Теория неупругих слоистых и блочных сред

Аннотация
В диссертации представлено одно из возможных решений важной научно-технической проблемы создания математической модели слоистых и блочных сред с учетом проскальзывания и отслоения на контактных границах и разработки эффективных численных методов для решения систем уравнений, описывающих поведение таких сред. На основе разработанных моделей и численных методов решен ряд нестационарных и квазистатических задач деформирования слоистых и блочных массивов с проскальзыванием и отслоением структурных элементов. Также предложен и реализован метод интегрирования классических нелинейных соотношений теории скольжения для случая сложного трехмерного напряженного состояния.
В диссертации впервые удалось проинтегрировать нелинейные соотношения теории скольжения Батдорфа-Будянского в ее классическом (упру го пластическом) и дополнительном (упруговязкопластическом) вариантах для трехмерного напряженного состояния.
В частности, в изотропной неупругой среде, для условия скольжения с учетом вязкости и локального критерия текучести, проинтегрированы соотношения теории скольжения в случае сложного трехмерного напряженного состояния. Для случая малой вязкости аналитически получены замкнутые соотношения упруговязкопластической модели с условием пластичности Треска и нелинейной функцией релаксации, содержащей
2
степенные показатели нелинейности. Установлена зависимость этих показателей от структуры напряженного состояния.
Для условия скольжения с учетом локального критерия текучести и локального критерия нагружения, проинтегрированы соотношения теории скольжения в случае сложного трехмерного напряженного состояния. Для случая малого превышения предела текучести максимальным главным касательным напряжением получены замкнутые соотношения упругопластической теории течения с условием текучести Треска и с коэффициентами, зависящими от структуры напряженного состояния. В зависимости от параметров нагружения определены состояния активного, частичного нагружения и разгрузки. Построена функция текучести, для которой полученные соотношения при активном нагружении являются следствием ассоциированного закона течения.
На основе представлений теории скольжения в ее дискретном варианте построена континуальная модель слоистой среды, включающая в качестве новых зависимых переменных распределенные скорости скольжений и отслоений. Локальные условия проскальзывания выбраны в виде условий сухого трения с малой добавкой вязкого трения, что позволило сохранить упругий дифференциальный оператор определяющих соотношений.
Для тех же локальных условий скольжения построена континуальная модель блочной среды с проскальзыванием и отслоением. Для описания различных типов контактных взаимодействий введены понятия плоскости скольжения-отслоения и плоскости отслоения. Как вариант модели получены определяющие континуальные соотношения для структурно-периодических сред типа «кирпичной кладки» и «паркета». Учтена возможность начальной
прочности на сдвиг и отрыв на контактных границах.
3
Для решения полученных систем уравнений предложен явно-неявный численный метод, основанный на методе конечных объемов и неявной аппроксимации полулинейных определяющих уравнений модели, содержащих малый параметр вязкости в знаменателе свободного члена. Метод обобщен на случай произвольной у 1 фуговязкопластической системы классического типа с неявной аппроксимацией полулинейных уравнений.
Решен ряд динамических задач о взаимодействии волн с полостями и сооружениями в слоистой и блочной среде и развитии зон проскальзывания и отслоения в их окрестности. Также решен ряд квазистатических задач о развитии зон повреждений в слоистой среде и массивах кирпичной кладки при различных граничных нагрузках и смещениях, моделирующих сейсмические и техногенные воздействия на элементы зданий и сооружений.
