновская аномалия в чётномерных пространствах . 19
1.1.5 Чсрн-саймоновское действие в трёх измерениях.................. 21
1.1.6 Чсрн-саймоновское действие в в пространствах произвольного
нечётного числа измерении...................................... 30
1.1.7 Связь черн-саймоновского действия с киральной аномалией . . 37.
1.1.8 Заключительные замечания...................................... 46
1.2 Спонтанное нарушение симметрии и динамический механизм Хиггса индуцированные границей........................................ 47
1.2.1 спонтанное нарушение симметрии и механизм Хиггса в нлос-
копараллельной щели............................................ 48
1.2.2 Фазовый переход из нормальной фазы в спонтанно нарушенную ............................................................... 53
1.2.3 Влияние геометрии области квантования......................... 57
1.2.4 Заключительные замечания...................................... 58
2 КХД анализ процессов глубоконеуиругого рассеяния поляризованных лептонов на поляризованных нуклонах 59
2.1 Инклюзивные процессы глубоконеупругого рассеяния с поляризованными пучком и мишенью.......................................... 59
2.1.1 Теоретические основы описания процессов поляризованного
инклюзивного глубоконеупругого рассеяния....................... 59
2.1.2 КХД анализ инклюзивных структурных функций ................... 81
2.2 Полуинклюзивныс поляризованные процессы глубоконеупрутго рассеяния и стандартные методы их КХД анализа.............................. 97
2.2.1 Теоретические основы описания процессов полу инклюзивного
ГНР............................................................ 98
(У-
1
Оглавление
Введение 3
1 Эффекты нетривиальных условий квантования 12
1.1 Топологические эффекты при ненулевой температуре и плотности . . 12
1.1.1 Химический потенциал и температура........................... 13
1.1.2 Киральная аномалия в среде. Два измерения.................... 15
1.1.3 Киральная аномалия в среде. Четыре измерения................. 16
1.1.4 Черн-саймоиовская аномалия в чётномерных пространствах . 19
1.1.5 Чсрн-саймоновское действие в трёх измерениях................. 21
1.1.6 Чсрн-саймоновское действие в в пространствах произвольною
нечётного числа измерений..................................... 30
1.1.7 Связь черн-саймоновского действия с киралыюй аномалией . . 37
1.1.8 Заключительные замечания..................................... 46
1.2 Спонтанное нарушение симметрии и динамический механизм Хиггса индуцированные границей........................................ 47
1.2.1 спонтанное нарушение симметрии и механизм Хиггса в плос-
копараллельной щели........................................... 48
1.2.2 Фазовый переход из нормальной фазы в спонтанно нарушенную ............................................................. 53
1.2.3 Влияние геометрии области квантования........................ 57
1.2.4 Заключительные замечания..................................... 58
2 КХД анализ процессов глубоколеунругого рассеяния поляризованных лептонов на поляризованных нуклонах 59
2.1 Инклюзивные процессы глубоконеупругого рассеяния с поляризованными пучком и мишеныо.......................................... 59
2.1.1 Теоретические основы описания процессов поляризованного
инклюзивного глубоконеупругого рассеяния...................... 59
2.1.2 КХД анализ инклюзивных структурных функций................... 81
2.2 Полуинклюзивные поляризованные процессы глубоконеупругого рассеяния и стандартные методы их КХД анализа............................. 97
2.2.1 Теоретические основы описания процессов полуинклюзивного
ГНР........................................................... 98
(А-
1
2.2.2 Полу инклюзивные данные коллабораций SMC, HERMES и COMPASS и их анализ в лидирующем порядке КХД..............................112
2.2.3 Включение полуинклюзивных данных в стандартный метод
КХД анализа поляризованного ГНР. Построение новой параметризации ноляриванных партонных распределений.............119
2.3 Новый метод КХД анализа процессов поляризованного ГНР..............135
2.3.1 Процедура прямого извлечения первых моментов поляризованных кварковых распределений в следующем за лидирующим порядке КХД...................................................136
2.3.2 Тестирование метода и оценка возможных неопределенностей. Асимметрия поляризованного кваркового моря.....................140
2.3.3 Модификация метода разложения по полиномам Якоби с целью восстановления локальных кварковых распределений из известных (извлеченных) меллиновских моментов.....................153
2.3.4 Применение нового метода КХД анализа к анализу экспериментальных данных.................................................162
2.3.5 Заключительные замечания....................................182
3 Эффекты поперечной поляризации в дрелл-яновских процессах 186
3.1 Теоретический базис изучения эффектов поперечной поляризации в
процессах Дрелла-Яна .............................................188
3.1.1 Неполяризованные дрелл-яновские процессы ...................193
3.1.2 Одно частично поляризованные дрелл-яновские процессы . . . 195
3.2 Дрелл-яновские процессы с валентным антикварком в начальном состоянии ..............................................................197
3.2.1 Антипротон-протонные столкновения . . . 197
3.2.2 Пион-протонпые столкновения.................................204
3.3 Дрелл-яновские процессы с морским антикварком в начальном состоянии ..............................................................215
3.3.1 Протои-нротонные столкновения ..............................216
3.3.2 Асимметрии в случаях pD и DD столкновений...................226
3.4 Дуальность процессов Дрелла-Яна и J/ip рождения ..................236
3.5 Заключительные замечания..........................................244
Заключение 247
2
Введение
Исследование отклика квантово-нолевых систем на различные внешние воздействия, таких как ненулевая температура и плотность системы, граничные условия при квантовании в конечной области и т.д., позволяют нам обнаруживать принципиально новые физические свойства этих систем. Исследованиям такого рода посвящена Глава 1 диссертации. Материалы первой главы основаиы па публикациях в рецензируемых э/суриалах [1-7].
