Проективные структуры на комплексных кривых и уравнения Хитчина

2
Н.С. МАРКАРЯН
Введение. Исторические замечания
Теория проективных структур берет Свое начало в работах Романа» Шварца, Клейна и др. Проективные структуры были полезны для решения дифференциальных уравнений на римановых поверхностях. Производная Шварца впервые появилась в работе Лагранжа [Ь], бидифференциал Клейна — в [К].
Э. Картан в 1904 году показал, что проективные структуры — единственные интересные геометрические структуры на одномерных комплексных многооб-разиях([Са]). Рассматривались также проективные структуры с ветвлением. Например, проективная структура с ветвлением и тривиальной моиодромией на комплексной кривой есть ее разветвленное накрытие рпмановой сферы.
Пространство модулей проективных структур на компактной поверхности впервые рассмотрел Пуанкаре. Он доказал, что это пространство этально накрывает пространство представлений фундаментальной группы, то есть проективная структура локально определяется своей монодрохшей (современное доказательство см. [НЬ]). Он также сделал ошибочное предположение, что это верно и глобально. Контрпример к этой гипотезе Пуанкаре был построен только в 1975 году Масхитом и Хсйхалом ([Не]). На самом деле слой над точкой отображения монодромип, вообще говоря, бесконечен. Поиск тех геометрических объектов, которые стоят за этим множеством — самая интригующая задача в теории проективных структур. Вейль ставил эту задачу в связи с арифметическими вопросами в [\\гс].
Проективная структура определяет представление фундаментальной группы, то есть расслоение с плоской связностью. Работы [88], [С], [Т] включили теорию проективных структур на комплексной кривой в теорию многомерных векторных расслоений. Обзору аналитических методов исследования проективных структур посвящена вторая часть нашей работы.
Другое направление исследования проективных структур начинается также с работ Пуанкаре. Речь идет о представлении комплексной кривой в виде фактора верхней полуплоскости по действию вещественного проективного представления фундаментальной группы. Такое представление снабжает кривую проективной структурой, которая называется фуксовой. Терстон в замечательной книге [ТЬ] привел способ дефорхшровать эту проективную структуру по геодезической измеримой ламинапии. Этот метод принадлежит гиперболической геометрии. Позже Голдман ([Со]), также используя методы гиперболической геометрии, и вдохновленный результатами Терстона показал, что пример Маскита и Хейхала исчерпывает всю неоднозначность, с которой проективная структура с фуксовой моиодромией определяется своей монодромией. Таким образом, был описан слой отображения монодромии над фуксовыхш группами. Краткий и неполный обзор этих методов, которые Х1Ы условно назвали топологическими, предпринят в первой части работы.
Сложность теории проективных структур есть проявление общей проблемы “глобальное- локальное”. У проективной структуры есть два проявления: глобальное (х<о| кедром и я) и локальное (локальная проективная координата). Изучение этих проявлений по отдельности не слишком сложно, сложность состоит в переходе от одной картины к другой. Таким связующим звеном, по нашему мнению, могла бы стать гармоническая теория. Связь осуществляет-
ПРОЕКТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ И УРАВНЕНИЯ ХИТЧИНА
3
ся обычным образом: у топологического объекта выбирается гармонический представитель, который затем изучается локально.
В третьей части хсы приведем основные результаты о гармонических метриках на плоских расслоениях. Это теория активно развивалась в 80-х годах усилиями Корлетт, Дональдсона, Симпсона и др.. Вопросами гармонических отображении в нелинейные пространства стали активно заниматься в последние десятилетия в связи с запросами математической физики. Практически все сведения о гармонических метриках, которые нам понадобятся, содержатся в статье Хитчина [Н]. Главный объект этой работы — пространство решений уравнения автолуальности. С одной стороны, оно совпадает с пространством модулей стабильных пар на комплексной кривой; с другой стороны, согласно теореме Корлетт и Дональдсона оно совпадает с пространством модулей неприводимых представлений фундаментальной группы. Эту работу можно считать продолжением в комплексную область результатов Нарасимхана и Се-птадри [NS], отождествляющих пространство модулей стабильных расслоений с пространством унитарных представлений фундаментальной группы.
Несмотря на то, что один из первых результатов о проективных структурах — фуксова проективная структура — принадлежит гармонической теории, гармонические метрики, кажется, до сих пор не применялись к исследованию проективных структур. Первые шаги в этом направлении сделаны нами в третьей части работы. Мы описываем образ при отображении монодромии множества проективных структур на данной комплексной кривой, используя изоморфизм Корлетт и Дональдсона, в терминах системы Хитчина.
