Нелокальные краевые задачи для модельных уравнений гиперболического и смешанного типов

-2-
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...............................................................3
Глава 1. Краевые задачи со смещением для дифференциальных
уравнений гиперболического типа..............................21
§ 1.1. Обобщенные операторы дробного интегро-
дифференцирования и некоторые их свойства...........21
§ 1.2. Нелокальная краевая задача для уравнения
Г еллерстедта.......................................25
§ 1.3. Нелокальная краевая задача для гиперболического
уравнения второго рода в характеристической области....42 § 1.4. О краевой задаче с операторами М. Сайго и Римана-
Лиувилля для уравнения влагопереноса при а = 1......57
§ 1.5. Нелокальная краевая задача для уравнения влагопереноса при а - -1..........................................71
Глава 2. Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного
типа..... ...................................................85
§ 2.1. Краевая задача для уравнения смешанного типа
второго рода...................................... 85
§ 2.2. О задаче со смещением для уравнения смешанного
типа первого рода...................................91
§ 2.3. О нелокальных задачах для параболо-гиперболичского
уравнения с дробной производной.....................96
§ 2.4. О краевых задачах с операторами М. Сайго для
уравнения смешанного типа с дробной производной 107
Библиографический список использованной литературы...................110
-3-
ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов в ограниченных областях, а также для уравнений смешанного типа с дробной производной в неограниченных областях.
В теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов. Теория краевых задач для таких уравнений является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Основополагающими в развитии этой теории стали труды Ф. Трикоми
[87] и С. Геллерстедта [94]. В работах отечественных и зарубежных математиков рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, а также ставились и исследовались новые краевые задачи. Большая заслуга в развитии таких исследований принадлежит A.B. Бицадзе, С.П. Пулькину, В.А. Ильину, Е.И. Моисееву, Л.И. Чибриковой, В.И. Жегалову, А.М. Нахушеву. Интересные результаты получены в работах В.Ф. Волкодавова, В.Н. Врагова, Ф.Г. Мухлисова, Н.Б. Плещинского, P.C. Хайруллина, К.Б. Сабитова, А.Н. Зарубина, O.A. Репина, JI.C. Пулькиной, A.A. Андреева, и др. Среди опубликованных за последние годы работ, отметим следующие: [5-6], [8-11], [13-14], [22-25], [26-27], [29], [33-34], [40], [43], [47], [48-50], [58], [65-66], [69], [70-71], [77-79], [90-91], [92].
Необходимость решения современных проблем физики, как отмечает в своей обзорной работе A.A. Самарский [81], повлекла за собой возникновение качественно нового класса задач, получивших название нелокальных задач. Сам термин «нелокапьная» задача, по-видимому, впервые встречается в работе A.A. Дезина [19].
Это такие задачи для дифференциальных уравнений с частными
производными, в которых краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных (переменных) точках, лежащих на границе, или внутри рассматриваемой области.
На подобные краевые условия, возникающие в теплопроводности, в 1922 году было указано В.А. Стекловым [86] и в 1956 году - Ф.И. Франклем [89] при решении конкретной газодинамической задачи. Однако самому пристальному вниманию нелокальные задачи подверглись после публикации работы A.B. Бицадзе, A.A. Самарского [11], в которой были предложены новые постановки эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями, возникающими в теории плазмы.
Существенный вклад в развитие теории нелокальных задач для уравнений гиперболического и смешанного типов внесли В.И. Жегалов [22] и
А.М. Нахушев [56], предложившие ряд нелокальных задач нового типа. Эти задачи вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением.
Благодаря исследованиям А.М. Нахушева, его учеников и последователей стала бурно развиваться теория задач со смещением, краевые условия которых содержат операторы дробного интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля [58].
Классические и современные результаты теории дробного интегродифференцирования и ее приложений к интегральным и дифференциальным уравнениям и теории функций изложены в монографии
С.Г. Самко, A.A. Килбаса и О.И. Маричева [82].
Новым этапом развития этой теории было положено работами японского математика М. Сайго [98-102]. В его работах для гиперболического уравнения Эйлера-Дарбу-Пуассона (Э.Д.П.) в краевых условиях появились интегралы и производные дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса F(a,b;c;z) в ядре.
Нелокальным задачам, содержащим операторы в смысле М. Сайго и
-5-
операторы подобной структуры, посвятили свои работы М.М. Смирнов [84], М.С. Салахитдинов, А. Хасанов [80], O.A. Репин [72-76], [31-32], A.A. Килбас [31-32], Д. Аманов [1], С.И. Макаров [45-46], С.Ю. Назаров [54-55], A.A. Андреев, Е.Н. Огородников [2-3] и другие математики.