Огромную роль в современной физике играют топологические эффекты и среди них предметом особого внимания являются два тесно связанных между собой класса топологических эффектов. Это вторичные характеристические классы (secondary characteristic classes) Черна-Поитрягина (Chern-Pontriagin) и Черна-Саймонса (Chern-Siinons), что соответствует киралыюй (аксиальной) аномалии в чётно-мерных и черн-саймоновской аномалии (аномалия чётности) в печётио-мерных пространствах. Оба эти феномена чрезвычайно важны в квантовой физике. Так киральная аномалия играет определяющую роль в описании распада 7г0 —* 77, в понимании и решении U( 1) проблемы и, наконец, в разрешении знаменитого “спинового кризиса” или “за1-адки спина протона” (что будет подробно обсуждаться во второй главе). В то же время, имеется множество интереснейших физических проявлений черн-саймоновской аномалии (аномалии чётности). Например, это генерация массы калибровочного бозона (без механизма Хиггса) в 3D теории поля, или многочисленные применения в физике конденсированных состояний (анионный механизм высокотемпературной сверхпроводимости, дробный эффект Холла, и т.д.). Все эти эффекты могут непосредственно наблюдаться там где имеет' место размерная редукция 4D в 3D теорию, за счёт компактификации одной из (временной или пространственной) координат (высокотемпературный предел в теории поля при Т 0, (2 + 1) мерный фермионный газ в физике плазмы, мономоле-кулярные слои в физике конденсированных состояний). В то же время, во многих случаях температура и плотность очень сильно влияют на свойства физических систем (и иногда самым неожиданным образом). В этой связи, представляется очень актуальной и многообещающей задача исследования этих двух тесно связанных топологических эффектов (аномалий) в среде (т.е. при ненулевых значениях температуры и химического потенциала). Этим исследованиям посвящён раздел 1.1 диссертации. В этом разделе показывается, что в отличие от киралыюй аномалии в чётномерных пространствах, черн-саймоновская аномалия в нечётномерных пространствах существенно зависит от ц и Т. Более того, среда играет определяющую
3
роль для чсри-саймоновского эффект, заставляя его исчезать/появляться даже при минимальных отклонениях от нуля химического потенциала и температуры.
В разделе 1.1 впервые различными методами для произвольного вида рассматриваемой калибровочной группы в пространствах как трёх, так и пяти измерений вычисляется топологическая черн-саймоновская часть эффективного действия в среде. Следует подчеркнуть, что такие вычисления в оD пространстве являются уникальными даже в тривиальном случае нулевых температуры и плотности. Полученные результаты позволили автору диссертации сделать принципиальное заключение. В отличие от киральной аномалии в чётномерных пространствах, черн-саймоновская аномалия в нечётномерных пространствах существенно зависит от химического потенциала и температуры. При этом вся эта зависимость аккумулируется в коэффициенте при вакуумном черн-саймоновском действии. Показывается, что этот /i- и Т -зависящий коэффициент демонстрирует фундаментальное свойство универсальности: он не затрагивается высшими поправками теории возмущений, а также не зависит ни от размерности пространства, ни от вида рассматриваемой калибровочной группы. Следует ещё раз подчеркнуть, что здесь роль среды оказывается определяющей, поскольку, как показано в диссертации, универсальный коэффициент при черн-саймоновской аномалии чрезвычайно чувствителен даже к очень малым изменениям (к минимальному отличию от нуля) температуры и фермионной плотности. В разделе 1.1 также детально изучаются так называемые “тождества следа” (“trace identities”). Представлено их обобщение на случай ненулевого химического потенциала и температуры и выводится простая формула связи между' чсрн-саймоновским действием (черн-саймоновской аномалией чётности) и аксиальной аномалией. Эта формула находится в полном согласии с результатами прямых вычислений 3D и оD черн-саймоновского действия в среде. Автором аргументируется, что такая простая связь двух аномалий в среде обязана своим происхождением топологической природе этих эффектов. Так из вычислений фермионного числа с использованием суммирования по уровням Ландау (параграф 1.1.5) видно, что только нулевые моды дают вклад в Р-нечётную (черн-саймоновскую) часть фермионного числа, вне зависимости от того равны нулю химический потенциал и температура или пет (в противоположность P-чётной части, куда дают вклад все моды без исключения). Следовательно, теорема об индексе (index theorem) и топологическая часть тождества следа (trace identities) связаны только с Р-нечётной (топологической) частью фермионного числа.
Другой интересный класс эффектов проявляется при изучении полевых систем квантованных не в бесконечном пространстве, как обычно, а в пространстве, ограниченном некоторыми поверхностями иа которых квантуемые поля удовлетворяют граничным условиям соответствующим физике рассматриваемой задачи. Отметим, что такие ситуации очень часто и совершенно естественным образом возникают в самых разных областях физики. Это, например, потенциальные барьеры для скалярных мезонов, моделируемые граничными условиями Дирихле и/или Неймана в ядерной физике; граничные условия Казимира, которым подчиняются электромагнитные поля на металлических поверхностях в квантовой электродинамике; уело-
вия непроницаемости поверхности нуклона для кварков и глюонов, моделируемые в квантовой хромодинамике граничными условиями “мешка” и многие другие. Хорошо известно, что во всех этих случаях возникает эффект Казимира и вызывается он именно кардинальными изменениями свойств вакуума при ограничении области квантования полевых систем. В то же время, эффект Казимира это эффект нулевого норядка по константе связи, т.е. является следствием ограничения пространства при квантовании свободных полей (радиационные поправки к казимнровской силе оказываются пренебрежимо малыми). Таким образом, возникает важная задача по поиску возможных чисто динамических, вызванных взаимодействием, эффектов в присутствии границы. Эта задача решается в разделе 1.2 диссертации. Основным предметом исследования в этом разделе является возможность динамической (и зависящей от характерного размера области квантования) генерации массы частицы в первоначально безмассовой теории. Напомним, что такого рода ситуация имеет место в квантовой теории поля при конечной температуре, например в скалярной теории, где первоначально безмассовый скалярный бозон становится массивным благодаря ненулевой температуре, в то время как нетривиальная, зависящая от температуры, часть динамической массы исчезает в пределе Т —> 0. Однако, как показывается в диссертации ситуация с генерацией массы в присутствии границы оказывается гораздо интереснее. В разделе 1.2 показывается, что в то время как периодические граничные условия и граничные условия Неймана приводят к простой динамической генерации массы скалярного поля (аналогичной случаю конечной температуры), граничные условия Дирихле исчезновения поля на границе приводят к весьма удивительному результату: индуцированная масса скалярного поля оказывается мнимой. Как известно, это является однозначным сигналом того, что в системе должно произойти спонтанное нарушение симметрии основного состояния, после которого скалярный мезон приобретает уже действительную массу. Характерно, что, с одной стороны, этот эффект является чисто динамическим, вызванным взаимодействием, и исчезает