Связанные волны и дифракционные процессы в пространственно-неоднородных конденсированных системах

Оглавление
Введение. Обзор. Задачи исследования 8
§1.Метод трансфер-матрицы в многокомпонентных линейных волновых задачах физики конденсированных сред........................................ 10
§2.Мезоскопические кристаллы и многослойные структуры во внешних статических полях.......................................................... 16
2.1.Многослойные системы в магнитном папе........................... 16
2.2.Многослойные системы в слабом не периодическом поле. Электрическое поле.......................................................... 18
2.3.Нелинейность вольтамперной характеристики и плотность состояний носителей......................................................... 20
2.4.Плотность состояний и спектры фотоэмиссии........................ 23
§3.Неоднородные сверхпроводящие структуры................................. 24
3.1.Трансфер-матрица в многослойных сверхпроводящих системах . . 24
3.2.Влияние решеточного и сверхрешеточного потенциала на спектр боголюбовских квазичастиц в сверхпроводнике........................... 27
§4.Неоднородные магнитные структуры ...................................... 29
4.1.Полное отражение ультразвука от ферромагнитной пластины . . . 30
4.2.Аномалии рассеяния света в магнетиках вблизи Тс.................. 32
4.3.Аномалии в оптических спектрах вблизи Тс......................... 33
4.4.Аномальное двулучепреломление в антиферромагнетиках.............. 33
4.5.Аномалии кинетических характеристик РЗМ вблизи точек соизмеримости магнитной и кристаллической структур.......................... 34
2
§5.Флуктуации параметра порядка и плотности заряда вблизи критических
точек систем со свободными зарядами ................................ 35
§6.1 [еоднородности в коаксиальных резонаторах и волноводах ............. 39
I Рекуррентный алгоритм строгого решения связанных волновых уравнений в многослойной среде 42
§1.Матрица передачи...................................................... 42
§2.Рекуррентная процедура ............................................... 45
§3.Алгебра (Л‘ 4- 1)-диагональных определителей и перенормировка коэффициентов рекурренции (ДО = 1,2,4)...................................... 48
3.1.Тривиальный случай N = 1 49
3.2.Случай N = 2 ................................................... 49
3.3.Случай N — Л ................................................... 52
§4.Случай произвольного N................................................ 56
§5.Коэффициенты рекурренции в периодической системе...................... 59
Обсуждение результатов I Главы и Выводы ................................. 62
II Состояния и спектры электронов мезоскопического кристалла и многослойной структуры во внешних статических полях 64
Часть 1. Трансфер-матрицы и электронный спектр многослойной
системы в однородном магнитном иоле................................. 64
§1.Описание модели. Матрица передачи .................................... 65
§2.Слои с прямоугольными барьерами....................................... 67
§3.Строй (5-барьеров..................................................... 71
§4.Система 5-барьеров в яме с бесконечно высокими стенками .............. 73
4.1.Слабая связь и сильное магнитное поле........................... 75
4.2.Очень сильная связь............................................. 76
4.3.Очень слабое магнитное поле..................................... 77
Часть 2. Влияние постоянного электрического поля и поверхности
на состояния электронов в решетке.................................. 84
§1.0писание модели....................................................... 86
§2.Энергетические зоны и таммовские поверхностные состояния.............. 88
3
§3.Система во внешнем поле.............................................. 90
§4.Квазиклассическая теория возмущений.................................. 92
4.1.Модель прямоугольных барьеров ................................. 94
4.2.Дираковская потенциальная гребенка............................. 95
4.3.Пороговая сингулярность........................................ 95
§5.Система в электрическом поле......................................... 96
§б.Двух- и трехмерные ван-хововские особенности в однородном электрическом поле............................................................ 101
Часть 3. Отклонения от закона Ома из-за уменьшения плотности
состояний носителей в электрическом поле.......................... 104
§1.Ток и плотность состояний .......................................... 104
§2. Висмут............................................................. 107
§3.Невырожденные полупроводники........................................ 108
Часть 4. Особенности в частотно-энергетическом распределении
фотоэлектронов.................................................... 110
§1.Распределение фотоэлектронов по энергии............................. 110
§2.Особенности в распределении фотоэлектронов.................’........ 112
Основные результаты и выводы II Главы.................................. 115
§1.Заключение и Выводы 1 Части...................................... 115
§2.Заключение и Выводы 2 Части...................................... 118
§3.Заключение и Выводы 3 Части...................................... 120
§4.Заключение и Выводы 4 Части...................................... 121
III Слоистые и периодические сверхпроводящие структуры 122
Часть 1. Метод трансфер-матрицы в неоднородных задачах сверхпроводимости .......................................................... 122
§1.Матрица передачи через слой сверхпроводника. Квадратичный закон
дисперсии......................................................... 123
1.1.Область нормального состояния................................. 128
1.2.Бестоковое состояние.......................................... 128
1.3.Токовое состояние............................................. 130
4
§2.Матрица передачи через слой сверхпроводника. Сложный закон дисперсии в уравнениях Боголюбова - де Жена.......................... 131
§3.Андреевские состояния в несимметричном Джозефсоновском - переходе 134
§4.Сверхпроводящие сверхрешетки и кольца.............................. 141
4.1.&>'-сверхрешетка с одинаковыми импульсами Ферми в слоях . . . 142
4.2.5Лг-сверхрешетка с разными импульсами Ферми в слоях........... 144
4.3.Одномерный электрический ток.................................. 147
Часть 2. Спектр боголюбовских квазичастиц вблизи брэгговской плоскости и влияние открытой формы поверхности Ферми на
Тс в сверхпроводниках............................................. 150
§1.Блоховские решения уравнений Боголюбова-де Жена с периодическими
потенциалами...................................................... 150
§2.Спектр квазичастиц в приближении слабого потенциала................ 152
§3.Уравнение самосогласования......................................... 156
§4.Возможность повышения критической тампературы...................... 158
§5.Обсуждение результатов 2 Части..................................... 162
Основные результаты и выводы III Главы................................ 166
§1 .Заключение и Выводы 1 Части....................................... 166
§2.Заключение и Выводы 2 Части........................................ 167
IV Дифракционные задачи, связанные с некоторыми неоднородными состояниями магнетиков 169
Часть 1. Полное отражение ультразвука от ферромагнитной пластины при закреплении спинов на поверхности........................... 170
§ 1.Коэффициенты прохождения и отражения.............................. 170
§2.Т рай сфер-матрица................................................. 171
