Оглавление
1. Введение....................................................... 4
2. Мотилныс мары................................................ і 5
2.1 Кольцо Гротендика многообразий............................ 15
2.2 Мотивные моры и мотивные интегралы........................ 17
2.3 Формула замены переменных и следствия из нее...............24
2.4 Число Милнора и дзета-функция особенности..................26
3. Функциональные урансния........................................29
3.1 Уравнения .................................................29
3.2 Примеры....................................................33
3.3 Симметрии.................................................‘34
3.4 Дополнительные параметры...................................37
3.5 Функциональное уравнение для индексов пересечения. . . 41
4. Соответствие между функциями и кривыми..............46
4.1 Степенные структуры........................................46
4.2 Соответствие мер...........................................47
4.3 Соответствие эйлеровых характеристик ......................57
5. Мотивиый ряд Пуанкаре..........................................59
5.1 Ряд Пуанкаре и его обобщения...............................59
5.1.1 Ряд Пуанкаре; особенности плоской кривой ............59
5.1.2 Мотивный ряд Пуанкаре................................60
5.1.3 Неприводимый случай .................................61
5.1.4 Формула Кампильо, Дельгадо и Гусейн-Заде .... 62
5.2 Пример; нсособая кривая....................................63
5.3 Комбинаторика..............................................64
5.3.1 Предварительные упрощения ...........................64
5.3.2 Приведение подобных слагаемых........................68
5.3.3 Алгоритм.............................................72
5.4 Примеры....................................................72
5.4.1 Один дивизор ........................................72
Оглавление З
5.4.2 Два дивизора.......................................73
5.4.3 Три дивизора.......................................75
5.5 Симметрии и функциональные уравнения......................76
5.5.1 Симметрии..........................................76
5.5.2 Аналог уравнения Капранова для кривых с проколами ......................................................79
6'. Гомологии Хетра-Флоора........................................81
6.1 Определение, структура и свойства..........................81
6.1.1 Относительные 5;лпс-структуры .....................81
6.1.2 Диаграммы Хегора...................................83
6.1.3 Определение гомологий..............................85
6.1.4 Свойства...........................................87
6.2 Связь с мотивыым рядом Пуанкаре..........................89
6.2.1 Сравнение ответов..................................89
6.2.2 Сравнение фильтрованных комплексов.................91
6.2.3 Примеры............................................96
1. ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация посвящена вычислению и описанию свойств мо-тивных интегралов, связанных с инвариантами особых точек плоских комплексных алгебраических кривых. Эти интегралы связаны как со структурой нормирований на локальной алгебре особенности, изучавшихся ещё в работах О. Зарисекого, так и с топологическими инвариантами алгебраических узлов - многочленом Александера и гомологиями Хегора-Флоера, введёнными П. Ожватом и 3. Сабо сравнительно недавно.
Мотивнос интегрирование было введспо М. Л. Концевичем в 1995 году для доказательства гипотезы Батырева о совпадении чисел Ходжа у бирационально эквивалентных многообразий Калаби-Яу. Вскоре после этого Я. Дснсф и Ф. Лозер ввели мотивиую меру на пространстве дуг на многообразии и доказали для него формулу замены переменных в полной общности, а также связали моги иные интегралы с р-адическими.
С другой стороны, в 1994 году А. Кампильо, Ф. Дельгадо и К. Кийек при исследовании наборов нормирований на локальной алгебре особенности, определяемых неприводимыми компонентами, ввели понятие ряда Пуанкаре мультииндексной фильтрации и установили свойство симметрии для этого ряда. Затем в серии работ А. Кампильо, Ф. Долы-адо и С. М. Гусейн-Зндс обнаружили и доказали снизь этого ряда Пуанкаре с топологическими инвариантами особенности. Пересечение комплексной кривой со сферой малого радиуса - это узел или зацепление, для которого опрсдслёп многочлен Александера. Оказывается, ряд Пуанкаре фильтрации на локачьной алгебре с точностью до множителя совпадает с этим полиномом Александера, что, в частности, даёт эффективный геометрический способ его вычисления.