в пределе нулевой константы связи. С другой же стороны, он является прямым следствием подчинения скалярных полей условиям Дирихле па границе конечной области квантования и исчезает' в пределе бесконечной области. Далее автор показывает возможность реализации динамического механизма Хиггса, индуцированного взаимодействием и граничными условиями. Рассматривается безмассовая скалярная электродинамика с граничными условиями Дирихле, наложенными на дублет скалярных полей на границах плоско-параллельной щели. Условия Дирихле опять-таки индуцируют в скалярном секторе массовый член с “неправильным” знаком, и скалярная электродинамика динамически трансформируется в модель Хиггса. Таким образом, после реализации механизма Хиггса, остаётся единственный массивный скалярный мезон, взаимодействующий с массивным векторным полем. Обе массы обратно пропорциональны размеру щели и исчезают в тривиальном пределе бесконечной области. Затем в рассмотрение включается температура, что необходимо для изучения фазового перехода из нормальной фазы в спонтанно нарушенную. Показывается, что если скалярные поля на границах щели удовлетворяют' условиям Дирихле, то
5
граница и температура конкурируют друг с другом: в то время как увеличение температуры всегда стремится восстановить спонтанно нарушенную симметрию, уменьшение размера щели, напротив, стремится нарушить её, увеличивая критическую температуру перехода из нормальной фазы в спонтанно нарушенную. Автор отмечает, что это может, например, послужить возможным объяснением явления высокотемпературной сверхпроводимости, до сих пор не имеющего однозначного и непротиворечивого теоретического описания. Аргументы автора сводятся к тому, что, эффективная теория сверхпроводимости по сути сводится к абелевой модели Хиггса. С другой стороны, электронные куперовские пары отсутствуют вне сверхпроводника. Чтобы обеспечить этот “конфайнмент”, естественно наложить условие Дирихле на волновую функцию, описывающую куперовские нары. В то же время, высокотемпературная сверхпроводимость наблюдается в слоистых структурах с малой толщиной сверхпроводящих слоев (films), так что эту ситуацию как раз можно смоделировать узкой плоско-параллельной щелыо с условиями Дирихле на границах. В конце второго раздела изучается важнейший вопрос устойчивости результатов по отношению к изменению геометрии области квантования. Рассматривается случай, где в противоположность плоско-параллельной щели ограничены все три пространственные измерения и проводятся вычисления массы скалярного поля для геометрии куба с граничными условиями Дирихле на его поверхности. В результате, квадрат массы опять-таки оказывается отрицательным. Это позволяет автору диссертации сделать важное заключение: динамические механизмы спонтанного нарушения симметрии и Хиггса не являются следствием какой либо определённой геометрии области квантования, а являются исключительно следствием подчинения скалярных нолей условиям Дирихле на её границе. Это принципиально отличает их от другого граничного эффекта, эффекта Казимира, где роль геометрии как раз-таки является определяющей: сила Казимира меняет знак в зависимости от геометрии, например, соответствует притяжению в щели и отталкиванию в кубе.
С момента обнаружения знаменитого “спинового кризиса” в 1987 году, одной из самых интригующих загадок физики высоких энергий остается проблема понимания спиновой структуры нуклона. Центральной составляющей решения этой проблемы, на которой в течение многих лет сосредотачивались колоссальные тс-орегические и экспериментальные усилия, является нахождение поляризованных партонных распределений в нуклоне. Уникальным источником такого рода информации являются процессы глубокоисупругого рассеяния (ГНР) поляризованных лептонов на поляризованных нуклонах. КХД анализу этих процессов с целыо нахождения поляризованных партонных распределений посвящена Глава 2 диссертации. Материалы второй главы основаны на публикациях в рецензируемых о/сурпалах [8-16/.
На первом этапе изучения поляризованных процессов ГНР важнейшими задачами стали определение первого момента структурной функции д\ а также её кварковой ДЕ и глюонной AG составляющей. Анализ данных по инклюзивному поляризованному ГНР позволяет нам извлекать такие важные величины, как синглетные
и несинглетиые комбинации поляризованных партоиных распределений. Кроме того, исследование таких процессов позволяет проверить важнейшие предсказания КХД - правила сумм. В частности, к настоящему времени правило сумм Бьёрксна вместе с теоретически вычисленными КХД поправками к нему (вплоть до третьего порядка включительно) блестяще подтвердилось данными коллаборации SMC. Исследованию процессов инклюзивного ГНР с продольно поляризованными лептон-ным пучком и нуклониой мишенью посвящён раздел 2.1 второй главы, где проводится КХД анализ мировых данных по инклюзивным структурным функциям с целью извлечения в следующем за лидирующим порядке синглегных и несинглетных комбинаций поляризованных кварковых распределений (работа в рамках сотрудничества с коллаборацией COMPASS). При этом исследуются два принципиально различных сценария, соответствующие положительному и отрицательному значению первого момента поляризованного глюонного распределения A\G. Строятся соответствующие новые параметризации поляризованных партоиных распределений. Показывается, что сценарий с A\G < 0 гораздо лучше описывает новейшие данные COMPASS в области малых х. Проводится прямое извлечение аксиального заряда и первого момента поляризованной странности в нуклоне из новейших данных коллаборации COMPASS.
В то же время, исследуемые в настоящее время1 процессы инклюзивного ГНР с мюоыным или электронным (позитронным) пучком не могут помочь нам в решении еще одной важнейшей задачи - извлечению валентных Aqv и морских Aq поляризованных кварковых распределений по отдельности. На сегодняшний день основным, процессом, пригодным для сё решения, является процесс полуинклюзивного ГНР l+N —> I'+h+X, то есть процесс ГНР, где помимо рассеянного лептона регистрируется также один из адронов в конечном состоянии. В таких процессах информация об аромате взаимодействующего кварка переносится в регистрируемый адрон, и этот процесс описывается функциями фрагментации (ФФ). В результате выражение для структурной функции содержит разные коэффициенты при Aq = Aqv+Aq и Aq, что и позволяет разделить вклады валентных и морских кварков. Кроме того, полуинклюзивное ГНР дает нам дополнительные уравнения (соответствующие асимметриям, построенным для различных мишеней и сортов регистрируемых адронов), позволяющие найти форму распределения поляризованной странности в нуклоне, а также полностью решить задачу разделения кварковых распределений по ароматам. Таким образом, на сегодняшний день крайне востребовано включение полуинклюзивных данных в КХД анализ глубоконсупругого рассеяния. В разделе
2.2 эта задача решается в рамках стандартного подхода. Проводится КХД анализ всех мировых данных по поляризованным процессам ГЫР, включая полуинклюзив-ные данные (втом числе самые последние данные коллаборации COMPASS). Представлена соответствующая новая параметризация для поляризованных партоиных распределений. Необходимо отметить, что до её появления существовала един-
‘Пока не построена нейтринная фабрика или не создана сверхплотная поляризованная мишень, мы не можем изучать ГНР процессы с нейтринным пучком, которые позволили бы найти валентные Aqv и морские Aq поляризованные кварковые распределения но отдельности.
