Энергетический спектр носителей заряда в узкощелевых полупроводниках и полуметаллах

- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ стр.
ВВЕДЕНИЕ.......................................................6
ГЛАВА I. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
У ВйСЮТА, ЛЕГИРОВАННОГО ПРИМЕСЯМИ АКЦЕПТОРНОГО
ТИПА ( $п , РЙ )............................................................................16
1.1. Трансформация поверхности Ферми у висмута при легировании оловом и сеинцом........................43
1.2. Закон дисперсии дырок в точке Т приведенной
зоны Бриллюэна у висмута ............................. 68
1.3. Закон дисперсии электронов и дырок в точке
Ь приведенной зоны Бриллюэна у висмута .......... 75
1.4. Заключение.............................................92
ГЛАВА П. ЭЛЕКТРОННО-ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОЛЫ
У СПЛАВОВ В $ПХ И В 1^х Р & х ПОД
ДАВЛЕНИЕМ...............................................94
П.1. Трансформация поверхности Ферми у сплавоЕ
Впх и В1,_ХР8Х под давлением....................Г04
П.2. Влияние давления на паралетры закона дисперсии носителей заряда е I -точке приведенной зоны
Бриллюэна..............................................132
П.З. Перестройка энергетического спектра у висмута и сплавоЕ $>ПХ и Ы^_х РВХ под
действием давления.....................................147
П.4. Особенности гальЕаномагнитных эффектов при
электронно-топологических фазовых переходаспод давлением у сплавоЕ Ъ'ь^у $пх и Ы^_х РЬу • »159
П.5. Заключение............................................180
- 3 -
ГЛАВА Ш. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА У СПЛАВОВ
г я*..........................................................из
Ш.1. Электронная и дырочная поверхности Ферми в I у полупроводниковых сплавов В^_х Л - и
р -типа..............................................................196
Ш.2. Закон дисперсии носителей заряда у полупроводниковых сплавов В I ^_х 5 В х ...........................226
Ш.З. Электронная и дырочная поверхности Ферли у чистых полуметалж ческих сплавов В3 с
X > 0,22 ........................................................... 233
Ш.4. Перестройка энергетического спектра носителей заряда у сплябое В I у_х ЗВХ Б интервале
составов О ^ X <0,6.............................................251
Ш.5. Заключение............................................................268
ГЛАВА 1У. ИНВЕРСИЯ ЗОН ИОД ДАВЛЕНИЕМ У СПЛАВОВ
С Х > 0,04. ПЕРЕХОД ПОЛУМЕТАЛЛ-ПОЛУПРОВОДНИК ПОД ДАВЛЕНИЕМ У СПЛАВОВ
В1/-х 5ВХ С X < 0,07 ............. 273
1У.1. Перестройка энергетического спектра носителей заряда у сплавов В1^х 28 у при переходе от прямого спектра ( £^г, > 0) к инвертированному
( 6^£ < 0) 282
1У.2. Переход в бесщежБое состояние под действием
давления у сплавов ^ 8 / с X > 0,04 ... 288
1У.З. Изменение анизотропии поверхности Ферми в I
при переходе в бесщелевое состояние под давлением 316
1У.4. Переход полуметалл-полупроводник под давлением у
сплавоБ В1^_х ВВХ с X < 0,07 .................. 328
ГУ.5. Заключение...........................................................344
- 4 -
ГЛАВА У. ИНВЕРСИЯ ЗОН ПОД ДАВЛЕНИЕМ У СПЛАВОВ
ге...........................................346
У.І. Изменение циклотронных масс и формы поверхности Ферми в Ь у полупроводниковых сплавоЕ Р8у_у Зпх 5е п - -а р -типа при инверсии зон под давлением ............................ 359
V.2. Перестройка энергетического спектра носителей заряда в системе Р8/_у 2/гу 5е при переходе от прямого спектра { Еді > О ) к инвертированному
(Є^І < 0 )................................................386
У.З. Инверсия расщепленных по спину уровней Ландау при
переходе через бесщелевое состояние под давлением . . 419
У.4. Структурный фазовый переход в системе
РВ4-х 5пх Яе под давлением......................428
У.5. Заключение..................................................438
ГЛАВА УІ. ПЕРЕХОД ПОЛУ МЕТАЛЛ-ПОЛУПРОВОДНИК ПОД ДАВЛЕНИЕМ В РЕЗУЛЬТАТЕ ИНВЕРСИИ ЗОН В Г У СПЛАВОВ Н^_х С(ІкТе.........................................................442
VI.І. Эффект Шубникова-де Гааза и гальв аномагнитные эффекты у сплавов 4-Х СІЇ X 'ГЄ Р -типа при переходе полуметалл-по^ проводник под давлением . . 451
УІ.2. Особенности перехода полуметалл-полупроводник под
давлением у сплавов щ^кахте р -типа . . . 475 УІ.З. Перестройка электронного энергетического спектра
под давлением у сплавов Н^_у Сс(х Тб К -типа 511
УІ.4. Болътамперные характеристики и эффект Шубникова-де Гааза на "горячих" электронах у сплавоЕ Ну 4-х Тб под давлением при гелиевых
температурах.............................................526
- 5 -
УІ.5. Заключение............................................543
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ....................................... 545
БЛАГОДАРНОСТИ ...................................................... 552
ЛИТЕРАТУРА.......................................................... 553
ПРИЛОЖЕНИЕ I. МЕТОДИКА ПОЛУЧЕНИЙ И ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЙ .... 606
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. УСТАНОВКА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭФФЕКТА ШУШЖОВА-
де ГААЗА..........................................614
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. УСТАНОВКА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫХ ЭФФЕКТОВ В СЛАШХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ В ШИРОКОМ
ТЕМПЕРАТУРНОМ ИНТЕРВАЛЕ ............................ 623
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. УСТАНОВКА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЛЬТАМПЕРНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ . . 630
ПРИЛОЖЕН .ТЕ 5. ПРИГОТОВЛЕНИЕ И МОНТАЖ ОБРАЗЦОВ...................636
- 6 -
ВВЕДЕНИЕ
В последнее Бремя резко Бозрос интерес к полуметаллам и полупроЕодникам с узкой щелью Б сеязи с большими перспективами, открывающимися перед этими материалами в области практических применений. Уже в настоящее время узкощелевые материалы широко используются в технике и в некоторых случаях, благодаря особенно стяги их зонной структуры, оказываются практически незаменимыми (управляемые магнитным полем, температурой и давлением ИК-лазеры на Р&4-х 5п.х Те и Р&4-Х 5/г- х 5е , фотоприемники на Щ4-Х Те- и В14-х В В х > работающие в далеком ИК-диапазоне и т.д.) [1-3].
Выделение узкощелеЕых полуметаллов и полупроводников б отдельный класс основано на ряде общих особенностей этих материалов. Малость энергетических зазороЕ в них приводит к сильной не-параболичности зон, малый эффективным массам и высоким подвижно-стям носителей заряда. Значительная чувствительность к легированию, температуре, давлению, магнитному и электрическому полям делает эти материалы идеальными объектами для изучения общих закономерностей влияния Енешних физических воздействий на свойства ТЕерДЫХ тел.
Исследования, выполненные на узкощелевых полупроводниках, привели к реализации ряда новых физических ситуаций, не характерных для классических полупроводников. Укажем для примера на переходы металл-диэлектрик и диэлектрик-металл, а также на переход в фазу экситонного диэлектрика, обнаруженные у сплавов Вь*_х х Б сильном магнитном поле [4-6].
Значительный интерес как для физики твердого тела, так и для практических применений представляет возможность перевода систем Вй4-х , Р&/-Х 5пк Те , Р&4-х *>п.х 5е
1 X Сс(х Те в бесщелевое состояние, которое во мне-
- 7 -
гих отношениях отличается качественным образом от полупроводниковой и долуметаллической фаз [7,8].
Вследствие сильной непараболичности закона дисперсии параметры носителей заряда б узкощелевых материалах резко меняются при изменении щели и энергии. У узкощелевых полуметаллов и сильно легированных узкощелевых полупроводников форма поверхности Ферми при гелиевых температурах, в принципе, сложным образом зависит от величины и знака щели и от величины энергии Ферли.
У различных материалов энергетические и щелеЕые зависимости циклотронных масс носителей заряда, а также формы поверхности Ферми могут отличаться качественным образом. Характер этих зависимостей определяется как величиной к р -взаимодействия валентной зоны и зоны проводимости, так и степенью елияния удаленных зон на закон дисперсии электронов и дырок.
В самом простом случае, когда закон дисперсии носителей заряда описывается ДЕухзонной моделью, форма поверхности Ферми у электронов и дырок строго эллипсоидальна, не зависит от величины и знака щели и от энергии Ферми и определяется только анизотропией матричных элементов. Законы дисперсии электронов и дырок при этом оказываются полностью "зеркальными". При постоянной концентрации носителей в зоне щелеЕая зависимость циклотронных масс симметрична относительно точки бесщелевого состояния.
Взаимодействие с удаленными зонами приводит к отклонению формы изоэнергетических поверхностей от эллипсоидальной, к появлению в общем случае "незеркальности" законоь дисперсии электро-ное и дырок, к возникновению энергетической и щелевой зависимостей анизотропий изоэнергетических поверхностей и циклотронных масс. Б зависимости от характера взаимодействия с удаленными зонами в спектре узкощелевых материалов могут возникать седловые
- 8 -
точки как при отрицательных, так и при положительных значениях щелеього параметра.
Сложность характера перестройки зонной структуры узкоще-леьых сплавоБ с изменением состава X и потенциальная сложность закона дисперсии, параметры которого могут, в принципе, меняться с составом х , требуют специального подхода при решении задачи количественного описания параметров носителей заряда и их зависимостей от состава сплавов X , уровня легирования донорными и акцепторными примесями, давления р , температуры Т , магнитного и электрического полей.
Варьирование энергии Ферми в широких пределах как е валентной зоне, так и в зоне проводимости, для определения энергетических зависимостей параметров носителей заряда может быть выполнено введением е сплавы примесей акцепторного или донорного типа.
Для эффективного изменения щелевого параметра следует использовать технику высокого давления. В сочетании с изменением состава сплавоЕ X этот метод позволяет перекрывать широкий диапазон значений щелевого параметра £ м как в области прямого, так и в области инверсного спектра.
Возможность наблюдения предсказанных И.М.Лившицем электронно-топологических фазовых переходов под давлением (сплаЕк х и Сс(х Те ) существенно расширяет
объем экспериментальной информации о законе дисперсии носителей заряда вблизи экстремальных точек [9].
Исчерпывающие данные о параметрах поверхности Ферми, о типе и концентрации носителей, об эффективных массах, подвижностях и Бременах релаксации электронов и дырок могут быть получены при исследовании квантовых осцилляционных эффектов е сочета-
- 9 -
кии с классическими галъЕаномагнитнши.
Изложенные выше особенности метода позволяют заключить, что исследование электронного энергетического спектра узкоще-левых полуглеталлов и полупроводников при комбинированном воздействии примесей и давления в широком интервале температур можно выделить б отдельное направление в физике узкощелевых материалов. Развитый в работе ноеый метод позволяет получить данные об энергетическом спектре путем вариации его параметров с помощью внешних физических воздействий.
