Нелинейная динамика предельно коротких оптических импульсов

Оглавление
Введение 5
1 Солитонные структуры волнового поля с произвольным числом колебаний в среде керровского типа 28
1.1 Редуцированное волновое уравнение для задачи самовоздействия лазерных импульсов в газе................................................. 30
1.2 Солитонные структуры циркулярно поляризованного поля в среде с
«низкочастотной»дисперсией......................................... 33
1.3 Солитонная динамика волнового ноля. Формирование циркулярно поляризованного солитона.................................................. 42
1.3.1 Динамика солитонов с циркулярной поляризацией................43
1.3.2 Возбуждение солитона с циркулярной поляризацией . ..........44
1.3.3 Динамика «солитонов»с линейной поляризацией..................44
1.4 Динамические свойства «упругих»взаимодействий волновых солитонов с малым числом осцилляций поля .................................... 47
1.4.1 Частоты сталкивающихся солитонов одинаковы.................. 48
1.4.2 Частоты сталкивающихся солитонов различны....................51
1.5 Волновая динамика с учетом высокочастотной дисперсии............... 54
1.6 Самокомпрессия электромагнитных импульсов и генерация солитонов
с предельно короткой длительностью................................. 58
1.7 Солитонные структуры циркулярно поляризованного поля с произвольной степенной нелинейностью......................................... 63
1.8 Обсуждение результатов............................................. 66
2 Исследование структурных особенностей динамики самофокусировки импульсов с шириной спектра порядка центральной частоты 67
2.1 Волновое уравнение в безотражательном приближении для задачи самовоздействия трехмерных волновых пакетов............................... 69
2.2 Качественное исследование динамики самовоздействия .................75
2
ОГЛАВЛЕНИЕ З
2.3 Динамика самовоздействия волновых полей в среде без дисперсии ... 82
2.3.1 Самовоздействие «скалярного»(линейно поляризованного) поля 82
2.3.2 Самовоздействие циркулярно поляризованного поля................87
2.4 Особенности динамики самовоздействия в среде с дисперсией...........100
2.4.1 Аномальная дисперсия..........................................102
2.4.2 Нормальная дисперсии..........................................105
2.5 Обсуждение результатов..............................................108
3 Трансформация спектра и самокомпрессия мощных фемтосекундных лазерных импульсов при ионизации газа в диэлектрических капиллярах 110
3.1 Структура «холодиых»мод диэлектрического капилляра..................111
3.2 Система уравнений, описывающая пространственно-временную эволю-
цию поля при распространении мощного лазерного излучения в газонаполненном диэлектрическом капилляре ..............................117
3.2.1 Эволюционное уравнение для поля...............................118
3.2.2 Граничные условия.............................................121
3.2.3 Балансное уравнение...........................................125
3.3 Качественное исследование...........................................128
3.3.1 Закон сохранения энергии в электромагнитном импульсе .... 129
3.3.2 Закон изменения спектральных характеристик....................130
3.3.3 Оценка на одномодовой режим распространения излучения через капилляр........................................................134
3.4 «Квазиодномодовый»режим распространения излучения ..................136
3.4.1 Эффективность прохождения излучения через капилляр .... 136
3.4.2 Трансформация спектра выходного излучения ....................141
3.5 Ионизационный компрессор на пути к сверхкоротким и сверхинтенсив-
ным лазерным импульсам .............................................149
3.5.1 Ионизационная трансформация спектра ионизирующего импульса. Возбуждение «нелинейной»моды в капилляре. Эффективность прохождения излучения......................................149
3.5.2 Ионизационная самокомпрессия оптических импульсов милли-джоульного уровня в газонаполненных диэлектрических капиллярах ..............................................................161
3.6 Обсуждение результатов..............................................174
Заключение
176
4___________
Литература
ОГЛАВЛЕНИЕ
181
Благодарность
Многие друзья и коллеги помогли мне, прочтя различные главы и разделы этой диссертации и сделав многочисленные полезные советы. Я очень благодарен всем им. Автор выражает глубокую признательность научному руководителю А. В. Киму и В. А. Миронову за руководство работой, А. Г. Литваку, А. М. Сергееву, А. А. Балакину, Д. В. Карташову, А. Н. Степанову, Г. М. Фрайману за плодотворные дискуссии как в ходе выполнения исследований, приведенных в диссертации, так и в ходе подготовки материалов диссертации.