§3.Спектр амплитуд прохождения и отражения............................ 175
§4.Эффект полного отражения........................................... 177
§5. Полное отражение ультразвука вблизи ядерного магнитоакустического
резонанса и аитиферромагнитном КM?iFз............................. 183
§6.Фотон-магнониое отражение ......................................... 184
5
§7. Заключение 1 Части............................................... 186
Часть 2. Аномалии рассеяния света в магнетиках вблизи критической точки.......................................................... 187
Часть 3. Влияние магнитного упорядочения на межзонные переходы электронов в кристаллах ........................................ 192
§1.Матрица плотности и высокочастотная проводимость................... 392
§2. Ван-хововские особенности......................................... 194
Часть 4. Двулучепреломление света в антиферромагнетиках вблизи температуры Нееля................................................. 399
Часть 5. Аномалии кинетических характеристик и сверхтонкого ноля в тяжелых редкоземельных металлах, обусловленные
эффектами соизмеримости.......................................... 203
§1.Влияние магнитной сверхрешетки на поверхность Ферми тяжелых РЗМ 203
§2.Связь аномалий проводимости и вектора модуляции структуры......... 206
§3.Максимум восприимчивости и аномалия сверхтонкого поля на ядре . . 208
Основные результаты и Выводы IV Главы............................... 209
§1.Заключение и Выводы 1 Части.................................. 209
§2.Заключение и Выводы 2 Части.................................. 210
§3.Заключение и Выводы 3 Части.................................. 211
§1.Заключение и Выводы 4 Части.................................. 211
§5.Заключение и Выводы 5 Части.................................. 211
V Корреляционные функции и волны параметра порядка и зарядовой плотности вблизи точек фазовых переходов II рода и критической точки в электролите 213
§1.Постановка задачи.................................................. 214
§2.Корреляционные функции бинарного электролита...................... 216
§3.Корреляционные функции для многокомпонентного электролита вблизи
критической точки растворителя ................................. 220
3.1.Термодинамический потенциал и уравнения состояния............ 220
3.2.Корреляционные функции в однородной фазе..................... 223
§4. Термодинамика системы. Область самосогласованного поля............ 226
6
§5.Корреляционные функции в неоднородной фазе многокомпонентного раствора .............................................................. 230
§6.Термодинамика системы. Область скейлинга........................ 231
§7.Численные оценки................................................ 232
Основные результаты и Выводы V Главы............................... 235
VI Неоднородности в коаксиальном резонаторе и волноводе 237
§1.Влияние проводимости стенок на свободные и вынужденные колебания
частично заполненного коаксиального резонатора................. 237
1.1.Свободные колебания........................................ 237
1.2.Вынужденные колебания...................................... 239
1.3.Входное сопротивление короткозамкнутого отрезка коаксиальной линии.......................................................... 240
§2.Влияние зазоров между диэлектриком и металлом ...................241
§3. Провисание центрального провода................................ 249
Основные результаты VI Главы....................................... 252
Заключение..........................................................253
Приложение А (к Главе I). Вычисление коэффициентов рекур-
ренции......................................................... 259
Приложение В (к Главам I, И).
Некоторые свойства полиномов Чебышева...........................262
Приложение С (к Главе II). Асимптотики функций параболического цилиндра.......................................................264
Приложение Б (к Главе II). Спектр пластины в параллельном
магнитном поле................................................. 267
Э.1.Широкая пластина и сильное магнитное поле (£;§>/)...........267
0.2. Уз кая пластина и слабое магнитное поле (Ь <§: /)......... 268
Приложение Е (к Главе И). Тригонометрические суммы.............270
Литература......................................................... 271
7
Введение
Обзор. Задачи исследования
В большинстве реальных задач физики конденсированного состояния вещества приходится иметь дело с пространственно-неоднородными структурами, когда основные параметры, характеризующие систему, являются функциями координат. Масштабы изменения этих параметров могут быть микроскопические, мезоскопические или даже макроскопические. Неоднородные структуры бывают случайные, хаотические, а бывают регулярные с определенным закономерным изменением свойств в пространстве, либо плавным, либо разрывным с четкими границами. Особый интерес представляют периодические и квазипериодические многослойные структуры.
В связи с этим, актуальные физические задачи естественно разделяются на два типа. Во-первых, это задачи о формировании пространственно-неоднородных структур. Природа образования таких структур разнообразна: от тривиального внешнего воздействия технологическим путем, типа легирования, послойного выращивания, внедрения механических неоднородностей, управления внешними полями, до более тонких физических механизмов спонтанной самоорганизации за счет баланса внешних и внутренних энергетических и энтропийных факторов на микро- и макроуровнях. Во-вторых, задачи, в которых изучаются проявления неоднородных структур в различных физических явлениях, их влияние на термодинамические, электродинамические, оптические свойства вещества, возможности практического использования сопутствующих эффектов в современных высоких технологиях и т.п.
Настоящая диссертация обобщает результаты исследований автора в области физических явлений, происходящих в пространственно-неоднородных состояниях конденсированного вещества. Эти исследования затрагивали задачи обоих типов и ка-
8
садись волновых и флуктуационных процессов в различных физических системах:
1)Для многокомпонентных волновых уравнений с переменными в пространстве коэффициентами, на основе метода матрицы передачи, разработан новый рекуррентный алгоритм точного решения; полученные строгие формулы существенно обобщают соотношения, обычно применяемые для описания распространения связанных волн, и позволяют обойтись без приближений типа слабой связи и т.п.
2)Метод трансфер-матрицы применен для решения ряда модельных задач, важных для физики многослойных систем, типа задач Кронига-Пенпи в магнитном и электрическом поле.
3)Изучеио поведение волновых функций и спектра квазииериодических систем. Исследован характер ван-хововских особенностей в плотности состояний, проявление этих особенностей в статической проводимости полуметаллов и примесных полупроводников, а также в частотно-энергетических распределениях фотоэмиссионных электронов.
4)С помощью четырехмерных матриц передачи и в приближении слабой связи исследовались спектры для разных видов связанных волн в сверхпроводниковых и магнитных пленках и многослойных структурах, а также проявления этих спектров в кинетических, акустических и оптических свойствах.
5)Построена теория образования модулированных пространственных структур с волнами параметра порядка и плотности заряда вблизи точек фазового перехода второго рода в системах со свободными зарядами, в частности, в растворах сильных электролитов вблизи критической точки растворителя.