Актуальность сформулированного Еыше направления определяется в первую очередь тем, что эффективность разнообразных технических применений узкощежвых материалов может быть существенно увеличена при получении надежных количественных зависимостей параметров носителей заряда от состава сплавов х , уровня легирования, давления р , температуры Г и т.д. Исследования в указанном направлении открывают принципиальную возможность использования в технике разнообразных эффектов, сопровождающих переходы в бесщелевое состояние и электронно-топологические переходы под действием давления. Кроме того, эти исследования позволяют е большом числе случаев установить общий характер влияния внешних физических воздействий на свойства твердых тел.
Цель настоящей работы состояла в экспериментальном исследовании электронного энергетического спектра ряда узкощелевых полупроводников и полуметаллов при комбинированном воздействии примесей и давления в широком интервале температур. Основное внимание уделялось изучению топологических изменений поверхности Ферми при легировании и при изменении состава сплавов, исследованию электронно-топологических фаЗОЕЫХ переходов под давлением и
- 10 -
исследованию инверсии зон под действием давления у сплавов с разным составом и разным уровнем легирования. Исследования были направлены на выбор адекватной теоретической модели энергетического спектра, на определение числа и величины входящих б закон дисперсии параметров, а также на нахождение зависимости этих параметров от состава сплавоЕ X , давления р и уровня легирования.
В качестве объектов исследования в настоящей работе были выбраны узкощелевые сплавы В1 х (0 ^ X 4 0,56),
Р&1-Х 5пх 5е (0*х^ 0,37) и П^_х Сс(х Те
(0,034 =£ х ^ 0,145).
Перестройка энергетического спектра сшшбое В1^-Х с ростом X сопровождается переходом б полупроводниковую фазу в сравнительно узком интервале концентраций 0,07^Х^ 0,22. Энергетическая щель в точке Ь приведенной зоны Брил-
люэна обращается е нуль при х - 0,04 в результате иньерсии зон. К неоспоримым достоинствам сплаЕов В1^_х отно-
сится то обстоятельство, что технология получения совершенных монокристаллов этих сплавов с регулируемой концентрацией при-
ТО то _о
месных носителей б интервале (10 —10 ^) см отработана достаточно хорошо. Из-за малости эффективных масс носителей и большой диэлектрической проницаемости уровень Ферми при гелиевых температурах у полупроводниковых сплавоЕ В 14 3/5 попада-
* — Д А
ет б основную зону уже при концентрации примесных носителей £ 10 см . Последнее б сочетании с необыкновенно большими значениями подеикности (уК ~ 10° см^/ь.сек при Т = 4,2 К) делает возможным исследование формы электронной и дырочной поверхностей Ферми при варьировании энергии Ферми в широких пределах (начиная, практически, со дна (потолка) зон в экстремальных
- II -
точках).
В равной мере в задачи настоящей работы входило исследование трансформации поверхности Ферми электронов и дырок в [, У узкощелевых полупроводниковых СПЛЭБОЕ Р£ 5е б
области существования кубической фазы ( X & 0,43) при изменении концентрации структурных дефектов, состава сплавов X к давления р с целью Еыбора теоретической модели энергетического спектра и определения зависимостей параметров закона дисперсии от состава X и давления р .
Система сплавов Нуу_^ Сс(^ Те на основе бесщелевого полупроводника Ну Те с инверсной зонной структурой ( £г - £ го < 0 ) Е широкощелевого полупроводника Сс( Те с
6 * О
новальным спектром ( > 0 ) представляет большие воз-
можности для получения полупроводниковых материалов с исключительно широким набором свойств и изучена наиболее подробно.
К характерным особенностям системы Ну^ ^ СсСх Те следует отнести переход полуметалл-полупроводник, происходящий либо е результате инверсии термоЕ Г6 и Гд при изменении состава X , температуры Т или давления Р, либо при снятии вырождения зон в Г под действием одноосной деформации или е сильном квантующем магнитном поле Н.
Характер перехода сплавов из полуметаллической фазы в полупроводниковую определяется их дефектностью. До появления настоящей работы не было проведено экспериментальное сравнение особенностей перехода полуметалл-полупроводник у сплаЕОЕ Яу^_у Те а - и р-типов.
Б настоящей работе с помощью различных физических методов впервые проведено исследование трансформации энергетического спектра носителей заряда при инверсии зон, расположенных в одной точке зоны Бриллюэна, и при изменении взаимного расположения зон,
- 12 -
находящихся б различных точках зоны Бриллюэна, под дейстьием
давления и при изменении состава у узкощелевых сплагов Ы,_г $В ,
1 *~л х
и ^ Е УСЛ0БИЯХ сильного легиро-
вания донорными и акцепторными примесями.
В первой главе настоящей диссертации приводятся результаты систематических исследований топологических изменений поверхности Ферми у $1 , сопровождающихся исчезновением электронной и
появлением дырочной поверхности Ферли б точке I приведенной зоны Бриллюэна при увеличении концентрации акцепторной примеси ( Вп 9 Р& ) • Обнаружена недараболичность энергетического спектра дырок б Т-экстремуме валентной зоны и определен набор параметров, входящих в дырочный закон дисперсии у висмута; обнаружена незеркальность электронного и дырочного спектров в Ь ; установлено, что анизотропия изоэнергетических поверхностей е Ь практически не меняется с энергией; показано, что у висмута при атмосферном давлении в спектре электронов и дырок б Ь седловые точки отсутствуют; показано, что энергетический спектр носителей заряда е Ь у висмута удовлетворительно описывается упрощенным законом дисперсии Макклюра и определен полный набор параметров, входящих в закон дисперсии носителей заряда в Ь •
Бо второй главе приводятся результаты экспериментальных исследований предсказанных укМ.Лифшацем электронно-топологических переходов, связанных с качественной перестройкой поверхности Ферми у сплавов В1 и Р&х под давлением.
В работе установлено, что у исследованных сплаЕОЕ при низких температурах при достижении критических значений даьления Рк, зависящих от состава сплавоЕ, наблюдается качественное изменение динамических сбойсте носителей заряда в результате трансформации поверхности Ферми типа:
^эл.эллид.* ^дыр.эллипГ дар-эллш- п^и ^
с/ч
- 13 -
2,4.10^ <■(.?-№)& 3,5.10*® см ® (где //и Р - соотЕетст-
ьенно концентрации электроноЕ и дырок).
Обнаружено, что е процессе электронно-топологического перехода первого типа электронная поверхность Ферми у сплэеое стяги-ьается е точку, причем анизотропия электронной поверхности Ферми с ростом давления изменяется крайне незначительно. Исчезновение электронной группы носителей при гелиеБых температурах сопровождается резким изменением компонент гальЕаномагнитного тензора в слабом магнитном поле.
В процессе электронно-топологического перехода ьторого типа дырочная поверхность Ферми е Ь быстро увеличивается в объеме
из-за перетекания дырок из Т- в I, -экстремумы. Рост концентрации "легких" дырок е I. сопровождается уменьшением удельного сопротивления и ростом коэффициентов продольного и поперечного магнитосопротивления с давлением.
Б работе установлено, что в первом приближении параметры 0.11 и (о622)с V не меняются с давлением. Определены бариче-
В третьей глаье диссертации приводятся результаты экспериментального исследования поверхности Ферми у чистых полуметалли-ческих сплавов В1 , „ 5Й ^ (0,23 ^0,6) и у сильно леги-
V А X
рованных полупроводниковых сплавов Ы (0,08^ X ^
$ 0,12) /г - и р-типое при гелиевых температурах и атмосферном давлении. Показано, что перестройка энергетического спектра носителей заряда е системе сплавоь В I £ В у мокет быть описана на базе теоретической модели Макклюра и Чоя при условии зависимости ряда параметров модели от состава сплавоь X • При энергиях Ферми £ < 150 мэВ во всем интервале составов
и перекрытия зон
- 14 -
05 X 5 I можно ограничиться учетом взаимодействия с удаленными зонами в Ь только в направлении штянутости изоэнер-
/
гетических поверхностей. Установлено, что при 06X40,4 из о энергетические поверхности е Ь хорошо описываются упрощенным законом дисперсии Макклюра. Электронная поверхность Ферми у сурьмы удовлетворительно описывается теоретической моделью при введении в упрощенный закон дисперсии Макклюра еще трех параметров, появляющихся е третьем порядке теории возмущений.
В четвертой главе диссертации приводятся результаты экспериментальных исследований влияния давления на энергетический спектр сплавоЕ В1у.# $ 6Х (0 < X 4 0,15). Обнаружена инверсия зон в I под давлением у сплавов с X >0,04, сопровождающаяся резким уменьшением эффективных масс носителей заряда и сильным ростом подвижностей б области бесщелевого состояния (ЕС) при гелиевых температурах. Установлено, что давление рБС перехода в БС увеличивается с ростом X по нелинейному закону. Обнаружен рост анизотропии изоэнергетических поверхностей в Ь при переходе в БС под давлением. Установлено, что у лолуметаллических сплавов Ы (0 6 X < 0,07) под действием давления
происходит переход полуметалл-полупроводник, являющийся разновидностью электронно-топологических переходов, предсказанных И.М. Лившицем.
Б пятой главе диссертации приведены результаты исследования перестройки энергетического спектра носителей заряда у полупро-еодникоекх сплавов Р£ 5лх 5е (06X6 0,34) п - и р-
типое при инБерсии зон под давлением и при изменении состава X . Обнаружена сильная асимметрия щелеЕых зависимостей циклотронных масс носителей заряда относительно точки бесщелевого состояния (БС). Обнаружена сферизация электронной поверхности Ферли под
- 15 -
давлением в области отрицательных значений щелевого параметра £ . Обнаружена инверсия расщепленных по спину уровней Ландау
при переходе через БС под давлением. Установлено, что экспериментальные данные для сплэбое Зпх 5е (06X6 0,34) мо-
гут быть описаны на базе теоретической модели Диммока при условии зависимости ряда параметров модели от состава сплавов х Обнаружена зависимость давления структурного фазоього перехода у сплавов Р£ 4_х 5 /г х ^е от состаЕа X .
В шестой главе приводятся результаты экспериментальных исследований инверсии зон Г6 и Г8 под давлением у сплавов ^ 1-х к (0,034 6 х ^ 0,145). Обнаружен электронно-
топологический переход под давлением у полуметаллических (при р = I бар) сплавов ,_х Сс(к Те р-типа, связанный с исчезновением электронной поверхности Ферми б Г и сопровождающийся резким изменением кинетических коэффициентов при гелиевых температурах. Обнаружено, что у полуметаллических сплавоЕ р-типа при гелиевых температурах уровень Ферми фиксирован в примесной акцепторной зоне, перекрывающейся с зоной проводимости. Установлено, что энергия активации £ а акцепторной зоны не зависит от величины щелеЕого параметра £ ^ , так что переход полуметалл-полупровод-
ник у сплзеоб р-типа под давлением происходит при фиксированной энергии Ферми. Показано, что переход полуметалл-полупроводник под давлением у сплавов п. -типа происходит при фиксированной электронной концентрации. У полуметаллических сплавов р-типа в сильных электрических полях обнаружены квантовые осцилляции магнитосопротивления от "горячих" электронов. Показано, что электронная температура Те растет с электрический полем Е е первом приближении по линейному закону, не зависящему от величины щелевого параметра <£у .