Метод доказательства теоремы Кампильо-Дельгадо-Тусейи-Заде основаи на интегрировании но эйлеровой характеристике, введенном О. Я. Виро. Ряд Пуанкаре оказывается равным некоторому интегралу но эйлеровой характеристике по ироективизации пространства функций. В последующих работах было предложено естественное обобщение этого интеграла - мотивный интеграл но пространству функций, конструкция которого аналогична конструкции Концевича. Вычислению обобщённого
1. Введение
интеграла и его аналогов и посвящена насюищяи диссертация.
Другим естественным обобщением многочлена Александера является теория гомологий Хегора-Флоера, построенная в 2004 году ГГ. Ожватом и 3. Сабо и затем развитая ими и их школой в большом количестве работ. Градуированная эйлерова характеристика этой теории гомологий соипадает с многочленом Александера зацепления, для этой теории выполняется аналог двойственности Пуанкаре, можно построить большое количество естественных спектральных последовательностей. Кроме того, вскоре после се открытия оказалось, что гомологии Хегора-Флоера несут в себе большое количество глубокой геометрической информации об узле. Так, Ожват и Сабо доказали, что род узла равен наибольшему номеру ненулевых гомологий Хегора-Флоера, что, например, дало повое доказательство гипотезы Милнора о роде торнческого узла. Отметим, что до топ) Дж. Расмуссен доказал гипотезу Милнора при помощи оценок, получающихся из другой теории гомологий узлов - гомологий Хованова. Для гомологий Хегора-Флоера аналогичные оценки оказываются точными. Далее, Йи Ни в 2007 году доказал, что узел является расслоенным тогда и только тогда, когда размерность гомологий с максимальным номером равна единице. Кроме того, П. Ожват, 3. Сабо, К. Манолсску, С. Саркар и Д. Терстон построили комбинаторную конструкцию для гомологий Хегора-Флоера, которая впоследствии упрощалась в работах А. Беляковой и П. Дроза.
Структура, диссертации
Глава 2 содержит основные понятия и факты теории особенностей и теории мотивного интегрирования, используемые в дальнейшем. В ней вводится кольцо Гротендика комплексных квазипросктивных многообразий. Затем в параграфе 2.2 вводятся мотивные меры и мотивные ин-теп>алы на различных пространствах, принимающие значения в пополненной локализации кольца Гротендика многообразий по классу комплексной прямой, приводятся простейшие примеры вычисления мотив-ных интегралов. Следующий параграф 2.3 посвящён основному техническому средству в теории мотивного интегрирования - формуле замены переменных в мотивном интеграле, доказанной Дснёфом и Лозсром. Приводятся примеры вычисления естественных мотивных интегралов по пространству дуг, подсчет которых напрямую был бы весьма тяжёлым без применения формулы замены переменной. Также приводится доказательство гипотезы Батырева, принадлежащее Концевичу. Оно показывает. что теория мотивного интегрирования может быть успешно при-
1. Введение
6
мсисгга в естественных и важных задачах, фо р мул и ро к ка которых не использует кольца Гротендика.
В параграф 2.4 вводятся осношгыс понятия топологической теории особенностей: число Миллора особенности, линк, расслоение Милнора, дзета-функции монодромии. Формулируется теорема А’ Камио, выражающая число Милиора и дзета-функцию особенности через ее вложенное разрешение.
Глава 3 посвящена функциональным уравнениям на различные мо-тивные интегралы по пространству дуг, связанным с формулой замены переменной. Основными результатами главы являются теоремы 4 (стр. 29) и 5 (стр. 31), в которых доказывается функциональное уравнение на мотивньгй интеграл, соотв(ггствующий числу Милиора, и единственность решения этого уравнения.
Теорема. Пусть д - число Милнора, а ьх и уу - индексы пересечения дуги с: осями координат. Рассмотрим мотивный интеграл
Это уравнение имеет единственное с точностью до умножения на константу jMïiueHHe в классе формальных степенных рядов, делящихся на abedf.
В теореме б (стр. 36) дастся явно выражение для компонент функции /(<,а,г»,с,ф/).