Автор благодарит свою семью за понимание, почему мне потребовалось провести многие выходные дни в работе над диссертацией, вместо того, чтобы разделить время с ними.
Работа выполнена при финансовой поддеряске: Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов: РФФИ - 02-02-16065, РФФИ - 04-02-16420, РФФИ - 05-02-17517, РФФИ - 05-02-17509), фонда «Династия», Фонда содействия отечественной науке, Программ Президиума РАН «Фемтосекундная оптика и физика сверхсильных лазерных полей», «Фундаментальные проблемы нелинейной динамики».
Введение
В последние десятилетия был достигнут значительный прогресс в генерации ультракоротких сверхсильных лазерных импульсов. Этот прогресс связан с появлением в середине 80-х годов компактных твердотельных лазерных систем, использующих метод усиления частотно-модулированных импульсов [1,2]. С их помощью оказалось возможным достижение интенсивностей на 4 порядка выше достижимых ранее. Благодаря ультракороткой длительности генерируемого лазерного излучения, при относительно небольшом уровне энергии, содержащейся в лазерном импульсе, стало возможным достигать беспрецедентно больших мощностей лазерных импульсов -тсраваттного и иставагтного уровня, и плотностей потока световой энергии - до 1022 Вт/см2 |3]. Напряженности электрического ноля, достигаемые при этом в сфокусированном лазерном пучке, оказываются порядка или даже многократно превосходят характерное электрическое поле, определяющее связанное состояние вещества, что приводит к мгновенной ионизации атомов. В результате взаимодействие такого излучения с веществом, вне зависимости от его агрегатного состояния, приводит к образованию плазмы. При таких интенсивностях и длине волны порядка 1 мкм, характерной для лазеров, электроны плазмы осциллируют с релятивистскими скоростями, что открывает совершенно новые, не исследованные ранее режимы взаимодействия излучения с веществом. При этом импульсы имеют чрезвычайно малую длительность: от 10 фс до 1 пс. Это меньше, чем характерные времена гидродинамического движения и термализации плазмы. Следовательно, оказывается возможным создание неравновесной плазмы с концентрацией вплоть до твердотельной.
Прогресс в технике генерации сверхкоротких лазерных импульсов не только позволил сформулировать принципиально новые подходы к решению задач, связанных с возбуждением и исследованием вещества в сильно неравновесных состояниях, но и обеспечил (в связи с созданием «настольных»источников мощных лазерных импульсов сверхкороткой длительности, способных функционировать в широком спектральном диапазоне: от УФ до среднего ИК) широкий фронт проведения экспериментальных исследований в этом направлении.
Исследование взаимодействия сверхсильных оптических полей с веществом в на-
6
Введение
стоящее время, как уже отмечалось выше, наиболее интенсивно ведется в фемтосекундной области. Поэтому создание тераваттных лазерных комплексов заложило основу еще одной области фундаментальной лазерной физики - физики сверхсиль-ных оптических полей (которая тесно связана с физикой плазмы и физикой высоких энергий) и порождаемых ими специфических экстремальных состояний вещества. Взаимодействие сверхмощного лазерного излучения с веществом успешно используется сегодня для решения широкого круга фундаментальных и прикладных проблем физики: создания сверхдальних лидаров и нелинейной спектроскопии атмосферы, когерентных источников излучения в рентгеновском диапазоне длин волн, управляемого термоядерного синтеза, ускорения частиц и формирования высокоэнергичных потоков заряженных частиц и даже лабораторного моделирования астрофизических процессов [2,4].