Результаты настоящей диссертации являются продолжением исследований [31-32], [73], [95] в этом направлении. В работе поставлен и исследован ряд новых нелокальных краевых задач для гиперболических уравнений Геллерстедта и Кароля, для уравнения Бицадзе-Лыкова (уравнения влагопереноса), для модельных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа и параболо-гиперболичсского типа с дробной производной первого и второго родов. Отличительной особенностью этих задач является наличие в краевом условии производных и интегралов дробного порядка с гипергеометрической функцией I аусса.
Актуальность этих исследований можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением, поскольку вырождающиеся дифференциальные уравнения с частными производными связаны с задачами газовой динамики, теории теплопроводности, теории упругости, теории оболочек, теории плазмы, математической биологии, математическим моделированием различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой и многими другими вопросами механики. Следует отметить и такой аспект теории краевых задач со смещением, как получение новых результатов как в теории дробного интегродиффренцирования, так и в области дифференциапьных и интегральных уравнений.
В работе широко используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и операторов дробного интегродифференцирования, известные принципы экстремума для уравнений смешанного типа.
В диссертации получены следующие новые результаты.
1. Для гиперболических уравнений Геллерстедта и Кароля в явном виде
получены решения двух новых нелокальных задач, краевые условия которых содержат обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования.
2. Для уравнения влагоиереноса при различных значениях коэффициента при младшей производной поставлены и исследованы задачи со смещением с операторами М. Сайго и Римана-Лиувилля в краевом условии.
3. Для модельных уравнений эллиптико-гиперболичсского типа первого и второго родов доказаны существование и единственность решений четырех новых нелокальных задач со смещением, содержащих обобщенные дробные операторы в краевом условии.
4. Выявлены условия, обеспечивающие выполнение принципов экстремума при доказательстве единственности решений.
5. Доказаны существование и единственность решения нелокальных задач для нараболо-гиперболических уравнений первого и второго родов с частной дробной производной Римана-Лиувилля и наличием обобщенных операторов М. Сайго в краевом условии. Решение поставленных задач ищется в области с неограниченной параболической частью различного вида.
6. Установлены ограничения на параметры операторов М. Сайго, при которых справедливы теоремы единственности и существования решения всех поставленных задач.
Работа носит теоретический характер. Она является продолжением развития теории нелокальных краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов
1Методы исследования могут быть применены для решения и исследования широкого класса краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа, а также прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.
Основные результаты диссертации докладывались на:
-7-
- Втором Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Самара, 2001 г.);
- научной конференции «Проблемы современной математики», посвященной 125-лстию Казанского государственного педагогического университета (Казань, 2001 г.);
- международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в Мордовском государственном университете (Саранск, 2002 г.);
- международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в Самарском государственном архитектурно-строительном университете (Самара, 2002);
- всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 2003-2004 гг.);
- третьей всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2003» в Казанском государственном университете (Казань, 2003 г.);
- десятой международной научной конференции им. акад. М. Кравчука в Национальном техническом университете Украины «КПИ» (Киев, 2004 г.);
- третьей и пятой международных конференциях молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2002 г., 2004 г.);
- семинарах кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета в 2003-2004 гг. (руководитель - д. ф.-м. н., профессор В.П. Радченко);
Шестнадцать работ [105-120], опубликованных автором по теме диссертации, отражают ее основные результаты.
Диссертационная работа изложена на 120 страницах и состоит из введения, двух глав, включающих 9 параграфов и библиографического списка использованных источников, включающего 120 наименований.
-8-
Первая глава посвящена нелокальным краевым задачам со смещением для дифференциальных уравнений гиперболического типа.
В § 1.1 приводятся обобщенные дробные интегралы и производные с гипергеометрической функцией Гаусса [7]
2р,(а,Ь;с\г) = Р(а,Ь;с;г) - >
(с) Пп\
= ~7~гГ(л - О“'1 р(а + - -)<р(‘)ж
г(а) о ДС (1)
(О < лс < 1, а > 0, /?, т/ЕС),
(С*>)м - (£)”(см-ад>)м
(О < д: < 1, а < 0, /?, /7 ЕС, л = [-а] +1).
.-а-0 I
(/Г-Л>)м - ГО - + Р-п;а;‘-±)<р№
Г(а) * \- х
(О < х < 1, а > 0, /?, ^7 ЕС),
(3)
(4)
(О < х < 1, л <0, /?, ^ЕС,л = [-а] + 1).
Операторы (1)-(4) при /? = -а и р = 0 сводятся к дробным интегралам и производным Римана-Лиувилля и Кобера [12] соответственно.
