Об исчезающей вязкости в трехмерных краевых задачах динамики несжимаемой жидкости

О Г Л А В Н Е II И Е
Стр.
БШ5ЇЕЕШЕ . 5
Г.іАВЛ Ї. Предельный переход но вязкости в однородной краевом задаче для линеаризованной системы уравнений Наине-Стокса 32
§1 .Линеаризованная система уравнений Ііавье-Стокса с оператором первого порядка, характеристики которого не выходят из заданной трёхмерной области 32
§2.Вывод основной априорной оценки 34
§3 Лределышн переход в задаче с оператором первого порядка, характеристики которого не выходят из заданной области '= 36
§4.Пространство функций, имеющих квадратично
суммируемую полную производную 39
55.Корректная постановка вырожденной задачи и формулировка результатов в случае, когда характеристики оператора первого порадій не выходят из заданной трёхмерной области 46
§6.Краевая задача для системы Навье-Стокса в
ие щип: 11 др ич с с кой области 51
§7.Вывод априорной оцонки .для полной производной
функции скорости 65
§8.Предельный переход и формулировка основных результатов для краевой задачи в области тока но заданному вектору 68
ГЛАВА II. Пространство фупкідій, квазипормировашюс
относительно і проте ісающе го солоноидального ноля 76
51 .Допустимость области * 76
§2.Определения к основные свойства пространств функций, квазинормнрованных относительно протекающего соленой-
дадьпого поля 87
§3 .Доказательство полноты введённых квазипормированных пространств 96
-3-
§4.Доказательство существования аппроксимирующих
последовательностей для элементов введённых квазинормированних пространств
101
ГЛАВА. III. Об исчезающей вязкости в линеаризованной
задаче протекания несжимаемой жидкости
114
§1.Линеаризованная задача протекания несжимаемой жидкости
114
116
§2.Априорные оценки
§3.Предельный переход по вязкости в пространстве, определяемом как замыкание линеала гладких функций по квазинорме
134
§4.Предельный переход по вязкости в допустимой области, когда выделенные части границы при пересечении образуют криволинейные двугранные углы 242
ГЛАВА ІУ. Существование и асимптотика по вязкости слабых решений системы уравнений Навье-Стокса с условием регулярного проскальзывания вдоль твёрдой части границы 147
§1.Слабое решение системы Навье-Стокса с условием
регулярного проскальзывания вдоль части границы 147
§2.Асимптотическое представление слабого решения системы уравнений Навье-Стокса с условием регулярного проскальзывания, заданного на всей границе ' 163
§3.Слабое решение задачи протекания для системы Навье--Стокса в цилиндрической области с условием регулярного проскальзывания вдоль твёрдых стенок 165
§4 .Асимптотическое представление слабого решения задачи протекания для системы Навье-Стокса в цилиндрической области 173
§5.Оценка остаточного члена 177
-4-
ГЛАБЛ У. Существование слабых решений задачи протекания и их асимптотическое представление в областях, имеющих
у выхода форму сопла и раструба 187
§1.Определение слабого решения задачи протекания с условием регулярного проскальзывания вдоль твёрдых стенок 187
§2.Построение финитного соленоидального продолжения с
границы, имеющей двугранные углы 190
$3.Теорема существования слабого решения 195
§4.Асимптотическое представление слабого решения в
области с соплом 201
§8.Оценка остаточного члена ' 210
§6.Асимптотическое представление слабого решения в
области с раструбом -. 234
§7.Сценка остаточного члена 252
ЛИТЕРАТУРА
269
ВВЕДЕНИЕ
Математические проблемы, возникающие при изучении движения вязкой несжимаемой жидкости, имеют актуальное значение как в теоретическом плане, так и при исследовании конкретных моделей, используемых в механике, физике и других
естественных науках для описания реальных процессов. В настоящее время гидродинамика представляет собой обширную и
стремительно развивающуюся отрасль знаний, в которой находят
своё применение многие разделы математики. Вместе с тем,
гидродинамика постоянно служит источником оригинальных задач,
несущих в себе новые математические идеи и открывающих
перспективы дальнейших путей развития математики. В качестве
подтверждающих примеров можно указать обзоры [54} , [72]
и монографию [32] , близкие по тематике к данной работе.
Однако, имея в качестве исходного материала одни и те же модели, математика и гидродинамика сильно разнятся в методах
и целях исследования. Так, подавляющее число математических моделей в гидродинамике представляют собой системы дифференци альньтх уравнений в частных производных с разного рода дополни тельными условиями. И если специалистов в области механики-жидкости и газа интересуют, в основном, конкретный вид и конкретные свойства функций, удовлетворяющих исходной системе то математики обращаются к ним с позиций развития общих методов исследования таких систем.