Эти революционные достижения в технологии генерации лазерных импульсов усилили и в значительной степени обусловили интерес к вопросам их взаимодействия с веществом. Комбинация высоких интенсивностей с короткой длительностью делает взаимодействие таких импульсов с веществом уникальным.
Таким образом, одно из современных направлений в исследовании взаимодействия электромагнитного излучения с веществом связано с использованием все более коротких электромагнитных импульсов. При этом удается выйти на более высокий уровень интенсивностей при той же энергии в импульсе. Новые возможности, которые открываются по мерс укорочения длительности импульса, связаны с уширением спектра волнового поля. Развитие оптических методов генерации и детектирования терагерцовых импульсов с использованием фотопроводников и нелинейных кристаллов |39,40] также стимулирует активный интерес к применению широкополосного излучения в фундаментальных и прикладных исследованиях [42,43]. Развивается и нелинейная оптика атгосекундных импульсов [44].
Теоретические исследования показали существование специфической особенности предельно коротких импульсов, приводящей к возможности подавления дифракционной расходимости волнового поля на трассе распространения в вакууме [45-47]; обсуждаются возможности эффективного ускорения зараженных частиц предельно короткими импульсами [48]. Имеется сообщение об экспериментальном наблюдении сверхдальнего распространения пространственно локализованного сгустка («электромагнитного снаряда») [49]. Проведены экспериментальные исследования пространственно-временной фокусировки сверхкоротких импульсов тсрагерцо-вого излучения (наблюдение эффекта Гойя) [50], особенностей ионизации атомов из ридберговских состояний [51-53]. Эффективно развивается томография биологических объектов [42].
Введение
7
В связи с этим возникает новая в теоретическом плане проблема исследования особенностей распространения сверхкоротких импульсов конечной амплитуды, дифракции их в неоднородной среде и взаимодействия широкополосного излучения с веществом. Особенности теоретического описания пространственно-временной эволюции импульсов с шириной спектра порядка несущей частоты связаны с невозможностью применения традиционно используемой в теории волновых процессов приближения медленно меняющихся амплитуд для исследования динамики системы. Необходимо также и получение материальных уравнений, адекватно описывающих линейную и нелинейную дисперсию показателя преломления среды в широком диапазоне частот в области прозрачности |54-5б]. Следует отметить, что сходные задачи, связанные с описанием заметного уширения спектра излучения, возникают и в композитных средах, например, в кластерной плазме [28), и при изучении такого уникального явления как сверхдальиое распространение ионизирующего фемтосекундного лазерного излучения в атмосфере [58,59].
На пути решения этой проблемы используются несколько подходов. Прежде всего следует отметить, что для исследования особенностей динамики сверхкоротких импульсов все чаще обращаются непосредственно к численному решению уравнений Максвелла. Однако даже при использовании самых сверхмощных компьютеров удается проводить исследование лишь двумерных волновых полей на довольно ограниченной трассе распространения [60]. Очевидно, что этого недостаточно для описания реальной ситуации самовоздействия полей, поскольку динамика процесса определяется конкуренцией эффектов дифракции и нелинейной рефракции и, следовательно, существенно зависит от размерности задачи.
Наибольшее распространение получило обобщение приближенного метода медленно меняющейся огибающей, связанное с учетом зависимости групповой скорости от амплитуды волнового поля, линейной дисперсии среды (см. например [28,59,61-63]). В результате задача сводится к анализу уравнения для огибающей волнового пакета, которое иногда называют нелинейным уравнением Шредингера (НУШ) высокого порядка. Порядок определяется максимальной производной от показателя преломления среды но частоте, которую учитывают при получении уравнения.
