РОЗДІЛ 2
Асимптотичне інтегрування диференціальних систем з запізненням та випадковими збуреннями
2.1 Випадкові процеси. Стохастичні диференціальні рівняння. Метод рівнянь Фоккера - Планка - Колмогорова
У цьому підрозділі описуються основні властивості та означення марковських дифузійних випадкових процесів та випадкових процесів типу білого шуму, а також квазібілий шум, що добре описує реальні шуми та завади у радіоелектронній апаратурі, зокрема в приладах збудження та реєстрації акустичних хвиль, що використовуються під час проведення геологічної розвідки. Не зважаючи на певну спрощеність та ідеалізацію, ці моделі є надзвичайно продуктивними при вивченні поведінки відповідних реальних систем.
Наводиться теорема про існування та єдиність розв'язку стохастичного диференціального рівняння та описується застосування методу рівнянь Фоккера - Планка - Колмогорова для знаходження щільності розподілу ймовірностей марковського випадкового процесу.
2.1.1 Дифузійний марковський процес.
Означення 2.1.1.
Марковський процес ?(t), 0 ? t ? T називається дифузійним, якщо ймовірність переходу P(t, x, s, G) цього процесу має наступні властивості:
List Start
1) для будь-якого ? > 0, x I R, t I [0, T]
;
2) існують такі функції a(t, x) і b(t, x), що для всіх ? > 0, x I R, t I [0, T] виконуються співвідношення
.(2.1)Коефіцієнти a(t, x) і b(t, x) називаються коефіцієнтами переносу та дифузії процесу ?(t) відповідно.
2.1.2 Білий шум. Квазібілий шум.
Процес білого шуму є дуже продуктивною ідеалізацією реальних процесів, що мають постійну інтенсивність у деякому досить широкому діапазоні частот. Білий шум не може бути безпосередньо реалізований у природі, оскільки його дисперсія нескінченна, а отже, нескінченна і енергія, яку він несе з собою і для його генерації потрібна нескінченна потужність. Проте, для такого ідеалізованого процесу побудовано ефективний математичний апарат, який може бути з успіхом застосований до реальних процесів, певною мірою близьких до стандартного білого шуму. Прикладами таких процесів можуть бути так звані квазібілі шуми, що мають сталу інтенсивність у певному обмеженому діапазоні частот.
Означення 2.1.2.
Білим шумом називається випадковий стаціонарний нормальний процес з кореляційною функцією
, (2.2)
де N - інтенсивність (спектральна щільність) білого шуму.
З властивостей ?-функції Дірака випливає, що дисперсія білого шуму .
Розглянемо тепер випадковий процес, що має певні властивості білого шуму лише у скінченному діапазоні частот.
Означення 2.1.3.
Квазібілим шумом називається випадковий стаціонарний процес з рівномірною спектральною щільністю у деякій обмеженій смузі частот.
Розглянемо приклади квазібілих шумів.
Приклад 2.1.1. Низькочастотний квазібілий шум.
Нехай процес має постійну інтенсивність у проміжку частот | f | ? F, тобто функція спектральної щільності має вигляд
(2.3)
Тоді кореляційна функція цього процесу, згідно з теоремою Хінчина - Вінера, обчислюється так:
? ?2?4?
Графік цієї функції подано на рис. 2.1.
Рисунок 2.1. Квазібілий шум низької частоти. N = 1, F = 5.
Звернемо увагу на те, що при значеннях ?, кратних 1/(2F), кореляційна функція обертається в нуль, тобто перетини процесу низькочастотного білого шуму в моменти часу, розділені інтервалом k /(2F), k ? Z, некорельовані між собою. Збільшуючи безмежно граничну частоту F, прийдемо до процесу, у якого будь-які два різні перетини некорельовані, тобто до білого шуму. При цьому повна (інтегральна) потужність отриманого процесу зросте до безмежності. Проте виділивши з ідеалізованого процесу білого шуму інтенсивності N певну смугу частот ( f1, f2), дістанемо процес з інтегральною потужністю N( f2 - f1) < ?.
Приклад 2.1.2. Високочастотний квазібілий шум.
Нехай процес має постійну інтенсивність в інтервалі частот ( f1, f2), тобто функція спектральної щільності має вигляд
(2.5)
Рисунок 2.2. Квазібілий шум високої частоти. N = 1, F = 5, f0 = 47,5.
Кореляційна функція цього процесу, згідно з теоремою Хінчина - Вінера, має вигляд
,
де N0 = 2N, F = f2 - f1, f0 = ( f1 + f2) / 2.
Графік цієї функції подано на рис. 2.2.
2.1.3 Стохастичні диференціальні рівняння.
Означення 2.1.4.
Рівняння вигляду
, (2.6)
де x(t) = (x1(t), ..., xl(t)), a(t, x) = (a1(t, x), ..., al(t, x)), ?(t, x(t)) - матриця розміру l ? m, w(t) - m-вимірний вінерівський процес, називається стохастичним диференціальним рівнянням Іто.
Умови існування та єдиності розв'язків стохастичного диференціального рівняння (2.6) досліджені Й. І. Гіхманом та А. В. Скороходом [28, 29] Має місце наступна
Теорема 2.1.1.
Якщо функції a(s, x), ?(s, x) неперервні по s і по x, задовольняють умові Ліпшица і умові лінійного росту по x, то при будь-якому x(t0), що не залежить від ?-алгебри Ft , t > t0, існує єдиний розв'язок x(t) рівняння (2.6).
Розглянемо випадковий процес ? ? (t), залежний від параметра ? I [0, ?0]. Будемо вважати, що процес ? ? (t) збігається до процесу ? 0(t) при ? ® 0, якщо всі скінченновимірні розподіли процесу ? ? (t) слабко збігаються до відповідних скінченновимірних розподілів процесу ? 0(t).
Має місце наступна теорема про неперервну залежність від параметра для стохастичних диференціальних рівнянь [25].
Теорема 2.1.2.
Нехай векторний випадковий процес , залежний від параметра ? I [0, ?0], збігається при ? ® 0 до випадкового процесу . Тоді розв'язок стохастичного диференціального рівняння
як випадковий процес збігається (у розглянутому вище смислі) до розв'язку наступного стохастичного диференціального рівняння:
.
2.1.4 Метод рівнянь Фоккера - Планка - Колмогорова.
Імовірнісні властивості марковського випадкового процесу у кожний наступний проміжок часу повністю визначаються значенням цього процесу в заданий момент і не залежать від значень в попередні моменти часу, тобто такий процес характеризується відсутністю післядії.
Нехай у послідовні моменти часу t0 < t1 < ??? < tn марковський випадковий процес приймає значення x0 = x(t0), ..., xn = x