Η(П)-распределения проективного пространства

2
Содержание
Общая характеристика работы............................................ 4
1. Постановка вопроса........................................... 4
2. Актуальность темы............................................ 8
3. Цель работы................................................. 10
4. Методы исследования......................................... 10
5. Научная новизна полученных результатов...................... 10
6. Теоретическая и практическая значимость.................... 11
7. Апробация................................................... 12
8. Публикации.................................................. 12
9. Вклад автора в разработку избранных проблем................. 12
10.Структура и объем работы..................................... 12
11 .Некоторые замечания......................................... 13
Содержание диссертации................................................. 15
ГЛАВА I. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов 7і(П) -распределения......................................... 26
§ 1. Дифференциальные уравнения Н(П) - распределения
проективного пространства........................................ 26
§2. Поля фундаментальных и охваченных объектов регулярного
ЩП)- распределения.............................................. 37
§3. Поля нормалей базисного А - подрасслоения данного
7^(П) - распределения........................................... 48
ГЛАВА И. Двойст венный образ 7ДП) -распределения....................... 53
§ 1. Построение двойственного образа 7ДП) -распределения.............. 53
§2. Инвариантное оснащение базисного Л-подрасслоения данного
Н(П) -распределения в смысле Э. Картана.......................... 60
§3. Инвариантное оснащение базисного Л-подрасслоения данного
Н(П) -распределения в смысле Э. Бортолотти....................... 63
ГЛАВА III. Двойственные нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей первого и второго рода базисного Л-подрасслоения данного ЩП) -распределения.......................... 71
§1. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей
первого рода на Л-подрасслоении................................... 71
§2. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей
второго рода на Л-подрасслоении................................... 91
§3. Двойственные нормальные связности сильно оснащенного
Л-подрасслоения................................................... 97
§4. Ноля плоскостей, параллельные в нормальных
связностях....................................................... 99
ЛИТЕРАТУРА.......................................................... 105
4
Общая характеристика работы
1. Постановка вопроса. В данной работе представлены исследования по теории т-полосных распределений (т<п-\) проективного пространства
РП-
Определение. Пару распределений соответственно г-мерных плоскостей Л (Л-распределение) и т-мерных плоскостей М (М-распределение) проективного пространства Рп с отношением инцидентности X е А с М (1<,г <т<п-\) их соответствующих элементов в каждом центре X назовем т -полосным распределением П или, короче, П-распределением, в котором А-распределение назовем базисным, а М-распределение - оснащающим распределением.
Показано, что к П-распределению в первой дифференциальной окрестности внутренним образом присоединяется распределение гиперплоскостей Н (Н -распределение). П-распределение, оснащенное полем Н-плоскостей, назовем 7ДП)-распределением. Ясно, что теория П-
распределений (точнее 7і(П) -распределений) проективного пространства Рп
включается в общую теорию распределений в однородных пространствах.
Дифференциальная геометрия распределений многомерных линейных элементов в однородных и обобщенных пространствах была предметом многочисленных исследований, причем во многих работах она именовалась геометрией неголономных многообразий. Геометрия распределений в однородных пространствах, восходящая к работам Г. Врэнчану,
В. Гловатого, И.А. Схоутена (см. обзор в работе [93]), Е. Бомпьяни [132],
А. ГІантази [142], Д.М. Синцова [77], В.В. Вагнера [148], в последние десятилетия интенсивно изучается с различных точек зрения. С одной стороны, это объясняется многочисленными связями данной теории с различными разделами геометрии, а также близостью теории распределений к теории подмногообразий однородных пространств. С другой стороны, теория распределений получила дальнейшее развитие благодаря новому
5
подходу к исследованию распределений с применением современных теоретико-групповых методов исследования. Так, например, в работах Г.Ф. Лаптева и Н.М. Остиану [37], [41], [42], [56] при изучении теории распределений были применены инвариантные методы изучения дифференциально-геометрических структур. Кроме того, истолкование, например, распределения ш-мерных элементов в Рп как расслоенного многообразия специального типа расширяет и обновляет проблематику этой теории [57], превращая ее в одну из наиболее актуальных проблем дифференциальной геометрии.