Третий подход основан на рассмотрении безотражательного распространения импульса в однородной среде. Предполагается, что пространственно-временная структура волнового поля плавно меняется в процессе однонаправленного распространения импульса по трассе из-за дифракции и нелинейности среды, т.с в щхшебрежении эффектами отражения [45,56,64,65]. В случае квазимонохроматического излучения такой подход, очевидно, соответствует переходу к уравнению для огибающей. Учет
8
Введение
конечной ширины спектра приводит к новым эффектам, которые проявляются в долговременной эволюции пространственно-ограниченного импульса: формирование дифракционного предвестника, образование характерной подковообразной структуры и дублета в спектре волнового поля [45,64].
Еще один способ основан на представлении решения исходных уравнений Максвелла в виде набора негармонических пространственно-временных структур автомодельного типа, распространяющихся как в прямом, так и в обратном направлении. В отличие от предыдущих подходов это позволяет, например, рассматривать динамику отражения сверхкороткого импульса от плоской границы раздела двух сред [67]. Однако, остается неясной возможность обобщения этого подхода на пространственно-ограниченные (в поперечном направлении) волновые поля.
Проведенное выше обсуждение различных подходов к исследованию эволюции сверхкоротких импульсов позволяет выделить особо приближенное описание процессов в предположении плавного изменения волнового поля при его распространении в среде. Очевидно, что это приближение выполнено как для «видиоимпульсов», так и квазимонохроматических волновых пакетов. В данной диссертации будет проведено развитие такого (третьего) подхода для исследования динамики салювоздействия широкополосного излучения в среде с нелинейностью керровского типа.
Следует отмстить, что в исследованиях динамики самовоздействия подобных волновых пакетов преобладающим является численное моделирование. В то же время весьма привлекательными представляются попытки аналитического исследования, позволяющие сформулировать некоторые общие выводы о динамике системы. В представленной работе, наряду с численным исследованием эволюции системы, развиты методы аналитического исследования.
Кроме того, в диссертации теоретически исследуются новая схема самокомпрсс-сии фемтосекундных лазерных импульсов, основанные на взаимодействии мощного лазерного излучения с газами и плазмой, заполняющими диэлектрический капилляр. Диэлектрические капилляры при этом используются для обеспечения достаточно большой длины взаимодействия излучения с газом или плазмой за счет волноводного режима распространения излучения. Идея использования полых сверхразмерных диэлектрических волноводов (с диаметром много больше длины волны) для транспортировки лазерного излучения впервые, по-видимому, обсуждалась в работе (75]. В этой же работе проведен детальный анализ волноводных свойств диэлектрических капилляров. Достоинствами диэлектрических капилляров как квазиоптических волноводов для транспортировки лазерного излучения является высокая эффективность транспортировки (малая величина потерь при достаточно большом диаметре), легкость изготовления и изменения параметров волновода, возможность создания до-
Введение
9
полнительных структур на стенках волновода (например, гофрировки), меняющих условия взаимодействия излучения с газом или плазмой, относительная простота настройки. В тоже время существует ряд технических проблем при использовании капилляров для транспортировки мощного лазерного излучения. В частности, максимальная мощность, которая может быть транспортирована в данном волноводе, ограничена полевым пробоем стенок. Кроме того, существует проблема образования плазмы на входном торце капилляра вследствие его ионизации входным лазерным пучком. Высокая эффективность использования диэлектрических капилляров в задачах параметрического взаимодействия волн была продемонстрирована в работах [29—311, в задачах генерации высоких оптических гармоник в работах [93-95], транспортировки мощного лазерного излучения в работах [76,96-99], ускорения частиц в работах [98,100]. В представляемой диссертации проведено детальное численное исследование трансформации спектра при распространении мощных фемтосекундных лазерных импульсов в газонаполненных капиллярах в режиме ионизации газа. Первые подобные исследования были выполнены в работе [76]. Полученные результаты использовались для реализации самокомпрессии лазерных импульсов на ионизационном механизме нелинейности в капилляре.
Целью предлагаемой диссертационной работы является:
• аналитическое и численное исследование закономерностей нелинейной волновой динамики электромагнитного излучения, содержащего конечное число периодов поля;
• исследование новой схемы самокомпрессии фемтосекундных лазерных импульсов до предельно коротких длительностей на миллиджоульном уровне энергии с использованием ионизационной нелинейности.