16 -
ГЛАВА I . ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ЭЛЕКТРОНОВ И
ДЫРОК У ВИСМУТА, ЛЕГИРОВАННОГО ПРИМЕСЯМИ АКЦЕПТОРНОГО ТИПА ( Sft ,Р&).
Висмут ( BL ) ~ элемент пятой группы периодической системы элементов Менделеева, обладает ярко выраженными полуметал-лическими свойствами. Bl кристаллизуется в ромбоэдрическую решетку с симметрией точечной группы (Rim.)* Кристаллическую структуру BL можно представить себе, как результат двух малых деформаций простой кубической решетки [I - 3]. Действие малых деформаций можно описать наглядным образом, разложив предварительно исходную простую кубическую решетку на две взаимнопроникающие гранецентрированные подрешетки (как, например, в случае структуры типа IsfaCt ). В исходной кубической структуре параметр смещения подрешеток и равен 0,25, а ромбоэдрический угол oi составляет 60°. Первая деформация состоит в малом сдвиге одной из подрешеток в направлении пространственной диагонали куба, так что параметр смещения и немного изменяется (у Bl U. = 0,237). Вторая деформация заключается в растяжении кристаллической рещетки в направлении той же пространственной диагонали (ромбоэдрическая деформация), что приводит к уменьшению ромбоэдрического угла cL (у Bl oL =
= 57°I4,2). Указанная выше пространственная диагональ становится тригональной осью ( С3 ) в результирующей структуре.
Приведенная зона Бриллюэна для решетки ВI (рис. I.I) близка по форме к усеченному октаэдру - приведенной зоне для гранецентрированной решетки. В результате ромбоэдрической деформации решетки усеченный октаэдр сплюснут в направлении тригональной оси ( £3 ). В стандартных обозначениях точки Т яв-
- 17 -
ляются центрами двух гексагональных граней зоны Бриллюэна, а точки Л - центрами шести псевдогексагональных граней (рис. 1.1). Тригональная ось ( £3 ) щюходит в ГТ-направлении (Г -центр зоны Бриллюэна), три бинарные оси ( С г, )» перпендикулярные трем плоскостям зеркальной симметрии, направлены параллельно линиям ТМ на гексагональной грани, а три биссекторные оси, лежащие в плоскостях зеркальной симметрии, направлены по линиям Т17 на гексагональной грани. Тригональная ось С3 , бинарная ось С г, и биссектриса (соответствующие выбранной плоскости зеркальной симметрии) образуют прямоугольную систему координат.
Элементарная ячейка решетки Е>1 содержит два атома, так что на элементарную ячейку приходится десять валентных электронов. В принципе, валентные электроны у В Ь могут полностью заполнить пять энергетических зон, однако, из-за ромбоэдрической деформации, нарушающей эквивалентность точек Л и Т (рис. 1.1), между валентной зоной и зоной проводимости у В1 возникает малое перекрытие, приводящее к появлению уже при Т = = О К электронов и дырок с равными концентрациями. Таким образом, полуметаллические свойства Ы прямо связаны с особенностями строения его кристаллической решетки.
Физические причины неустойчивости простой кубической структуры у полуметаллов У группы ( Дг » 5Ъ » 81 ) окончательно не установлены. Ряд теоретических исследований указывает на то, что как изменение полной энергии большинства занятых состояний (связанное с изменением ширин зацрещенных зон), так и вклад в энергию от состояний, близких к уровню Ферми, ответственны за переход от затравочной простой кубической решетки к реальной ромбоэдрической структуре [4]. В частности, для А5 было установлено, что теоретически рассчитанный минимум энер-
- 18 -
гии, полученный при варьировании и и оЬ , отвечает значениям этих параметров, близким к фактически наблюдаемым [4].
Исследования фононных спектров позволяют заключить, что неустойчивость простой кубической структуры у материалов со средней валентностью - 5, имеет общий характер 15]. Деформация, заключающаяся в сдвиге подрешеток, эквивалентна моде с К = 0 на оптической ветви фононного спектра, поляризованной в (НО -направлении. Если существует тенденция к нестабильности решетки относительно сдвига подрешеток, частота вышеуказанной моды должна быть аномально мала. Последнее действительно имеет место для полупроводниковых соединений А^В И со структурой типа ЫаС1 ( Р&Те » Р& £>е ) 15]. Более того, у В и , где переход к ромбоэдрической структуре уже произошел, частота оптической моды с К = 0 остается на сравнительно низком уровне 15].
Следует отметить, что энергетическая щель в I у Ы столь мала, что оказывается сравнимой с энергиями характерных фононов. Последнее, в принципе, может привести к сильному электрон-фононному взаимодействию, которое может перенормировать электронный спектр, рассчитанный без учета многочастич-ных эффектов.
Из вышесказанного ясно, что теоретические расчеты зонной структуры В>1 из первых принципов представляют значительные трудности. Точность типичных расчетов с использованием стандартных ЭВМ составляет 0,14-0,3 эВ, что существенно превосходит величину характерных энергий у 81 . Расчеты усложнены
также из-за необходимости строгого учета релятивистских эффектов, которые особенно велики в случае 81 из-за большого атомного номера. Несмотря на указанные трудности, расчеты зонной структуры Ы оказались полезными для получения общей
- 19 -
Рис. 1.1. Приведенная зона Бриллюэна для решетки типа висмута.
ENERGY (hortrees)
- 20 -
Рис. 1.2. Зонная структура Ви по расчетам Голина [61.
%
- 21 - .
картины расположения зон в широком интервале энергий и волновых векторов.
Подробный теоретический расчет спектра В1 был выполнен Голиным в псевдопотенциальноы приближении [6] (рис. 1.2). При окончательной подгонке псевдопотенциала использовались экспериментальные данные о локализации участков поверхности Ферми в зоне Бриллюэна (электроны - в I , дырки - в Т ), экспериментальные значения перекрытия валентной зоны и зоны проводимости £п и прямой щели в Ь - 6^1 . Было обнаружено, что зонные спектры в П - и в ГТ -направлениях у Вь
близки в качественном отношении (рис. 1.2). Следует отметить, что в точках I на сравнительно близких расстояниях от уровня Ферми кроме дна зоны проводимости и потолка валентной зоны находятся четыре дополнительные зоны, расположенные попарно под и над уровнем Ферми. Качественно аналогичная картина вблизи уровня Ферми имеет место в точке Т (рис. 1.2). Очевидно, что при строгих расчетах законов дисперсии носителей заряда в Ь и Т необходимо учитывать не только взаимодействие двух ближайших зон, но и влияние на кривизну £ (к) четырех дополнительных зон в I и Т .
Зависимость энергии от волнового вектора £(к) в валентной зоне и зоне проводимости в окрестности точки у 61 описывается законом дисперсии Макклюра и Чоя, полученным с помощью К-р -метода с учетом конкретной симметрии I -точек [7]. Подробный анализ, проведенный в [7, 8], показывает,
что закон дисперсии Макклюра и Чоя позволяет описать с высо-
кой точностью электронную поверхность Ферми у 51 » параметры которой надежно определены Эдельманом [3].
В наиболее общем случае закон дисперсии Макклюра и Чоя имеет вид [7, 8] :
- 22
где
£+=&+А+тг(сС1м Кх+с1гггг Ку +<£ъззк% + 2с£гг23 ку к%)
£ --£- А-^сСс^ кх. + сСсгг ку +о6сзз к£ + 2о(сйЗ к у к%)
{ -^к^Огг^^зз^+Ргггг ку + Р*223 «| (<* +
+(Р22ззка+Р^22Кх)К^+РгзззК^Кг+Рм^ Кх •
Здесь энергия £ отсчитывается от середины щели в 1_ Л -волновой вектор, ось X совпадает по направлению с бинарной осью С2. * оси У и 2 составляют угол б°23' [3] соответственно с биссектрисой и тригональной осью С3 , 2 Д =
- прямая щель в Ь , величины 0ц , оСц и появляют-
ся соответственно в первом, втором и третьем порядках теории возмущений. Все Оц являются действительными. Индексы " V " и " С п соответствуют валентной зоне и зоне проводимости. Из симметрии кристалла следует, что все недиагональные элементы Льу за исключением оСгз равны нулю. Закон дисперсии (1.1) записан в атомной системе единиц: е=пг=‘Ь, = 1»за единицу энергии принят I хартри = 27,2 эВ, а за единицу длины - бо-ровсний радиус СХ в = 0,529 X.
Параметры 0 ц являются аналогами кейновских матричных элементов и характеризуют к-р -взаимодействие валентной зоны и зоны проводимости. Параметры оСц » представляющие собой
обратные поправочные массы ( Лц = 1 / /72. ц; ),
учитывают влияние на кривизну валентной зоны и зоны проводимости четырех дополнительных зон в I . Все входящие в (1.1) параметры ( б и , Р^К1 »
) являются эмпирическими и
- 23 -
могут быть определены из сравнения теории с экспериментом.
Когда точная оценка локальной кривизны поверхности Ферми не требуется, закон дисперсии Макклюра и Чоя (1.1) может быть упрощен [9] (модель Макклюра). В этом случае закон дисперсии имеет вид [9] :
щ№+а^о£3к!; (Ь2)
где ось X - совпадает с бинарной осью , ось У - с направлением вытянутости изоэнергетической поверхности в Ь ,
Л с. п Л V - продольные обратные поправочные массы для электронов и дырок соответственно, учитывающие взаимодействие с удаленными зонами в направлении вытянутости (У ). Из сравнения выражений (1.1) и (1.2) видно, что переход к упрощенному закону дисперсии (закон дисперсии Макклюра) состоит в исключении членов, появляющихся б третьем порядке теории возмущений, и членов, содержащих как обратные поправочные массы в направлении коротких полуосей X и Ъ ( оСн , <Х33 )С)гг, так и недиагональные элементы ( <Лгъ )с,гг» Б последнем случае поверхность Ферми в I становится центральносимметричной. Исключение ( оСн )С;1Г и ( еСзз )С)у оправдано малостью эффективных масс на уровне Ферми в направлениях коротких полуосей X и 2 .
Характерные особенности энергетического спектра, описываемого выражением (1.2), состоят в следующем:
изоэнергетические поверхности в I - неэллипсоидальны (из-за присутствия членов ~ кц ),
законы дисперсии электронов и дырок в в направлении вытянутости ( У ) в общем случае незеркальны,
анизотропии изоэнергетических поверхностей и циклотрон-
- гч -
ных масс носителей заряда совпадают только у дна (потолка) зон и зависят как от энергии Ферми £Р , так и от щелевого параметра £бт ,
щелевые зависимости анизотропий изоэнергетических поверхностей и циклотронных масс носителей в I асимметричны относительно точки бесщелевого состояния (БС) ( = О),
в БС закон дисперсии вблизи точки касания зон линеен ( £ ~ К ) во всех направлениях,
в области отрицательных значений щелевого параметра при оС-гг , оСс > 0 точка I. становится седловой точкой в спектре электронов и дырок соответственно при (6^1 )а=
= - (2 022 1сСу) и ( )и= - (2 бД / обе ) (при переходе
через БС зона проводимости и валентная зона обмениваются обратными поправочными массами с£й и оСц- ); при оСц-» <^с ^ О точка [. становится седловой в области положительных значений £.^1 ,
в направлении коротких полуосей изоэнергетических поверхностей в I закон дисперсии Макклюра (1.2) сохраняет простую двухзоннуго (кейновскую) форму.