В четвертой части мы обсудим полученный результат. В частности, мы обнаружим связь проективных структур, обладающих вещественной монодро-мией с теорией штрсбслсвых квадратичных дифференциалов (см. (Str]). Воспользовавшись отой связью, мы опишем множество проективных структур с вещественными монодромиями. Это позволит ответить нам на вопрос, поставленный Маек игом в (М] (этот результат был недавно анонсирован Галло (G&)), а также заново получить результат Голдмана о проективных структурах с фуксовыми монодромиями.
Обнаруженная связь проективных структур с всщсственньши монодромиями со штрсбслсвыми дифференциалами, а, значит, с ламннациями, позволит нам сформулировать гипотезу о том, как связана конструкция Терстона с гармоническим координатами. Эта гипотеза кажется нам важной потому, что она связывает разделы математики, ранее казавшиеся далекими друг от друга. Мы дохажем гипотезу для проективных структур с фуксовыми монодромиями.
В заключение мы коснемся теории проективных структур с ветвлением. В качестве приложения уравнений Хитчина, мы построим обобщение фуксовой униформизирующей координаты для таких проективных структур.
Мы не будем затрагивать такой обширной области исследования как изучение квазиконфор?яных деформаций рпмановых поверхностей, связанной с именами АльфорСД, Берса и др., которая широко применялась к изучению проективных структур (см., например, (НЬ| и другие статьи в этом томе). Отметим только некоторую параллельность результатов этой теории и теории гармонических отображений. Например, отождествление пространства деформаций комплексной структуры на данной кривой с прост ранет вом (анти)голоморфных
4
И.О. МЛРКЛРЯП
дифференциалов на ней по Хитчину (см. (Н’, а также раздел 3.3 данной работы) и по по Тсйхмюллсру (см. [Т*]), а также опубликованное недавно Вольфом ([Щ) Доказательство существования штрсбслсвых дифференциалов к классическое доказательство (^г]).
1. ПРОВКТИВНЫВ СТРУКТУРЫ — ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ подход.
1. Определение.
Обозначим через 5^ гладкую ориентированную компактную поверхность рода д > 1. В дальнейшем мы будем считать, что набор образующих ее фундаментальной группы фиксирован.
Определение 1.1. Проективная структура на поверхности задается следу юхцхм набором данных:
(1) покрытие 8д конечным набором открытых ?лножсств Ба = \JlJi
(2) вложения £( : 0% —► СР1
(3) для каждого непустого пересечения ^7, П£/^ определена дробно-линейная функция перехода
€ Ац1(С!Р1)
так, что Ях = 9%} о на СГх П и ду о о дц — 1, если (/,• Л Л ГУ* непусто.
Две проективные структуры эквивалентны, если локально каждая комплексная функция, дробно-линейная относительно координат одной проективной структуры, дробно-линейна также и относительно координат другой.
Понятие проективной структуры на поверхности есть частный случай более общего понятия (7-структуры. Вообще говоря, если дана группа Ли б и ее однородное пространство, можно рассматривать многообразия, склеенные из кусков однородного пространства, посредством действия группы С. В нашем случае С = РЗЬа(С), а однородное пространство есть СП*1. Болес подробно о (»-структурах см. в [ТЬ, §5).
Обозначение. Пространство модулей проективных структур на поверхности рода д обозначим через V.
2. Монодром и я проективной структуры.
Задача о классификации (»-структур на многообразии почти тривиальна в отсутствие фундаментальной группы. Действительно, если многообразие локально изоморфно однородному пространству, этот изоморфизм можно продолжать по любому пути, начав с некоторой точки. В случае тривиальности фундаментальной группы так получается некоторое вложение многообразия в однородное пространство. Если же фундаментальная группа нетривиальна (как в нашем случае), то возникает отображение универсальной накрывающей нашего многообразия и некоторое представление фундаментальной группы С. Это представление, называемое монодромиеп (7-структуры является ее важным инвариантом, а, при небольших деформациях (7-структуры, — единственным. Дадим определения для нашего случая.
ПРОЕКТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ И УРАВНЕНИЯ ХИТЧИНА
5
Определение 1.2. Задание на поверхности S9 проективной структуры дает отображение универсальной накрывающей с невырожденным дифференциалом S9 нашей поверхности в СР1 с точностью до действия Aut(CP1). Это отображение
dev : Sg -> 'CP1
называется отображением распространения.