Особенно ярко это различие проявляется в подходах к решению систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера, наиболее часто используемых для описания гидродинамических процессов.
В основной массе работ по гидродинамике, берущих за основу, системы уравнений Навье-Стокса и Эйлера, стремятся исходя из
- 6 -
конкретных данных максимально упростить исходную систему, чтобы затем можно было в какой-либо форме описать искомое решение. При этом специалисты в области гидродинамики с той или иной мере опираются, или должны опираться, на известные общие свойства решений систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера, как и на способы нахождения таких решений.
Естественно, разработка общих методов исследования относится к области математики. Можно с полной уверенностью сказать , что хотя для систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера уже изучены многие аспекты теории, но запросы механики намного опережают сегодняшние возможности математики. Причём, как отмечено в [129] , хотя физическая модель, приводящая к уравнениям Навье-Стокса является наиболее простой из всех, описывающих движение жидкости с учётом диссипации, математическое изучение этих уравнений очень непросто и требует всей мощи современного функционального анализа.
Поэтому, наверное, в таком большом количестве работ по гидродинамике единственный способ исследования заключается в эмпирическом упрощении исходной задачи с последующим поиском приближённых решений. Безусловно, как можно убедиться по известной монографии [33] , таким способом были решены многие важные задачи и получены очень интересные результаты, но эти результаты нельзя поставить в заслугу математике.
Тем не менее, с позиций современной теории дифференциальных уравнений в частных производных уже изучены многие вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Определяющие аспекты математической теории движения вязкой несжимаемой жидкости изложены в монографии 0.А.Ладыженской [403 . Ей, её коллегам и ученикам В.А.Солонникову, К.К.Головкину и другим принадлежат основополагающие результаты в исследовании уравнений
- 7-
Навье-Стокса.
Разумеется, свой вклад в развитие теории уравнений Навье-.-Стокса и Эйлера внесли многие специалисты как в нашей стране, так и за рубежом. Но поскольку в цитированной монографии [^0] содержится достаточно обширный список литературы по данному ^ вопросу, а также раскрыта роль классиков этого направления, то
укажем лишь на работы, не вошедшие в список литературы к [ЦО] К числу монографий, не вошедших в [40] из-за более позднего выхода в свет, относятся [2.? 11, ./2,9].
Б то же время, обращение к системам уравнений Навье-Стокса и Эйлера, опробывание на этих системах разрабатываемых методов, содержится у многих других авторов, например, [13? 2,2. “ 2,3^
43- 45-49, 52.-5 3, 58, 63 -64, 81-83,
95, 10 3, 105, 1111.
Ещё большее различие в подходах между специалистами в области гидродинамики и математики обнаруживается в исследовании явления пограничного слоя, малой или исчезающей вязкости.
Теория пограничного слоя занимает во многих отношениях ведущее положение в механике жидкости и газа. Изучению разнообразных течений, при которых возникает явление пограничного слоя, посвящено огромное количество работ, как можно судить по обзорам [54, 72.] или монографиям [51, 9 7]. Специалистами в области гидродинамики описано большое количество пограничных слоев, при этом широко используется понятие уравнения пограничного слоя. щ В математике тоже существует обширная теория, использующая
термины "пограничный слой","уравнение пограничного слоя” и т.п. Её признание в качестве самостоятельной математической теории произошло около 1950 года после выхода в свет работ А.Н.Тихоно-ва [89-91] И.С.Градштейна [16 - 18] и других ав-
-8-
торов, начавших рассматривать в качество самостоятельного объекта исследования дифференциальные уравнения с малыми параметрами при старших производных. В последующие годы эта теория получила широкое развитие в трудах советских и зарубежных специалистов. Свидетельством тому являются обзорные статьи и
монографии [ 8 - 107 2,5 - 2,7, 53, 9 2/> 34],
Наибольший интерес и развитие в последние годы получило исследование асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений в частных производных с малыми параметрами при старших производных, что тоже сводится, в конечном счёте, к пограничным слоям и уравнениям пограничных слоёв. Яркие результаты в этой области принадлежат многим известным математикам [ 7, 10,
Я4, 34-35, 5Х, 59, 65- 67, 68-69, 77,80,109,115, 1211
Но если рассмотреть пограничные слои и уравнения пограничных слоёв, используемые в гидродинамике для описания реальных явлений в вязкой несжимаемой жидкости, то с математической точки зрения в подавляющем большинстве случаев они не будут пограничными слоями или уравнениями пограничных слоёв для системы уравнений Навье-Стокса. Как отмечено в [51] единственным видом пограничной функции в математическом смысле этого слова, извлекаемой из системы уравнений Навье-Стокса, является линейная. Для логарифмического погранслоя уже, по-существу, используется нелинейная зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформации.