Ыакклюром получены выражения для главных сечений электронной и дырочной поверхностей Ферми в I и главных циклотронных масс носителей заряда на экстремальных сечениях в рамках закона дисперсии (1.2) [9] :
ЯГ(£2-£^/4) тс,Г1 О-м'Озз
таг
(1.3),
ягелил 6
(М,
: 0зз
- 25 -
^С-так _ г(£-к(е)+ги-тмв/я^ше)1? (1#б)
“ ЧГ б 33 ос V оСс (6*-б£/4 )'/4 й '/г
Где ' £0|:2 + 7г£^1.(о^а,'4~<^-с)+&(<71с~0^и) 9
и* М&-Ь$м1г-
Й=(/) + В2/4)',/2 ,
(£г-4/4)Ч^)
* гыиоСсу/^
К(£) и £(£)- полные эллиптические интегралы первого и второго рода, £ - модуль, причем:
1*4(1 + к)/к ,
5тдх .постах , 0/£ /т 7^
ПЪстМ Озз
Для получения угловых зависимостей $(</) итс((/) в -плоскости ( Н1£ ) в (1.5) и (1.6) следует произвести замену:
сСу —^ №$£ ц ^ с1с —- 9
0-1с-~0.1гСо*г'(*+%
где У - угол между направлением магнитного шля Н и осью к II Сг •
Следует отметить, что теоретичеекие модели Лэкса [10], Коэна [II] и Абрикосова и Фальковского [12, 13] являются частными случаями модели Макклюра и Чоя [7, 8] (применительно к точкам [. приведенной зоны Бриллюэна).
Закон дисперсии Лэкса получен в полном пренебрежении влиянием удаленных зон, т.е. при ( Лц )ег= 0 :
64% /2)Я+ Q&$+Qf3Kf (I,8)‘
В модели Лэкса электронные и дырочные изоэнергетические поверхности строго эллипсоидальны, спектры электронов и дырок зеркальны, нормальный ( iqi> 0) и инвертированный ( iyL < 0) спектры идентичны, анизотропии изоэнергетических поверхностей и циклотронных масс совпадают и не зависят ни от £ , ни от
, в БС закон дисперсии линеен во всех направлениях.
Закон дисперсии Коэна в наиболее общей форме получается из выражения (I.I) при Pijkt = °* Проводя сравнение с экспериментальными данными для В1 Коэн упростил свой закон дисперсии, исключив матричный элемент Qgg, в направлении вытя-нутости изоэнергетических поверхностей, а также занулив обратные поправочные массы { Л ij \ с ъ направлении коротких полуосей:
Аналогичный закон дисперсии был получен Абрикосовым [13]-после приведения закона дисперсии Абрикосова и Фальковского к двухзонной форме.
2 о
Отсутствие в законе дисперсии (1.9) члена 02г. К у исключает возможность приведения (1.9) к двухзонной форме (1.8). Спектр в у -направлении оказывается строго параболическим (кривизна б(Ку) задается теперь только удаленными зонами).
В БС спектр линеен в У - и £-направлениях и квадратичен в у -направлении. Сразу же за БС во всей области буї < 0 точка Ь становится седловой; при этом возникают две устойчивые
точки касания валентной зоны и зоны проводимости в окрестности точки Ц .
Принципиальная важность параметра 0г2. (да*е в случае его малости) может быть обоснована следующими соображениями:
I) в модели Ыакюпора (закон дисперсии (1.2)) транспортные массы электронов и дырок в направлении вытянутости изоэ-нергетических поверхностей в У дна зоны проводимости и потолка валентной зоны в случае 6^ > О соответственно равны
т1 -(^0-+
т^(ык+с1г)‘ !
при переходе в БС ( £^1—— 0) члены, стоящие в скобках первыми, будут доминировать ( Оц? 0)» что соответствует переходу к простой двухзонной модели Лэкса (влиянием удаленных зон можно пренебречь),
'2) при инверсном спектре ( 0) и с£е,?г> 0 Для транс-
портных масс у дна (потолка) зон в у -нацравлении получим
-I аЬ Г*
т* _/ 2.^22 /
;
при определенных значениях модуля щелевого параметра |£дг.| *
зависящих, в частности, от величины 0гг » транспортные массы электронов и дырок в Ь в ^ -направлении обращаются в бесконечность, что соответствует появлению седловых точек в спектрах электронов и дырок в Ь .
Следует отметить, что появление седловых точек в I в спектре В1 при £^< О (при условии оСтг,а > 0) открывает принципиальную возможность наблюдения разрыва электронных или
- 28 -
дырочных поверхностей Ферми в I у- ВС и сплавов на его основе под давлением. С ростом 02г значения модуля щелевого параметра 18^1 » при которых возникают седловые точки в спектрах электронов и дырок, быстро сдвигаются от точки бес-щелевого состояния ( 8$1 = 0) в область отрицательных зна-
чений 8^1 и становятся трудно достижимыми экспериментально.
Из вышесказанного вытекает важность возможно более точного определения величины для В1 и сплавов на его ос-
нове. Отметим, что не существует никаких условий на обращение О ц в нуль из соображений симметрии 19].
Сравнение результатов теоретических расчетов с многочисленными экспериментальными данными, полученными для ВС [3,
7 - 9, 14 - 18] , позволяет заключить, что наилучшее согласие теории и эксперимента получается при использовании закона дисперсии Макклюра и Чоя (1.1) или его упрощенного варианта (1.2).
При подгонке теоретических значений экстремальных сечений электронной поверхности Ферми у 01 $ энстр.. циклотрон-
ных масс на экстремальных орб-ит&х Гас 30 и циклотронных масс на опорных точках Щц 0п П°Д экспериментальные величины, определенные Эдельманом [3], Макклюр и Чой сократили число отличных от нуля параметров в (1.1) до десяти: £ , ,
Огг, 1 <?зз > <*^22 , «Р-М22. и Рггзз • При соот-
ветствущем подборе указанных параметров авторам удалось получить очень хорошее согласие с экспериментальными данными для ВС . Наибольшее расхождение между теоретическими и экспериментальными значениями $ экстр.() не превосходит 3 % цри экспериментальной погрешности в (0,2 * 0,3) %. Наибольшее расхождение в значениях пьа9е(^-) не превосходит 3 % цри экспериментальной погрешности в (I * 3) %. Значения Шц 0Гь (&) согласуются с экспериментом в пределах ~ 3 % в той области углов,
- 29 -
где экспериментальная точность составляет (2 ♦ 3) %.
Б табл. 1.1 приведены параметры, определенные Чоем [8] (закон дисперсии (1.1)), для случая 6^1, ~ “ мэВ [8].
Отрицательный знак щели в табл. 1.1. выбран в соот-
ветствии с результатами магнитооптических измерений, выполненных на В1 и сплавах Вц_х28х Тиховольским и Мавроадом [19]. Величина щели , определенная в [19], в цределах экспериментальных погрешностей совпадает со значением , рас-
считанным Чоем [8] из данных магнитооптических измерений [20].
Все полученные к настоящему времени экспериментальные данные о поверхности Ферми у В1 ДРи атмосферном давлении находятся в разумном согласии. Существует лишь одна экспериментальная работа [21], в которой авторы претендуют на обнаружение явно выраженной гантелеобразности электронной поверхности Ферми, что, в принципе, противоречит данным Эдельмана [3, 16]'.
Закон дисперсии дырок в Т длительное время описывался параболической моделью [3]. В ряде работ, однако, была обнаружена непараболичность дырочного спектра в Т » проявлявшаяся в заметно выраженной зависимости дырочных циклотронных масс от энергии.
Наиболее последовательный расчет энергетического спектра носителей заряда в [ в квантующем магнитном поле цри произвольной ори-ентации магнитного поля Н относительно кристаллографических направлений выполнен Макклюром и Чоем [8]. Уровни Ландау с (г = 0 в зоне проводимости и в валентной зоне в [, вырождены однократно. Уровни с П ^ 0 расщеплены на спиновые подуровни со спиновыми квантовыми числами $ = ± I (в случае простой двухзонной модели Лэкса уровни с п 4 О двухкратно вырождены из-за точного равенства единице отноше-
Таблица 1.1.
Параметры, входящие в закон дисперсии Макклюра и Чоя [7, 8].
ыэВ Еде* 'ыэВ Огг 0 зз ! о6С2£ (dLv) { (о£с) } 1 : — <^С23 1^14гг } ^2 2 3 3 I - - 1 - Работа
29,4- -11,4 0,455 0,0322 0,342 0,735{О,676 ! 0,145 {-15,9 { -17,0 ! ! [8]
- ЗІ -
ния спинового расщепления A spin, к орбитальному Aorg [221.
В пренебрежении членами, появляющимися в третьем порядке теории возмущений, к параметрам, входящим в закон дисперсии
(I.I) ( Н = 0) при Н Ф 0 добавляется набор из восьми спино- . вых параметров tij [8]. Из расчетов Макклюра и Чоя следует [8], что в магнитном поле дно зоны проводимости и потолок валентной зоны движутся по линейному закону .Скорость и направление движения термов в магнит/ном поле определяется соотношением между обратными поправочными массами и спиновыми па-
Sr
раметрами. В рамках модели Макклюра и Чоя, таким образом, термическая щель в L у В і может линейно уменьшаться или возрастать с увеличением магнитного поля Н . Этот эффект сильно зависит от ориентации Н . Скорость изменения термической щели в магнитном поле не зависит от Н. и £^L , однако, при
инверсии зон направление движения дна зоны проводимости и потолка валентной зоны меняется на противоположное.
Когда поправки на взаимодействие с удаленными зонами пренебрежимо малы, зависимость термической щели в L от Н пропадает. Этот результат соответствует простой двухзонной модели Лэнса, по которой фактор спинового расщепления Г =
= A &pln / A orb = * [22]'.
Для фактора спинового расщепления JT в зоне проводимости при произвольной ориентации Н в [8] получено выражение:
У - 1 -Мс(6р)-К /т тл\
t^i <1.Ю)
где та (£р) “ циклотронная масса на уровне Ферми, К “ Функция, в общем случае зависящая от ориентации Н » энергии, щели и параметров, входящих в закон дисперсии в магнитном по-
- 32 -
ле. В пренебрежении влиянием удаленных зон (т.е. при переходе к модели Лэкса) функция К обращается в нуль, так что
У I (см. (1.10)) (см. также [23] ). Следует отметить, что
в основном энергетическая и щелевая зависимости У
определяются циклотронной массой лг&(£р). При & р , —-О
пге. (бр)—'0 и У—*"1 ПРИ любо0 ориентации магнитного поля.
Сложные угловые зависимости фактора спинового расщепления У(-9) У чистого В1 [3, 24] описываются в рамках модели Макклюра и Чоя [8] с высокой точностью.