При изучении структуры 7-ДП)-распределений главным направлением исследований являются двойственные нормальные связности 7ДП)-распределения. Теория связностей в различных расслоенных пространствах составляет важное направление исследований современной дифференциальной геометрии. Начало этой теории положила в 1917 г. работа Леви-Чивита [139] о параллельном перенесении вектора в римановом пространстве. Эта идея нашла важные приложения в общей теории относительности и была обобщена в разных направлениях. Для построения единой теории поля Г. Вейль [149] дал понятие пространства аффинной связности. Р. Кениг [138] рассматривал линейные связности в векторном расслоении над областью числового пространства. В 1926 году Э. Картан ввел общее понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой в» [135]. Связь между концепциями Кенига и Картана установил И.А. Схоутен [143], [144]. В 1950 г. В.В. Вагнер [7], [8] и Ш. Эресман [137] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Дальнейшее развитие теории связностей с привлечением методов Э. Картана и теории геометрических объектов дано в работах Г.Ф. Лаптева [37], [38], [40], где он отождествил понятие связности, возникшее как обобщение понятия параллельного переноса, с понятием геометрического объекта специального вида. Объект связности, согласно
6
теории Г.Ф. Лаптева [58], является геометрическим объектом относительно дифференциальной группы соответствующего порядка (например, проективной дифференциальной группы [40]). Очерк дальнейшего развития теории связности приведен в работе Ю.Г. Лумисте [44].
Важное место в дифференциальной геометрии расслоенных пространств занимает теория связностей в однородных расслоениях и ее применение при изучении оснащенных многообразий, погруженных в различные пространства.
Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [37], [58] если на нем определено поле некоторого геометрического объекта ga (поле оснащающего объекта многообразия):
где со*' - главные (первичные) формы, а со*2 - вторичные формы Пфаффа на многообразии, тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций y/°2(g)> определяющих оснащающий объект
ga. В зависимости от строения основных функций i//°2(g) получаем
различные оснащения погруженного многообразия (например, в смысле А.П. Нордена [55], Э. Картана [134], Э. Бортолотти [133] и др.).
В.В. Вагнер [147], а затем и Ю.Г. Лумисте [43] с помощью теории связностей в однородных расслоениях исследовали геометрию многообразий плоскостей в классических пространствах.
Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразий евклидова пространства и пространства постоянной кривизны, рассматривал еще Э. Картан [134]. Понятие нормальной связности в проективном пространстве независимо друг от друга ввели А.П. Норден [55] (он называет такую связность внешней) и Chen B.Y. [136], далее отметим исследования А.В. Чакмазяна [46], [118], [121]. Значительная часть результатов изучения геометрии подмногообразий с помощью нормальной связности включена в
7
монографию Chen В.Y. [136] и освещена в работе Ю.Г. Лумисте [45]. Обзор результатов более поздних исследований содержится в работе [46]. В работах [5], [121], [116], [117] изучаются оснащенные подмногообразия аффинного пространства с плоской нормальной связностью.
В настоящее время (в связи с актуальностью проблемы) продолжаются исследования по теории нормальных связностей на различных
подмногообразиях классических пространств. Прежде всего, отметим цикл работ A.B. Чакмазяна [114] - [121] по изучению подмногообразий проективного, аффинного, проективно-метрического, евклидового пространств с привлечением связностей в нормальных расслоениях. Затем, ряд работ A.B. Столярова [78] - [92], который вводит понятие двойственных нормальных связностей на гиперполосе и гиперполосном распределении пространства проективной связности (проективного пространства).
Конструкция двойственных пространств с проективной, аффинной и нормальными связностями, разработанная A.B. Столяровым [88], позволяет существенно продвинуться в изучении (исследовании) геометрии
оснащенных подмногообразий (в том числе и неголономных).
