Моделювання неперервних динамічних систем нецілого порядку на основі некласичного операційного підходу

Раздел 2 полиномиальные Аппроксимации
В этом разделе рассмотрим широко известный аппроксимационный метод наименьших
квадратов для функции одной переменной, а также альтернативный метод, который
позволяет снизить вычислительные затраты и упростить реализацию на ПЭВМ –
модифицированный метод равных площадей. В частности, в Simulink-структурах
анализа динамических систем, рассмотренных в разделе 5, использовался именно
метод равных площадей благодаря его преимуществам.
Кроме этого приведем небольшой обзор локальных базисов, которые выбраны как
наиболее подходящие для решения поставленных задач диссертационной работы.
Глобальные базисные системы
Пусть непрерывный сигнал задан на некотором интервале изменения аргумента.
Выбирается некоторая система функций , заданных на том же интервале изменения
аргумента. Из теории аппроксимации [3, 50, 90] известно, что сигнал может быть
представлен на определенном интервале изменения аргумента обобщенным полиномом
(2.2)
Систему коэффициентов обычно называют аппроксимирующим полиномиальным спектром
(АПС) сигнала .
Метод наименьших квадратов
Задача определения аппроксимирующего спектра методом наименьших квадратов
формулируется следующим образом [72]: определить систему величин ,
минимизирующую норму функции ошибки
В качестве нормы ошибки будем использовать условие
где - весовая функция.
Вектор АПС сигнала находится по формуле:
(2.3)
где элементы операционных матриц W и вычисляются следующим образом:
(2.4)
Модифицированный метод равных площадей
Метод равных площадей является более простым методом аппроксимации, основанный
на определении коэффициентов аппроксимирующего полинома, исходя из условия
равенства нулю интегралов функций ошибки аппроксимации на некоторой системе
интервалов изменения аргумента. Идея метода равных площадей как метода ручных
вычислений приведена у Мелентьева П.В. [53], однако, как операционный метод он
был развит в работе Симак Л.А. [72].
Рис. 2.1. Системы подинтервалов для метода равных площадей
Суть модифицированного метода равных площадей заключается в следующем. Интервал
изменения аргумента t разбивается на (n+1) не обязательно равных частей
(подинтервалов). На рис. 2.1 представлены возможные типы систем подинтервалов.
Уравнение аппроксимирующей кривой подбирается так, чтобы площади,
ограничиваемые аппроксимируемой и аппроксимирующей функциями, были равны между
собой для каждого участка в отдельности. Это приводит к системе линейных
алгебраических уравнений, из которой получают аппроксимирую­щий спектр.
Условия равенства указанных площадей (интегралов) для некоторой сис­темы
линейно-независимых подинтервалов имеет вид:
Например, при выборе системы подинтервалов вида (рис. 2.1.а) матрица W и вектор
вычисляются по формулам:
Пример 2.1
Сравним на примере изложенные выше метод наименьших квадратов и
модифицированный метод равных площадей [20]. Необходимо определить
аппроксимирующий спектр обратной Гамма-функции (). В качестве базисных функций
выберем функции вида Для метода равных площадей разобьем отрезок на пять
подинтервалов {[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4], [0, 5]}. Сравнение не является
точным, так как нельзя однозначно определить количество подинтервалов, при
котором уместно сравнивать метод равных площадей с методом наименьших
квадратов. С другой стороны, критерием могут являться размерности матриц в
процессе вычислений. В данном случае они одинаковы.
Результаты определения аппроксимирующих спектров приведены в таблице.
-0.304
2.497
-1.405
0.276
-0.018
-0.154
2.053
-1.073
0.186
-0.010
Графики сигнала и его аппроксимации, а также функции ошибки для каждого метода
представлены на рис. 2.2.
а) б)
в) г)
Рис. 2.2. Сигнал и его аппроксимация для а) метода равных площадей; б) метода
наименьших квадратов. Функция ошибки для в) метода равных площадей; г) метода
наименьших квадратов.
Проведем более полный сравнительный анализ модифицированного метода равных
площадей и метода наименьших квадратов. Возьмем следующие тестовые сигналы:
, ,
, .
Рассмотрим спектры этих сигналов при определенных порядках системы базисных
функций и соответствующие функции ошибок. Расчеты проводились в системе
Mathematica. Библиотека пользовательских функций, реализующая методы
аппроксимации [34], находится в Приложении А.
Таблица 2.1 Сигнал .
Система базисных функций
Метод наименьших квадратов, АПС
Метод равных площадей,
АПС
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
Таблица 2.2 Ошибки аппроксимации для сигнала .
Система базисных функций
Метод наименьших квадратов
Метод равных площадей
n=3
0.450403
0.468575
n=4
0.0990663
0.106738
n=5
0.071794
0.0775614
n=6
0.0371064
0.04209
n=7
0.00635077
0.0082408
Таблица 2.3 Сигнал , .
Система базисных функций
Метод наименьших квадратов, АПС
Метод равных площадей, АПС
n=3
n=4
n=5
2
n=6
n=7
Таблица 2.4 Ошибки аппроксимации для сигнала .
Система базисных функций
Метод наименьших квадратов
Метод равных площадей
n=3
0.502401
0.514716
n=4
0.259133
0.278801
n=5
0.160196
0.174085
n=6
0.0470829
0.0535532
n=7
0.00614782
0.00788983
Таблица 2.5 Сигнал , .
Система базисных функций
Метод наименьших квадратов, АПС
Метод равных площадей, АПС
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
Таблица 2.6 Ошибки аппроксимации для сигнала .
Система базисных функций
Метод наименьших квадратов
Метод равных площадей
n=3
0.087185
0.0921418
n=4
0.0428077
0.044572
n=5
0.0381536
0.0412285
n=6
0.02109
0.0242893
n=7
0.00782339
0.0100183
Таблица 2.7 Сигнал , .
Система базисных функций
Метод наименьших квадратов, АПС
Метод равных площадей, АПС
2