До появления точных расчетов Макклюра и Чоя [8] при анализе квантовых эффектов в магнитном поле у В1 широко использовалась теория Барафа [25] и, в частности, полуэмпирическая модель Смита, Барафа и Роуэла [26], которая с успехом применялась для расчета движения уровня Ферми в магнитном поле £р(Н) и для определения фактора спинового расщепления У У электронов и дырок в В1 • Закон дисперсии носителей заряда в I
в квантующем магнитном поле, предложенный Смитом, Барафом и Роуэлоы (СБР), является модификацией закона дисперсии Лэкса и имеет вид [26] :
:*+4£ [(а+1^еН 5 Щ
г) ^ с ^ ^ с + (1 Л1)
где К и - волновой вектор в направлении магнитного поля,
£ п,5 - энергия уровней Ландау, отсчитываемая от середины щели в Ь , К- - квантовый номер ( П = О, I, 2, .♦.), $ =
= ± I - спиновое квантовое число, Гг^-[с(е.Ь7г1*1 циклотронная масса на дне зоны, - эффективная масса на дне
зоны в направлении магнитного поля К , пі* - тензор эффективных масс на дне зоны, Ь, - единичный вектор в направлении магнитного поля, т-^ - спиновая масса на дне зоны. Спиновая
- 33 -
масса mf находишся из тензора спиновых масс rnf аналогично тому, как т* находится из тензора эффективных масс га* .
Фактор спинового расщепления при этом равен: Т- пь* / га* .
Отличие модели СБР от модели Лэкса фактически заключается в допущении, что фактор спинового расщепления У в общем случае не равен единице. Закон дисперсии СБР (I.II) получен » на основе интуитивных соображений и требует теоретического обоснования. Возможность использования (I.II) была подтверждена в работе Барафа [25]. Барафу удалось показать, что при малости взаимодействия с удаленными зонами в L соотношение
(I.II) формально справедливо для всех уровней Ландау за исключением уровней с и = 0 и S = -I, если коэффициентам ш\
и га* приписать определенную энергетическую зависимость.
Следует отметить, что закон дисперсии СБР [26] не является строгим даже при учете энергетической зависимости компонент тензоров га* и гп% » введенной Барафом [25]. Несомненно, что изменение компонент га* с ростом энергии приводит, в принципе, к зависимости анизотропии поверхности Ферми от энергии, что находится в согласии с законами дисперсии
(I.I) и (1.2). В то-же время, тензорная форма циклотронной массы в законе дисперсии СБР (I.II) исключает возможность не-эллипсоидальности, которая также содержится в (I.I) и (1.2) и приводит, в частности, к расхождению анизотропий циклотронных масс и сечений при большой энергии Ферми .
Особенности гальваномагнитных эффектов в квантующих магнитных полях у В L определяются сильной анизотропией поверхности Ферми, малыми циклотронными массами носителей заряда, многодолинностью и непараболичностью энергетического спектра. Движение уровня Ферми £fx(H) в магнитном поле в области квантового предела сильно влияет на частоту квантовых осцилля-
- 34 -
ций [26, 27], на положение и форму осцилляционных пиков [28] и на эффекты, связанные со спиновым расщеплением уровней Ландау 129].
При расчете на ЭВМ зависимости &ріЛН.) у В і Смит, Ба-
раф и Роуэл пользовались условием электронейтральности:
з
X ^|.(£р1) = Р(£рТ) » где электронная концентрация
1=4
в I -ом эллипсоиде в I, при Т = О К равна:
{^^~£(п’2)//я <1Л2>-
Здесь £(»г,5) = (ц+-|;+-|г)^сос , с^е = -циклотронная
частота на дне зоны, энергия Ферми отсчитывается от
дна 80ны проводимости (при Н = 0), Р(£рг)- концентрация дырок в Т .
Несмотря на приближенный характер закона дисперсии (І.ІІ), на основании которого получено выражение (І.І2), Смиту, Бара-фу и Роуэлу удалось получить хорошее согласие экспериментальных и теоретических зависимостей квантовых номеров шубниковс-ких осцилляций у В1 от магнитного поля 126]. Величина максимального сечения электронной поверхности Ферми (НИ Сг)э следующая из [26], в пределах (1*2)% согласуется с результатами измерений Эдельмана [3, 16], выполненных в полях, далеких от квантового цредела (т.е. в квазиклассической области, где £,р = соп$-Ь ).
Следует,однако, отметить, что при расшифровке осцилляционных кривых, полученных в районе квантового предела и представляющих собой биения нескольких частот от различных эллипсоидов, метод СБР наталкивается на огромные технические трудности. Движение 6Р(Н) приводит к появлению комбинационных частот в спектре осцилляций, что удалось установить, например,
- 35 -
с помощью Фурье-анализа в работе [30]. Идентификация квантовых уровней Ландау по осцилляционныы пикам в последнем случае может оказаться неоднозначной.
Результаты экспериментальных исследований эффекта Шубник кова-де Гааза у , выполненных в работах [16, 31, 32] , в основном находятся в согласии с данными измерений эффекта де Гааза - ван Альфена [27, 28]. Брауном было показано [32], что в квазиклассической области магнитных полей форма осцилля-ционных пиков магнитосопротивления хорошо описывается формулой Кубо и Мийяке [33].
Для стандартной зоны при « £р осцилляционная часть продольного магнитосопротивления по расчетам Кубо и Мийяке может быть представлена в виде [33] :
(«,)».= &Г 'г _ > <1ЛЗ>-
где $0 = /тг*"/Л^е2(Г0- сопротивление в нулевом магнитном поле,
Е г - амплитуда гармоники "Г'":
» *\/Цг<пг1-кТ/п.и)с).
Ь'-гёгбг)- ЩШтТЩ***» ■«*(№),
Тц- температура Дингла, Т-171с//П$ - фактор спинового расщепления.
Отметим, что при исследовании эффекта Шубникова-де Гааэа у Вь был обнаружен ряд аномалий, не получивших достаточно надежной теоретической интерпретации, к которым в первую очередь следует отнести аномальную температурную зависимость амплитуды шубниковских осцилляций продольного магнитосопротивле -ния у очень чистых монокристаллов В1 [34].
В настоящее время для Вй существуют экспериментальные данные [3], которые могут быть использованы для качественной
- 36 -
и количественной проверки теоретических моделей энергетического спектра В1 [7 - 13]. Наиболее полезными, с этой точки зрения, могут считаться экспериментальные исследования эффекта де Гааза - ван Альфена (дГвА) [27], эффекта Шубникова -де Гааза (ШдГ) (включая квантовые осцилляции поверхностного импеданса) [16, 31, 32] , циклотронного резонанса (циклотронные массы на экстремальном сечении и на опорных точках) [14, 15], магнетоакустических эффектов [24], магнетооптического отражения [19, 20], магнитных поверхностных уровней [18].
Влияние удаленных зон на энергетический спектр электронов и дырок у В I проявляется наиболее заметным образом в эффектах, связанных со спиновым расщеплением [3, 24, 26]. Впервые подробные угловые зависимости фактора спинового расщепления Г(■9') У электронов в I] и дырок в Т были получены в работе [26]. В дальнейшем зависимости !Г(-9") были уточнены в ряде работ [3, 24]. В работе [35] сообщалось об аномальной осциллирующей зависимости 2Г(9) У электронов в I • Как оказалось впоследствии, "осцилляции" на )Г($) появились в результате ошибки - авторы работы [35] при определении Г не учитывали движения уровня Ферми в магнитном поле [29]. Наиболее надежные данные, полученные в [3, 24], были использованы Макклюроы и Чоем [18, 19] для определения спиновых параметров. Теория Макклюра и Чоя в состоянии описать Т (&) У В1 с высокой точностью, В широком интервале углов отклонение от I мало ( < 10 %) и лишь вблизи направления Н 1 ^ ^ -
направление вытянутости) достигает значительной величины (с точки зрения теории Абрикосова и Фальковского [23] при Н1^ это отклонение должно быть порядка ~ 100 так как по теории Г - 0)«
Близость X к I в широком интервале углов указывает
- 37 -
на то, что в большом числе случаев простая двухзонная модель Лэнса может быть с успехом использована. Исключение составляют ориентации, близкие к направлению вытянутости - ^ . Однако, получение экспериментальной информации для у -направления часто сопряжено с большими трудностями. Не удивительно, поэтому, что модель Лэкса длительное время использовалась экспериментаторами как базовая модель.
Первая экспериментальная работа, в которой для В1 был предложен закон дисперсии типа упрощенного закона дисперсии Макклгора [9], появилась сравнительно недавно (1976 г.) [18]. Авторы 118], исследовавшие магнитные поверхностные уровни у Bt , смогли получить угловые зависимости фермиевского иыпуль-
дель Лэкса, ни упрощенная модель Коэна (модель Абрикосова и Фальковского) не в состоянии описать рр с достаточной точностью. Тем не менее только на основе прецизионных измерений формы поверхности Ферми, циклотронных масс на экстремальных сечениях и на опорных точках, выполненных Эдельманом [3], МакКлюру и Чою удалось обосновать свою модель [7 - 9].
Рассмотрим основные экспериментальные данные, которые совместно со спиновыми эффектами, обсужденными выше, подтверждают теорию Макклюра и Чоя.
Отклонения формы поверхности Ферми от эллипсоидальной, не превышающие 5 %, были надежно зарегистрированы Эдельманом на совершенных монокристаллах Ы при исследовании квантовых осцилляций поверхностного импеданса [3]. Измерения проводились в полях, где к.и)с.«&р , так что . Автор сделал
попытку апрокоимировать угловую зависимость сечений й(&) рядом сферических гармоник. Впоследствии оказалось, что £(#)
са
, включая и -направление. Было обнаружено, что ни мо-
Топологические особенности поверхности Ферми в L .
- 38 -
описывается с высокой точностью на базе закона дисперсии МакКлюра и Чоя [7-9].
Циклотронные массы на экстремальных орбитах и на опорных точках.
В ряде работ было обнаружено расхождение значений циклотронных масс на экстремальных орбитах ( /ис )эо и на опорных точках ( Шс. )оп, достигающее при некоторых ориентациях 35 % [3, 14, 151. Величина ( Шс )оп очень чувствительна к локальной кривизне поверхности Ферми и даже при слабых отклонениях формы поверхности Ферми от эллипсоидальной может заметно не совпадать с ( Пг<* )эо. Как выше указывалось, модель Макклю-ра и Чоя 17 - 9] позволяет в данном случае получить отличное согласие теории и эксперимента.
Анизотропия сечений электронной поверхности Ферми и циклотронных масс электронов.
Из измерений Эдельмана следует 1.3], что yßi. $тм1&т1п=
= 14,82, ( max min )эс = 14*51 И / S пйп. ~
- 11,04, ( та „йА / та )эс = 10,73, что указывает на слабое расхождение анизотропий сечений и циклотронных масс. В модели Лэкса эти параметры должны совпадать. В то же время при справедливости упрощенной модели Коэна (модель Абрикосова и Фаль-- ковского), т.е. при Qaa = 0, разница между анизотропиями сечений и масс оказывается значительно больше наблюдаемой экспериментально (максимальная неэллипсоидальность).
Энергетические зависимости анизотропии электронных циклотронных масс и сечений у ßi не исследованы. Тем не менее, существующие экспериментальные данные, полученные для BL , легированного донорными и акцепторными примесями [36 - 38] , позволяют- исследовать энергетическую зависимость минимальной циклотронной массы /Мст.1л. • Из упрощенного закона диспер-
- 39 -
сии Макклюра следует [91 :
£
( тс пип бтХп. , Уь (1.14).