10
Введение
Научную новизну проделанной работы характеризуют следующие основные моменты:
1. Найден новый класс устойчивых уединенных решений волнового поля, описывающий распространение в нерезонансной среде солитоноподобных структур циркулярно-поляризованного излучения с произвольным числом осцилляций ноля. Впервые показано, что найденные волновые солитоны с малым числом осцилляций поля устойчивы относительно парных взаимодействий. В результате соударений не происходит излучения свободных полей, т. е. несолитонной части спектра, сохраняя тем самым общую энергию, заключенную в солитонах. Кроме того, солитоноподобная структура волновых полей не нарушается, т.е. волновые солитоны остаются солитонами и после соударений.
2. В среде с нелинейностью керровского типа и плазменным законом дисперсии показано, что произвольный оптический импульс распадается на найденные со-литонные решения нелинейного волнового уравнения. Впервые проанализировано влияние высокочастотной дисперсии на перестройку частоты и амплитуды волнового «солитона».
3. Впервые аналитически найден новый класс солитонных решений нелинейного волнового уравнения с нелинейностью степенного типа (Рп/ ~ Е2т ■ Е, где т - целое число) и волноводным законом дисперсии.
4. Методы качественного исследования динамики самофокусировки квазимоио-хроматичсского излучения обобщены на случай волновых пакетов с длительностью несколько периодов колебаний поля.
5. Использование преобразования автомодельного типа показало, что вблизи особенности дисперсионные эффекты ослабляются, и существенную роль играет нелинейная дисперсия среды (зависимость групповой скорости от амплитуды поля). Самофокусировка волнового ноля сопровождается опрокидыванием продольного профиля импульса и в результате формируется особенность нового типа, в которой на фоне неограниченного роста поля происходит градиентная катастрофа. Этот эффект приводит к аномальному уширению спектра излучения.
6. Предложена простая модель ионизационной динамики мощных лазерных импульсов произвольной длительности в газонаполненных диэлектрических капиллярах. Впервые рассмотрена возможность возбуждения нелинейной моды в капилляре.
Введение
11
7. Впервые продемонстрировано самосжатис мощного ионизирующего фемтосекундного лазерного излучения вплоть до одного периода ноля с энергией в импульсе свыше 1 мДж.
На защиту выносятся следующие положения:
• В средах с безынерционной нелинейностью керровского типа и с плазменным законом дисперсии существует новый класс точных уединенных решений, описывающий нелинейное распространение волновых импульсов с солитонной структурой огибающей, однако включающей лишь конечное число осцилляций поля. Важной особенностью найденных волновых солитонов является полуогра-ничеппый спектр их допустимых решений, т.е. наличие граничного решения, соответствующего предельному солитону с максимально допустимой энергией и минимальной возможной длительностью (менее одного периода колебаний), который может быть назван «видеосалитоиом».
• В классе циркулярно-поляризованных полей волновые солитоны с малым числом колебаний сохраняют в парных соударениях свойства соударений шредин-гсровских солитонов относительно структуры своих огибающих, в то время как их частотные заполнения могут изменяться, однако в соответствие с сохранением солитоноподобной структуры. В результате соударения не происходит излучения свободных полей, т. е. несолитоииой части спектра, сохраняя таким образом общую энергию, заключенную в солитонах. Именно устойчивость относительно соударений и преемственная связь волновых солитонов с солито-нами нелинейного уравнения Шредингсра (НУШ) позволяет рассматривать их в качестве базовых структур волнового ноля, играющих такую же фундаментальную роль в динамике волновых процессов, как и солитоны НУШ.
• Применение методов теории нелинейных волн позволило провести аналитическое исследование долговременной эволюции трехмерных волновых пакетов в случае сверхкоротких электромагнитных импульсов. На основе уравнения для эффективной ширины волнового поля удается выделить класс начальных распределений, которые в дальнейшем испытывают коллапс.