4
Оглавление
Введение...........................................................9
Глава 1. Обзор методов построения моделей и численного решения задач механики неупругих среде периодической структурой 14
1.1. Обзор континуальных моделей слоистых и блочных сред...............................................................15
1.2. Обзор классических вариантов теории скольжения для упруго пластических сред..................................................20
1.3. Численные методы решения гиперболических систем для упруговязкопластических моделей механики сплошных сред.............23
Глава 2. Построение модели упруговязкоиластической среды на основе теории скольжения для трехмерного напряженного состояния...........29
2.1. Условие скольжения с учетом локального критерия текучести и нелинейной вязкости................................................30
2.2. Графо-аналитическое исследование определяющего интеграла теории скольжения по локальному критерию текучести.................33
2.3. Интегрирование определяющих соотношений теории скольжения в случае малой вязкости для трехмерного напряженного состояния ......40
2.4. Обсуждение результатов........................................70
2.5. Тензор скоростей деформации вязкой жидкости, тензор деформации упругого тела и теория скольжения..................................72
5
Глава 3. Построение модели упругопластической среды на основе теории скольжения для трехмерного напряженного состояния...................77
3.1. Условие скольжения с учетом локального критерия текучести и критерия нагружения.................................................78
3.2. Графо-аналитическое исследование определяющего интеграла теории скольжения по локальному критерию текучести..................83
3.3. Графо-аналитическое исследование определяющего интеграла теории скольжения по локальному критерию нагружения.................84
3.4. Интегрирование определяющих соотношений теории скольжения в случае малого превышения локального предела текучести максимальным касательным напряжением для трехмерного напряженного состояния ..........................................................94
3.5. Определение состояний активного, частичного нагружения и разгрузки..........................................................102
3.6. Результаты интегрирования и определяющие соотношения
полученной теории течения..........................................107
3.7. Интегрирование вырожденных случаев...........................117
3.8. Сопоставление с классической теорией течения.................120
Глава 4. Определяющие соотношения для слоистых и блочных сред с учетом проскальзывания и отслоения. Алгоритм расчета полученных систем уравнений...................................................125
4.1. Нелинейные условия взаимодействия контактных границ
структурных элементов..............................................127
6
4.2. Построение континуальной модели слоистой среды на основе
дискретного варианта теории скольжения.............................129
4.3. Построение континуальной модели блочной среды на основе
дискретного варианта теории скольжения. Понятие плоскости скольжения-отслоеиия и плоскости отслоения.........................133
4.4. Построение континуальной модели среды тина «кирпичной кладки» на основе дискретного варианта теории скольжения...................137
4.5. Построение континуальной модели среды типа «паркета» на основе дискретного варианта теории скольжения.............................139
4.6. Численный метод решения полученных гиперболических систем.
Аппроксимация по пространству и времени. Неявная аппроксимация полулинейных определяющих соотношений..............................141
4.7. Примеры расчетов. Квазистатические задачи о проседании массива «кирпичной кладки». Сравнение с экспериментом..............147
4.8. Примеры расчетов. Динамическая задача о прохождении упругой продольной волны через полость в слоистой и блочной среде..............................................................152
4.9. Примеры расчетов. Задача о горизонтальных и вертикальных
колебаниях основания «стены с окном»...............................158
Глава 5. Явно-неявный метод расчета системы уравнений упруго вязкопластической среды............................................163
5.1. Неявная аппроксимация первого порядка полулинейных уравнений системы для упруговязкопластической модели.........................164
7
5.2. Неявная аппроксимация второго порядка полулинейных уравнений системы для упруговязкопластической модели.........................168
5.3. Примеры расчетов. Высокоскоростное наклонное соударение пластин и трубчатых образцов (сварка взрывом). Алгоритм расчета контактного взаимодействия. Критерий сварки........................175
5.4. Примеры расчетов. Прохождение продольной волны через полость в упруговязкопластической среде. Малые и большие деформации..........188
Заключение........................................................197
Литература........................................................199
8
Введение
В диссертации получено решение важной научно-технической проблемы - создания континуальных моделей слоистых и блочных сред с учетом проскальзывания и отслоения на контактных границах на основе теории скольжения и разработки эффективных численных методов для решения систем уравнений, описывающих поведение таких сред.
В первой главе дан обзор работ по теории скольжения, применяемой для построения изотропных упругопластических моделей. Также проведен анализ работ, посвященных континуальным моделям слоистых и блочных сред с учетом возможного проскальзывания на контактных границах. Дано описание основных численных методов, применяемых для решения нестационарных систем уравнений. описывающих поведение классических упругопластических и упруговязкопластических сред.
Во второй главе, для условия скольжения с учетом вязкости и локального критерия текучести, проинтегрированы соотношения теории скольжения в случае сложного трехмерного напряженного состояния. Для случая малой вязкости аналитически получены замкнутые соотношения упруговязкопластической модели.
В третьей главе, для условия скольжения с учетом локального критерия текучести и локального критерия нагружения, проинтегрированы соотношения теории скольжения в случае сложного трехмерного напряженного состояния. Для случая малого превышения предела текучести максимальным главным касательным напряжением получены замкнутые соотношения упругопластической теории течения.
В четвертой главе на основе представлений теории скольжения в ее дискретном варианте построены континуальные модели слоистой и блочной сред, включающие в качестве новых зависимых переменных распределенные скорости скольжений и отслоений. Для решения полученных систем уравнений предложен явно-неявный численный метод, основанный на методе конечных объемов и неявной аппроксимации полулинейных определяющих уравнений модели, содержащих малый параметр вязкости в знаменателе свободного члена. Приведены примеры решения ряда динамических и квазистатических задач.
В пятой главе явно-неявный численный метод обобщен на случай классической системы уравнений для упруговязкопластической среды. Приведены примеры численных решений динамических задач.
