РОЗДІЛ II
ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ МЕХАНІКИ МАТЕРІАЛІВ З ПОЧАТКОВИМИ НАПРУЖЕННЯМИ
2.1. Основні співвідношення лінеаризованої теорії пружності
Розглянемо три стани пружного тіла. Перший стан – природний
( недеформований), коли в тілі немає напружень і деформацій. Другий стан (
рівноваги або руху) – деформований ( початковий або основний), коли в тілі є
початкові напруження і деформації. Всі величини, що належать до другого стану,
будемо відмічати індексом «нуль». Вважатимемо, що другий стан можна описати
співвідношеннями нелінійної теорії пружності скінчених і малих деформацій, які
наведено в першому розділі, якщо у всіх співвідношеннях покласти індекс «нуль».
Третій стан ( рівноваги або руху) – збурений, всі величини якого також будемо
описувати співвідношеннями нелінійної теорії пружності скінченних і малих
деформацій у вигляді суми величин другого стану і збурень відповідних величин.
Величини збурень вважатимемо малими порівняно з відповідними величинами другого
стану і не будемо їх позначати ніякими індексами. Оскільки величини збурень
малі ( порівняно з величинами початкового стану), то основні співвідношення для
третього стану лінеаризуємо і віднімемо від них відповідні співвідношення
другого стану (основного). Одержані співвідношення і будемо вважати основними
співвідношеннями лінеаризованої теорії пружності, розробленої в кінці ХХ –
століття академіком національної академії наук України професором Гузем О.М.,
основні результати якої викладені в працях [30 – 65]. Історія розвитку
лінеаризованої теорії пружності з детальними бібліографічними даними викладена
в монографії [65].
Розглянемо співвідношення лінеаризованої теорії пружності для тіл з початковими
напруженнями в координатах початкового деформованого стану при однорідних
початкових напруженнях. Поряд з лагранжевими координатами введемо декартові
координати , які описують початковий напружений стан. Зв’язок між цими
координатами матиме вигляд [51]
, (2.1)
де – початкові видовження вздовж координатних осей, які визначають переміщення
початкового стану
(2.2)
Позначимо через складові вздовж осі тензора напружень на площадці – складові
збурень поверхневого навантаження, яке діє на поверхню в збуреному стані; –
складові вздовж осі орту нормалі до поверхні тіла в початковому деформованому
стані; – частини поверхні тіла в деформованому стані; – об’єм тіла і запишемо
співвідношення лінеаризованої теорії пружності тіл з початковими напруженнями в
координатах . Тоді для стисливих і нестисливих тіл мають місце наступні
статичні співвідношення лінеаризованої теорії пружності
рівняння рівноваги:
(2.3)
граничні умови в напруженнях для частини поверхні :
(2.4)
граничні умови в переміщеннях на частині поверхні :
, (2.5)
де – збурення правих частин граничних умов в переміщеннях. Запишемо тепер
основні співвідношення для стисливих і нестисливих тіл окремо.
С т и с л и в і т і л а
Для стисливих тіл мають місце вирази для визначення напружень [51]
(2.6)
З (2.3) – (2.5) і (2.6) отримуємо формулювання лінеаризованої задачі теорії
пружності для тіл з початковими напруженнями, записаної в переміщеннях:
(2.7)
. (2.8)
складові тензору визначаються так:
, (2.9)
а також задовольняють умовам симетрії:
(2.10)
Н е с т и с л и в і т і л а
Вирази для визначення напружень представляються у вигляді співвідношень [51]
(2.11)
умови нестисливості
(2.12)
Таким чином, з (2.3) – (2.5) і (2.11) – (2.12) отримуємо формулювання задач для
нестисливих тіл в переміщеннях:
(2.13)
(2.14)
Скалярна функція , що входить в (2.14), зв’язана з гідростатичним тиском.
Позначивши
(2.15)
формули (2.13), (2.14) можна записати аналогічно (2.7)
, (2.16)
де позначено
(2.17)
.
Крім того, умова нестисливості для однорідного початкового стану може бути
представлена в одному з видів
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Тоді складові тензору можна визначити, скориставшись (2.9), заміною на з
урахуванням (2.18). Тензор також задовольняє умову симетрії
(2.21)
Складові тензору визначаються наступними виразами:
(2.22)
Вирази для визначення через пружний потенціал для стисливих та нестисливих тіл
приведені нижче. Відмітимо, що співвідношення (2.3) – (2.7) та (2.9) – (2.16)
справедливі для теорії скінчених (великих) початкових деформацій і декількох
варіантів теорії малих початкових деформацій. Вирази (2.8), (2.7) дано для
теорії скінчених початкових деформацій. Для розгляду співвідношень, стосовно
теорії малих початкових деформацій, необхідно провести спрощення та
скористатися результатами роботи [59]; інші варіанти – в роботі [51].
2.2. Представлення загальних розв’язків плоских статичних задач при однорідних
початкових напруженнях
Розглянемо побудову загальних розв’язків лінеаризованних рівнянь окремо для
стисливих (2.7) і нестисливих (2.16) тіл при однорідних початкових станах, що
визначаються переміщеннями (2.2). Спочатку з