Тем более, существуют частные примеры, когда при стремлении вязкости к нулю в пределе не получается движение идеальной жидкости. Ссылки на соответствующую литературу и обзор других "расхождений" между гидродинамикой и математикой содержится в
Ц5] .
Во многих случаях уравнения пограничных слоёв, используе-
- 9 -
мых в механике жидкости и газа, представляют собой просто модификации систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера в тонком слое. Широкий спектр таких задач представлен в £ 36].
Конечно, такой подход оправдан во многих конкретных ситуациях, если теоретические результаты удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Но все-таки задачей математики является дедуктивное исследование системы уравнений Навье-Стокса при стремлении параметра, характеризующего вязкость, к нулю.
В первую очередь это нужно для того, чтобы специалисты б области гидродинамики точно знали, какие свойства решений следуют из исходной модели, если в качестве такой модели принята начально-краевая задача для системы уравнений Навье--Стокса. И если эти свойства не согласуются с реальными процессами, то надо вносить изменения в исходную модель, а не "подправлять" процесс дедуктивного вывода эмпирическими соображениями, как это зачастую делается (например £123]).
В данной работе с теоретических позиций рассматривается вопрос о поведении решений системы уравнений Навье-Стокса при стремлении параметра, характеризующего вязкость, к нулю.
Первый результат общего характера, абстрагированный от физических задач, принадлежит по этому вопросу 0.А.Ладыженской, указавшей на возможность предельного перехода по вязкости в двумерной задаче Коши ( £36] ). В последующем разными авторами с помощью разных подходов £130 93 , 10*1 у 110 - 1Ц? 11?--.118., J2.fi] доказано, что когда для системы
уравнений Навье-Стокса задаётся только начальное условие, а под областью определения решения понимается всё пространство (двух и большего числа измерений), то решения системы уравнений Навье-Стокса сходятся к решению соответствующей начальной
-10-
задачи для системы уравнений Эйлера. В большинстве случаев, при этом, речь идёт о сходимости сильного (или даже классического) решения на некотором отрезке времени, не зависящим от вязкости.
1 Гораздо сложнее проблема становится, когда решение систе-# мы уравнений Навье-Стокса ищется в ограниченной области и
помимо начального условия требуется, чтобы решение на границе области удовлетворяло определённы:*! краевым условиям.
Сравнительно много результатов по этой проблеме получено для систем уравнений с двумя независимыми пространственными переменными, моделирующих движение вязкой несжимаемой жидкости. Наиболее полный обзор известных, дедуктивно обоснованных фактов о поведении решений двумерных задач теории пограничного слоя содержится в [ 74 ] . Этой же теме посвящены работы [4,3, б,
62,, 84-85,86-87, 93,38,444, 416, 423-424/42 71
0 Кроме того, как приложение развиваемых общих методов, результа-
ты для. двумерных задач содержатся в [22-2 3, 52 ~ 53] .
0.А Ладыженской [40, 42.] исследован вопрос о поведении решений линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса с любым числом пространственных переменных вида
щ: - 1)А1Г = дпас[р + <Ц-, сШг г/ = О
при стремлении т)-*- О.
Для похожих уравнений в [73] построено асимптотическое ф разложение волновых движений вязкой жидкости со свободной
границей.
Что касается трёхмерных задач для систем уравнений, содержащих конвективные члены, то до последнего времени о их реше-
-.11-
ниях при стремлении коэффициента вязкости к нулю ничего конкретно не было известно, кроме того что всё множество решений при л) “*■ О остаётся ограниченным в 1 Б первую очередь такое положение вещей связано с тем,
что для полной нелинейной системы уравнений Навье-Стокса не доказано существование единственного сильного решения соответствующей краевой задачи на заранее обусловленном отрезке времени [О, Т]. Решение существует либо локально, причём интервал разрешимости пропорционален коэффициенту вязкости ~д7 либо при выполнении определённых условий, ставящих значения начального поля скоростей и массовых сил в зависимость от величины V. .