Все эти задачи объединены как методами решения, так и качественной общностью результатов, многие из которых универсальны. В этой вводной Главе мы приведем предварительный обзор и постановку проблем, решения которых изложены в основном тексте.
9
§1.Метод трансфер-матрицы в многокомпонентных линейных волновых задачах физики конденсированных сред
В 1 Главе построен рекуррентный алгоритм строгого решения систем связанных одномерных волновых уравнений в многослойной линейной среде. Получены точные разностные уравнения для элементов многомерной трансфер-матрицы любого числа связанных волновых полей и ренормализационные соотношения подобия для их коэффициентов рекурсии при однородном и неоднородном изменении масштаба. Попутно получено обобщение важной для пространственно-периодических систем теоремы Абеле [38| для степеней квадратной матрицы произвольного порядка на основе специфических полиномов нескольких переменных, впервые введенных и исследованных автором [251).
Задачи о стационарных состояниях в слоистых линейных средах часто сводятся к решению неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений |1[-
м
с/ф
где А(т) - матрица N х N. а Ф = со1(ф\,ф2, ~.,ФдО - столбец из N своих аргументов. Фактически, это задача о параметрическом резонансе, переменными параметрами в которой выступают элементы динамической матрицы А (я) [3]. Например, случай N - 2, когда
АО) = ( ° *], Ф= ( * 1 (2)
у к?е(х) 0 ) \ Ф' /
где ф' = с1ф/(1х, соответствует задаче Штурма-Лиувилля |5],|С) и может описывать распространение плоской электромагнитной волны с частотой и и волновым числом к = щ/с в среде с переменной диэлектрической проницаемостью е(:г) [7),|8], либо уравнение Шредингера. когда к2е(х) = (2т/Н2)(Е- £/(я)), где Е - энергия частицы, ЬТ{х) - потенциальная энергия [5| и т.д.
Когда N > 2 мы имеем многокомпонентное волновое уравнение, которое описывает систему связанных волн разной физической природы [4],[9]. Так, случай /V = 4 может соответствовать уравнениям теории поляритонов, магнитоупругих,
10
спин-фотонных волн |10)-(13) и т.д., в частности, уравнениям Боголюбова-де Жена [14],[15] в теории сверхпроводимости, когда
( 0 1 0 °1 / \ гг
-(2т/Н2)(Е- и{х) 4- р) 0 -(2 т/П2)А(х) 0 гг'
0 0 0 1 V
^ (2 т/й?)А*(х) 0 (2 т/Д2)(Я + С/(т) — /х) К V' ) (
где /і - энергия Ферми, и(х) - решеточный потенциал, - потенциал спаривания. Волновые уравнения для частиц в магнитном поле с простой ориентацией и калибровкой тоже часто можно свести к виду (1), при этом в матрицах А(аг) на главной диагонали и вне ее появятся члены, зависящие от векторного потенциала. К случаю N = 4 сводится и одномерное уравнение Дирака, когда Ф - биспинор, а
А(х) = — і {оГ1 [(Е — еФ(.т)) I — /Зттг] 4- сА(х)1}
есть матрица вдоль компоненты импульса рх - гдх> Ф(ж) - скалярный, Л(т) - векторный потенциалы, аир- матрицы Дирака, I -единичная матрица, с = Ті = 1 [16]. Следует отметить, что потенциалы часто определяются из самосогласованной процедуры, что делает волновую задачу нелинейной. Это касается особенно потенциала спаривания Д(т) в модели БКШ сверхпроводимости или полей в квантовой электродинамике. Однако, поскольку процедура самосогласован и я включает суммы по большому числу всех состояний, то для одночастичных спектральных задач потенциал в среднем можно приближенно считать внешним и заданным.
Чтобы точнее выделить предмет изучения и подчеркнуть важность полученных в 1 Л<1ВЄ I результатов отметим еще следующие обстоятельства:
1.В многослойных системах с периодической матрицей А(т) для изучения вопросов о зонах устойчивости в спектре, о локализации, об асимптотическом поведении волновых функций обычно применяют теорему Флоке-Ляпунова (Блоха), которая является одним из главных результатов теории систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами [2]. В этой теории основой процедуры исследования является построение матрицы монодромии (матрицанта трансляции на период) из фундаментальной системы решений и дальнейшее изучение расположения и поведения ее мультипликаторов (собственных значений) относительно
11
единичного круга на комплексной плоскости. В теории параметрического резонанса подробно изучены некоторые уравнения второго порядка (уравнения Матье, Хилла п т.п.), а для многокомпонентных систем основные результаты связаны с, так называемыми, каноническими и гамильтоновыми (и близкими к ним) системами уравнений (соответствуют очень частному случаю гамильтоновских уравнений аналитической механики связанных осцилляторов с переменными коэффициентами) [3). В определенных случаях, критические частоты параметрического резонанса (условия схода мультипликаторов с единичного круга при взаимном столкновении) определяются теорией М.Г.Крейна [17],(18].
Как известно, Ф.Влох [19] и Л.Бриллюэи (20] сформулировали теорему Флокс на языке фурье-разложений, что оказалось очень удобным в физике трехмерных кристаллических твердых тел, где понятия Блоковской волновой функции, квази-импульса, зоны Бриллюэна являются фундаментальными.
2. Однако в многослойных системах строгая периодичность часто отсутствует, например, в системах со случайным или неслучайным непериодическим профилем легирования потенциала (5),[21],[22],[27], в многослойных системах во внешних полях, в токовых состояниях сверхпроводящих сверхрешеток, когда модуль потенциала спаривания периодичен, а фаза - нет (23|-[26].
Для моделирования подобных систем обычно используются численный или вероятностный анализ на основе некоторого приближения (типа сильной или слабой связи) с искусственной сегментацией потенциалов (параметров уравнений) [21],[27]-[29]. Сегментация, как правило, включает выделение участков с постоянными значениями потенциалов, на которых экспоненциальные решения описывают движения, интерпретируемые как квазисзободные [29] или включает другие более изощренные способы [31]. Использование экспоненциальных или асимптотически-экспоненциальных решений позволяет перевести задачу на язык теории рассеяния, вводя каналы рассеяния. амплитуды, матрицу рассеяния и т. д. [9],[29],[30].