7
ственная такого рода параметризация включающая полуинклюзивные данные (при огромном количестве известных параметризаций чисто инклюзивных данных)- параметризация DSSV, что говорит о нетривиальное»! такого рода анализа. Новая параметризация сравнивается с параметризацией DSSV. Отмечается, что в чисто полу инклюзивном секторе (распределения морских кварков) предложенная параметризация находится в лучшем согласии с прямым (в лидирующем порядке КХД) анализом последних полуинклюзивных данных COMPASS, проделанным автором в в рамках сотрудничества с этой коллаборацией. В частности, в отличии от DSSV новая параметризация находится в полном согласии с важным заключением работы COMPASS о полной несимметричности поляризованного моря лёгких кварков (Ajt2 ~ — Aid).
Вместе с тем, в разделе 2.2 отмечаются недостатки стандартного метода КХД анализа, связанные с использованием заложенной в него традиционной процедуры фитирования данных. Отмечается, что эти недостатки проявляются в полной мере именно при включении в анализ полуинклюзивных данных и подчёркивается необходимость разработки альтернативного метода КХД анализа, свободного от процедуры фитирования. Такой новый альтернативный метод КХД анализа процессов поляризованного глубоконеупругого рассеяния разрабатывается в разделе 2.3. Практическая ценность метода заключается в его существенных преимуществах по сравнению с традиционным методом фитирования данных. В первую очередь это отсутствие произвола в выборе функционального вида параметризации при начальном масштабе в прямом методе измеряемые значения асимметрий и их ошибки напрямую пропагируют в извлечённые значения поляризованных кварковых распределений и их ошибки. Последнее является ещё одним важным преимуществом прямого метода, поскольку при расчёте неопределенностей поляризованных партонных распределений при анализе стандартным методом существуют неоднозначности в этой процедуре (разные процедуры учёта отклонения формы профиля х2 от параболической, неоднозначный выбор значения величины Дх2> определяющей масштаб неопределённостей). Эти преимущества прямого метода становятся особенно существенными при включении в анализ полуинклюзивных данных (необходимых для нахождения валентных и морских распределений по отдельности, а также для восстановления формы поляризованной странности в нуклоне), которые сильно уступают в качестве (сравнительно малое количество точек с большими статистическими неопределенностями) чисто инклюзивным данным. Метод состоит из двух последовательно применяемых процедур (этапов). На первом этане напрямую (без использования процедуры фитирования) извлекаются меллиновские моменты поляризованных кварковых распределений в следующем за лидирующим порядке КХД. Подчеркнем, что уже на этом первом этапе применения метода мы получаем возможность восстановить первые моменты поляризованных кварковых распределений, которые наиболее важны для понимания спиновой структуры нуклона: именно первые моменты поляризованных кварковых распределений входят в правило сумм, определяющее спин протона. В свою очередь, локальные поляризованные кварковые распределения извлекаются на втором
этапе, используя извлеченные моменты как уже известные коэффициенты в разработанной авторами модифицированном методе разложения по полиномам Якоби. Это модифицированное разложение является чрезвычайно важным и полезным инструментом, поскольку позволяет использовать не полные (недоступные для. измерения) меллиновские моменты, а моменты, усеченные к интервалу по бьёркенов-ской переменной х, реально доступному в эксперименте (именно и только такие моменты могут быть извлечены из экспериментальных данных на первом этапе). В первую очередь предложенный метод применяется в диссертации к полуииклю-зивным данным коллаборации HERMES для пионных асимметрий на протонной и дейтронной мишенях. Из этих асимметрий строятся так называемые разностные асимметрии, замечательным свойством которых является то, что они абсолютно свободны от функций фрагментации в лидирующем порядке КХД разложения и лишь слабо зависят от разности хорошо известных (функций (фрагментации в следующем за лидирующим порядке. Применение нового метода к построенным разностным асимметриям позволяет автору впервые напрямую найти в следующем за лидирующим порядке КХД разложения как первые (наиболее важные) моменты поляризованных валентных распределений, так и сами валентные распределения локальные но бьёркеновской переменной. В настоящее время такой анализ проводится автором в коллаборации COMPASS и работа будет завершена но мере накопления достаточного количества данных этой коллаборацией. Проводится также работа по применению метода к каонным данным коллабораций HERMES и COMPASS с целью прямот извлечения поляризованной странности в нуклоне в следующем за лидирующим порядке КХД. Далее, в заключении раздела 2.3, новый метод применяется ко всем мировым данным (как инклюзивным, так и полу-инклюзивным) с целью нахождения (наиболее важных в спиновой физике) первых моментов поляризованных кварковых распределений. Результаты сравниваются с результатами COMPASS, полученными в лидирующем порядке КХД, и с новой параметризацией. Отмечается, что в полуинклюзивном секторе (морские и валентные распределения) результаты применения метода находятся в лучшем согласии с результатами анализа коллаборации COMPASS, что еще раз подчёркивает достоинство прямого метода при включении в анализ нолуинклюзивных данных.
Нахождение всех функций распределения партонов в нуклоне и сегодня остаётся одной из ключевых задач современной адронной физики. В то время как на сегодняшний день неполяризованные распределения и часть поляризованных пар-тонных распределений можно считать достаточно хорошо изученными, существует ряд ключевых распределений, которые либо всё ещё неизвестны, либо изучены очень плохо и, в особенности, это касается распределений связанных с поперечной поляризацией адрона и составляющих его партонов. Это как морские, так и валентные поперечно поляризованные распределения кварков всех ароматов. Это также новый класс кварковых распределений, характеризующихся нетривиальной зависимостью от поперечной составляющей кваркового импульса, наиболее значимыми из которых являются (функции Сиверса и Бура-Мулдерса. Таким образом, возникает актуальная задача по исследованию этих оставшихся “белых пятен” в нашей
9
картине структуры нуклона. Уникальным инструментом дли этой цели являются процессы Дрелла-Яна Н\Нч —ъ ~/*Х —> 1+1~Х, обеспечивающие примой (без использования каких бы то ни было функций фрагментации) доступ к искомым партон-ным функциям распределения. Исследованию дрелл-яновских процессов с целыо нахождения кварковых распределений связанных с поперечной поляризацией как раз и посвящена Глава 3 диссертации. Материалы третьей главы основаны на публикациях в рецензируелтх эюурпалах. [17-22/.