• Преобразование уравнения в «схлопывающуюся»систему координат позволило установить определяющую роль нелинейной дисперсии в динамике системы. Увеличение крутизны продольного профиля и образование ударных фронтов является характерной особенностью эволюции сверхкоротких импульсов. Показано, что процесс «опрокидывания» несколько опережает волновой коллапс. В
12
Введение
результате происходит формирование особенности более сложного типа, в которой градиентная катастрофа сопровождается неограниченным возрастанием поля на ударном фронте. Этот эффект очевидно приводит к аномальному уши-рению спектра излучения. Как показывают результаты численного моделирования спектры спадают по степенному закону.
• Использование ионизационной нелинейности дает возможность предложить схему самосжатия мощных фемтосекундных лазерных импульсов с длительностью вплоть до одного периода поля на миллнджоульном уровне энергии. Возбуждение нелинейной моды в капилляре и уширсние спектра оптического импульса за счет нелинейного механизма фазовой самомодуляции, связанного с полевой ионизации газа, приводит к самокомпрессии исходных импульсов вплоть до одного оптического периода.
Практическая ценность результатов состоит в том, что предложенные в работе новые схемы самосжатия фемтосекундных лазерных импульсов открывает перспективы для получения импульсов предельно короткой длительности без использования внешних устройств компрессии импульсов. Развитие методов аналитического исследования самовоздействия широкополосного излучения позволили более детально исследовать картину нелинейной динамики электромагнитного излучения, содержащего конечное число периодов поля.
Достоверность полученных результатов. Разработанная теория удовлетворяет принципу соответствия, который включает известные уравнения эволюции огибающих сверхкоротких световых импульсов и результаты анализа пространственно-временной динамики огибающих, как частный случай, обобщая их на импульсы со сверхширокими временными и пространственными спектрами. Мощь нового теоретического подхода подтверждена соответствием результатов численного моделирования эволюции системы.
Публикации и апробация результатов
Основные результаты докладывались на Международной конференции по лазерной оптике Int. Conf. on Laser Optics (С. Петербург, 2003 г. ), ежегодном международном совещании по лазерной физике LPHYS (Гамбург, Германия, 2003 г.), Международном симпозиухю Topical Problems of Nonlinear Wave Physics (Нижний Новгород, 2003), Ежегодном международном конгрессе по математическому моделированию VI Int. Congress on Mathematical Modeling (Нижний Новгород, 2004), Международной конференции Свсрхсильных полей в плазме 3-rd International Conference on Superstrong Field in Plasmas (Италия, 2005), Международном российско-германском совещании по лазерной физике RGLS-2005 (Нижний Новгород, 2005г.), на научных
Краткое содержание работы
13
семинарах ИПФ РАН. Результат «Опрокидывание продольного профиля и образование ударных фронтов сверхкоротких лазерных им пульсов »принят в годовой отчет РАН (2006). Кроме того, полученные результаты неоднократно рекомендовались в годичный отчет РАН - «Динамические свойства солитонов с малым числом колебаний поля и возможности предельной, основанной на солитонном механизме, компрессии сверхкоротких фемтосекундных импульсов»(2005); «Солитонные структуры волнового поля с произвольным числом колебаний в нерезонансных средах» (2003).
По материалам диссертации опубликована 20 научных работ (список приведен на последних страницах ), в том числе 6 статей в научных журналах, И тезисов докладов на международных и отечественных конференциях. Еще несколько статей в настоящий момент подготавливаются к отправке в журналы.
Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, заключается в участии в процессе постановки задачи, проведении исследований, обсуждении и изложении полученных результатов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы. Каждой главе предпослано небольшое вступление, в котором формулируется постановка задачи. В заключении к главам сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. Материал диссертации изложен на 189 станицах, включая 54 рисунков, 1 таблицы и 100 литературных ссылок.
Краткое содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы и кратко, по главам, изложено содержание диссертации.