Одним из удобных приемов является применение метода матрицы передачи ( или динамических отображений Пуанкаре) |4],[28), который формально является точным. В задачах рассеяния знание трансфер-матрицы всегда позволяет найти амплитуды отражения, прохождения и сконструировать матрицу рассеяния [29],[30].
12
При этом, в большинстве опубликованных работ эта техника используется для случая N = 2 с биномиальной рекуррентной процедурой и с особой ролыо в этой процедуре трехдиагональных матриц [32). С другой стороны, хорошо известно, что для любого линейного дифференциального уравнения Лг-го порядка можно построить эквивалентное точное разностное уравнение, которое связывает значения функции в /V н- 1 дискретных точках (уравнение (1.3) ГлЯВЫ I). Мы покажем в Главе I, что коэффициенты разностного уравнения можно выразить через элементы одношаговых но этим точкам матриц передачи исходного уравнения. Сегментация потенциала [31) и приближения типа сильной и слабой связи [28), вообще говоря, не требуются. Элементы трансфер-матрицы на любое число шагов удовлетворяют почти таким же дифференциальным и разностным уравнениям, что и волновая функция. Алгебраические формулы для матричных элементов, будучи выведены путем обобщения хорошо известного дву мерного случая, являются далеко не столь очевидными. В этой связи мы выводим новые интересные минорные свойства Теплицевских (Аг 4- 1)-диагональных зонных матриц в форме Хсссенберга [33)-[35].
3. С физической точки зрения важно, что при А^ > 2 мы можем рассматривать эффекты пространственной модуляции не только внешних потенциалов (собственных частот) для различных волн, но также модуляции параметров связи волн, таких как потенциал спаривания Л(:г) в (3) - так называемые, недиагональные эффекты. Эта модуляция проявляется во многих физических явлениях, таких как смешивание мод, расщепление и расталкивание различных спектральных ветвей вблизи точек вырождения [11]-[13|, в существовании направленных волновых потоков в состояниях дискретного спектра (Андреевские состояния в Джозефсоновских 5ЛГ5 -переходах [36]) и в многих других.
При изучении локализации в неупорядоченных и почти- периодических системах важен вопрос о форме огибающей волновой функции при изменении масштаба (огрублении). В этой связи, наша теория дает ренормализационные соотношения для коэффициентов рекурсии волновой функции и элементов трансфер-матрицы при однородном и неоднородном изменении масштаба. Следует подчеркнуть особую роль этих коэффициентов, поскольку они описываются иерархией полиномов, обладающих определенными свойствами подобия. Для различных конкретных систем и
13
моделей потенциалов далее можно исследовать ренормгрупповые асимптотики поведения волновых функций и спектра. Мы показываем, что преобразования подобия обладают неподвижными точками при приближении к периодическим системам, это особенно важно для переходов несоизмеримость - соизмеримость и при формировании пространственной периодичности потенциалов [28],[37].
4. Попутно, для систем с пространственной периодичностью А(х) мы получаем А-мерные формулы, обобщающие широко применяемую [4],[7],[8| теорему Абеле [38], которая выражает степень двумерной квадратной матрицы М через нее саму с помощью полиномов Чебышева ‘2 рода Un(t) |39).[40), для случая унимодулярной матрицы М как
Mn = Un-l[t)M-Un-2(t)l (4)
где t = 2"'5рМ. Неунимодулярную матриц)- М следует предварительно нормировать. Обычно формула (4) выводится из интерполяционного полинома Сильвестра [33],[34], что требует нахождения собственных значений матрицы М. Для систем со связанными волнами N > 2 уравнения на собственные значения М, очевидно, не решаются аналитически. В связи с этим, в известной книге [4] утверждается, что при N > 2 аналогичную (4) формулу "не удается получить"и развиты громоздкие методы приближенного расщепления четырехмерной трансфер-матрицы по малой константе связи волн, причем одни формулы для матричных элементов этой матрицы занимают в книге [4] три страницы Приложения. В I JlclBe I мы показываем, что эту трудность можно обойти, и получаем формулу для степени квадратной матрицы М любой размерности, вместо полиномов Чебышева второго рода мы вводим в рассмотрение обобщающие их полиномы N - 1 аргументов, которые легко строятся из коэффициентов характеристического уравнения матрицы М. приведены некоторые свойства этих полиномов. Такое обобщение теоремы Абеле должно быть очень полезно при анализе сложных процессов распространения связанных волн через многослойную периодическую среду.
Г>. Подчеркнем, что рассматриваемая в работе рекуррентная схема не требует обязательно периодичности системы. Достаточно уметь решать одношаговую задачу для исходной системы дифференциальных уравнений ((1.1) либо (1.13) ГЛ, I) на матрицу передачи. Такая задача часто оказывается достаточно простой, напрн-
14
мер, для кусочно-постоянных (ступенчатых типа Кронига-Пенни) или (5-образных потенциалов. При выборе достаточно малого шага, любой гладкий потенциал всегда можно с заданной точностью заменить кусочно-постоянным.
Полученные точные аналитические соотношения и формулы позволяют, как обычно, рациональнее составлять программы численных алгоритмов [4],[23]-[33| и глубже понять их результаты.
б.С физической и математической точки зрения применимость многих из выведенных в Главе I формул не ограничивается линейными уравнениями с переменными коэффициентами вида ((1.1) или (1.2) Гл.1). Она шире, поскольку метод динамических отображений, а следовательно, основанная на ((1.17) Рл.1) алгебраическая рекуррентная схема применима и к некоторым другим классам дифференциальных и разностных уравнений. Прежде всего, мы можем применить ее (будет сделано в Главах II - IV) для системы линейных уравнений, описывающей важный случай распространения заданной системы из N связанных плоских волн и} = А3егкх через кусочно-постоянную среду с сильной пространственной дисперсией в слоях (блоховские электроны, боголюбовские квазичастицы в сверхпроводниках, коротковолновые фононы, магноны и т.п.)
где Е - спектральный параметр, Дд - кусочно-постоянные параметры связи волн, а линейный оператор Ь3{(1/(1х) в слое не является рациональной алгебраической
Более того, при составлении численных алгоритмов решения даже для некоторых нелинейных уравнений можно формально использовать одну часть из наших результатов (формулы для элементов произведения, степени матриц и т.п.), а другую часть использовать нельзя ( в частности, коэффициенты рекурренции на интервале из N + 1 точек рекурсии тогда будут зависеть от предыдущих шагов). Эти вопросы требуют дальнейшего исследования.