В разделе 3.1, после короткого введения в теорию процессов Дрелла -Яна, автором разрабатывается оригинальный теоретический метод анализа неполяризо-ваниых и одночастнчно поляризованных дрелл-яиовских процессов с целыо получить возможность достоверного извлечении распределений понеречиости, Сиверса и Бура-Мулдерса из соответствующих данных. Суть метода заключается в предложении строить из данных и затем анализировать теоретически не обычные асимметрии и сечения, (куда интересующие нас распределения входят все вместе и к тому же в составе сложных конволюций но кт), а должным образом “взвешенные” и проинтегрированные по углам лептонной пары и сё поперечному импульсу д-р. Это, во-первых, позволяет избавиться от лишних переменных в уравнениях для интересующих нас функций распределения, а во-вторых, факторизовать содержащие их конволюции, избегая при этом каких бы то ни было модельных предположений о кр зависимости этих распределений.
В разделе 3.2 метод применяется к дрелл-яновским процессам с валентным антикварком в начальном состоянии. Проводится детальное исследование возможности измерения qt взвешенных асимметрий дающих доступ к распределениям по-перечности, Сиверса и Бура-Мулдерса коллаборацией PAX (GSI, Германия), где как раз и планируется исследование дрелл-яновских процессов в столкновениях поляризованных протонов и антипротонов. Теоретические оценки этих величин сопровождаются оценками их измеримости в условиях кинематики РАХ и ожидаемой там статистики дрелл-яновских событий. Представленные результаты легли в основу соответствующей теоретической части физической программы этой колла-борации (членом которой является и сам автор). Далее в разделе 3.2 предложенный метод применяется к процессам Дрелла-Яна в лион-протонных и иион-дейтронных столкновениях. Среди дрелл-яновских процессов с валентным антикварком в начальном состоянии процессы с участием пиона выгодно выделяются тем, что получить пионный пучок высокой интенсивности несравненно легче чем, например, создать высокоинтенсивный аптипротонный или каонный пучок. В настоящее время дрелл-яновскне эксперименты с пионным пучком, двумя (протонной II дейтронной) поляризованными мишенями и регистрацией мюонной пары планируются коллабо-рацней COMPASS на самую ближайшую перспективу. Для таких процессов автором представлен теоретический анализ д-р взвешенных асимметрий дающих доступ к распределениям поперечности, Сиверса и Бура-Мулдерса. Даны оценки измеримости этих асимметрий в условиях COMPASS. Представленные результаты легли в основу соответствующей теоретической части физической программы этой кол-лаборации (членом которой является и сам автор).
10
В разделе 3.3 предложенный метод адаптируется и применяется к процессам Дрелла-Яна с морским антикварном в начальном состоянии. Несмотря на всю значимость рассмотренных в разделе 3.2 дрелл-яновских процессов с аннигилирующим валентным антикварном, эти процессы также очень важны, так как помимо доступа к валентным распределениям, они также предоставляют доступ к функциям распределения морских кварков в протоне. В настоящее время процессы Дрелла-Яна в столкновениях поляризованных протонов и дейтронов планируется изучать на ускорительных комплексах RHIC (BNL, США) и NICA (ОИЯИ, Россия). Автором представлен теоретический анализ асимметрий дающих прямой доступ к морским и валентным распределениям поперечности, Сиверса и Бура-Мулдерса для протон-протонных, нротон-дейтронных и дейтрон-дейтропных столкновений. Даны оценки измеримости этих асимметрий в условиях RIIIC и NICA. Представленные результаты легли в основу соответствующей теоретической части физической программы коллаборации NICA (членом которой является и сам автор).
В разделе 3.4 впервые проводится количественное исследование тесной аналогии (дуальности) между механизмами процессов Дрелла-Яна Я\Н2 —> 7*А —> 1+1~Х и рождения J/ф резонанса с дилептонной модой распада J/ip #itf2 J/y)X —> l+l~X. Такая дуальность очень важна с практической точки зрения, поскольку она может позволить существенно уменьшить статистические неопределенности партонных распределений. Проведены оценки кинематических условий, при которых это явление может наблюдаться.
11
Глава 1
Эффекты нетривиальных условий квантования
В этой главе исследуются проявления нетривиальных условий квантования полевых систем. Это эффекты влияния среды, а также граничных условий при квантовании в конечной области.
1.1 Топологические эффекты при ненулевой температуре и плотности
Этот раздел посвящён исследованию топологических эффектов в среде. Изучаются два тесно связанных топологических эффекта при ненулевых плотностях и температурах: киральная аномалия в чётномерных и черн-саймоновская аномалия (аномалия чётности) в нечётномерных пространствах. Различными ненертуртурбатив-ными методами подтверждается факт независимости киральной аномалии от температуры и химического потенциала в любой чётномерной калибровочной теории. Более того, показывается, что киральная аномалия не меняется, даже если мы вводим сохранение кирального заряда на квантовом уровне (в качестве лагранжевой связи при квантовании). То есть показывается, что киральная аномалия не зависит также и от кирального химического потенциала. Используя только факт независимости киральной аномалии от химического потенциала /1 и кирального химического !101чгнциала к представлено простое доказательство генерации черп-саймоновского действия в чётномерных киральных калибровочных теориях при /г ф 0 и в обычных калибровочных теориях с дираковскими ферминами при ас ф 0. Основные результаты этого раздела относятся к нечётномерному черн-саймоновскому эффекту в среде. Динамическая генерация чери-саймоиовского члена в эффективном действии при ненулевых температуре и химическом потенциале исследуется различными способами. Показывается, что в отличие от аксиальной аномалии, черн-саймоновское действие существенно зависит от химического потенциала и температуры. При этом вся эта зависимость аккумулируется только в численном коэффициенте при д- и
12
Т-независящем черн-саймоновском функционале калибровочных полей. Этот коэффициент, в свою очередь, демонстрирует удивительное свойство универсальности: он не зависит ни от размерности нечетномерного пространства ни от вида рассматриваемой калибровочной группы. Представлено обобщение “тождеств следа” (“trace identities”) на случай ненулевых температуры и химического потенциала, Выводится простая формула связи между аномалией чётности (чери-саймоновской аномалией) и аксиальной аномалией в среде. Особое внимание уделяется выяснению ситуаций, при которых генерация чери-саймоновской аномалии в среде все еще возможна, и показывается, что для подавляющего большинства физических систем необходимым условием этого является хотя бы минимальное отличие от нуля температуры. Делается важное заключение: среда играет определяющую роль для чсрн-саймоновского эффекта, заставляя его исчезать/появляться даже при минимальных отклонениях от нуля химического потенциала и температуры.