\ / ^б^мОзз 4(3^ Озз
Аналогичное выражение получается и во всех других моделях. Зависимость т\ т1к = Р(2т.Гп) должна иметь линейный характер, что и подтверждается экспериментом [36 - 38]. Выражение (1.14), в принципе, позволяет по экспериментальным данным определить модуль щелевого параметра |£^г.| и произведение 0^-(?3з. Однако, ошибка в определении У 81
вышеописанным методом сравнима с величиной | ) .
В табл. Х.2, 1.3 приведены некоторые параметры, характеризующие энергетический спектр электронов в Ь и дырок в Т у В>1 , полученные разными авторами. Из табл. 1.2, 1.3 хо-
рошо видно, что вплоть до настоящего времени существует значительный разброс в значениях щелевых параметров в I и Т , определенных для В>1 как из экспериментальных данных, так и с помощью теоретических расчетов. Велика неопределенность в выборе параметров 022 , оОц-гг. и °*-сгг. * входящих в закон дисперсии (1.1) или (1.2).
Существуют принципиальные затруднения с выбором адэкват-ной теоретической модели энергетического спектра дырок в и с оценкой его параметров в рамках выбранной модели. С нашей точки зрения такое положение связано с отсутствием систематических исследований поверхности Ферми у В1 при варьировании энергии в широких пределах. Опыт показывает, что прецизионные измерения, выполненные Эдельманом для случая фиксированной энергии Ферми (чистый висмут) [3], оказываются недостаточными для однозначного определения полного набора параметров, входящих в конкретный закон дисперсии [7 - 9].
- 40 -
Смещение уровня Ферми у В1 возможно при введении донор-ных или акцепторных примесей. Особый интерес представляет случай акцепторной примеси, т.к. при этом появляется возможность исследовать свойства носителей тока вблизи дна зоны проводимости и у потолка валентной зоны в Ь , что совершенно необходимо для выбора теоретической модели спектра носителей в Ь . Кроме того, появляется принципиальная возможность исследовать
энергетические зависимости параметров носителей у потолка ва-
%
лентной зоны в Т .
Очевидно, что исследование осцилляционных эффектов у В>1 , легированного примесями, затруднено (по сравнению с чистым В1 ) из-за резкого падения времени релаксации носителей.
Тем не менее, энергетические зависимости сечений поверхности Ферми и циклотронных масс носителей в Ь и Т , определенных с меньшей, чем в [3], точностью, могут оказаться значительно информативнее прецизионных измерений, выполненных при одном единственном значении энергии Ферми.
Вышеизложенные соображения и определили задачи настоящего исследования:
1. С помощью легирования висмута акцепторными примесями ( Р& » ) получить энергетические зависимости циклотрон-
ных масс дырок и сечений дырочной поверхности Ферми в Т Полученные данные использовать для определения параметров спектра носителей В Т (в частности - для определения величины прямой энергетической щели в Т )•
2. Из исследования квантовых осцилляций магнитосоцротив-ления от "легких" носителей в [, у 9>1 , легированного примесями $ц и Рй , определить энергетические зависимости циклотронных масс носителей и сечений электронной и дырочной поверхностей Ферми в Ь . При построении вышеуказанных зави-
Таблица 1.2.
Параметры, входящие в закон дисперсии электронов в Ь у висмута [7 - 9], по данным различных работ.
1 ыэВ ! ыэВ 1 " ®зз ! I Огг 1 • т • 1 22 • т - ■ 1 22, |Рабо ! та
- 12,0 — — — [19]
- 7,0 — 0,142 0,015 1,3 1,53 [39]
- 5,0 — — — — — [40]
+ 11,0 — 0,150 — — — [41]
+(11,4+0,2) 29,4 0,156 0,0273 0,674 0,729 [8]
+ 13,0 31 — — — — 142]
+(13 ± 2) 29,7+0,5 0,161+0,004 — — [43]
+ 13,6 29,6 0,166 0,025 0,78 1,25 [18]
+ 13,6 28,8 0,158 0,027 0,68 0,76 [7]
+ 13,6 28,8 0,158 0,033 -0,72 -0,74 [7]
+ 13,8 28,0 0,163 — — — [44].
+ 14,0 27,0 — _ — — [45]
+(15 + 2) 25+5 — — ~ — [46]
+ 15,3 27,6 — — — — [26]
+ 16,9 — 0,147+0,156 0,026+0,039 0,52+2, +2,04 0,52+ +2,04 [9]
+(23 + 3) — 0,158+0,004 — — — [47]
+ 24,0 22,0 — — — — [48]
+ (26 ± 3) 21 + 1 — — — — [49]
+ 46 22,0 0,225 — — — [36]
- 42 -
Таблица 1.3.
Величины щелевого параметра в точке Т приведенной
зоны Бриллюэна и перекрытия валентной зоны и зоны проводимости £n у BL по данным различных работ.
j 1------------------------------------------------------------------------------
£ дт , мэВ Î £п , мэВ ! Работа < ! !________________________________________________________________
15 30 [50]
30 -- [51]
50 38 [52]
64 ± 9 — [381
66 + 25 37 [53, 541
ИЗ — [55]
188 — [56]
194 — [57]
207 — [6, 58]
200 -г 250 38 [59]
720 + 160 -- [60]
732 44 [42]
+ 900 900 т 400
33 [49]
- 43 -
сиыостей использовать в качестве энергетической шкалы энергию Ферми дырок в Т • Последнее, по-видимому, позволяет со значительно большей точностью определить абсолютную величину малой энергетической щели в L .
3. Полученные в работе экспериментальные данные использовать для проверки существующих моделей энергетического спектра в L У висмута и для расчета параметров закона дисперсии носителей в рамках выбранной модели.
I.I. Трансформация поверхности Ферми у висмута щри легировании оловом и свинцом.
В настоящей работе исследован эффект Шубникова-де Гааза у 36 монокристаллических образцов сплавов ßiS/г* и BL^_xPßx. с концентрацией примесных дырок в интервале 1,4*Ю17^
ТО Т
^ 9,0*10 см J (табл. 1.4) (приложение 2, приложение 5).
У всех исследованных образцов регистрировались шубниковс-кие осцилляции от носителей заряда в точках L и Т приведенной зоны Бриллюэна в интервале температур 2,1 ^ Т $ 4,2 К при вращении магнитного поля в бинарно-биссекторной и биссек-торно-тригональной плоскостях.
Ориентация Н II С з Lj была наиболее удобна для записи осцилляций РХ(Н) и di?(H) / dH от дырочного эллипсоида вТ . В этой ориентации из частоты шубниковских осцилляций рассчитывалось минимальное сечение i-p min ДЫР°ЧН0Й поверхности Ферми в Т , а из температурной зависимости амплитуды осцилляций определялась минимальная дырочная циклотронная масса W.еТт;л •
Пример полевой зависимости 9±(Н) У образца № 21 (табл. 1.4) с осцилляциями-от минимального сечения дырочного эллипсоида в Т ( Н I! С3 1J” ) приведен на рис. 1.3.
Представленные в табл. 1.4 результаты показывают, что с
- 44 -
Таблица 1.4.
Основные.параметры дырочной поверхности Ферми в Т и электронной и дырочной поверхностей Ферми в L у исследованных сплавов
ßij-x Sftx. и •
.. Д-Т^тях “ частота осцилляций от максимального сечения Зт-Лигх дырочной поверхности Ферми в Т ( HIC3 )»
- частота осцилляций от минимального сечения дырочной поверхности Ферми В Т ( Н II С3 )*
Шсттіл- минимальная циклотронная масса дырок в Т ( НИ С3 )• А Q-* и Ajg-^ - соответственно частоты осцилляций от максимального Sa. и близкого к минимальному $^ сечений поверхности Ферми в L ( Н II Сг ),
ftidß - малая циклотронная масса носителей заряда в L , соответствующая малому сечению Sß ( НИ ) поверхности Ферми.
&FT - энергия Ферми дырок в Т « рассчитанная в двухзонном приближении при = 180 мэВ.
но- мер об- раз- ца ! -4 ! -У ! | дтягах] дТяил] ■| КЗ І кЭ ] ГЯ-ст min* КГ3 • ш0 ! ! I ! ! £рт, мэВ кЭ f ! 1 • 1 • j Л л8 > кЭ і • ! 1 ! ! ю“3- m
I ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 6 1 7 і • 8
Л ы р к и в Т Э л е к трон ы в L
I _ 70,4 66 13,6 — 11,6 9,0
2 — 73,0 65 14,3 — 11,5 8,3
3 — 81,0 65 15,5 — 10,4 8,2
4. — 89,0 65 16,9 — 10,3 8,2
5 — 94,3 67 18,0 — 10,0 8,0
6. — 97,0 65 18,3 — 9,4 8,2
7 — 98,0 66 18,5 — 9,2 7,7
8 — 111,0 68 20,7 — 8,1 7,6
9 — 111,0 67 20,7 —. 8,0 7,7
10 — 120,0 69 22,2 91,1 6,7 6,7
II — 125,0 69 23,0 — 6,9 6,7
12 — 127,0 69 23,4 — 6,7 6,4
13 — 131,0 70 24,0 — 5,7 6,2
14 гг- 142,0 71 25,8 66,8 5,1 5,2
15 480,0 148,0 72 26,8 61,4 4,8 5,3
- 45 -
Таблица 1.4.
(продолжение)
1 ! 2_ ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 ! 8
16 — 159,0 74 28,5 J — 4,2 5,2
17 — 167,0 75 29,8 і • — 4,0 5,0
18 — 170,0 74 30,2 1 • 55,8 4,1 4,6
19 628,0 198,0 76 34,5 21,7 2,0 4,0
20 638,0 209,0 76 36,1 1 • — 1,4 2,9
21 780,0 246,0 81 41,5 1 5,24 0,38 —
22 827,0 249 81 41,9 4,60 0,33 1,2
23 800,0 250 81 42,0 — — —
24 — 254 81 42,6 — — —
25 — 256 83 42,9 — — —
26 — 278 83 45,9 — — —
27 — 286 82 47,0 ! — — —
28 — 294 84 48,1 ! — — —
D м р к и ß Т т ♦ ! дырки Ь L
29 — 366 90 57,5 і « 7,62 0,61 —
30 382 92 59,5 ! 12,61 0,97 —
31 — 392 92 60,7 і • 13,34 1,14 —
32 — 445 97 67,1 ! • 34,4 2,8 4,2
33 — 495 101 72,9 ! 62,1 5,4 5,5
34 552 102 79,3 — 9,3 8,0
35 — 662 112 90,9 — 17,5 —
36 — 683 112 93,0 — 22,0 —
- 46 -
Рис. 1.3. Полевые зависимости магнитосопротивления ^х(Н)
( Н II С3) при Т = 2,1 К и Т = 4,2 К у сплава № 21 (табл. 1.4) (шубниковские осцилляции от минимального сечения 5т лил. дырочного эллипсоида в Т )•
- 47 -
возрастанием степени легирования 81 акцепторной примесью, т.е. с понижением уровня Ферми, сечения поверхности Ферми дырок, пропорциональные частоте осцилляций , увеличивают-
ся. У наиболее сильно легированных образцов минимальные дырочные сечения по сравнению с чистым 81 возросли более чем на порядок.