(5)
функцией (1/(1х как в ((1.2) Гл.1) и т. д.
15
§2.Мезоскопические кристаллы и многослойные структуры во внешних статических полях
Одной из важных задач физики твердого тела является изучение структуры волновых функций и энергетического спектра электронов в кристалле мезоскопического размера при наличии внешних статических полей. Этим вопросам посвящена II
Глава
2.1.Многослойные системы в магнитном поле
в 1 Части Главы II изучается электронная система в многослойной среде во внешнем магнитном поле |252]. К настоящему времени существует огромный массив работ, посвященных исследованию поведения электрона в периодической среде и в квантовой пленке при наличии однородного магнитного поля. Физика дифракционных процессов, определяющих кроссовер от решения Блоха в решетке (41] или стоячих волн в пленке к решению Ландау |42),|43|, очевидна, но строгое качественное и количественное квантовомеханическое описание соответствующей эволюции структуры волновой функции и спектра оказалось не тривиальным. Движение бло-ховского электрона в магнитном ноле изучалось в разных подходах и приближениях, выделяющих те или иные особенности системы (подстановка Пайерлса [44].(45), магнитные трансляционные группы |46|,[47], топологические концепции [48], слабая связь [49]-[52], сильная связь |53],решеточные сети Пиппарда [54], эффективная масса [41], квазиклассическое приближение [55], дробление зон Азбеля [56], бабочка Хофстадтера [57]-[58] и т. д.). Некоторые упрощенные модели (как уравнение Харпера [53]) нашли приложение и развитие в других областях физики и математики (несоизмеримые структуры и т.п.) и вызвали соответствующий поток литературы
[28],[59]. С другой стороны, сюда примыкают вопросы о спектрах в магнитном поле объемных и латеральных сверхрешеток. В этой связи представляет интерес проследить эволюцию скачущих траекторий ( см. обзоры М.С.Хайкина [60] и А.В.Чаплика [61]) и спектров магнитных поверхностных уровней в пленках (исследованных Т.Ни и Р.Прейнджем [62],А.Палапетроу [63], Л.Фридманом [64] и С.С.Недорезовым [65]) при образовании многослойных структур.
16
Мы рассматриваем в 1 ЧЯСТИ Гл&ВЫ II достаточно простую квазиод-номерную модель многослойной среды типа Кронига-Пенни с кусочно-постоянными характеристиками и с магнитным полем, параллельным плоскости слоев (252]. Это важный пример применения общего подхода, развитого в Главе I (случай N = 2 ), так как одномерность позволяет найти явное выражение для матрицы передачи (оператора трансляции) через функции параболического цилиндра. Для матрицы передачи и волновой функции мы получаем универсальные точные, конечноразностные уравнения (типа уравнения Харпера [53), но другой структуры), а также строгое уравнение на энергетический спектр электронов.
Наиболее подробные результаты получены нами для строя плоских 5-образных потенциальных барьеров при разных граничных условиях - проанализированы все разумные предельные случаи: слабое или сильное магнитное иоле, слабая или сильная связь (прозрачность барьеров), многослойная пленка, бесконечная решетка. Для последней особый интерес представляет количественное описание разрушения однородности пространства квазиимпульсов за счет нарушения трансляционной инвариантности одноэлектронного гамильтониана при включении слабого магнитного поля. Показано, что нарушение однородности начинается с краев зоны Бриллюэна и описывается особенностью типа котангенса в метрике Л'-пространства. Отмечается общий характер этой с$улярности в решетках не только в магнитном поле, а при включении произвольного протяженного квазиклассического возмущения ( электрическое поле, деформация и т.д.). Обсуждается возможность учета скрещенного электрического ноля для геометрии баллистического квантового эффекта Холла и возможность перехода к более сложным двумерным моделям, чтобы выявить указанную выше сингулярность на фоне фрактальных особенностей, характерных для таких моделей в слабом магнитном поле.
Рассмотренный нами подход обобщает строгое одномерное решение Флоке - Ляпунова |2|, которое послужило, в свое время, идейной основой для трехмерных фурье-лостроений Блоха и Брилл юэна |19|,[20]. К сожалению, аналогичный подход нельзя применить прямо к двух- и трехмерным решеткам, так как не удается разделить переменные в уравнениях, явно сшить аналитические решения в различных ячейках и получить оператор трансляции. В оправдание полезности нашего подроб-
17
ного анализа идеальной квазиодномерной модели диамагнитной решетки приведем аналогию с ролыо и значением одно- и двумерной модели Изинга в теории ферромагнетизма и фазовых переходов благодаря ее "решаемостим[66]-|68|.
Помимо формального интереса, наша модель имеет практическую ценность, так как прямо приложима к плоско парал .лельным синтетическим многослойным полупроводниковым и металлическим наноструктурам, а также к латеральным сверхрешеткам на поверхности полупроводников и диэлектриков, которые сейчас интенсивно изучаются и находят практическое использование в микроэлектронике |69]-|72|,[256]. Найденные нами трансфер-матрицы и волновые функции обеспечивают возможность дальнейшего расчета электрического тока, потока энергии, спектров отражения и пропускания таких многослойных систем в магнитном поле.
2.2.Многослойные системы в слабом не периодическом поле. Электрическое поле
Во 2 Части II Главы мы рассматриваем применение аппарата Главы I к случаю наличия в решетке некоторого не периодического в пространстве постоянного поля. Это может быть электрическое поле. Мы изучаем изменение электронного спектра в поле и влияние этого на Ван-Хововские особености плотности состояний [2531-
Если размеры решетки и длина свободного пробега электронов велики по сравнению с межатомным расстоянием, то может возникнуть ситуация, когда, .с одной стороны, спектр достаточно густой и определяемые границами размерные эффекты почти не проявляются, а, с другой стороны, блоховское описание базисных одноэлектронных состояний также становится не вполне адекватным. Это происходит из-за того, что во внешнем электрическом, магнитном поле, при неоднородных деформации или профиле легирования характерная длина изменения непериодической части потенциальной энергии электрона в объеме может быть порядка длины решетки. С ростом пап ряжен и ости такого внутреннего ноля делаются все менее эффективными применение периодических граничных условий и разложимость огибающих решений в тригонометрические ряды Фурье с основной гармоникой периода длины решетки, использование квазиимиульса и связанного с ним однородного фазового
18
Л-пространства с ячейкой на одно квантовое состояние по объему рапной обратному объему кристалла.