1.1.1 Химический потенциал и температура
Хорошо известно, что химический потенциал может быть введён в теорию как ла-гранжев множитель при соответствующем законе сохранения. В нерелятивистской физике это сохранение полного числа частиц. В релятивиегкой квантовой теории это сохраняющиеся заряды. Основное энергетическое состояние может быть найдено с использованием вариационного принципа
(ф'Н'ф) = min (1.1)
при наложении на релятивисткую квантовую систему ограничения (связи) сохранения заряда
(tl)*Qxp) = Const, (1.2)
где Н и Q это операторы гамильтониана и сохраняющегося заряда. Вместо этого, мы можем использовать метод неопределённых множителей Лагранжа и искать абсолютный минимум величины
{Ф'{н - р£М), (1.3)
где /1 это Лагранжев множитель.
В тоже время, мы можем наложить другое ограничение (связь), которое подразумевает сохранение кирального заряда
(i>*Qn ‘Ф) = Const, (1.4)
что в лаграижевом подходе эквивалентно
(ф*(Н - kQ&)iI>) = min, (1.5)
где коэффициент к возникает как лагранжев множитель при связи < Qs >= const. Таким образом, химический потенциал /х соответствует ненулевой фермионной
13
плотности (число частиц минус число античастиц), в то время как киральный химический потенциал к ответственен за сохранение асимметрии числа частиц левой и правой киральности.
Нужно подчеркнуть, что вышеописанное введение химического потенциала в теорию выглядит как простое калибровочное преобразование с калибровочной функцией fit. Однако, оно не только сдвигает временную компоненту калибровочного поля, но также даёт соответствующее предписание для обхода полюсов функций Грина. Корректное введение химического потенциала переопределяет основное состояние (энергию Ферми), что автоматически приводит к новому снинорному про-пагатору с корректным е-предписанием обхода полюсов. Таким образом, для свободного спинорного пропагатора имеем (см. например [23], [24])
__, . р + тп ,
S(p;p) = ■ - — .---------гт— 2 » (1-С)
(р0 -f ге sgnpo) - Р - т1
где р = (ро 4- р,р). Таким образом, в случае // = 0 мы получаем обычное е-
предписание, из-за положительности величины p0sgnp0. В евклидовой метрике имеем
${р; р) = 2, (1.7)
Рог+рг + тг к '
где р = (ро 4- ip, р). В присутствии фонового поля Янга-Миллса мы, следовательно, имеем для функции Грина оператор (в пространстве Минковского)
G (/7Г - т* + ic(p0 + р) sgn(p0)’
где Tty - 7г„ 4- , 7Г„ = р„ - дАи{х).
Для введения температуры мы будем использовать стандартный формализм мнимого времени Мацубары пригодный для описания равновесных систем. Он подразумевает евклидов производящий функционал с интегрированием но “времени” в действии от 0 до р = 1/Т, а также с антипериодичоскими граничными условиями для фермионных нолей ip(0, ж) = —ip((3,x) и периодическими для калибровочных Л(О.т) = А(0,х). Таким образом, для перехода к конечной температуре мы будем использовать замену
/ dD-'x,
Г d°k i ^ f dD~xh
J Wf “* p ЩВ=1' (1'9)
вместе с заменой p0 —> cun = (2n + l)ir//3. При этом химический потенциал вводится добавлением его в мацубаровскую частоту:
Ро = (2n4- l)ir/0 + ip. (1-10)
14
1.1.2 Киральная аномалия в среде. Два измерения
Так как происхождение киральной аномалии обусловлено ультрафиолетовой расходимостью, естественно ожидать, что она не будет меняться при включении в рассмотрение ненулевых температуры и плотности. Это действительно было покапано в ряде работ прямыми вычислениями (см. обзор [б] и ссылки в нём). В этом и следующем параграфах мы остановимся на непертурбативном доказательстве [5,6] этого важнейшего факта.
Чтобы ясно понять природу независимости аномалии от химическото потенциала мы, в первую очередь, рассмотрим простейший случай двумерной электродинамики с использованием [5] непсртурбативного метода Швингера [25]. Таким образом, следуя Швиигеру имеем
.F — —гд tr
УС(х,х)ехр (-ig J #
где G(x,x ) это иропагатор удовлетворяющий уравнению
7" (д£ - igAft(x)) G(x,x) = S(x - х). Далее, используем анзатц Швингера
G(x,x) = G°(:r,x')exp - <p(x'))J
где G° это свободный иропагатор
7^G°{x,x) = S{x-x).
Таким образом, для ф имеем
Y ф = У*А*.
При конечной плотности пропагатор G°(x,a:/) имеет* вид
X -УХ
У (2тг)2'
*
р2 + ic(po + р) sgn
= —г ф
(Рр
[ *1 ] (2я
aip(x-1 )
-)2 р2 + fe
■2 /Г S /I ^("р°ssnpo) eip(x'x')Qmidj,
(1.12)
(1.13)
(1.14)
Таким образом, помимо стандартного нронагатора соответствующего нулевой плотности (первое слагаемое), возникает //-зависящая часть (второе слагаемое). Далее, мы регуляризуем ток используя симметричный предел X —> X (т.е. X —> х — с/2,
15
1-Я + с/2). Проводя простые вычисления легко убедиться, что все /х- зависящие члены исчезают в этом пределе, так что
Введём теперь в рассмотрение киральиый химический потенциал к как лагран-жев множитель при соответствующем ограничении (связи) обеспечивающим сохранение киральиого заряда (,)$ — (см. параграф 1.1.1), отражающего несим-
метричность в числе левых и правых фермионов. Так как лаграижев множитель к отражает сохранение киралыюй симметрии, естественно предположить, что он должен каким то образом влиять на нарушение этой симметрии квантовыми поправками, т.с. на киральную аномалию. Однако, к некоторому удивлению, эти ожидания не оправдываются и мы видим, что накладываемое на вантовом уровне требование сохранения киральиого заряда никак не влияет на квантовую киральную аномалию: Действительно, в двух измерениях введение лагранжева множителя к при сохранении киральиого заряда соответствует' добавлению члена = ктр^гр
в лагранжиан и, таким образом, эффект включения к должен быть абсолютно аналогичен эффекту включения /х. В частности, как и д, киральиый химический потенциал к не влияет на киральную аномалию (в этом также легко убедиться непосредственно, повторив предыдущие выкладки с ненулевым /х).