Эти операторы введены М.Сайго [98]. В частности, он доказал следующие соотношения (при у > 0 )
(сл, т (5)
(Г^(го^-0-'-^\,)\х) - (6)
(/,“/•" (г£"* >)(0)М = (7)
■ (/Г (8)
Вопросам действия операторов (1)-(4) в обычных и весовых
пространствах Гельдера посвящены работы [18], [100], [103].
- 9 —
Будем в дальнейшем обозначать: (/«?/'V)W и {l°:pn<p\x) - операторы в смысле М.Сайго [98]; (l^<p\x) и {l°_(p\x) - операторы Римана-Лиувилля [82]; J - единичный интервал 0 < х < 1, 7 - единичный отрезок 0 «; х s 1 прямой у = 0; в0(х) и #,(*) - аффиксы точек пересечения характеристик рассматриваемых уравнений, выходящих из точки (х,0)Е/, с характеристиками АС и ВС соответственно.
Рассмотрим модельное уравнение смешанного тина
sgn УIУ Г Uхх + V= 0, m = const > -1, т * 0. (9)
При т-1 это уравнение совпадает с уравнением Трикоми, а при т -0 оно известно как уравнение Лаврентьева-Бицадзе.
§ 1.2 посвящен исследованию нелокальной краевой задачи для гиперболического уравнения первого рода (уравнения Геллерстедта)
(-y)mUи -Uw =0, т - const >0, yss 0. (10)
В полуплоскости ys0 уравнение (10) обладает двумя семействами характеристик:
/у т * 2 л w+2
АС:£ = х--------(-у) г =0,ЯС:>7-* +-------------------------(И)
/71 + 2 /71 + 2
Уравнение (10) рассматривается в конечной области D, ограниченной интервалом (ОД) и характеристиками (11) уравнения (10).
Задача 1.1. Найти функцию U(xty)€zC(D)C)C2(D)y удовлетворяющую уравнению (10) в области D и краевым условиям
U(*,0) * т(х) V*E7, (12)
а, (/»Г/,‘4,'','4|£фо(0])М + *, (/14"Лг"-,'4,ф1 «])(*) +
+ + b2/“’a*. )и (*,0) +
+ (A3/0VM )у,(х,0) = р(л:) Vxey,
/71 1
где р ----------, 0< р < -; Д,#,, / -1,2,3 - заданные константы; <р(х),т(х) -
2 (т + 2) 2
заданные функции, такие, что
-10-
<р(х)£Нл [0,1] П С2 (0,1), (13)
т(х)&Н £ [04] П С2 (0,1); (14)
А,,А 2,а^,рпа2У Р2,Г12,Л,а},Л2 - действительные числа, причем
Л, е(-/?,0)и(0,Д), А2 <0, а2 > 0, Д, < тт[0,//2 +1], А, +1-/? < Я * 1,
1-2/?<Я, <1, 0< Я2 < Д-А,, Д < /? — 1 — А,, А, +1-Д < тт[Я,,-А2] 51,
А, +1- Д < 1тп[Я,,-Д2] ^ 1, 0 < пип[Я,, Д -1-А, - Д ] < 1 при а, > А, +1- Д, (либо 0 < тш[Я, +«, + Д-1 - А,, Д-1- А, - Д ] < 1 при 0 < а, < А, +1 - Д). Доказаны существование и единственность решения задачи 1.1 путем сведения ее к вопросу однозначной разрешимости сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши. Причем решение получено в явном виде.
При -1 < т < 0 уравнение (9) имеет вырождение второго рода:
и XX -(-уУиуу = 0,0<т<1,у*0. (15)
В § 1.3 рассматривается нелокальная краевая задача для гиперболического уравнения (15). Уравнение (15) рассматривается в конечной области О, ограниченной интервалом (0,1) и характеристиками
АС:4-х--2-(-уУ? =0,ВС :П-х + ^(-у)^ -1 (16)
2-т 2-т
уравнения (15).
Задача 1.2. Найти функцию и(х,у)^С(Г))С\С2(0), удовлетворяющую уравнению (15) и краевым условиям (12) и
А(С-'/,'4"'м'4,Фо(0])(*) + + вгЦ:^ )у(*,0) +
+ (а,/*;"-* + вз/*.I]иг(х,0) = <р(х) \ZxSJ , т 1
где Д =-------, —< Д<0; <р(х)у т(х) - заданные функции, такие, что вы-
2(т-2) 2
полняются условия (13) и г(д:)Е//^'[0,1] ПС2(0,1), А,, Аг, А3, Вг, В3 - заданные константы; А,,А2,а,,Д,а1УД2 , 772,Я,Я,,Я2 - действительные числа, причем
А, Е(-Д,0) и (0, Д), 0< А, + 1-Д<1, Д2 <0, А, + 1-Д<Я*1, Д < Д-1-А,,