В первой главе дан анализ нового класса уединенных решений волнового поля, описывающий распространение в прозрачной нерезонансиой среде солитоноподобных структур циркулярно-поляризованного оптического излучения, включающих конечное число периодов колебаний поля. Особенностью этих решений является их плавная перестройка от солитонных решений НУШ, соответствующих длинным импульсам со многими осцилляциями, до предельно коротких, фактически однопериодных видеоимпульсов. Показано, что найденные волновые солитоны с малым числом осцилляций поля устойчивы относительно парных взаимодействий. В зависимости от абсолютной разности фаз полей имеют место три различных режима взаимодействия: прохождение одной структуры сквозь другую, их отталкивание, а также с точной репликацией одной исходной волновой структуры другой. Рассмотрен вопрос устойчивости предельно коротких солитонов с учетом влияния высокочастотной дис-
14
Введение
персии. Рассмотрена реализуемость таких солитонных структур для поля с линейной поляризацией и численно показана их структурная устойчивость.
В §1.1 выводится уравнение, описывающее распространение оптических импульсов с конечным числом осцилляций в изотропной нсрсзонансной среде с помощью стандартной методики восстановления эволюционного уравнения из дисперсионного соотношения, определяющегося зависимостью показателя преломления от частоты излучения. В качестве основного физического механизма нелинейности рассматривается безынерционная керровская нелинейность показателя преломления. В качестве основных типов дисперсии могут рассматриваться дисперсия как нейтрального газа, так и ее ионизованной компоненты, плазмы. В предположении безотражательного распространения электромагнитного излучения в среде волновое уравнение для амплитуды электрического поля Е в оптическом импульсе с произвольной поляризацией может быть записано в безразмерных переменных в виде
д_
дт
дЕ д . д3Е
= -Е. (1)
Масштабная инвариантность (1), как и в случае НУШ, дает возможность описывать особенности динамики системы с помощью лишь только одного дисперсионного параметра. Подбором параметра у удается добиться хорошего согласия с экспериментальными данными: например, для кварцевого стекла и благородных газов, такое согласие реализуется при изменении частоты на порядок |56]. Уравнение (1) включает в себя минимально необходимое число слагаемых для учета дисперсионных и нелинейных эффектов, достаточное для полного описания многих прозрачных сред, и может рассматриваться в качестве базового уравнения при анализе динамики широкополосного оптического излучения в нерезонаисной среде с безынерционной нелинейностью керровского типа.
Линейное дисперсионное соотношение для уравнения (1) имеет следующий вид:
к(и) = /^3 - - . (2)
и
(д2к(и) п
Аномальная зависимость диспрссии групповой скорости от частоты I ^ 2 < О
имеет место, когда спектр лазерного импульса целиком расположен левее тючки ну-/ 1 \1/4
ля дисперсии о'«- = ( т- ) • Эта часть дисперсионной кривой соответствует слу-
\3///
чаю, когда низкочастотная плазменная дисперсия, описываемая вторым слагаемым в правой части (2), доминирует над высокочастотной дисперсией нейтрального газа, описываемой первым слагаемым в (2). При этом частотная модуляция в лазерном импульсе, наводимая дисперсией среды, противоположна по знаку нелинейной
Краткое содержание работы
15
частотной модуляции, что является физической предпосылкой для существования солитоноподобных решений в уравнении (1).
В §1.2 найден новый класс уединенных решений волнового поля с циркулярной поляризацией, когда основную роль в динамике волновых процессов играет низкочастотная («плазменная») дисперсия среды (// = 0). Волновые солитоны уравнения (1) при ^ — 0 можно представить двухпараметрическим семейством решений вида
Е(z, т) = а(т - 'yz)[ex cos y{z,r) + еу sin <р(г,т)] , (За)
<p(z,t) = и ■ (т + yz) + I ~“/37 -д2,2 V + Уй , (ЗЬ)
J 2(7 — а?)
