Оглавление
1 Введение 4
2 Некоммутативные теории поля в формализме первичного квантования 7
2.1 Некоммутативные теории поля и теории поля с нарушением лоренцсвой симметрии ..................................................................... 7
2.2 Введение в теорию некоммутативных полей............................... 10
2.2.1 Вторичное квантование некоммутативных полей. UV/IR смешивание 13
2.2.2 Классические объекты в некоммутативных теориях поля............ 16
2.3 Основные формулы теории первичного квантования........................ 18
2.3.1 Случай скалярного поля......................................... 19
2.3.2 Случай некоммутативного скалярного поля........................ 21
2.3.3 Теория первичного квантования для некоммутативных спинориых
полей........................................................... 24
2.4 Нестабильность вакуума и рождение пар в присутствии постоянного электрического поля............................................................ 26
2.4.1 Случай скалярной электродинамики во внешнем поле............... 27
2.4.2 Случай некоммутативной скалярной электродинамики во
внешнем поле.................................................... 28
3 Спинор Киллинга для невырожденного деформированного конифолда 30
3.1 Обзор дуальности (соответствия) между гравитацией и калибровочной теорией поля.................................................................. 30
3.1.1 AdS/КТП соответствие........................................... 32
3.1.2 Решение Клебанова-Штрасслсра .................................. 35
3.2 Уравнение Киллинга и наличие супсрсиммстрии решения уравнений супср-
гравитации............................................................ 41
3.3 Спинор Киллинга в случае решения Клебанова - Штрасслсра............... 43
3.3.1 Сингулярный конифолд........................................... 43
3.3.2 Деформирующий фактор........................................... 45
3.3.3 Нсвё-Шварц и Рамой-Рамоиовскис формы........................... 47
3.4 Невырожденный деформированный конифолд............................ 50
3.4.1 Доказательство отсутствия Кэлеровой структуры на невырожденном деформированном конифолде.......................................... 56
3.5 Спинор Киллинга на невырожденном деформированным конифолде .... 58
3.5.1 Заключение..................................................... 63
4 О вакууме в эффективной низкоэнергетической суперсимметричноЙ N =
1 калибровочной теории Янга-Миллса 64
4.1 Эффективное действие в N — 2 супсрсиммстричиых калибровочных теориях 64
2
4.1.1 Введение......................................................... 64
4.1.2 Решение Зайберга-Виттена для Л/* = 2 811(2) калибровочной теории . 66
4.1.3 Низкоэисргетичсскос действие для N = 2 8и(ЛГ) теории............. 71
4.2 Теория с ЛГ = 1 суперсимметрисй и калибровочной группой и(Л^)............ 75
4.2.1 Низкоеэисргстнчсскос действие для N = 1 теории................... 75
4.2.2 Дуальное описание Аг = 1 и(Лг) теории в терминах матричной модели 77
4.2.3 Постановка задачи в эффективной теории........................... 78
4.3 Доказательство соотношения паЛГ = 1 эффективный препотепциал, выполняющееся в точке экстремума эффективного суперпотенциала................ 81
4.3.1 Метод петлевого уравнения........................................ 81
4.3.2 Доказательство с помощью тождества Римана........................ 83
4.4 Заключение................................................................ 84
5 Заключения и выводы 86
3
Глава 1
Введение
Предметом изучения современной теоретической физики и физики высоких энергий является динамика квантовых систем с бесконечным количеством степеней свободы. При этом наибольший интерес представляют так называемые непертурбативные явления в области сильной связи, то есть такие явления, для описания которых необходимо учитывать нетривиальные вклады в функциональный интеграл. Интерес к этим явлениям легко объясним - теория пертурбативных эффектов хорошо разработана и их изучение не представляет какой-либо сложности, по крайней мере, принципиальной.
Роль квазиклассичсских методов при изучении квантовых систем с бесконечным количеством степеней свободы трудно переоценить, так как они дают интуитивно понятную картину происходящего и, в конечном итоге, позволяют найти приемлемое описание системы. Квантовая природа изучаемого объекта предполагает, что для его корректного описания необходимо просуммировать бесконечное множество вкладов в функциональный интеграл. Наличие бесконечного количества степеней свободы еще сильнее усложняет задачу. При этом описание теряет прозрачность в том смысле, что динамика системы не может быть описана в интуитивно понятных (классических) терминах. Поэтому возможность рассматривать некое классическое решение вместо квантового - большая удача для исследователя и именно это обстоятельство в большом количестве случаев приводит к решению задачи. И наоборот, отсутствие классических объектов часто делает задачу нерешаемой. Так, например, происходит с теорией конфаймента в КХД. Предполагаемые полевые конфигурации, ведущие к конфайменту, не являются классическими седловыми точками действия и потому не поддаются описанию в классических или каких бы то ни было других интуитивно понятных и простых терминах. Как результат эти конфигурации до сих пор не описаны и теория конфаймента далека от завершения.