Выводы и перечень основных результатов диссертации, выносимых на защиту, приведен в Заключении.
По содержанию диссертации сделано более двадцати публикаций, из которых половину составляют доклады на конференциях, другую половину составляют статьи по отдельным вопросам работы. Часть результатов отражена в отчетах по различным проектам.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих изданиях:
10
1. Никитин И.С. Задача о подвижной нагрузке на границе упругого полупространства с цилиндрической полостью.// Изв. АН СССР. МТТ.
1984. №3. С.93-99.
2. Никитин И.С. Задача о нагрузке, приложенной к неупругому полупространству с цилиндрической полостью.// Изв. АН СССР. МТТ.
1985. №5. С. 184-187.
3. Глушко А.И., Никитин И.С. Об одном методе расчета волны хрупкого разрушения.// Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №3. С. 129-134.
4. Никитин И.С. Осредненныс уравнения слоистой среды с
нелинейными условиями взаимодействия на кон тактных границах.// Изв. АН СССР. МТТ. 1987. №5. С.80-86.
5. Никитин И.С. Осредненные уравнения блочной среды с
нелинейными условиями взаимодействия на контактных границах//Изв. АН СССР. МТТ. 1988. №2. С.70-76.
6. Никитин И.С. Динамика слоистых и блочных сред с
проскальзыванием и трением. Препринт №366 М.: Изд-е ИПМех АН СССР, 1989.42с.
7. Никитин И.С. О распространении волн в слоистых и блочных средах с трением на контактных границах.// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1989. №7. С-3-11-
8. Korobov S.A., Gulbin V.N., Nikitin I.S. Stressed-strained state analysis of material under high-speed deformation conditions. Journal de Physique IV. Colloque C3. 1991. Vol. 1. pp.235-240.
9. Гульбин B.H., Никитин И.С. Методика расчета параметров режима сварки взрывом разнородных металлов.// Сварочное производство. 1995. №1. С. 18-25.
11
10. Кобелев А.Г., Гульбин В.Н., Никитин И.С., Колесников Ф.В. Исследование напряженно-деформированного состояния при сварке взрывом слоистых биметаллов.// Сварка взрывом и свойства сварных соединений: Межвузовский сборник научных трудов/ ВолгГТУ. Волгоград. 2000. с.30-43.
11. Никитин И.С. Упруговязкопластическая модель и теория
скольжения. Препринт № 784. М.: Изд-е ИПМех РАН. 2005. 32с.
12. Никитин И.С. Теория деформирования слоистых и блочных горных массивов с учетом трения. Материалы XIV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСПГ1С-2005). М.: Вузовская книга. 2005. С.348.
13. Никитин И.С. Численный метод решения «жестких» полулинейных гиперболических систем. Тезисы докладов III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Екатеринбург: УрО РАН. 2006. С.87-88.
14. Никитин И.С. Упруговязкопластическая модель и теория
скольжения. Труды IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород. 22-28 августа 2006. С. 159.
15. Никитин И.С. Интегрируемые варианты трехмерной теории
скольжения для упруговязкопластических и упругопластических материалов. Материалы XV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСППС-2007). М.: Вузовская книга. 2007. С.395-396.
16. Nikitin I. The Integrable variants of the 3D slip theory for
elastoviscoplastic and elastoplastic models. EMMC-10 Conference “Multi-
12
phases and multi-components materials under dynamic loading” 11-14.06.2007.Kazimierz Dolny, Poland.
17. Никитин И.С. Определяющие соотношения упруговязкопластической модели и теория скольжения. // Изв. РАН. МТТ. 2007. №2. С. 110-122.
18. Никитин И.С. Построение упруговязкопластической и упругопластической моделей на основе теории скольжения. «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» Саратов. 2007.
19. Nikitin I. Elastoviscoplastic model and concept of slip.// Multidiscipline Modeling in Mat. And Struct. 2007. Vol. 3. №1. pp.91-106.
20. Никитин И.С. Динамические модели слоистых и блочных сред с проскальзыванием, трением и отслоением. //Изв. РАН. МТТ. 2008. №4. С.154-165.
21. Nikitin I. The Integrable Variant of the Theory of Slip.// Multidiscipline Modeling in Mat. And Struct. 2008 .Vol. 4. №2. pp. 163-178.
13
Глава 1.
Обзор методов построения моделей и численного решения задач механики неупругих сред с периодической структурой
В диссертации исследуются несколько взаимосвязанных проблем. Во-первых, строятся неупругие модели механического поведения структурно-периодических слоистых и блочных сред с проскальзыванием и отслоением. Исходя из этого, в первой части главы дается обзор современных методов построения неклассических моделей сплошных сред и структурно-периодических сред, учитывающих рост и развитие микро дефектов.