Обойти эту трудность пытались многими способами, в том числе изменением исходного предположения о характере зависимости тензора напряжений от тензора скоростей деформации [1*17
37,39-40, 50, 6&-71, 7?-75]
и др.,
но особых сдвигов в изучении проблемы исчезающей вязкости это не принесло.
В этом отношении более эффективным оказался подход, описанный В.П.Масловым в его монографии [5 8] (см. также [57] ) где при помощи модификации начально-краевой задачи
за счёт задания в специальном виде начального условия, строится асимптотическое представление изучаемой задачи по парамет-. РУ Л
В недавно опубликованных работах К.Асано [ 99 ~ 10 0 3 • с помощью оригинальной методики, основанной на обращении
оператора, сопоставляемого системе уравнений Эйлера, исследуются вопросы разрешимости и асимптотики по вязкости полной системы уравнений Навье-Стокса, рассматриваемой в полупрост-
-4£-
ранстие с условиями прилипания на твёрдой границе и при условии аналитичности всех входящих в задачу известных функций. Утверждается о сходимости решений системы уравнений Навье-Стокса к системе уравнений Эйлера и приводится сответ-ствующал асимптотическая формула. Справедливость своих рассуждений автор выводит из применимости к рассматриваемой задаче абстрактной теоремы Коши-Ковалевской.
Т.Като принадлежит условный результат о сходимости слабого решения Хопфа для системы уравнений Навье-Стокса к гладкому решению системы уравнений Эйлера. В качестве условия для решения У системы уравнений Навье-Стокса требуется выполнимость соотношения
4 Ё(Р")
где О. - область определения решения, т - размерность исходного пространства ( [^1Z]).
В первых трёх главах данной работы объектом изучения является линеаризованная система уравнений НаБье-Стокса вида
сШг Н=0, (2)
где 1) - малый параметр, характеризующий вязкость, 0? =
= (4,4Л), “/= - известные трёхмерные
соленоидальнке вектор-функции. Областью задания системы (I)--(2), а значит и её решения ?/"= (V] } считается
ограниченная область ^ 0 границей 5 ПРИ
1 € [0У Т}у где Т ~ СОП&Ь.
В §§ 1-5 главы I рассматривается случай, когда система (1)-(2) с начально-краевыми условиями
-43 -
гг/,-0, *е[0,Т]ъ (3)
Ч-о-а» * е £2
(4)
представляет собой линеаризацию задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости внутри области, граница которой непроницаема для жидкости.
Конкретно это выражается в том, что на &(ХуЬ) накладывается условие
і Є [О,ТІ • (5)
где п - вектор внешней нормали к границе 5.
Наличие для задачи (1)-(4) решения из * [0,7*])
гарантировано в силу теоремы I из £3 8] при любых ]4>0? поэтому в §§ 1-5 исследуются свойства множества заданного соотношениями (1)-(4) с условием (5).
Тем новым приёмом, благодаря которому удалось исследовать
у
линеаризованную систему (1)-(2) с максимальной степенью общности, явилось введение понятия обобщённой полной производной по вектору _
Именно, пусть У в СХ,1(С1 х [О, Т]). Полной производной вектор-функции у по вектору 5 в точке =(рС1,ХЯ)Х3->
названо выражение
3
М - і?! Ш а & + М
сів 131 де кґі*дхк ді
где 15 І = V 4 + $2 + И>і +1.
Пусть теперь вектор-функции іі = ,
І у = (іО'і ? ІіУг ) 7сГ3) • принадлежат пространству [>( (О. х [ОТ1]) так чт0 они> в частности, суммируемы
-14-
в любой внутренней подобласти из £2* [0}Т]. Если для любой бесконечно дифференцируемой, финитной В С1 х [01ГТ1.] вектор-ф)ункции ^ ^ ^з) справедливо тождество
ЦыЧсЬсИ = -1 и % с1хс/{,
(2Т ^ ^
то вектор-функция Ю' называется обобщённой полной производной вектор-функции и по вектору $ в области Х2 * [ОуТ1.
Для неё сохранено обозначение с! И / с1 5. Обобщённая
полная производная по вектору 5 будет обла.дать всеми общими свойствами обобщённых производных, перечисленными в (7б 1Ц -Для вектор-функции ?/7 являющейся решением задачи (I)-
-(4), с1и/с1ё [0,Т]).
С использованием понятия обобщённой полной производной по вектору $ уравнение (I) перепишется в виде
Ш - ^а/г =^р +/-
Оказалось, что при 1) — 0 для решений системы (I)-
-(2) с начально-краевыми условиями (3)-(4) справедлива априорная оценка
с/ (р§) ахск д/
«V аь се)
где (!?т= С2*[0,т]} N = СОПйА ^ N не увеличивается
при -0—0.
