- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ....................................................3
£
Глава I. Вспомогательные результаты..........................19
§ 1. Об одной краевой задаче Римана-Гилъберта для
квазилинейной эллиптической системы..................19
§2. Интегральное тождество для элементов ядра А*(ту). . 26
§ 3. Периодические решения одной переопределенной
системы..............................................28
§4. Непрерывная дифференцируемость элементов
ядра А* (77).........................................32
Ф §5. О лиишицевости по г) элементов КегА*(г/).............36
§ 6. Непрерывная дифференцируемость по ту
элементов КегА*(т/)..................................39
Глава II.Усреднение квазилинейных эллиптических систем. . 45
§ 1. Вспомогательные леммы...............................45
§ 2. Усреднение квазилинейных эллиптических систем. . . 52
§ 3. Некоторые свойства усредненной системы..............58
§ 4. Примеры по усреднению систем........................62
§5. Усреднение недивергентных квазилинейных
эллиптических операторов второго порядка.............66
Ш Глава III. С-компактность одного класса квазилинейных
эллиптических систем.....................................75
§1.0 £-сходимости одного класса линейных
эллиптических систем.................................75
§2. Некоторые свойства -предела систем специального
вида.................................................81
§3. О С-компактности одного класса квазилинейных
эллиптических систем первого порядка.................86
§4. Усреднение систем из класса А0(^о, ^1,7).............92
^ Литература...................................................96
Введение.
1. Вопрос об усреднении дифференциальных операторов с частными производными и связанный с ним более общий вопрос о С~ сходимости последовательности операторов возник в связи с задача^ ми математической физики. В частности, различные задачи механики сильно неоднородных сред приводят к необходимости построения усредненных моделей для этих сред. Физические процессы, рассматриваемые в таких средах, описываются дифференциальными уравнениями с частными производными, причем сильная неоднородность этих сред приводит к изучению уравнений с быстро меняющимися коэффициентами. Такие задачи возникают в теории упругости, в теории гетерогенных сред и композитных материалов. Непосредственное решение таких задач, как правило, невозможно. Поэтому возникает вопрос о постороении моделей для сильно неоднородных сред, приводящих к более простым дифференциальным уравнениям, которые по отношению к исходным уравнениям, описывающим сильно неоднородную среду, называются усредненными. Часто такие дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты и дают возможность определить с большой точностью эффективные характеристики первоначальной среды.
Целью данной диссертационной работы является изучение <2-сходимости и усреднение квазилинейных эллиптических систем первого порядка на плоскости.
Все результаты, излагаемые в диссертации, являются новыми, полученными впервые.
Термин усреднение в первую очередь ассоциируется с методами нелинейной механики и обыкновенных дифференциальных уравнений, развитыми в трудах А. Пуанкаре, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [3].
Для дифференциальных уравнений с частными производными задачи усреднения изучались физиками и механиками еще со времен Максвелла и Рэлея, но они долгое время оставались вне интересов математиков. Однако, начиная с середины 60-х годов 20-го
столетия, теория усреднения для уравнений с частными производными стала интенсивно развиваться развиваться математиками, что вызвано не только многочисленными приложениями (в первую очередь в теории композитных материалов), но и появлением новых глубоких идей и понятий, важных и для самой математики. Понятие G -сходимости последовательности операторов было введено в работах С.Спаньоло ([41], [42]) в 1967 г. и в применении к дивергентным уравнениям второго порядка впервые исследовалось в работах Е. Де Джорджи и С. Спаньоло ([40], [41], [42]).
В настоящее время теории усреднения и связанными с ней вопросами асимптотического анализа, G-сходимости, Г-сходимости функционалов посвящена большая математическая литература. Это книги В.А. Марченко, Е.Я. Хруслова [19], А. Бенсусана, Ж.-Л. Лионса, Г. Папаниколау [38], Э. Санчес-Паленсии [24], Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко [1], В.В. Жикова, С.М. Козлова, O.A. Олейник [10] и др.
Для дивергентных операторов произвольного порядка вопросы G-сходимости и усреднения рассматривались в работах Жикова
В.В., Козлова С.М., Олейник O.A. и Ха Тьен Нгоана ([10]).
Для линейных недивергентных операторов вопросы усреднения и G-сходимости рассматривались в работах Фрейдлина [34], Жикова
В.В., Сиражудинова М.М. [12], [13], [25]—[28]. Следует отметить, что эти вопросы для недивергентных операторов представляют собой задачу более трудную, чем для дивергентных операторов
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Принята двойная нумерация. Первое число означает номер параграфа в данной главе, второе — номер утверждения или формулы этого параграфа. Если имеется ссылка на утверждение или формулу из другой главы, указывается также номер главы.
В работе мы будем придерживаться следущих обозначений и понятий:
R2 — евклидово пространство двух измерений (плоскость) со скалярным произведением: х • у = x\yi -f х^уъ •
R+ — множество положительных действительных чисел.
- 5
Ъ — множество целых чисел.
(/, х) — значение функционала / в точке х.
С? — ограниченная односвязная область с гладкой (класса С2) границей.
Со°(£>) — множество бесконечно дифференцируемых финитных функций с носителями из И.