Из приведённых вычислений ясно видна принципиальная разница между ки-ральной аномалией и чери-саймоиовским членом. Ультрафиолетовый регулярнза-тор РехрАц{р) приводит к аномалии но (как мы увидим ниже) не влияет на черн-саймоновский член. Таким образом, представляется естественным, что аномалия не зависит от /х, к и Т поскольку она проистекает из ультрафиолетовой регуляризации, тогда как ни плотность ни температура не влияют на ультрафиолетовое поведение теории. В следующем параграфе будет представлено непертурбативное, основанное на методе Фуджикавы [26| доказательство [27] независимости кнраль-ной аномалии от температуры и плотности в четырёхмерной хромодинамике. Общее, верное для широкого класса калибровочных теорий и любых чётномерных пространств, непертурбативное доказательство этого факта, основанное на тождествах шпура будет представлено в параграфе 1.1.7.
1.1.3 Киральная аномалия в среде. Четыре измерения
В этом параграфе представлено вычисление аксиальной аномалии [27| методом Фуджикавы [20) в случае четырёхмерной неабелевой калибровочной теории при ненулевых температуре и плотности.
(1.15)
и мы получаем обычное аномальное несохранение киральиого тока
(1.16)
16
Рассматривая систему фермиоиов и калибровочных бозонов в термодинамическом равновесии при температуре Т = /З”1 и химическом потенциале ц. Для производящего функционала корреляционных функций Грина записанное в формализме мнимого времени имеем
V AUcDcDipVip
exp [/ dr J dzx [C(x, r) + JyAu + фу -f фу)
(1.17)
где
С(£,т) = C$ + Сум + Сс + Cqf
представляет плотность эффективного лагранжиана SU(N) полей 51нга-Миллса А = (Ajp) взаимодействующих с фермионными полями ф = ($£), ф = (ф“) и с духовыми полями Фаддеева-Попова с = (cft), с = (са). у = (77“), 7/ = (Г;®), в то время как J = (JJ) это внешние источники. А3р, са, cQ периодичны по т с периодом /?, тогда как т/£, т/>®, 77“, 77“ антинериоднчны. Верхние латинские и нижние греческие это соответственно ароматические и SU(N) цветовые индексы , a j = 1,..., N2 — 1, эго число стандартных SU(N) генераторов (Т3). Сум and Сс это стандартные лагранжевы плотности янг-миллсовских бозонов и духов, в то время как член Cqf фиксирует калибровку. Для лагранжевой плотности Су имеем
Nf
А«. = £ ^ Рт.» - m“W
а=1
(свёртка по цветовым индексам также неявно подразумевается), где Аг/ число ароматов,
iJ?T,n = iJ?T -Ь^°7о
ifiT = i'1a{didT + A/i)-1k(d/dxk + Ak)t
где гЛр -- дТ3А3р и. в соответствии с формализмом мнимого времени, произведён виковский поворот (хо т = гхо, Aq —> Лл = —г/1()) так что операторстановится эрмитовым. Химический потенциал /га вводится для каждого аромата.
Следуя работе [26] мы проводим под знаком функционального интеграла соответствующую локальному киральному преобразованию
Ф1 -> ехр[г5{х,т)ъ]Фа . 'Фа 'Фа ехр[гб(ж, т)75] (1.18)
замену фермионных переменных интегрирования, которая как раз и позволяет найти аномалию в сохранении киралыюго тока [26]. Поскольку \ia зависящая часть
17
действия инвариантна относительно преобразования (1.18) все возможные эффекты включения ненулевых температуры и плотности могут проявляться только благодаря фактору С в изменении фермионной меры ТУфТУтр -* СТ>фТ>ф. Для нахождения С применим разложения
^°(£, т) = <*пФп(Я> т) » т) = X) ЬпФп*(Ху т),
п т»
где ап,Ьи элементы грассмановой алгебры, а антипериодические но т функции ф*(х,т) это ортонормированиые
J* ёт J ё3хф°„+ф°г = 6пг
собственные функции эрмитова оператораІ?т,ц =^т + Да7о> т.е. Ц^^Фп = Ап <■/>“, где Л„ это действительные собственные значения (цветовые индексы опущены), and it fulfills 0
J dr J <Рхф£+ф* = 6nr.
Тогда мера Т>фТ>ф переписывается как Jlnd(inYlmdbm и легко модифицируя вычисления |2б) при нулевых д и Т, находим
С = ехр |^-2г J dr J d3x6(£,r)a(£,T)
(1.19)
где
ЛГ/
а(г> т) = ЕЕ# *(£’т)ъФп(2,т). (1.20)
а— 1 п
Величина а как раз и определяет аксиальную аномалию. Чтобы её вычистить мы применяем регуляризацию |26|
ЛГ/
Ф, г) = Ш" ^2 Е гУк ехр [-М-2(1рг^)2) ф°(х, т), (1.21)
а=1 п
и переходим к базису “плоских волн” с помощью преобразования Фурье
1 90 г
#(г^)=»Е I <?к е“”т оГ^фЩ), (1.22)
Р j~—O0
(2п + 1)7Г С^„ - £ .
18
Заметим, что операторэквивалентен оператору из-за того первый получается из второго заменой Л4 Ьу Л4 — гда. Тензор Рр1/ = дрЛи — д„Ар + [АРі А„] инвариантен относительно этой замены: /Р это константы и [да,!Р] = 0 для а = 1...Л/, j = !...№ — 1. Таким образом, получаем
о(х,г) = Ч 1г (75 {[7', 71^рЛ2)
Г сРк
^ ] щ
п—-оо ' '
зехР
о)2 + к2 М2
(1.23)
где операция Ьг проводится как по внутренним индексам, так и по индексам 7 матриц. Используя в (1.24) верную для любого М формулу [28]
\Х>р [-лйг(2" + !)2] = Ц £«р [- (£) 1 (1‘24)
и беря шиур но шгдексам 7 матриц, мы получаем окончательно:
(1.25)
где операция 1г проводится теперь только по цветовым индексам. Сравнивая (1.25) с соответствующим выражением из [20] для аномалии при нулевых ц и Т, мы видим, что между ними нет никаких различий.
Таким образом, конечные плотность и температура не дают никаких поправок к аксиальной аномалии, как это и ожидалось из предыдущего рассмотрения.