Определение 1.3. Но определению проективной структуры, действие фундаментальной группы поверхности слева дробно-линейно, то есть для g 6
dev 00 = m(p) о dev,
где m : xi(5ÿ) -> Aut (CP1) — представление фундаментальной группы поверхности. Таким образом, каждая проективная структура задает представление фундаментальной группы поверхности в Aut(CP1) = PSLi(C) с точностью до сопряжения. Это представление называется монодромией проективной структуры.
Предложение 1.1. Второй класс Штиффеля-Уитни представления фундаментальной группы поверхности m : 1Гх -> PSL2{(C), заданного проективной структурой, равен нулю.
Доказательство. См. в [Т]. Это утверждение следует также из теоремы 2.3, см. ниже. □
Обозначение. Пространство модулей классов представлений фундаментальной группы xi поверхности в PSL2(C) обозначим через Rep(xi,/J5X2(C)). Компоненты, соответствующие представлениям с четным и нечетным классами Шткфеля-Уитни, обозначим через Rcp(jri, PSI^C))* и Rcp(irl,P5L2(C))‘>.
Определение 1.4. Отображение пространства модулей проективных структур в пространство классов представлений фундаментальной группы
Mon : V Rcp(xi, P5L2(C))4*,
сопоставляющее проективной структуре ее мокодромию назовем отображением монодромии.
Пусть задано четное представление т € Rcp(xl,P5L2(C))e фунда\!енталь-кой группы поверхности. Оно задаст расслоение над Sg со слоехс СР1 и плоской проективной связностью. Представление m является монодромией згой связности. Обозначим тотальное пространство расслоения через Ет. Плоская связность даст двумерное слоение Frn на Ет. Заметим, что, так как второй класс Штиффеля-Уптни нулевой, то Ет топологически есть Sg х 52.
Предложение 1.2. Проективная структура на кривой с монодромией т задастся сечением s : Sg Ет расслоения Ет » SÇr трансеерсальным слоям
слоения Fm и пересекающим его слои положительным образом.
Доказательство сразу следует из определения проективной структуры. D
е
Н.С. МАРКАРЯН
Предложение 1.2 показывает, что проективная структура не полностью определяется своей монодромией, а зависит еще от каких-то дискретных данных. Описание этих данных есть одна из наиболее интересных задач о проективных структурах. Предложение 1.2 подсказывает обобщение отой задачи: описание множества подмногообразий трансверсальных листам
данного слоения. Возможно, на атом пути можно продвинуться и в понимании исходной задачи.
Не менее интересна задача о том, какие представления фундаментальної« группы могут быть монодромиями проективных структур. Следующая теорема показывает, какие представления заведомо не реализуются таким образом.
Теорема 1.1 (Пуанкаре). Пусть представление т сохраняет какую-нибудь меру р на СР1 такую, что объем всего пространства конечен и не равен нулю. Тогда т не может быть монодромией проективной структуры.
Доказательство. Рассмотрим для простоты случай, когда мера р задана гладкой 2-формой о>, например, если представление унитарно (в общем случае надо воспользоваться теорией слоеных циклов Сулливана \$І).
Проведем доказательство от противного. Пусть есть проективная структура с данной монодромией, то есть сечение расслоения Е,п трансверсалыюс листам слоения. Обозначим элемент двумерных гомологий тотального пространства расслоения Ет представленный этим сечением через [Р].
Форма и определена на слоях расслоения Ет. Инвариантность позволяет нам поднять ее до всюду вырожденной замкнутой 2-формы П на £*т. Обозначим класс двух«ерных гомологий двойственный но Пуанкаре классу когомологий, представленному формой П, через (П).
Напомним, что Ет = х 52. Обозначихс представителей сомножителей в гомологиях через (59) и [52]. Эти классы порождают пространство двумерных гомологий и [5^і • [5у] = [£2] • [5^] = О, (£у} • \8г] = 1. Из трансверсальности к листам слоения следует, что [Р\ = (5^1 4- (1 - 0)[52]. Пусть [П] = а(52) + /3{5У). Так как П всюду вырождена, то (П)-(П] =ь 0, следовательно а(3 = 0. Следующие два утверждения противоречат друг другу.
(1)
у" П > 0 =*• [О] • [52] >0 => {3 > 0 и а = 0.
І&]
(2)
IП > 0,
(Я]
так как $ пересекает листы слоения положительным образом, то есть
о < [П] • [Р] = 0[3Я) • (1 - д)(52] = (1 - д)0 => /?<0.
Пришли к противоречию, что и доказывает теорему. С]
Замечание. Сам Пуанкаре доказывал отсутствие проективных структур с унитарной монодромией следующих« образом: если на поверхности есть проективная структура с унитарной монодромией, то на ней есть метрика постоянной положительной кривизны, а этого не может быть.