-^21ос(^2) — множество измеримых квадратично суммируемых на каждом компакте из Е2 функций.
V = (д/дх1,д/дх2) — градиент.
V2 = {д2/дх\,д2/дхудх2Уд2/дх2).
V3 = (д*/дх\, д*/дх\дх2,д3/дх\дх2,д*/дх\).
Периодической будем называть функцию периода единица по каждой переменной. Пусть д Е -!%1ос(®2) — периодическая функция. Через (д); {и(х,у))х обозначим средние значения д(х), д(х,т/):
(и) = Iи{х)(1х, (и(х}у))х = I д(х,у)Лх, П = [о, I]2. о «
Положим ие(х) = д(£-1х), 0 < е ^ 1, тогда, как известно имеет место слабая сходимость де ->■ (и) в -%1ос(К2) при £: —0.
Напомним один достаточный признак перестановочности операторов дифференцирования и среднего значения. Пусть д(х, гу) при каждом 77 Е Е2 периодична по х и пусть дпри каждом х Е П непрерывна по 77 и принадлежит х Е2). Тогда, по теореме о
дифференцируемости под знаком интеграла Лебега имеем
9 (и(х,п))х = (тг-и(х,ч))х-
% "х дгц
Более того, обе части этого равенства непрерывны (по 77).
Для обозначения пространств Соболева периодических функций (из .£?21ос(Е&2)) применяется символ Ж. Например Жх{$1) —пространство Соболева периодических функций д, таких, что д, @\Щ € -£г(П). (Здесь и далее через обозначаем оператор дифференцирования по Х{, то есть = 0^-). Обычное пространство Соболева будем обозначать посредством символа например ,
- 6 -
о
№£((2), (р ^ 1). Через IVр((2) обозначим подпространство элементов \Ур(0) с нулевыми следами на дС}.
Щ>Р(Я) — подпространство №*((}) х Исостоящее из элементов и = (1/1,112):
П2\д(3 — О, I и\<1з = 0. до
ШО) =' ГтЮ).
Символ —*■ обозначает слабую сходимость в соответствующем пространстве.
- символ Кронекера.
Как правило, предполагается суммирование по повторяющимся индексам.
2. Краткое содержание диссертации.
Рассмотрим квазилинейную систему
Г + ап (х, и) 011*2 + а12(ж,д)^2^2 + а1(ж,и) =/1 €-2р(С),
1-^1«! + а21(ж,и)^1гх2+ о22(^,^)^2^2+ аг{х,и) =/2
где а^(х, у), а*(х, у), = 1,2 — функции, удовлетворяющие условиям Каратеодори (то есть они измеримы по х для Уу € 2£2 и непрерывны по у 6 К2 для почти всех х € ф); , г,^' = 1,2 удовле-
творяют
(A) условиям эллиптичности
*о|£|2 < € К2, П.в. ж 6 <3, (2)
К»(я.у)1 < *1 VI/6 К2 п.в. X е <3; (3)
где Ао, А1 > 0 — константы;
(B) условию Липшица
\ац{х,у') -ау(х,у")\ ^ А2|у' - у"I, Уу',у" е К2, п.в. х € <3, (4)
А2 > 0 — константа;
(С) функции а*(ж,1/), г = 1,2 удовлетворяют условиям
IаЛх,у') - а^(х,у")| $ А;(х)|з/ - у"\, \/у', у" е К2, V® е <2, (5)
М*.з/)1 ^ -АДх)!*/! + в>(я), V?/ 6 к2, V* е (}, (6)
где Аг, В{ — неотрицательные функции, принадлежащие ц> 2.
Рассмотрим теперь для системы (1) краевую задачу с краевыми условиями
и2|<9<2=0, /и1^5 = 0, Щ,и2еУУр((}). (7)
ад
В первом параграфе гл. I доказана
Теорема 1. Существует такое ро = Ро(^о, ^1) >2, ро < Я, что при 2 < р ^ ро краевая задача (1), (7) однозначно разрешима для любых /ь /2 € ~£р(<3) , причем имеет место оценка
\\и\\\У}(<2) < со(||/11^р(д) + И-^И^^д)) (8)
(7 = (/ь/2), ^ = (г/ь^2), # = (^ь-^2)Л где с0 > 0 — константа, зависящая только от X о, А1 и максимума -норм Ах, А^.
Важным пунктом в вопросах усреднения дифференциальных операторов является вопрос разрешимости вспомогательных уравнений в пространствах периодических (или других) функций.
Пусть — пространство, сопряженное С^’1(П). Обозначим
через .2^(77) : —> &2(£1) оператор , определенный формулой
&7{г))и = {ФгЩ + ац{х,71)0,112, -0\их + а2* (я, 77)^2},
где т? — любой фиксированный вектор из К2, а^(х,г]), 7,7 = 1,2 — измеримые периодические функции, удовлетворяющие равномерно по г) Е К2 условиям (А), (В), а также условию
(Б) функции а^(х,77) и (оу)^, к = 1,2 и их производные по до второго порядка включительно 1) непрерывны по (ж, 77) Е П х Е2
- Київ+380960830922