П.А. Фисунов [97] - [106] и С.В. Фисунова [107] - [111], а так же в их совместных работах [112], [113] продолжают исследования двойственных нормальных связностей, соответственно, на гиперполосах, гиперполосных распределениях и на гиперплоскостных распределениях, гиперповерхностях проективного пространства. Работы Л.Ф. Филоненко [94], [95],
A.B. Столярова [91], [92], А.Н. Михайловой [52] - [54] посвящены исследованиям линейных нормальных связностей на распределениях и гиперполосах конформного пространства.
Ассоциируя связность с полями плоскостей специального типа,
А.К. Рыбников [75] изучает проективные и конформные связности (в частности, нормальную связность) на гладком многообразии.
Ю.И. Попов [65], [66] исследует нормальные аффинные связности на оснащенной гиперполосе аффинного пространства. Т.Ю. Максакова [47], [48]
8
исследует двойственные нормальные аффинные и проективные связности на тангенциально вырожденной гиперполосе проективного пространства, а
С.Ю. Волкова [13] - [16] - на скомпонованных трехсоставных
распределениях (8-распределениях) проективного пространства.
С.Н. Юрьева [131] изучает линейные аффинные связности, индуцируемые полями нормалей первого рода на гиперполосном распределении аффинного пространства. Ю.И. Шевченко [123] изучает связности в расслоениях над голономным и неголономным центропроективными многообразиями.
Предметом изучения настоящего диссертационного исследования является Н(П) -распределение и нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей на оснащенном базисном А-подрасслоении Н(П)-распределения, погруженного в п -мерное проективное пространство Рп.
2. Актуальность темы. Актуальность исследуемой темы обусловлена с одной стороны тем, что в интенсивно развивающихся теориях расслоений и связностей, дифференциальной геометрии подмногообразий грассманова многообразия и многообразий пар фигур (при этом теория распределений трактуется как составная часть одной из указанных теорий, либо теснейшим образом с ней связана) исследование гиперполос, занимает исключительно важное место в связи с приложением в вариационном исчислении, в физике, в механике (например, [7], [19], [83]). Да и сама теория распределений (в различных пространствах), как это показано в работах [140], [146], [64], [145] связана с приложениями в механике, теоретической физике, вариационном исчислении и в динамике склерономных механических систем с нелинейными связями [7], [19]. С другой стороны, теория связностей в однородных расслоениях составляет одно из основных направлений исследования современной дифференциальной геометрии, особенно это касается исследований разнообразных структур на многообразиях. Эта теория в расслоенных пространствах находит широкое применение в современной теоретической физике. Это связано с прогрессом теории
9
калибровочных полей, которые соответствуют связностям в главных расслоенных пространствах.
При изучении связностей широко применяются классические результаты известных ученых, таких как Э. Картам [33], [134], [135], Г.Ф. Лаптев [34], [36], [40] и А.П. Норден [55]. В частности, А.П. Норден разработал метод нормализации, позволяющий индуцировать аффинные связности в касательных расслоениях подмногообразий, погруженных в различные пространства. П.А. Широков и А.П. Широков [129] исследовали локальное строение подмногообразий в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении. Двойственную теорию оснащенных подмногообразий разработал А.В. Столяров [88].
В рамках теории связностей чаще всего находят приложение, например, линейные связности при изучении геометрии оснащенных подмногообразий (см., например, [5], [70], [46], [55], [116], [122], [130]). При этом в классических однородных пространствах исследования ограничивались, в основном, изучением связностей
а) в касательных расслоенных пространствах оснащенного
подмногообразия,
б) в случае, когда данное подмногообразие является голономным,
в) без привлечения теории двойственности.
Следует отметить, что нормальные связности на нормализованных голономных подмногообразиях, погруженных в различные пространства, рассматривались в работах ряда геометров (см., например, [45], [46], [55], [84], [121], [136]). Однако, с 90-х годов XX века усилились исследования геометрии связностей в нормальных расслоениях на неголономных подмногообразиях (распределениях) и двойственных нормальных связностей на оснащенных подмногообразиях (как голономных, так и неголономных) благодаря работам А.В. Столярова [88], [89] и его учеников П.А. Фисунова [97] - [106], С.В. Фисуновой [107] - [111], А.Н. Михайловой [52], [53], Д.А. Абрукова [1], [2].