В нашей работе |252] было показано (см.Гл.И), что при включении постоянных скрещенных магнитного и электрического полей разрушение однородности 1\-пространства начинается с границ зоны Бриллюэна,описывается сильной сингулярностью метрики обратного пространства но расстоянию от Брэгговской плоскости, и этот коллапс ведет к особенности в плотности состояний.
Неопределенность изолированных квазиклассических траекторий на поверхности Ферми К-пространства вблизи критических точек самопересечения у Брэгговских плоскостей хорошо известна в проблеме магнитного пробоя, ома разрешается обычно введением феноменологических или расчетных коэффициентов туннельного перескока между траекториями [81]. В ограниченных и возмущенных решетках, как правило, используется разложение по блоховским функциям и приближение эффективной массы [82],[87]. В противоположность этому, мы решаем модельную задачу о квазиклассических состояниях в поле точно.
Мы формулируем задачу так, что ее решение можно применить к широкому классу протяженных в пространстве решетки возмущающих полей, удовлетворяющих условиям квазиклассичиости. Основное внимание уделяется квазиодномерной модели с применением трансфер-матрицы, во-первых, как удобного математического приема сшивания решений на границах ячеек (Гл<ШЫ I - IV ), а во-вторых, более принципиально, как матрицы монодромии, характеризующей посредством теоремы Флоке-Ляпунова устойчивость решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами или близких к ним [2]. При приближении к границе зоны Бриллюэна, вблизи порогов, за счет "неустойчивых"решений в паче происходит "разрыхление"зонного спектра с отщеплением локализованных неоднородностью состояний.
Наиболее подробно мы изучаем модель типа Кронига-Пенни конечной длины, на которую наложено однородное электрическое поле. Сильнее всего электрическое поле влияет на состояния, волновые функции которых имеют самые длинноволновые огибающие и по энергии находятся вблизи порогов зон, в полосе ширины ей, где и - приложенная разность потенциалов. Электроны в этих состояниях оказыва-
19
ются наиболее прижатыми к границе, их формальное описание весьма напоминает описание таммовских поверхностных состояний [83],[84]. Однако, в отличие от там-мовской, поверхностная локализация в электрическом иоле имеет место даже для бесконечно высокого потенциального барьера у границы.
Подчеркнем,что рассматриваемый нами случай слабого поля противоположен пределу сильного электрического поля и очень сильной связи в узлах, который приводит к спектральной лестнице Ванье-Штарка и в последнее время широко обсуждается в связи с экспериментами в полупроводниковых сверхрешетках [85),[86]. В нашей ситуации напряжение на длине решетки ей мало по сравнению с шириной блоховских зон. Она скорее типична для металлов или полупроводников, когда, при достаточно слабой связи электронов с решеткой, из-за экранировки поля или столкновений с границами, примесями и другими дефектами в объеме на длине свободного пробега нельзя создать большую разность потенциалов, передающую электронам энергию, сравнимую с шириной зоны. При этом, кроме радиуса экранирования Томаса-Ферми или Дебая, характеризующих поляризационное изменение самосогласованного поля у поверхности, для объемных припороговых зонных состояний в области слабого поля имеются свои параметры длины локализации.
Уменьшение плотности состояний на порогах зон существенно изменяет аналитический характер ван-хововских особенностей, причем вид этих особенностей определяется не только размерностью решетки, но и очень сильно зависит от величины и ориентации внешнего электрического ноля относительно кристаллографических осей и, на наш взгляд, также несет информацию о длине квантовой когерентности. Предсказываемые зависимости проявляются в межзонной плотности состояний и доступны экспериментальной проверке по фотоэмиссионным [255] (4 Ч&СТЬ II ГЛсШЫ ) и оптическим [263] (3 Чс1СТЬ IV ГЛсШЫ ) спектральным распределениям.
2.3.Нелинейность вольтамперной характеристики и плотность состояний носителей
Выявленные особенности могут составить основу дополнительного механизма [254], объясняющего отклонения от линейного закона Ома в висмуте и некоторых иолу-
20
проводниках [89],[90](3 ЧаСТЬ II ГлаВЫ ). На формирование нелинейности статической вольтамперной характеристики металлических и полупроводниковых кристаллов при больших напряжениях и токах оказывают влияние многие факторы. Особый интерес вызывают допробойные режимы, пока еще не наступили заметные инжекционная или лавинная генерация.размножение носителей за счет ударной ионизации и диссипативный разогрев вплоть до плавления решетки.
Экспериментально наблюдаемые с 1950-х годов отклонения от закона Ома в примесных полупроводниках (Шокли В. и Райдер Е.(89|) и полуметалл и ческом висмуте (Боровик Е.С.|90)) описываются теорией "горячих"электронов [91]-[97]. В умеренно сильном электрическом паче баланс энергии между электронами и фонолами приводит к установлению кинетически-стационарного состояния, когда электронная подсистема характеризуется квазиравновесной функцией распределения с температурой выше решеточной, что объясняет зависимость от напряженности поля эффективных времени релаксации и подвижности носителей. Оценки таких зависимостей сводятся к вопросам о применимости квантовых или квазиклассических кинетических уравнений электрон-фононной системы для разных механизмов разогрева и диссипации, в различных диапазонах исходных параметров [92],[96].[97). Эти оценки показывают, что при реальных значениях напряженности ^ = 10“ - 103В/см и в невырожденных полупроводниках, и в сильно вырожденных металлах ( висмут ) требуется сравнительно малая концентрация носителей и, связанная с ней. не очень большая удельная энергия разогрева и эффективная температура электронного 1а-за, т.е. основную роль играют припороговые электронные состояния в разрешенных зонах.
Полный ток обычно вычисляется с плотностью состояний неидеального кристалла без электрического ноля, иначе говоря, считается, что поле не настолько сильное, чтобы заметно изменить систематику состояний статистического ансамбля, а эффект ускорения зарядов полем содержится лишь в неравновесной части функции распределения по этим состояниям. В достаточно совершенных решетках и сверхрешетках для безактивациоиных механизмов проводимости базисными являются бло-ховские собственные состояния во всей зоне Бриллюэиа, а электрическое поле и неупругая релаксация квазиимпульса лишь стационарно сдвигают распределения
21
Ферми или Больцмана по ним при эффективной квазиравновесной температуре.