Теорема. Пусть а =НОД(/г,7д). Тогда
I{t,a,b, с, </,/)= [ І^оУ*bVycw*(T>xVv f°v(ІХд•
Gkjn(U L)= f •Л<
{Ordx(£)=*,Orfly(<)-m}
t^drf =
і. Ввсдсппс
7
где суммирование ведется по всевозможным наборам
(1 = «о ^ ^1 ^ аі < - • • < “г-і < />г < «г = а)
таким, что и bj < aj для всех j (г не фиксировано).
В левой части д обозначает число Милнора, а в правой части - функцию Мёбиуса, но появление одного и тот же обозначения для двух разных объектов не должно вызывать непонимания.
Замечание. Из определения видно, что Gjfe>w(t,L) действительно являются компонентами функции /(А, а, Ь, с, d, /), а именно, имеет место равенство
со
/(1,а,Ь,с,d,/) = £ G*.m(t,L)a*6"*c#dkmfm' (1.1)
к,тш 1
Приводятся примеры вычисления этих компонент, в простейших из них результат теоремы С сравнивается с прямым вычислением. Теорема б позволяет также доказать неожиданней: свойство симметрии для фупкции / и её компонент.
Следствие 1:
L"1) = t-**-0<m-i)L*««-J . C*,ra(i,L).
Следствие 2: Имеет место соотношение
/(£,L;a,fr,c,d,e) = t2L2/(i”l,IL“l;at“2L"2,bt~2L"2,c,dt2,e).
В параграфе 3.4 рассматривается естественная деформация функционального уравнения на l(t, а. Ь, с, d, /) с бесконечным числом дополнительных параметров, в теореме 7 (стр. 38) доказывается аналог теоремы 6 для деформированной задачи. Решение по-прежнему удовлетворяет свойству симметрии, однако введение дополнительных параметров выявляет новые функционально-дифференциальные соотношения, доказанные в теореме 8 (стр. 39).
Кроме того, в главе 3 приведено аналогичное функциональное уравнение дня мотиви ого интеграла, соответствующего индексу пересечения кривых.
В главе 4 обсуждается связь между мотивными мерами на пространствах параметризованных кривых и функций на плоскости. В параграфе
1. Введение
8
4.1 вводится понятие степенной структуры, введённое Гусейн-Заде, Лу-энго и Мелье-Эрнандезом, и описывается степенная структура на кольце Гротендика многообразий. При помощи степенной структуры вводится естественное продолжение мотивиой меры на объединение всевозможных симметрических степеней пространства дуг. Основными результатами этой главы является теоремы 9 (стр. 50) и 10 (стр. 55), в которых описывается универсальные множители, описывающие переход между мерами.
Теорема. Пусть /1(7) - число Милиора, аг(7) - число неприводимых компонент ростка кривой 7, обозначим 6(7) = £(/*(7) + г(т) — 1)* Пусть а(7) - произвольная измеримая функция ira пространстве UkSkB. Тогда
f a(Z(f))dii~ [
J?0 JUkSk(C’/C')
Здесь О - пространство формальных ростков функций на плоскости в начале координат, РО - его проективизация, С - пространство ростков параметризованных формальных кривых (дуг) на плоскости в начале координат, В — £*/v4wt(C,0), а Z : 1РО —» и*5л(£“/С*) - произвольная параметризация компонент кривой {/ = 0}.
В параграфе 4.3 приводятся примеры, в которых независимо вычисляются левая и правая меры, а также коэффициент перехода. В частности, из теоремы 10 следует формула Габриэлова-Хованского-Кушниренко для модальности торической особенности.
Кроме того, доказывается теорема 11 (стр. 57), описывающая связь между эйлеровыми характеристиками подмножеств в проективпзации пространства функций и пространстве неупорядоченных наборов дуг. Так как множество пулевой мотивиой меры может иметь ненулевую эйлерову характеристику, теорема 11 немного отличается от теорем 9 и 10.
Глава 5 составляет техническое ядро диссертации. В пей строится алгоритм вычисления мотивного интеграла но нроективизации пространс-ва функций, аналогичного ряду Пуанкаре особенности.
Пусть С = U^i Сі - росток плоской кривой,
7» : (€,0) —> (Сі,0)—
униформизшщи его неприводимых компонент. Если / € О - росток функции на (С2,0), положим
Vi(f) = Ordof(7i(t))t
- Киев+380960830922