2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................. 3
ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ . .....................14
§1. Некоторые понятия из теории функций и функционального
анализа. .............................................14
§2. Многочлены Чебышева - Хана дискретного переменного . . 21 §3. Многочлены Якоби .............................25
ГЛАВА II. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ С РАВНООТСТОЯЩИМИ
УЗЛАМИ................................................27
§1. Постановка задачи.................................27
§2. Построение квадратурной формулы ..................29
§3. Оценки для весов квадратурной формулы.............52
§4. Сходимость квадратурного процесса с равноотстоящими узлами................................,...........60
ГЛАВА III. О ПРИМЕНЕНИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ЧЕБЫШЕВА ДИСКРЕТНОГО ПЕРЕМЕННОГО К ПРИБЛИЖЕН
НОМУ ВЫЧИСЛЕНИЮ КОНЕЧНЫХ СУММ ........................66
§1. Постановка задачи.................................66
§2. Некоторые вспомогательные результаты .............71
§3. Асимптотические формулы для ортогональных многочленов
Чебышева дискретного переменного......................83
§4. О нулях многочленов Чебышева......................96
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
104
3
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В последнее время получила интенсивное развитие теория многочленов, ортогональных на дискретных сетках, вызванная многочисленными приложениями этих многочленов в математической статистике, вычислительной математике, теории кодирования, в квантовой механике и других областях. Эти приложения, в свою очередь, приводят к постановкам теоретических задач, связанных со свойствами самих многочленов, ортогональных на дискретных сетках. В частности, представляют интерес свойства этих многочленов, связанные с некоторыми приложениями в вычислительной математике. В настоящей работе исследуются свойства многочленов Чебышева, ортогональных на равномерных сетках, связанные с построением квадратурных формул с равноотстоящими узлами, обладающими высокой алгебраической точностью. Потребности в таких формулах часто возникают в том случае, когда требуется интегрировать функцию, обладающую высокой гладкостью, значения которой заданы в узлах равномерной сетки. На основе многочленов Чебышева, ортогональных на равномерной сетке, в настоящей работе (глава II) построены квадратурные формулы с равноотстоящими узлами, представляющие собой обобщение известных квадратурных формул Ньютона - Котеса. Получен алгоритм построения таких формул и исследованы вопросы сходимости построенного квадратурного процесса. Другая задача, рассмотренная в главе III настоящей работы, также относится к теории квадратурных формул. В ней исследуется дискретный аналог хорошо известных квадратурных формул типа Гаусса. Построение дискретного аналога квадратур типа Гаусса также основано на применении многочленов Чебышева, ортогональных на равномерных сетках. В связи с этой задачей возникают вопросы разделения корней многочленов Чебышева, ортогональных на
4
равномерных сетках, и их приближенного вычисления. Здесь, в свою очередь, возникают вопросы об асимптотическом поведении указанных многочленов.
Объект исследования. В работе исследуются многочлены Чебышева дискретного переменного, ортогональные на равномерных сетках, свойства этих многочленов, связанные с построением квадратурных формул с равноотстоящими узлами, точных для всех алгебраических многочленов достаточно высокой степени. Рассматривается также дискретный аналог квадратурных формул типа Гаусса, основанных на применении многочленов Чебышева, ортогональных на равномерных сетках.
Цель работы.
1) Построить квадратурные формулы с равноотстоящими узлами, представляющие собой обобщение известных квадратурных формул Ньютона - Котсса.
2) Получить алгоритм для вычисления весов квадратурной формулы с равноотстоящими узлами и положительными весами, точной для всех алгебраических многочленов достаточно высокой степени, а также оценить эти веса.
3) Исследовать вопросы сходимости построенного квадратурного процесса.
4) Построить дискретный аналог квадратурной формулы типа Гаусса, основанный на применении многочленов Чебышева, ортогональных на равномерной сетке, и указать границы, отделяющие каждый из корней этих многочленов от остальных.
Общие методы исследования. В диссертации применяются методы теории функций и функционального анализа.
Научная новизна. Построены квадратурные формулы с равноот-
5
стоящими узлами, точные для всех алгебраических многочленов достаточно высокой степени, основанные на многочленах Чебышева, ортогональных на равномерных сетках, представляющие собой обобщение известных квадратурных формул Ньютона - Котеса. Показано, что при п < (1-^02 веса V) построенной квадратурной формулы вида
будут положительными при всех достаточно больших N. Изучены асимптотические свойства нулей ортогональных многочленов Чебышева дискретного переменного, которые служат узлами соответствующих дискретных квадратур типа Гаусса.
Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в некоторых вопросах теории приближений и численного анализа. Они могут быть также использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов.