На основании априорной оценки (6) и известных Априорных оценок 3
4 ^с/х ± N 9 * Л/
делается вывод о наличии у множества { 1? } предельных
V
- 45-
точек VЬ , Ъ - ./,2, таких, что при О
V 2/^ слабо в Ь^Шт),
гГ^ — 1/Ь слабо в 1_,гСО.) ПРИ ^£[ОуТ]}
сЫ^ ^ б/У^ слабо в ^((!1Г\
С1$ С<Г
Вводится банаховое пространство функций \Х/,$У(?Г) с нормой
>пягАычХсН * т/1 Щ
ЦТ “т
в терминах которого определяется обобщённая постановка начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений Эйлера в следующем виде.
Определить функцию 6 У/*'°ЩТ) и функцию
кГ б щ? ю так, чтобы выполнялось равенство
и условия
где ](0)
- ья(о.)
области,
Основываясь на свойствах пространства Ц^6*($г) делается вывод, что решение задачи (7)-(9) единственно, и, в то же время, все функции \1Ъ } Ь = .4,2,..., будут удовлетворять задаче (7)-(9).
Ш~тъас1^+{ .
иг/^о = а> (8)
ы\^!(а)} о)
подпространство соленоидальньгх функций из с нулевой нормальной компонентой на границе
Отсюда и выводится основной результат о поведении решений задачи (1)-(4), который заключается в том, что при -~0
В параграсТах 6,7,8 первой главы и в главах II и III для системы Ц)-(^) изучается задача протекания. Но таи как система (1)-(2) линейная, то без ограничения общности зераевые условия взяты нулевыми, а всё отличие задачи протекания от задачи движения падкости внутри области состоит г, отличии условий па функцию 8 (х, £).
Конечно, как 1фи линеаризации полной нелинейной системы уравнений Павьо-Стокса, тазе и при приведении системы с неоднородными краевыми условиями к системе с однородными ус-ловиями, в уравнении (I) появляются другие члены, кроме тех, что записаны в правой части (I). По так как все они не вносят дополнительных трудностей в исследование, а нам вално выяснить принципиальные свойства решоиий, то в уравнении (I) оставлены лишь члены определяющие основные характеристики веления.
В дальнейшем, при изучении линеаризованной задачи проте-кании предполагается, что грани ид 5 области С) разбита па три поверхности 5^5^ $3) причём поверхности SJ и 5^ ме;дду собой не соприкасаются, так что на 8- п < 0 при
всех +€[0,Т] на 8-11=0 при всех { £ [0Т]7 на
. 8‘П'^ О при всех { <= [ОТ].
Киши словами, гранинд области не совпадает цели-
ком с харают ори с тиче с кой поверхностью для уравнения
V1* слабо сходится в Ь2(П) равномерно но £ к фушещи 1Г°€ ($т)} являющейся единственным решением вырожденной
слабо сходится
В Д(£?т) к с1иа/с1з.
-17-
и ^56,7,0 первой гласи догазаио, что решения системы уравнений (1)-(2) слабо сходятся к обобщённому решению системы (10) с соответствен.нм условием
с^и а = о (и)
р. том случае, если краевая задача для системы (1)-(2) сформулирована по во всей дагиадрической области 7 а в некоторой оо подобласти, построенной так, чтобы поверхность выхода характеристик из трёхмерного объёма образовывала ХараКТе-
рИОТПЧеСКуЮ ГЛНСрНОВСрХНОСТЬ ДЛЯ ураПНОНИЯ (10) В ЧСТНрёХ-
морном пространстве.
При г.том возникла необходимость в доказательстве существования и единственности решения краевой задачи для системы Ш-(2) в иовдшщцричсской области. Теорию решения краевых задач для нестационарных уравнения в нециливдрических областях нельзя признать достаточно разработанной, хотя к настоящему времени появилось уже немало работ, посвящённых подобным вопросам. Так, в частности, и для систем уравнений Навьё--Стокса и Эйлера имеются доказательства существования решения в специальных функциональных пространствах при различных понятиях слабого и обобщённого решения С 31, ЮХ? 106 ~ 10?^ ЛЗУ 119 -120, 122 ].
В § б предлагается свой способ доказательства существования решения для системы уравнений (1)-(2) в том случае, когда граница области определения решения изменяется с течением времени но известному закону.