1.1.4 Черн-саймоновская аномалия в чётномерных пространствах
Как отмечалось в параграфе 1.1.1, классический закон сохранения кирального заряда фг> = С/, — Ф/г рассматривается при квантовании в качестве связи с лагранже-вым множителем /с, так что лагранжиан SU(N) калибровочной теории принимает вид
С = ^ 1гРР + ф (гд — у А -I- Ш7°75^ ф. (1.26)
Для дальнейшего, удобно переписать лагранжиан в терминах левых и правых фер-мионов
£ = ^ 1гРР + фь (гд - у А + гк7°) фь + фп (гд - у А - гк7°) фа, (1-27) где использованы проекционные операторы Р* = (1 ± 75)/2 (I = Р+ + Р., 75 —.
Р+ ~ Р-)-
19
13 литературе уже было известно (см., например, [29,30|) , что генерация черн-саймонопской части $ <іхо\№[А\ эффективною действия в чётномерных пространствах возможна в присутствии ненулевою химического потенциала ц в кираль-ных калибровочных теориях (таких как, например, соответствующий сектор теории электрослабых взаимодействий), в то время как она отсутствует в обычных калибровочных теориях с дираковскими фермионами (таких как, например, КХД) даже при ненулевом значении д. Однако, как было показано в наших работах [5,6| генерация черн саймоиовского члена в эффективном действии /с// возможна и в таких теориях, если в них вместо химическою потенциала /2 вводится ненулевой киральный химический потенциал к (см. параграф 1.1.1), соответствующий сохраняющейся асимметрии числа фермионов левой и правой киральносги в среде. При этом генерация черн-саймоновского члена показывается |5,6) очень простым способом. Единственное, что нам необходимо для этой цели, это факт независимости аксиальной аномалии от химического потенциала (кирального химического потенциала). Действительно, по определению имеем
^ = I Л<4‘>. (1.28)
Так как аксиальная аномалия не зависит от к, приходим к выводу, что эффективное действие содержит член пропорциональный аномальному заряду с коэффициентом пропорциональности /с. Аналогично, в киральной теории эффективное действие содержит член пропорциональный аномальному О, заряду с коэффициентом пропорциональности /і. Таким образом, имеем
А1'Ц = -к1<Ь;0\У[Л] (1.29)
в обычной калибровочной теории и
АІ$°' = -ц I іха\У\А\ (1.30)
в киральной теории. Этот’ простой вывод (1.29), (1.30) имеет силу для пространств произвольной чётной размерности. В частности, в четырёхмерном пространстве \V\A\ и (1.29), (1.30) это 40 черн-саймоновский оператор
IV (і) = | 43хК0(х)
= 1г / ^хс%3к Ьг ~ , (1.31)
а
К“ = 1&е'“"” 1г К “ ЇА>'Л”)} (І-32)
20
это 419 черн-саймоновский ток.
В случае ненулевой температуры Т = @~1, в соответствии с формализмом мнимого времени в (1.28)- (1.30) производится замена / с1°х -* г /0,3с/г / б°~1х. Хороню известно, что в высокотемпературном пределе (3 —> 0 имеет место эффект размерной редукции (см., например, [31|) 2п мерного пространства в 2п- 1 мерное. При этом формулы (1.30), (1.29) принимают вид
в калибровочных теориях с киральнымн и дираковскими фермиоиами, соответственно. К сожалению, физическая интерпретация этого результата до сих пор вызывает трудности (и до сих нор дискутируется в литературе). Так, например, попытка трактовать член (1.33) эффективного действия в редуцированной 319 теории как массовый для калибровочного поля сталкивается с проблемой (см. [29]) мнимого коэффициента при черн-саймоновском действии
Отметим, что эти проблемы отсутствуют при исследовании генерации черн-саймоновскс аномалии непосредственно в нечётномерных пространствах (параграфы 1.1.5- 1.1.7).
Следует подчеркнуть, что в этом параграфе представлен оригинальный и очень простой способ получения (1.30)- (1.33), имеющий силу для любых калибровочных теорий в пространствах произвольной чётной размерности: используется только общий для всех теорий/пространств факт независимости киральной аномалии от химического потенциала и температуры.
1.1.5 Черн-саймоновское действие в трёх измерениях
Рассмотрим релятивистскую равновесную систему ферм ионов во внешнем постоянном магнитном поле при ненулевых температуре и плотности в (2+1) мерном пространстве. Здесь появляется возможность простого вычисления фермионной плотности проводя прямое суммирование по уровням Ландау [5]. Стартовая формула для фермиоипого числа имеет вид |32|
д!•$}*' =-щ№[А] , Д/.я = -Ь0П[АЪ
(1.33)
(1.34)
Постоянное внешнее магнитное поле
0(-А„)
ехр(-/?(А„ - р)) + 1]' Уровни Ландау в постоянном магнитном иоле выглядят как [33]
А0 = — т $£п(еВ) , А„ = і >/2п\еВ\ + т2
(1.35)
21
где п=1,2,... Необходимо также принять во внимание вырождение уровней Ландау. А именно, число вырожденных состояний для каждого уровня равно |е£|/27г на единицу площади. Таким образом, для фермионкой плотности имеем
в[Хп)
4тг 2 ^ ' ^1ехр(~£(д - А„)) + 1
________*(—Ап) 1 =
ехр(-/3(А„ - д)) + 1-1
= -А-> Е *»</* -А-)- (1-зб)
п п
Уже сейчас можно увидеть, что только нулевые моды, из-за фактора 8£п(еВ). могут давать вклад и Р-нечётную часть фермионной плотности.
В случае нулевой температуры, используя тождество
з§п(а - Ь) + .sgn(а + 6) = 2 з^11(а)^(|а| - |6|),
мы получаем для вклада нулевых мод в фермионную плотность
sgn (/х + т з^(еБ)) = 8рт(/х)6>(|/х| - |тп|) -Ь
1 8ён(сР) sgIl(m)0(|m| - |/х|), (1.37)
47Г
и для вклада ненулевых мод
ос
я&ьіі1 ~ у/2п\сВ\ + га2) + (/х + у/2п\сВ\ + т2) =
2 27Г ^'
П=1
= ь^п(/х) ^ - у/2п\еВ\+т2). (1.38)
тг= 1
Таким образом, объединяя вклады всех мод мы получаем для фермионной плотности выражение
Р = 88п(/х) ^ 0 (И - у/2п\еВ\ + т*} +
п—1
+ 5^ >^п(рЖМ - |ш|) + ~ ь^п(т)0(М - |д|) =
\еВ\
2?г
(ы \^2\ещ ] + 5) °(Н ~ Н) +
сВ
*4тг ««“(«ЖН “ М)- (І.39)
Мы видим, что нулевые моды дают вклад как в Р-нечётную так и в Р-чётную часть, в то время как ненулевые моды дают вклад только в Р-чётную часть фермионной
22