Апробирование работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались:
- на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (1997-2002 гг.);
- на Воронежской зимней математической школе (1999, 2001 гг.);
- на конференциях профессорско - преподавательского состава Дагестанского государственного педагогического университета (1999,
- на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного университета (2001-2002 гг.);
.Лг-1
(і)
2000 гг.)
6
- на конференции преподавателей и сотрудников Московского государственного открытого университета (2001 г.)
- на Саратовской математической школе (2002 г.)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в
6 работах.
Структура и объем работы.
Диссертация посвящена исследованию свойств квадратурных формул, построенных с помощью многочленов Чебышева, ортогональных на равномерных сетках. На основе указанных многочленов Чебышева построены квадратурные формулы, обобщающие хорошо известные квадратурные формулы Ньютона - Котеса и дискретный аналог квадратурных формул Г аусса.
Рассмотрены вопросы, связанные с оценкой весов квадратурных формул с равноотстоящими узлами, построенных на основе многочленов Чебышева, ортогональных на равномерной сетке. Полученные оценки применяются, в частности, для доказательства сходимости соответствующего квадратурного процесса для непрерывных функции.
Исследование этих вопросов, в свою очередь, приводит к необходимости рассмотрения некоторых специфических свойств многочленов Чебышева, ортогональных на равномерных сетках, в частности, большую роль играют асимптотические свойства указанных многочленов Чебышева, а также асимптотические свойства интегралов, содержащих эти многочлены. Опираясь на эти свойства многочленов Чебышева, в частности, удалось показать, что (следствие (2.3.2) из главы II) существуют квадратурные формулы вида (1) с равноотстоящими узлами и положительными весами, точные для всех алгебраических многочленов степени
п<№)К
Интересно сопоставить этот результат с известным результатом
7
C. H. Бернштейна [9], состоящего в том, что если квадратурная формула типа (1) с положительными весами точна для всех алгебраических многочленов степени п, ТО П < 4(N — 1)2.
В связи с построением дискретного аналога квадратурных формул Гаусса изучены вопросы разделения нулей многочленов Чебышева Qn(x,N) (0 < п < N - 1), ортогональных на равномерных сетках
Ü = {0,1,N - 1}. Получены границы, разделяющие нули указанных многочленов Чебышева Qn(X)N) при п = 0(Nз)
Перейдем к более точной формулировке основных результатов диссертации.
Первая глава носиг обзорный характер. В ней собраны и отражены основные факты из теории функций и функционального анализа.
Во второй главе рассматривается вопрос о построении квадратурной формулы вида (1), где xj = д£у (j = 0,...,ЛГ - 1), pj =
(j = 0,..., N - 1) - произвольные числа, Rn{J) - остаточный член квадратурной формулы, точной для всех алгебраических многочленов достаточно высокой степени п < N — 1 (например, неограниченно растущей вместе с N) и для которой веса Pj = pjбудучи вычисленными эффективно, удовлетворяли неравенству \р3\ < (j = 0, ...,7V - 1)
равномерно относительно N.
Обозначим через Qu(x) = Qn(x; а, ß, N) (а, ß > -1) многочлены Чебышева-Хана, образующие ортогональную систему на равномерной сетке {0,1,..., N — 1} с весом
р(х) - о(х а в N) - T(x + a + l)T(N~x + ß)y р[х) - p(x,a,ß,S\) - Г(ж + !)r(JV - ж)
Г(Дг)Г(а + ß + 1)
* T(N + а + ß + 1)Г(а + 1)Г(0 + 1) ’
8
т.е.
Е pU)Qn(j)Qm(j) = ~
где Г(г) - гамма-функция Эйлера, щ = 1
7г = тгЛ(а,/?,ЛГ) =
(V) Г(/3 + 1)(2п + о + [і + 1)
(Л>а+.а+„-| г(а +/9 + 2)Г(а + 1)
Г(?г + а + 1)Г(п + а + /? + 1)
Х Г{п + .в + 1)Г(п + \) ’
іїпт - символ Кронекера. Для определенности предполагается, что Оп(0) = 1.
Построена квадратурная формула вида
точная для всех алгебраических многочленов степени п < N — 1. В частности, при п = N - 1 мы получаем известную формулу Ньютона -Котес.а [20].
Доказано (теорема 2.3.1), что если £>0, 1 < п < N - 1,
п2 < S(N — п), то для pj = ^(0,0, N, п) имеет место оценка
I f{x)p{x) dx = Ё Pjf (jflj) + (2)
где р(а;) = Np((N - 1)а:;a,/3,N) (а,/3 > -1),
Pj =Pj{a\(3,N,n) =
2 (N + 1)
(3)
- Киев+380960830922