Затем для решения системы (I)-(2) в четырохмериой области Ц ^ ? граиииа которой состоит из характеристнчес1шх гиперповерхностей в для равнения (10), доказывается
а при о оная о це шеа
1 (4=) дхсН ^ /V, А/ = сом£,
•V/}* ^ ^
-Л8-
которая даёт возможность обосновать предельный переход по 1) — О от решения исходной краевой задачи к специаль-ньм образом сформулированной вырожденной задаче для системы вида (7).
Главы II и III посвящены исследованию задачи протекания сформулированной традиционным образом в ідшиїдрической области, то есть в пашем случае, исследованию задачи (1)~(4) с тем условием па функцию о котором шла речь выше.
Б хсачество аппарата исследования применяются квазинорми-рованные пространства, введённые с использованием полной производной но вектору 5-
Вся глава II посвящена определению и описанию свойств таких пространств. Кроме того в § I главы II излагается универсальный способ построения для пространств ссленоидальных функций аппроксимирукхцих последовательностей гладких функций.
Вопрос об аппроксимащи неизбежно встаёт при введении новых функциональных пространств. ІіХіу уделено достаточно внимания в исследованиях разных авторов, начиная с С .
Для пространств солеііоидадтпінх функций о тот вопрос, кромо [5] глубоко изучался в [£9~30, ^З-^,55-58, 513.
Формулировзса и доказательство приводимой в § I главы II леммы 2.1.1 явились результатом привлечения для пространств соле поддал ыпсс Функций основных идей, с помощью которых л сдобный вопрос решён в [ 12, ].
Глава III посвящена непосредственному исследованию решений задачи (1)-(4) при V -*0 з том случае, когда
8-й 1^*0. аг)
Кроме введённых квазинормироваииых пространств, в исследовании существенным образом использованы новые априорные, о це шеи для задачи (I) - (4), (12):
-10-
docdl < N1} Nj - cond ■
DZJ^ (jkfdxdi <iNZy A4 = ;
где Sr = S * [0,T] ■
J (jffdxdU A/3) A/3 = eotid,
где г<}£и = 1T? U]j = 0',
Г pzdxdi < Nif N/f = cored' ^
i; (ШСШЫ Ns, Ns =
где = [0,T]^ aQ*- ото произвольная подобласть в
£2 отделённая otS3>t.g. JQ* - это дополнение в ..Q к ненулевому слою5 прилегающему в Q к S3.
Их выводу посвящён § 2 из главы III. Ключевым звеном для всей цепочки оценок из § 2 является вывод неравенства (14) на границе области. Оно получено с помощью своеобразного приёма, который может оказаться полезны?.! во многих других случаях, когда иные способы вывода аирионых оценок не приводят к успеху.
Б §§ 3,4 па основе оценок (1*3)-(14) из множества рошо-ний {Vv } у^0 задачи (I)-(4),(I2) вьщеляются подпоследовательности \VVu-} слабо сходящиеся к некоторым функциям if h. £>=1,2,..^ принадлежащим определёинш квазинормированнш пространствам .
В терминах введённых квазинормировашшх пространств формулируется обобщенная постановка начально-тфаевой задачи для линеаризованной системы уравнений Эйлера. Доказывается, что её решение единственно и что все функции if Ь? ей удовлетворяют. Откуда, так же icqk в главе I, делается
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
-2.0-
вывод, что решения задачи (I) - (4), (12) при т)-*~0 слабо сходятся к решению вырожденной задачи в Ь^СО.) при каждом Ь£[0УТ]^ причём с\у^/сЫ слабо сходится в пространстве /, (13*) ДОя любой подобласти „О* отделённой от Б, к пол-
X' 'Т ' 3?
ной производной по вектору § от решения вырожденной задачи.
Устанавливается, что в том случае, когда 5^ с £>^ образуют при пересечении ненулевой двугранный угол, нигде не развора-
чивающийся до 180°, любая гладкая функция, удовлетворяющая задаче протекания для линеаризованной системы уравнений Эйлера в классическом смысле, будет и решением обобщённой начально-краевой задачи, то есть будет слабым пределом решения задачи (I)--(4), (12).
В главах 1У и У рассматривается полная нелинейная система уравнений Навье-Стокса
- ГоЛ/> * $ , (18)
сШУ'-О, <19)
в ограниченной области ^£[0^Т] при известном
начальном значении скорости течения
щ1я0'а- (20)
Но на границе Й области £1 вместо традиционного задания полного вектора скорости ставится нестандартная краевая задача, когда на одних участках границы задаётся полный вектор скорости, а на других - условие непротекания с требованием того, чтобы мгновенная ось вращения совпадала с вектором нормали к границе.