С другой стороны, электрическое поле обязательно изменяет волновые функции и энергетическую систематику собственных состояний в ограниченной решетке: сравнительно слабо связанные электроны прижимаются к границам, а сильно связанные образуют спектральную лестницу Ванье-Штарка [3],[98]-|100|. Во II Главе мы показываем, что при включении электрического поля в блоховской картине эта перестройка состояний начинается с краев разрешенных энергетических зон: если в глубине зон Бриллюэна фазовое пространство квазиимпульсов еще сравнительно однородно, то ближе к Брэгговским плоскостям квазиимпульс все более теряет смысл удобного квантового числа, а собственные состояния из блоховских преобразуются в квазиповерхностные. Это приводит к существенному уменьшению энергетической плотности состояний вблизи порогов зон, а значит и электрического тока.
Аналогичным образом электрическое поле прижимает припороговые блоховские электроны и дырки к любым статическим потенциальным барьерам, нарушающим периодичность решетки, таким, как границы кристаллитов в поликристаллах, сетка дислокаций, точечные дефекты и т.п. упругие рассеиватели, приводящие к сбою когерентной фазы блоховских волновых пакетов, и ответственные обычно за остаточное сопротивление. Эффект становится существенным, если на длине свободного пробега А между этими препятствиями носители набирают в поле 1? энергию еР\ сравнимую с характерной энергией в зоне (энергией Ферми ер в металлах или тепловой кцТ в полупроводниках).
Идея о том, что подобная задача о токе может быть сформулирована как квантовомеханическая задача о стационарных состояниях движения электрона в сложном потенциальном поле, была высказана Л.Д.Ландау в 1934 году [101]-|103]. Фактически мы имеем похожий на классический Друде-Лоренца механизм сопротивления, но с квантованием движения блоховских электронов в электрическом ноле между тяжелыми препятствиями в решетке, с которыми происходят квазиупругие столкновения. что и изменяет плотность состояний. При этом механизм диссипации энергии, определяющий релаксацию, может быть любым. В частности, остаются справедливыми основные положения "горячистики".
22
Помимо рассматриваемого нами внутриобъемного "граничного"эффекта, на вольтамперные характеристики в сильном электрическом поле могут влиять макроскопические токовые и тепловые граничные условия [104], многоканальное рассеяние в разные долины и карманы зоны Бриллюэна и другие анизотропные размерные эффекты [91], приводящие к неоднородному распределению параметров в массивных образцах. Анализируемое нами убывание проводимости из-за изменения электрическим нолем вклада состояний у границы зоны Бриллюэна, обычно также не связано с уменьшением проводимости за счет дифракционных блоховских осцилляций вдоль сильного электрического поля при отражении электронов от границ зоны (когда е.ГА порядка ширины разрешенной зоны) [4]. Однако в длиннопериоди-ческих полупроводниковых сверхрешетках, при малой ширине разрешенных минизон, эффект колебаний волновой функции между препятствиями должен изменять характер блоховских осцилляций и быть наблюдаем вместе с ними [99],[100].
2.4.Плотность состояний и спектры фотоэмиссии
Как отмечено в предыдущем разделе (2.2), одним из удобных способов получения информации об электронных спектрах твердых тел является изучение распределения фотоэмиссионных электронов №(Е,ы) в зависимости от энергии вылетевших электронов Е и частоты света о; [111]-[120]. Распределение Аг(£, и) имеет особенности, которые связаны, прежде всего, с особенностями, так называемой, межзонной плотности состояний р(Е,и>). Е.О.Канэ [115] показал, что эти особенности происходят от окрестностей таких точек А*-пространства в которых происходит касание межзонной (определяемой со) и внутризонной (определяемой Е) изоэнсргетических поверхностей и связаны с квазидвумерными ван - хововскими особенностями. Если касание экстремальное, то возникает сингулярность типа скачка, а если седловое -то логарифмического типа.
Сравнение результатов численных расчетов спектров и эксперимента по фотоэмиссии для ряда веществ [117]-[120] свидетельствует, что поведение М(Е,и) в общем соответствует структуре р(Е,со). Однако, в 4 ЧаСТИ Гл<1ВЫ 11 , основанной на нашей работе [255], будет показано, что эти особенности сильно деформируются при учете рассеяния электронов. В трехшаговой модели фотоэмиссии [114],
23
[116] вероятность выхода электрона определяется произведением вероятностей фотовозбуждения, достижения поверхности и прохождения над потенциальным барьером, который создает сильную пространственную неоднородность. Очевидно, что спектральная функция N(7?, а;) зависит от ориентации скорости фотовозбужденно-го электрона относительно поверхности образца, а значит от ориентации последней относительно кристаллографических осей. Особенно сильно характер особенностей и поведение линий особенностей на Е — щ-плоскости изменяются вблизи симметричных точек и дают информацию о структуре электронного спектра вблизи них.
§3.Неоднородные сверхпроводящие структуры
В III Главе рассматриваются некоторые задачи теории неоднородных сверх-проводниковых структур, позволяющие применить методы, родственные вышеизложенным, в частности, метод трансфер-матрицы (см.§1).
3.1.Трансфер-матрица в многослойных сверхпроводящих системах
Следует сразу отметить, что теория реальных сверхпроводников всегда имела дело с неоднородными в пространстве распределениями атомов, поскольку конкретная структура кристаллической решетки, наличие в ней анизотропии электронных и фо-нонных свойств являкхгся определяющими для объяснения резкого различия критических температур, полей и других фундаментальных характеристик [14],[15),[121]. Особенно это касается сверхпроводящих сплавов и соединений, как на основе переходных элементов [122], тяжелофермионных [123], так и купратных ВТСП. в которых слоистая структура играет не последнюю роль.
В последнее десятилетие появилось много работ, где изучается квазиодномер-ное распространение боголюбовских квазичастиц через систему слоев, которые все или частично являются сверхпроводящими. Основополагающая работа А.Ф. Андреева 1964 года [124] посвящена промежуточному состоянию сверхпроводников I рода
[125]. однако в этой работе впервые были рассмотрены специфические (впоследствии названные Андреевскими) отражение квазичастиц от границы резкого изменения в
24
пространстве потенциала спаривания [126] и, связанные с ним, дискретные состояния в тонких нормальных слоях. Эти понятия теперь являются ключевыми в задачах о баллистическом токе через квазиодномсрные Джозефсоновские 5ДГ5- ( и более сложные ) контакты [15],[36],[12б|-|138], при описании свойств сверхпроводящих или комбинированных сверхрешеток [23]-[26],[139]-[142] и т.п.