Для получения искомых моделей слоистых и блочных сред в данной работе используется теория скольжения. Кроме того, важное место в диссертации занимает интегрирование соотношений этой теории в случае трехмерного напряженного состояния для разных типов условий скольжения. Поэтому во второй части главы дается обзор основных работ по теории скольжения.
Поскольку полученные модели слоистых и блочных сред описываются такими же гиперболическими системами уравнений, как и модели упруговязкопластических сред, то и методы их решения являются сходными. Поэтому в третьей части этой главы дается обзор работ по численным методам решения задач динамики упру го пластических и упруговязкопластических сред.
14
1.1. Обзор континуальных моделей слоистых и блочных сред.
Современные подходы к построению моделей сплошных сред основаны на применении принципов термодинамики (Malvern (1969) [164]; Perzyna (1971) [177]; Lehmann (1972) [153]; Седов (1976) [107]; Ильюшин (1990) [34]; Коларов, Бантов, Бончева (1979) [41]; Кукуджанов (1985) [55]; Поздеев, Трусов, Няшин (1986) [91]; Кондауров, Фортов (2002) [49]; Бураго, Глушко, Ковшов (2000) [10]). Введение дополнительных внутренних переменных в структуру удельной свободной энергии и диссипативной функции, описывающих поведение материала, позволило с единой общей точки зрения рассмотреть и исследовать целые классы нсупругих моделей с учетом процессов роста и развития микродефектов среды, фазовых переходов и, как следствие, ослабления прочностных характеристик материала вплоть до его частичного или полного разрушения (Бураго, Кукуджанов (2004) [13]; Глушко, Нещеретов (1999) [18]; Кондауров, Никитин (1989) [47];
Кукуджанов (1999) [57]). В качестве меры разрушения вводится понятие повреждаемости, которое характеризует плотность микродефектов среды типа микроиор или микротрещин и является скаляром или тензором второго ранга (Качанов (1974) [33]; Работнов (1979) [93]; Глушко (1988) [17J; Carol, Bazant (1997) [136]; Carol, Bazant , Prat (1991) [137]; Кондауров (2001) [48]; Бураго, Ковшов (2001) [11]).
Для континуального описания поведения периодических структурнонеоднородных материалов разработаны различные методы механики композитов (Кристенсен (1972) [51]; Победря (1984) [90] ). В частности, для
15
слоистых упругих композитов получены эффективные модули соответствующей анизотропной среды (Sun, Achenbach (1968) [180]) , изучено распространение волн в различных направлениях (Christensen (1975) [140]; Hegemeier, Nayfeh (1973) [145]; Ben-Amoz (1975) [146]). Широкий класс волновых задач для слоисто-неоднородных сред связан с геофизическими приложениями и рассмотрен в классических работах Бреховских (1973) [7]. Однако, в отличие ог механики композитов, где, как правило, слоистые структуры рассматриваются с точки зрения неоднородности упругих или иных свойств составляющих слоев, которые прочно сцеплены по технологическим причинам, в задачах геофизики рассматриваются структуры, допускающие проскальзывание на межслойных границах. Действительно, горные породы часто изрезаны сетками параллельных протяженных трещин-разрезов. Причем, это может быть не одна система разрезов, а несколько систем, которые разбивают массив горной породы на блочные структуры, также допускающие взаимные смещения блоков. Другим примером блочной структуры является обычная кирпичная кладка, применяемая при строительстве зданий и сооружений. При более слабом связующем растворе под воздействием поверхностных или объемных нагрузок могут происходить взаимные подвижки структурных элементов - кирпичей. Очевидно, что построение модели деформирования подобного рода структур необходимо в прикладных целях.
Для получения континуальных моделей периодических структур наиболее математически обоснованным средством является теория осреднения систем уравнений с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами, развитая в работах отечественных и зарубежных
исследователей (Бахвалов (1975) [4]; Бахвалов, Панасенко (1984) [6];
16
Санчес-Паленсия (1982) [106]). С ее помощью было решено много задач по определению эффективных упругих, пластических, теплопроводных характеристик композитов разнообразной структуры, в том числе слоистых, волокнистых, с периодическими включениями различной формы и свойств (Бахвалов, Панасенко (1984) [6]; Победря (1984) [90]).