Можно было ожидать ухудшения качества осцилляций при понижении уровня Ферми, так как возрастание концентрации примеси должно приводить к резкому уменьшению времени релаксации °С . Однако ухудшение осцилляций нами не наблюдалось. Хотя температура Дингла Тд обнаруживает тенденцию к росту с концентрацией, этот эффект частично компенсируется увеличением концентрации носителей, так что в интервале полей до 50 КЗ наблюдается, несмотря на относительно большие значения Т-р , большое число пиков (до 35).
Обнаружено, что минимальные циклотронные массы дырок в возрастают с увеличением сечения (табл. 1.4), причем прирост Шат составляет до 75 % от соответствующей массы в чистом В I . Это обстоятельство указывает на непараболичность спектра дырок в Т .
У ряда образцов В1^_хР8ки 61^5^/ с энергиями Ферми дырок в Т до ~60 мэВ исследовались шубниковские осцилляции от максимальных сечений дырочной поверхности Ферми в Т ( Н1Сз) а также определялись угловые зависимости сечений поверхности Ферми ( Н jL.Ce)* Осцилляции наблюдались особенно четко в интервале энергий 6р7~30 * 60 мэВ в магнитных полях от ~ 25 кЭ до 50 кЭ (в этих диапазонах полей и энергий нет осцилляций от других групп носителей).
Осцилляции от больших сечений в Г регистрировались как у ыагнитосопротивления ,Р ( Н), так и у его первой производной
- 48 -
д9(Н)/дН . Пример угловой зависимости частоты шубниковских осцилляций ~ SfKCTp (&) ОТ дырочного эллипсоида в Т
у образца № 15 (табл. 1.4) приведен на рис; 1.4. Сплошная теоретическая кривая на рис. 1.4 проведена по эллипсоидальной модели с $ так 1$ ruin ~ 3»2/f* Из Рис‘ 1,4 следует, что в пределах экспериментальных погрешностей ( ^ з j0) дырочная поверхность Ферми в Т описывается эллипсоидальной моделью.
Зависимость $такТ/S/nin.T от энергии Ферми &FT для дырочного эллипсоида в Г у исследованных сплавов В1^ $пк и приведена на рис. 1.5. Анизотропия дырочной по-
верхности Ферми в Т в пределах экспериментальных погрешностей ( /V 4 %) не меняется с энергией Ферми 6FT (рис. 1.5) и составляет $ гпакт1 = 3,25 1 °’15, чт0 Удовлетворитель-
но согласуется с данными для чистого В1 [3].
Проведенный в настоящей работе расчет движения уровня Ферми в магнитном поле SF(H) в рамках модели СЕР [26 J показал, что влияние движения уровня Ферми на частоту осцилляций от минимального сечения дырочной поверхности Ферми в Т ( Н ||С3) у всех исследованных образцов пренебрежимо мало (эффект мал даже в том случае, когда носители в L находятся в ультра-квантовой области магнитных полей).
Информация о спиновом расщеплении дырочных уровней Ландау была получена при исследовании угловых зависимостей частоты дырочных осцилляций при Н LC^. При двух определенных углах в биссекторно-тригональной плоскости обнаружено удвоение частоты осцилляций, связанное со спиновым демпингом [3]. Было установлено, что оба угла спинового демпинга ( 4- Н , биссектри-са) У9, и не зависят от энергии Ферми дырок в Т и составляют:
= (4,4 ± 0,5)°,
- 49 -
Рис. 1.4. Угловая зависимость квазиклассической частоты шубниковских осцилляций от дырочного эллипсоида в Т при вращении магнитного поля в биссекторно-тригональной плоскости у сплава № 15 (табл. 1.4). Сплошная теоретическая кривая проведена по эллипсоидальной модели.
- 50 -
тах
т шш
£р11мэв]
Рис. 1.5. Зависимость отношения максимального сечения $Ттак.
дырочного эллипсоида в Т к минимальному тАя. 0Т энергии Ферми дырок в Т у сплавов В^_х $пк »
Рй* : I - данные настоящей работы; 2 - [3].
- 51 -
У>д1 = (16,3 + 0,5)°.
Этот результат хорошо совпадает с данными для чистого 81 131 : = (4,5 + 0,5)°, = (16,5 + 0,5)°.
Шубниновские осцилляции от носителей заряда в наблюдались при гелиевых температурах у 30 образцов сплавов 8^_ХР8Х и В1^_х (табл. 1.4). Основные измерения проводились при ориентации магнитного поля Н II ^ II С ^ • В этом случае наблюдались низночастотные осцилляции от двух совпадающих по величине сечений двух эквивалентных эллипсоидов в I ( в и С- ) и высокочастотные осцилляции от максимального сечения третьего эллипсоида в I (а). Благодаря тому, что осцилляции ШдГ наблюдались на продольном нагвитосопротивлении ( Н II J ПС^), монотонный ход Р(Н) был в большинстве случаев достаточно слаб, что заметно упрощало расшифровку осцилляционных кривых.
Осцилляции наблюдались как у магнитосопротивления р(Н) » так и у его первой производной по магнитному полю Эр(Н) / дН •
Использованный в настоящей работе интервал магнитных полей 0 £ Н £ 55 кЭ был более, чем достаточен для записи квантовых осцилляций Р(Н) и дР(Н)/дН от малого сечения двух эквивалентных 8 -эллипсоидов в I ( НIIС & ) вплоть до поля квантового предела * соответствующего
выходу 0+,1" -дублета. Осцилляции от максимального сечения $а а-эллипсоида в [ ( НИ С^) наблюдались в полях за кванто-
вым пределом НкВ Для малого Я & -сечения. У ряда образцов с малой энергией Ферми носителей заряда в I (№ 19 - № 22, и № 29 - № 32) серия "высокочастотных" осцилляций от максимального сечения $а. также записывалась полностью (вплоть до поля квантового предела Нка. )•
- 52 -
В настоящей работе установлено, что как в продольной ( Н II ), так и в поперечной ( Н±] ) конфигурациях при
выходе очередного квантового уровня Ландау магнитосопротивле-ние <?(Н) у исследованных сплавов и В1^х 4ю”
ходит через максимум (см. 133\ ).
В широком интервале магнитных полей гармонический состав как "низкочастотных" осцилляций от -сечения, так и "высокочастотных" осцилляций от 5д. -сечения был ограничен фактически первой гармоникой (см. выражение (1.13)). Вклад высших гармоник оказывался существенным только вблизи полей квантового предела Нкц или Нка_ .
Как в случае поперечного магнитосопротивления РХ(Н)(Н1^)» так и в случае продольного магнитосопротивления Рц(Н) (Нн]~ ) амплитуда квантовых осцилляций у исследованных сплавов $ПК
и Ы^-КРВК росла при Г — О К по одному и тому же закону, который хорошо описывается формулой Кубо и Мийяке (1.13) (см.
[33]). Напомним, что у очень чистых монокристаллов В1 «У которых даже при гелиевых температурах доминирует рассеяние на фононах, амплитуда шубниковских осцилляций продольного магнитосопротивления $>ц[Я) понижается при Т —-- О К [34]. Последнее качественно объясняется следующим образом. В случае Н 1|У вклад в осцилляции времени релаксации °С (Н) (и, следовательно, В ОСЦИЛЛЯЦИИ Р|, (Н) ) Дает только межуровневое рассея-
ние, происходящее с изменением продольной компоненты квазиимпульса рл . При понижении температуры из-за вымерзания фононов, необходимых для переходов между соседними уровнями Ландау, вероятность межуровневого рассеяния падает, что приводит к падению амплитуды квантовых осцилляций.
Введение в решетку В и ионизированной примеси меняет характер доминирующего рассеяния при гелиевых температурах, что
- 53 -
в свою очередь изменяет качественным образом характер температурной зависимости амплитуды кванторе осцилляций продольного магнитосопротивления: с понижением температуры амплитуда осцилляций растет.
Величина малого сечения £ ^ В -эллипсоидов ( Н II) рассчитывалась из частоты А~& "низкочатотных" осцилляций
в полях, далеких от поля квантового предела Цк& , с помощью соотношения Лифшица-Онзагера: у>}КСТр - • А~*(4 /Н) »
справедливого в квазиклассической области магнитных полей. Соответствующие частоты осцилляций А~£ для исследованных сплавов В'\,4_к$п£ и Рй*- приведены в табл. 1.4.
Характерной особенностью шубниковских осцилляций от малых сечений поверхности Ферми в Ь У исследованных сплавов яв-
ляется то, что величина поля квантового предела, соответствующего последнему максимуму на 9(Н) (выход уровней 0+, I"), с точностью до нескольких процентов совпадает с квазиклассической частотой осцилляций (-//#). Последнее является прямым следствием близости фактора спинового расщепления У для малых сечений к единице (1.10, 1.11).
Малая циклотронная масса ГПс$ » соответствующая 5^ -сечению поверхности Ферми в I ( Н II )» рассчитывалась для исследованных в работе сплавов из температурной зависимости амплитуды "низкочастотных" осцилляций Р(Н) в полях, далеких от поля квантового предела, » гДе гармонический состав
осцилляций ограничен первой гармоникой (1.13). В основном, для расчетов циклотронной массы использовались осцилляции <?(Н) » записанные в продольной конфигурации ( Н//Х ) (в последнем случае монотонный ход 9(Н) можно было легко скомпенсировать (см. приложение 2)). Специальная проверка поназала, что циклотронные массы щс^ ( Н II С& ), рассчитанные как из осцилля-
- 54 -
ций продольного магнитосопротивления 5|,(Н)> так и из осцилляций поперечного магнитосопротивления S>i(H) « совпадают с хорошей точностью.
Температура Дингла TDg » соответствующая осцилляциям от Sв -сечения ( Н II Ci )I рассчитывалась из полевой зависимости амплитуды осцилляций с помощью (I.13) при г = I. У исследованных в работе сплавов величина находилась в интервале 3 $ 7 К и не менялась при понижении температуры
от 4,2 К до 1,9 К.
В случае, когда конечная температура Т% к два раза превосходит начальную : Tg, = 2 Гу , для циклотронной мас-
сы тс в квазиклассической области магнитных полей справедливо выражение:
е АН . . А(т,,н)
т‘ “ 1ЧГ*-кТ,с- r A(Ti,H) ’
вытекающее из (I.I3) при Г = I, и Тя = const , р = const,
9 о = const ( A(Ti,H) - амплитуда осцилляций в поле Н
при Г =Ti ).-Условия независимости от температуры » £р и сопротивления в нулевом магнитном поле £0 хорошо выполнялись у исследованных сплавов в области температур Т г= 4,2 К.
Результаты расчета mCj5 ( Н II С% ) У сплавов и BL^-x Р8х приведены в табл. 1.4.
Как следует из приведенных в табл. 1.4 данных, у исследованных в работе сплавов при понижении уровня Ферми из-за роста концентрации акцепторной примеси ( S/z « Р6 ) частота осцилляций от электронной поверхности Ферми в L монотонно уменьшалась и обратилась в нуль при энергии Ферми f -дырок Ьр?~
~ 43 мэВ. Малая циклотронная масса Ша ^ ( ИПС^ ) электронов при этом упала почти на порядок (табл. 1.4), что говорит
- 55 -
о сильной непараболичности энергетического спектра носителей заряда в Ь .
У образцов сплавов № 23 * № 28 отсутствовали какие-либо признаки шубниковских осцилляций от носителей в L . По-видимому у большинства из этих сплавов уровень Ферми при Г = 4»2 К находился в области запрещенных энергий в I .В пользу этого соображения говорит и резкое уменьшение коэффициентов продольного и поперечного магнитосопротивления в слабом магнитном поле у этих сплавов.