Интерес к нестандартным краевым задачам для системы (18)--(19) вырос в последнее время [21, 101 , 102]
Как обычно, появление новых постановок вызвано тем, что для ряда гидродинамических задач использование стандартных краевых условий сопряжено или с непреодолёнными математическими трудностями, или с отклонением свойств математической модели от экспе-
-2,1-
рименталышх характеристик исходной физической задачи.
В частности, кроме отмеченной иыше локальности по времени существования гладкого решения первой краевой задачи, другая трудность состоит в том, что слабое решение системы уравнений Навье-Стокса, существующее на любом заданном промежутке [0,7*]^ в то же время не единственно.
Предлагаемая в данной работе постановка привлекательна тем, что она позволяет в ряде случаев дать асимптотическое представление слабого решения системы уравнений Навье-Стокса через систему уравнений Эйлера, а отсюда, кроме всего прочего, следует, что два возможных решения исходной задачи в определённом смысле мало отличаются между собой.
Правда, те определения слабого решения системы уравнений Навье-Стокса, которыми обычно пользуются, обладают рядом недостатков, затрудняющих проведение выкладок при доказательстве справедливости асимптотического представления. Причины этого подробно обсуждаются в § I главы 1У, где затем предлагается новый способ определения слабого решения, в некоторых отношениях более удобный по сравнению с ранее известными.
Этот способ в равной мере пригоден для краевых задач любого типа, поэтому определение в § I главы 1У сформулировано так, что подходит как к первой краевой задаче, так и ко второй, и, конечно, к той нестандартной задаче, для которой впоследствии строится асимптотическое представление.
Граница 5 области О предполагается состоящей из О гладких частей (1 = 1...у07 которые могут соединяться
друг с другом как гладким образом, так и образовывать при пересечении двугранные углы, обращённые своими рёбрами во вне области О.
(£3)
-££-
Пусть множество = ^ р в силу 1саккх-лмбо сооб-
ражении разбито на два подмножества {5;}г* = ^ ... т {Б:}О различающихся характером поведения фупк-
^ J-///*■/}и, ">
1$ш V па них, так что
Т/|я.= 0, /-Д...,/я, (21)
«У
Г/г* гю(гг]16 = о, } г>,
»/
где символом И обозначена внешняя нормаль к
й = Бли 5ги... и 8Ь.
В дальнейшем, при выполнения на отдельных участках Гранины условий (22)-(23), говорится, что годность ВДОЛЬ этих участков регулятло нхюокальзьшает, а условия вида (22)-(23) называются условиями регулярного проскальзывания.
о
Пусть ](($г) - подпространство функвуш из Ь^^т)>
прииадлолаишх с7(0) ври почти всех ^^[0УТ], Обозначим
через 1“>1($г? ,3П1) подпространство соленоидальных
функций из , удовлетворяющих условию:
веди ие]*,г((!{т&г.,5т)™ при всех *6[0,73 Ы/^-0, /=У,
а через Нк’г пространство /7*,г =/*'г(Щ.Т^г.Вт)Г)]((^Т).•
Слабт? решением задачи (18)-(23) называется функция 1/£ Н*>°1 которая для не ох Н удовлетворяет
неравенству
14(1Г(я>Н+<Р(я,Ь)г£/я + т)^[^(И + Ф)]гс/хсЦ <
< + Ф(хр'))'с{х. +^ Ф '1(>Ц'и+ Ф)с{х сН +
.3
- 2.3 -
С помощью метода Галёркина доказано, что при Cl С
о
В § 2 рассмотрен случаи, когда вся границ S леироии
■j,) такая функция 7/ существует.
вдома для жидкости и вдоль S жидкость регулярно проскальзы-
вает . Доказано, что тогда все слабые решения системы уравне-
ний liaчье-Стокса, определяемые посредством неравенства (24), отличатся от решения начально-крае вон задачи для системы
гладкое решение задачи (25)-(26).
В 55 3,4,5 рассматривается задача протекания вязкой не-с:;дааемой жидкости сквозь цилиндрическую область, у которой образующая перпендикулярна основаниям, представляющим из сесія плоские области. Одно основание, через которое по предположению ящкость втекает в £2 ? обозначено Б^ боковая поверхность обозначена Б^ а другое основание, через которое жидкость вытекает из О обозначено Б3.