Созданию континуальных моделей слоистых сред, допускающих
проскальзывание слоев в условиях сжатия, посвящены работы (Зволинский,
Шхинек (1984) [32]; Молотков, Хило (1986) [67J; Molotkov, Bakulin (1997)
[168]; Bakulin (2003) [125,126]). В них рассмотрен случай линейных
контактных условий, связывающих скачки касательных смещений и
напряжений. В других работах (Zienkiewicz, Pande (1977) [185]; Lourenco
(1996) [154]; Giambanco, Fileccia Scimemi (2006) [144|; Cho, Plesha, Haimson
(1991) [139]) рассматриваются слоистые среды со связующими прослойками,
что приводит к анизотропным (трансверсально изотропным) упругим
моделям вплоть до нарушения сцеплений на контактах и к
упругопластическим моделям с неассоциированным законом течения для
учета пластических сдвигов на контактных границах. В работе Plesha (1987)
[178] принимается во внимание эффект дилатансии для учета связи
касательных и нормальных скачков смещений на границе слоев. В работе
Kawamoto, Ichikawa, Куоуа(1988)[148] для усредненного описания
возможных микроскольжений в эффективной анизотропной среде вводится
параметр повреждаемости, имеющий тензорный характер. В работах
(Зволинский, Шхинек (1984) [32]; Adhikary, Dyskin (1998) [121])
континуальные модели слоистых сред носят характер моментных теорий, с
несимметричным тензором напряжений для учета возможного изгиба слоев
при проскальзывании. Заметим, что с точки зрения теории осреднения в этих
17
моделях учитываются следующие, второго порядка малости члены разложения вектора смещений по малому параметру толщины слоя, зависящие от «медленных» и «быстрых» пространственных переменных (Бахвалов, Панасенко (1984) [6]). Модель многослойной упругой структуры, слои которой работают на изгиб, построена и исследована в работах Салганика (1987, 2004, 2005) [103,104,105].
Одну из первых моделей блочной среды предложил Morland (1974) [169].
В этой работе в массиве с несколькими системами параллельных разрезов
учитывается вклад микроскольжений в тензор деформации и принимается
условие кулоновского трения как предельное условие для касательного
напряжения на плоскостях разрезов. В работах (Singh (1973) [179]; Briccoli,
Ranocchiai (1999) [131]; Lourenco, Rots (1997) [156]; Anthoine (1997) [123]) no
моделированию процессов деформирования и разрушения кирпичных кладок
принимается эффективная анизотропная (ортотропная) модель
ненарушенного массива. Анизотропные модули упругости определяются по
одной из схем осреднения через изотропные модули блоков и связующего
застывшего раствора. Рассматриваются несколько зон в плоскости
«касательное напряжение - нормальное напряжение», в которых
определяются предельные условия, по достижении которых начинаются
неупругие деформации. Для их определи \ ия вводится пластический
потенциал, отличный от функции текучести (неассоциированный закон
течения) (Lourenco, Zucchini (2007) [157]). Также используется тензорная
повреждаемость в качестве меры нарушений сплошности массива кирпичной
кладки (Gambarotta, Lagomarsino (1997) [142,143]; Papa (1996) [174]; Berto ,
Saetta, Scotta (2002) [133]). Численно, в основном методом конечных
элементов, решены задачи деформирования кирпичных структур (Kawamoto
18
T., Aydan (1999) [149]; Lau, Noruziaan, Razaqpur (1998) [152]; Kamil Tanrikulu, Meng, McNiven (1992) [147]; Magenes, Calvi (1997) [160]). В работе (Acary, Jean (1998) [120]) применяется прямое численное моделирование для расчета контактных взаимодействий большого числа блоков - кирпичей с учетом проскальзывания и отслоения.
В работах Никитина (1987,1988) [73,74] с использованием теория осреднения периодических структур [6], получены безмоментные континуальные модели слоистой и блочной сред с нелинейными контактными условиями скольжения, учитывающими сухое и вязкое зрение. Определяющие соотношения этих моделей похожи на определяющие соотношения для анизотропных упруговязкопластических сред. Добавочные к упругому оператору члены полученных систем уравнений можно интерпретировать как компоненты тензора скоростей вязкопластических деформаций, связанных со скольжениями по имеющимся в среде контактным границам - разрезам. При внимательном рассмотрении оказалось, что эти формально полученные методом осреднения периодических структур “вязкопластические деформации” выглядят так, как будто они получены с помощью основного соотношения теории скольжения Батдорфа-Будя некого [3], описывающей пластические деформации поли кристаллических материалов.
Поэтому представляется естественным с самого начшта применить концепцию скольжения в ее дискретном варианте для построения моделей рассматриваемых структурно-периодических сред с обобщенными локальными условиями на контактных границах, учитывающими возможность не только скольжения, но и отслоения.
19