Дальнейшее понижение уровня Ферми (сплав № 29 и следующие за ним, табл. 1.4) привело к появлению осцилляций Шубникова--де Гааза от "легких" дырок в [. . Частота осцилляций от ды-
рочной поверхности Ферми в I монотонно увеличивалась с ростом энергии Ферми 7 -дырок (табл. 1.4). При этом обнаружилось возрастание малой дырочной циклотронной массы те& ( Ц ЦС^)<
У исследованных в работе сплавов при вращении магнитного поля в бинарно-биссеиторной плоскости ( Н X С3 ) в интервале углов 4- Н, = ± 15° "высокочастотные" осцилляции от макси-
мального и близких к максимальному сечений поверхности Ферми в I наблюдались в полях за квантовым пределом для малых сечений, где понижение уровня Ферми в магнитном поле приводит к заметному повышению частоты "высокочастотных" осцилляций [26» 2?1. Использование соотношения Лифшица-Онзагера для расчета величины экстремальных сечений приводит в последнем случае к большим ошибкам. В настоящей работе расчет максимального и близких к максимальному сечений электронной и дырочной поверхностей Ферми в Ь в интервале углов 4 Н, С% = ± 15° проводился с учетом движения уровня Ферми в магнитном поле в рамках модели СВР [26] (формулы (1.11) и (1.12)).
В работе установлено, что при Н-ЬС3 угол спинового
- 56 -
демпинга , при котором частота "высокочастотных" осцилляций удваивается из-за выхода У -фактора на значение 0,5 [3, 26, 27 I, быстро уменьшается и обращается в нуль с понижением электронной энергии Ферми .У сплава № 10 и следующих
за ним спиновый демпинг не наблюдается вовсе (рис. 1.6). Как будет ясно из дальнейшего изложения, эффект спинового демпинга исчезает из-за приближения У-фактора к единице при понижении электронной энергии Ферми £ Р1 (см. (1.10)).
Прежде,чем обсуждать результаты расчетов максимального и близких к максимальному сечений электронной и дырочной поверхностей Ферми в Ь У исследованных сплавов и
в рамках модели СВР 1261, сделаем несколько замечаний.
В начале гл. I уже указывалось, что закон дисперсии СВР
(1.11) является лишь разумным приближением к более строгому закону дисперсии в квантующем магнитном поле, полученному МакКлюром и Чоем [8]. Барафон было показано [25], что закон дисперсии (1.11) можно использовать только при условии, что компоненты тензоров эффективной т. * и спиновой 1т1& масс сами являются функциями энергии (в строго двухзонной модели компоненты тензоров 7п* и т.5 отнесены к дну зоны и при заданной величине щелевого параметра £^ являются константами).
Из вышесказанного ясно, что компоненты тензоров т> и 7п.$ , определенные для чистого В1 в рамках модели СВР в работе [26], строго говоря, характеризуют электроны только в чистом и должны быть переопределены в случае сплавов 6и Е>Ч-Х » ГДе энергия Ферми электронов сильно меняется и где при определенных условиях появляются "легкие" дырки в Ь , параметры которых, в принципе, могут отличаться от параметров электронов в I .
В [8] показано, что движение в магнитном поле наинизших
- 57 -
5 Ю 15 20 25
Рис. 1.6. Шубниковские осцилляции 9Р(Н)/дН от максимального ( У = 0°) и близких к максимальному сечений электронной поверхности Ферми в Ь при вращении магнитного поля в Оинарно-биссекторной плоскости ( Н±С3 ) при Т = 2,1 К у сплава № 19 ( </= 4, Н, С^ ).
- 58 -
О ""“уровней Ландау, определяющих дно зоны проводимости и потолок валентной зоны, строго говоря, не описывается выражением
(I.II) и является линейным. Оценки, однако, показывают, что расчеты полностью на базе (I.II) в полях, не превосходящих значительно поле квантового предела для малых сечений Sg ( Н IlCi), не приводят к большим погрешностям.
В настоящей работе расчеты проводились для Т = 0. В то же время, экспериментальные кривые, с которыми проводилось сравнение, записывались при Г = 2,1 К. Тепловое размытие уровня Ферми в последнем случае составляло ~ о,2 мэВ и для всех исследованных сплавов было значительно меньше &Р1 .
При расчете движения уровня Ферми Bpi в магнитном поле Н У исследованных сплавов было использовано условие постоянства концентрации носителей, которое имело вид:
Рт(£п " 4г.) “ Z NLl ( В$рЬ) = Рconst (I.I5)
для сплавов N° I - № 22 (табл. 1.4), содержащих электроны в L * и
Рт(£„+ iqS£*? ) + i Pu (4Т) = Pi =«>«* О-И)
1» 1
для сплавов to 29 - № 36 (табл. 1.4), содержащих дырки в L . Здесь Pl - концентрация примесных дырок в сплавах
Концентрация электронов в i.-ом эллипсоиде при
Т = О К рассчитывалась по формуле (I.I2). Аналогичное выражение дает дырочную концентрацию в I -ом дырочном
эллипсоиде в L (после замены в (I.I2) Bpi на £р“р ).
В отличие от работы [26] , в которой энергетический спектр дырок в Т у ßl описывался эллипсоидальной параболической
- 59 -
моделью, б настоящей работе для дырок в Т принята модель двух взаимодействующих зон, разделенных прямой щелью £,дт =
= 180 мэВ. Обоснование выбора этой модели сделано в разделе
1.2. Параметры, входящие в дырочный закон дисперсии, приведены в табл. 1.6. Таким образом, концентрация дырок Рт в Т также находится с помощью выражения (I.12).после подстановки Пут вместо Bai и ( &л~ & fi ) или ■( & п + + &plP )
Я Л -*-w-
вместо Bpl (естественно, при замене компонент тензоров Щ*
и пг2 ).
Значения компонент тензора спиновых масс 1п$ для дырок
в Т взяты из работы СВР [26] . При изменении энергии Ферми дырок в Т компоненты тензоров т.* и ТЯ$ для дырок в Г
не варьировались, т.е. считались "хорошими" константами энергетического спектра Т -дырок. Последнее оправдывается независимостью анизотропии дырочной поверхности Ферми в Т и углов спинового демпинга от энергии £ FT .
Величина модуля щелевого параметра в L взята
равной: I&çlI = 10 нэВ (табл. 1.8). Обоснование выбора этой величины дано в разделе 1.3.
Расчеты ipi(H) У каждого сплава проводились прежде всего для ориентации H II . Энергия Ферми в нулевом магнитном поле BFi(0) рассчитывалась из /пСй , и с п0~
ыощью формулы
с in}- е— , //4?t I2. / е Й. (I.I7)
Ae -J~+f г У+(т^Тдв/
которая выполняется с хорошей точностью для сечений, близких к минимальному (см. раздел 1.3).
Необходимая для расчета минимальная циклотронная масса на уровне Ферми в L Ша min находилась умножением Ша& ( HllCz) на коэффициент cos30°-cos 6°23; = 0,861. Минимальная циклотронная
- 60 -
масса на дне зоны Пс тиь Рассчитьшалась из циклотронной массы на уровне Ферми гас с помощью соотношения:
/72* - пип________ (1Л8).
апип~^г&Р,(о)/1б^1
Аналогичный образом рассчитывалась малая масса на дне зоны при Шк • Отношение максимальной циклотронной массы на
дне зоны гпса = та к средней циклотронной массе на дне
**• //Т.И-Х
зоны п?а mi.pL бралось равным отношению & так / $тм = ^ЗЗ у 5 I [3]. Значения транспортных масс на дне зоны в направлении магнитного поля для а- и & -эллипсоидов при ННСг определялись по формулам:
# <- I П& I
ЩсгКшЛт;* <1Л9)
Ма
так
и т* - т* І171*™* ) Я (1.20)-
тнв-т'щ\ т*е& ) v '
Величина фактора спинового расщепления Тд для Ь -эллипсоидов ( НИС'д) У исследованных сплавов В^_х£>/гх и В^_КР£Х выбиралась в интервале I < Тд < 1,08 ІЗ]. Отметим, что точный подбор Г/; по данным настоящей работы не может быть сделан, так как из-за близости Тд к единице и из-за сравнительно большой величины температуры Дингла спиновое расщепление осцилляционных пиков в серии осцилляций от Ь -эллипсоидов не наблюдалось вплоть до квантового предела.
Варьирование Гд в разумных пределах практически не влияло на результаты расчетов £рі(Н) •
При расчетах мы всегда пренебрегали зависимостью конпо-нент т* и т.д от магнитного поля (такая зависимость может возникнуть, в принципе, из-за возможной зависимости компонент яг* и Жд от энергии 1251 ). Как показал последующий
- 61 -
анализ, указанное приближение является в нашем случае вполне оправданным.
Эффективность метода СВР [26] для расчета квазиклассичес-ких частот осцилляций в магнитных полях, сравнимых с полем квантового предела, была проверена нами на чистом висмуте, для которого квазиклассические частоты хорошо известны ГЗ].
С этой целью были записаны шубниковские осцилляции $х(н) и д$±(Ю / дН при НПС^ и Т = 2,1 К у совершенного моно-
кристалла 8I (рис. 1.7). Осцилляции от максимального сечения электронной поверхности Ферми наблюдались как в полях, меньших поля квантового предела Нкв — 14,5 нЭ для Ь -эллипсоидов (высокочастотные осцилляции на рис. 1.7 при Н > 8,5 кЭ), так и при Н > Нк$ • Результат расчета полевой зависимости /г л('/н) квантового номера осцилляций от максимального сечения За электронного эллипсоида ъ I у 51 по методу СВР приведен на рис. 1.8. В широком интервале магнитных полей, где зависимость Л-д^/Я) имеет явно нелинейный характер, наблюдается хорошее согласие теории и эксперимента. Штриховая линия соответствует квазиклассической зависимости па (*/н) (.&р1 =
= с(?лг-51Ь ). Соответствующая квазиклассическая частота по рас-
чету равна Аа*ц^о= 181,1 нЭ. По данным Эдельмана [3] экспериментальное значение квазиклассической частоты осцилляций от максимального сечения электронного эллипсоида составляет = 181,55 кЭ. Из сравнения двух приведенных выше чисел следует, что метод СВР позволяет находить величины сечений поверхности Ферми с точностью в доли процента.
Параметры, использованные при расчете зависимостей £ПШ) и Па.~(?1н)У 51 при НПС^ , приведены в табл. 1.5.
Расчет квазиклассической частоты (НЦСй )
осцилляций от максимального сечения электронной поверх-
- 62 -
Рис. 1.7. Шубниковские осцилляции производной поперечного маг-нитосопротивления 0ГН) / 9Н при НПС^ и Т =
= 2,1 К у совершенного монокристалла висмута.
- 63
Рис. 1.8. Зависимости от обратного поля (-//Я ) энергии Ферми &Fl и квантового номера ri£ ( S = - I) осцилляций от максимального сечения S& ( НПС^ ) электронного эллипсоида в L У висмута: I - эксперимент (настоящая работа), 2 - теория (настоящая работа ,S=±1), Штриховая линия соответствует зависимости (^/н) при bfi = const •