Для системы уравнений ІІавье-Стокса (15)-(19) задаются значения вектора скорости на Б^ на Б^ и начальное значение скорости в каждой точке из £1
W \/s ni! 01-і її* г :Д*7Г£>Г>П
(20)
(27)
-2Л -
что жидкость вдоль лого регулярно проскальзывает, т.о.
ят- задами (18), (19), (27)-(ЗІ) устанавливается
(ЗІ)
(ЗО)
существовании слабого решения, определяемого посредством интегрального неравенства, аналогично тому, как бшхо опредс-лепо слабое решение однородной краевой задачи.
ними краевыми условиями (27),(28) проводится при помощи све-депия отой задачи к задаче с однородными краевыми условиями. Для этого строится солеиоидальиая функция, удовлетворяющая условиям (27), (20) и (30). Необходимость особого построения такой функции вызвана тем, что общий способ из [40]. но обеспечивает .достаточной гладкости такой тушении в связи с наличием двугранных углов между выделенной частями границы.
В £§ 4,5 доказывается, что каждое слабое решение задачи (18), (19), (27)-(31) могло представить в виде
іоіиізательстг>о существования решения задачи с иеоднород-
гг = и + $1 + /7 /у,
где и - гладкое решение вырожденной задачи
(32)
СІШ и = о,
(33)
(34)
- интервал существования рекення задачи (32)-(35).
_£ 5-
лрокзвольник областях ещё дале;са до своего окончательного решения. Для существования гладкого решении от входящих г задачу (32)-(35) известных функций требуется выполнимость ряда условий согласования, зависящих от формы области. Причём эти условия не имеют универсальной формулировки, подходящей к областям различной формы.
В связи с этим в данной работе существование гладкого решения задачи (32) -(35) принимается в качества исходного условия.
В ряде случаев, п в частности, при тех предположениях о форме области, которые приняты в §§ 3,4,5 главы 1У, конкретные условия па известные функции, при которых задача (32)--(35) имеет гладкое решение, мо?лю определить в соответствии с методикой из ГЯЗ, 1’Де, кроме того, содержится библиография по данному вопросу к раскрыты ключевые аспекты проблемы.
Как ото обычно имеет место при выводе асимптотических представлений, вся слошюсть доказательства его сгфавежливости заключается в оценке остаточного члена Этому посвящён § 5 главы IУ. Одним из принципиальных условий, выполнение которого необходимо для справе.дливости асимптотического представления, является ограничение снизу на нормальную компоненту вектор-функции Л (х.,4). То есть
П’с1(я& > А, (36)
где величина Д конструктивно оценивается исходя из данных задачи.
Ъ главе У изучается движение вязкой несжимаемой жидкости сквозь области более произвольной формы, чем это .допускалось условиями главы ГУ.
Предполагается, что поверхности вх п - шюеше,
расположенные па конечном, ненулевом расстоянии друг от друга, но обязательно параллельные ме;;ду собой, а поверхность Бг
С С _гб_
соединяет о1 и о 5 так, что все вместо они образуют замкнутую односвязную поверхность 5=5ли Бги в,, не имеющую самопересечений и ограничивающую со всех сторон трёхмерную область О . с Б^ и с Бг при соединении
друг с другом образуют ненулевые криволинейные двугранные углы, нигде не развёртывающиеся до 180°.
С этими предположениями о форме области рассматривается задача (18), (19), (27)-(31), для которой устанавливается существование слабого решения, определяемого посредством интегрального неравенства.
Доказательство существования решения задачи (18), (19), (27М31) так же проводится путём сведения её к задаче с однородными краевыми условиями. Но только в данном случае построить функцию, сводящую задачу с неоднородными краевыми условиями к задаче с однородными условиями, гораздо сложнее, чем в главе 1У. В связи с этим в § 2 выделено построение гладкого финитного соленоидального продолжения с границы, имеющей двугранные углы* Самому доказательству существования решения задачи (18), (19), (27)-(31) и формулировке соответствующих результатов посвящён § 3. .
В §§4,5 показано, что если криволинейный двугранный угол между И Б-^ является тупым, а известные функции сЬ;
Д удовлетворяют некоторым дополнительным условиям,
то каждое слабое решение задачи (18), (19), (27)-(31) можно
представить в виде
У=и+Р+91+/7^, (37)
где и - гладкое решение вырожденной задачи (32)-(35), р -
- функция погранслоя вблизи линии пересечения Б - Л Б,
- функция погранслоя вблизи Б^ 7 ~ остаточный член,
ограниченный в ) при всех ^ из интервала существования
решения задачи (32)-(35).