-оо
где и - характерная несущая частота, 7 - параметр, определяющий групповую
скорость солитона, <ро - постоянная фаза поля. Огибающая а(т - 72) подчиняет-
ся уравнению в обыкновенных производных, которое для нормированных величин С = и • (т — 7г) и и = -7= в классе локализованных функций может быть представ-
/г
лена в виде квадратуры
и
/
1 _ Q7/2
A==du = ±(С - Со) . (4)
«т
где
Б {и2) = и2
Uy/S2 — ~(u2)
U' + s2)-
(5)
[2 4 7 4(1-и2)Ч
ит - максимальная амплитуда солитона, определяемая действительным корнем кубичного уравнения Б(и2) = 62 (за исключением одного предельного решения, для 2 1
которого 14^ = - при 52 = -), Со “ постоянная интегрирования, отвечающая положе-3 8
нию максимума огибающей поля.
Как видно из (4), его решения зависят лишь от параметра 62 = —- - 1, явля-
7ьг
ющегося комбинацией и, 7 и располагающегося в интервале 0 < 62 < -. Используя малость параметра 52, можно представить амплитуду волнового солитона в виде
um ~ <5у2 - + • (6)
При малых амплитудах и2т соответствующих предельно малым 5, как легко видно, решения (4) имеют вид seek и отвечают шредингеровским солитонам огибающих. Отметим, что для предельно коротких длительностей, несмотря на широкий спектр сигнала, соизмеримый со средней частотой, и удобно рассматривать в качестве характерной несущей частоты, являющейся гаковой в пределе малых амплитуд.
16
Введение
Важной особенностью рассматриваемых волновых солитонов является полуограпи-чеппый спектр их допустимых решений, т.е. наличие граничного решения, соответствующего предельному солитону с минимально возможной длительностью импульса и, соответственно, с максимально возможной амплитудой. С увеличением 5 амплитуда солитона возрастает, а его длительность, определенная по полу высоте интенсивности, уменьшается, достигая минимально возможной величины при б2 = - и равной по сути менее периода колебаний т3 = 2.3оГ\ Следует также обратить внимание, что волновые солнтоны с малым числом колебаний обладают достаточно сильной частотной модуляцией, не позволяющей ввести определенным образом фазовую скорость для таких структурных образований, что делает их заметно отличными от известных ранее волновых солитонов [19,28], для которых и несущая частота и несущий волновой вектор строго определяются. По-видимому, именно соответствующим образом подобранный частотный чирп делает рассматриваемые волновые структуры более устойчивыми образованиями, которые достаточно легко могут быть сформированы заданием соответствующих начальных, локализованных распределений поля, даже применительно к случаю линейно-поляризованного поля, а также в рамках более общих уравнений, учитывающих, например, высокочастотную дисперсию [12,13,26], где они могут представлять собой лишь приближенные, слабозатухающие солитоно-подобные решения.
В §1.3 путем прямого численного моделирования нелинейной динамики оптического поля в среде с керровской нелинейностью показано, что волновые солитоны являются «абсолютно»устойчивыми образованиями относительно малых возмущений и может распространятся без каких либо изменений.
При линейной поляризации поля уравнение (1) при р = 0, строго говоря, не имеет точных решений солитонного типа вследствие существования процесса генерации третьей гармоники. Однако, как показано в §1.3.3, условия фазового синхронизма для этого процесса в рамках (1) при р = 0 не могут быть выполнены никогда. Поэтому и в случае линейной поляризации электрического поля солитониые решения (3), являющиеся приближенными решениями, оказываются устойчивы при их распространении на большие расстояния по сравнению с характерными масштабами задачи. Для характеристики трассы распространения импульсов поля определим характерные масштабы уравнения (1). Аналогично уравнению для огибающей, мы можем определить характерные дисперсионный и нелинейный масштабы. Однако, в отличие от солитонов НУШ, солитониые решения уравнения (1) содержат два масштаба, соответствующие заполнению и огибающей в смысле их представления в виде