В таких пространственно-неоднородных системах обычно, прежде всего, требуется определить одночастичные спектры собственных элементарных возбуждений ( дискретные по энергии спектры Андреевских состояний и непрерывные надбарьер-ные спектры в 5Л,г5-переходах, зоны в сверхрешетках, уровни в кольцах и т.п.) с целью последующего нахождения плотностей состояний, волновых функций и потоков. Для этого часто достаточно рассмотреть в одночастичном по внешнему потенциалу приближении решения уравнений З^голюбова-де Жена или Горькова. Как отмечено в §1, и потенциал спаривания, и потенциал решетки включают в себя самосогласованные суммы по всем состояниям, однако для одночастичных спектральных задач во многих случаях их можно рассматривать в среднем как внешние. Задавая потенциалы спаривания Д = Д(г) и решетки V = 1/(г) с помощью какой-либо разумной модели, соответствующей реальности, мы можем считать стационарные уравнения Воголюбова-де Жена и Горькова линейными обыкновенными дифференциальными. Решения и их производные стандартным образом сшиваются на границах раздела сред.
Многими исследователями применяется модель с кусочно-постоянными значениями параметров уравнений. Спектральные уравнения для ^А^-сверхрешетки в бес-токовом состоянии, по-видимому, впервые вывел А.П.ван-Гелдер в 1969 году [139]. Токовые состояния рассматривали позднее И.Танака, и М. Тсукада [23], С.В.Куплевахский и И.И.Фалько [24].[25],[141], Р.Куммель |26], и другие авторы.
Потенциал спариваниядотличие от решеточного, является комплексным и всегда самосогласованным. Вблизи З'ЛГ-границы модуль потенциала спаривания |Д(г)| существенно изменяется на длине порядка параметра корреляции С Для широкой границы на малых по сравнению с £ масштабах можно заменить Д(г) ступенчатой функцией с небольшими ступеньками, а для узкой границы, когда ширина слоев и характерные масштабы длины в задаче велики по сравнению с толщиной границы и
25
можно заменить |Д(г)| одной ступенькой. Для 5/У5-границ в токовом состоянии обычно используется граничное условие И.О.Кулика [36|
Дів*ф| .ІС5!
Д(я) = 0 ,іС N (6)
Д2еІФз >хС52
где Ді и Ф: -амплитуда и фаза потенциала спаривания на сверхпроводящем берегу 5Ь а Д2 и Ф2 - на сверхпроводящем берегу 52. Для 575-перехода использовалась модель скалярного решеточного потенциала в виде 5-барьера и = и06(х) с конечной когерентной разностью фаз на нем у? = Фі — Ф2 [141],[142].
В кусочно-постоянных областях частными решениями однородных уравнений являются плоские волны. Поэтому процедуру сшивания можно сформулировать на языке многоканальной 5-матрицы рассеяния, исследование полюсов которой позволяет найти спектр [134]-[136|. При этом, чтобы построить 5-матрицу для каждого из каналов требуется провести искусственную "физическую”интерпретацию элементарных процессов рассеяния электронов и дырок при наличии их когерентной связи в средах |132[,[134|.
Однако, как мы покажем в III Главе , для обсуждаемых- кназиодномерных систем более удобным является метод матрицы передачи, изложенный в I Главе. Последовательное перемножение трансфер-матриц стандартного вида автоматизирует процедуру сшивания решений. Структура этих матриц проще, чем у матриц рассеяния, а использование языка теории рассеивания не обязательно. Для слоя с заданными характеристиками трансфер-матрица строится "раз и навсегда", и затем может использоваться в задачах с разными комбинациями слоев и внешних условий. Ниже мы покажем, что при этом весьма удобна калибровка с действительным потенциалом спаривания и использование вместо векторного потенциала градиентно-инвариантного сверхтекучего импульса электрона. Тогда, вместо условия Кулика
(6) можно пользоваться только "естественными"условиями непрерывности вектора состояния, а когерентная разность фаз конденсата на нормальной области возникает также естественно как набег фазы волновой функции квазичастицы.
В 1 Части III ГлаВЫ мы получим выражения четырехмерной матрицы передачи для бестоковых и токовых состояний. Сначала рассмотрим обычную систе-
26
му уравнений второго порядка для квадратичного по импульсу "свободпоэлектрон-ного" затравочного спектра, а затем обобщение уравнения Боголюбова - де Жена для блоховских электронов с произвольным сложным законом дисперсии квазиимпульса. С помощью построенных матриц передачи легко получить не только все известные ранее спектральные уравнения для 5Лт5-переходов. 5.У-сверхрешеток и т.д., по также спектральные уравнения и волновые функции для любых многослойных ква-зиодномерных систем типа 55'5"... с разными характеристиками электронов и их взаимодействия в слоях. В частности, мы получаем спектральные уравнения для систем. имеющих различные поверхности Ферми у металлов контактирующих слоев. Мы анализируем асимптотики фазовой зависимости энергии Андреевских состояний в асимметричных Джозефсоновских переходах [258], получаем спектральные уравнения для сверхрешеток и колец с сегментацией различного типа. Представлен удобный для численной реализации алгоритм расчета тока через такие системы.
3.2.Влияние решеточного и еверхрешеточного потенциала на спектр боголюбовских квазичастиц в сверхпроводнике
Следующая 2 Часть Главы III посвящена периодически-неоднородным сверхпроводникам, но, в отличие от предыдущей 1 Части, в ней рассматривается другой предельный случай слабого периодического потенциала [260]. Мы изучаем спектр боголюбовских квазичастиц вблизи брэгговской плоскости обратного пространства сначала в приближении слабой связи, когда достаточно учитывать только нулевую и основную периодические гармоники в Фурье-разложениях потенциалов, а затем делаем оценки для реальных физических систем.
В теории сверхпроводимости БКШ оценки величины самосогласованного потенциала спаривания и критической температуры обычно проводятся для модели поверхности Ферми большого размера, часто сферической формы, так что вклад электронных и дырочных ветвей спектра квазичастиц практически одинаков [14],[15],[41], [143]. У реальных сверхпроводников ферми-гюверхность мало напоминает сферу, а во многих случаях является открытой и пересекает границу зоны Бриллюэна
(154],[55),[122]. Очевидно, что это не существенно для изотропных скалярных характеристик сверхпроводника, если спектр в пределах зон проводимости достаточ-
27