Следует особо оговорить, что мы будем понимать под квазиклассически-
4
ми методами. Как уже следует из примера с КХД, классические методы в контексте данной работы это не объекты, возникающие при решении задач классической механики. Под классическими методами мы будем понимать способ свести задачу с бесконечным количеством переменных к задаче с конечным количеством функций от конечного числа переменных. Безусловно, классические - в обычном смысле (то есть неквантовые) - задачи остаются классическими и с точки зрения данного определения. Но некоторые квантовые задачи, как известно, могут быть сведены к квазиклассике. Так, волновая функция гармонического осциллятора может быть найдена квазиклассически, в то время как волновая функция вакуума КХД квазикласснческой никак не является. Итак, термин “классическое решение” понимается нами как объект, который хорошо определен в терминах конечной математики.
Примеры возникновения квазиклассических решений в современной теоретической физике весьма разнообразны. Фактически они ограничены лишь фантазией исследователя. В данной работе мы остановимся на некоторых из них, более или менее типичных. Самым простым способом сведения квантовой задачи с бесконечным количеством степеней свободы к классическому объекту является квазиклассическое приближение, ВКБ или метод стационарной фазы. Этот метод сводит вычисление функционального интеграла к нахождению решений уравнения движения, то есть, буквально осуществляет переход от “неклассического” объекта к “классическому”. Указанный метод является одним из наиболее используемых в арсенале современной теоретической физики. Так, литература только по инстантонным решениям насчитывает более тысячи публикаций. К сожалению, этот метод имеет весьма узкий круг применимости: физическая система либо должна находиться в квазиклассическом режиме, либо обладать достаточным количеством суперсимметрий, чтобы классическое описание было точным. Такая система рассматривается в работе автора [05], где квазиклассическое решение используется не для вычисления функционального интеграла, как обычно, а для нахождения глобальных симметрий (дуальности) квантовой теории.
Еще одним хорошо известным примером возникновения “классического” объекта является невзаимодействующая теория ноля. В этом случае применим метод первичного квантования, который сводит многие вычисления к нахождению кратчайших траекторий частиц. Заметим, что невзаимодействующая теория поля не обязательно является тривиальной, поскольку данное определение допускает сколь угодно сложное взаимодействие частиц с классическим фоном. Так, в второй главе мы рассматриваем некоммутативную скалярную электродинамику на фоне постоянных электромагнитных полей. Данная теория является нелокальной в обычном смысле. Тем не менее, мы
5
показываем, что она может быть описана в терминах частиц и вероятность распада ложного вакуума (в присутствии постоянного электрического поля) дается кратчайшей замкнутой траекторией, то есть седловой точой интеграла по траектории.
Дуальность между суперсимметричными теориями поля и классической гравитацией в Айв5 (так называемая А(13$/С¥Т) порождает класс примеров, в которых вычисление в квантовой теории поля N = 4 8УМ может быть переформулировано в рамках классической 10(1 гравитации. Это соответствие допускает обобщение на Я = 1 теории с коифайментом. Одна их таких теорий рассмотрена в главе 3. В этой главе наличие “классической” задачи (существование спинора Киллинга на многообразии) является доказательством наличия суперсимметрии. Кроме того, данный метод позволяет исследовать Кэллерову структуру многообразия компактификации.
Наконец, глава 4 посвящена изучению такого “классического” объекта как потенциал матричной модели в точке перевала. Оказывается, корреляторы киральных операторов в N — 1 8УМ совпадают с корреляторами матричной модели и это дает возможность вывести элегантное тождество, имеющее смысл ренорм-группового уравнения.
Безусловно, данная работа не охватывает все примеры успешного сведения задачи с бесконечным количеством переменных к простым квазикласси-ческим решениям. В рамках данной работы собраны лишь несколько нестандартных примеров того, как задача квантовой теории поля может быть переформулирована и решена в терминах конечной математики. Данные примеры объединены общей идеей использования квазиклассических решений для описания квантовых задач. Надеемся, предложенный подход окажется продуктивным в долгосрочной перспективе.
6
Глава 2
Некоммутативные теории поля в формализме первичного квантования
2.1 Некоммутативные теории поля и теории поля с нарушением лоренцевой симметрии
Интерес к теориям с нарушением лоренцевой инвариантности обусловливается попытками описать поведение физических систем на сверхбольших и, возможно, сверхмалых масштабах. Напомним, что однородность пространства на таких масштабах не является экспериментально установленным фактом. Более того, однородное на больших масштабах электромагнитное поле с необходимостью нарушит однородность пространства и происходящих в нем физических процессов. Некоммутативные теории, грубо говоря, являются эффективным описанием “обычных” коммутативных теорий в присутствии бесконечно сильного однородного магнитного поля. Таким образом, некоммутативные теории это “предельный случай” нарушения лоренцевой симметрии внешним фоном. При этом возникает другая калибровочная группа симметрий , включающая преобразования из группы Лоренца. В последнее время некоммутативные теории являются все более и более популярным предметом для изучения, так как они могут очертить круг новых эффектов, возникающих в силу отказа от требования однородности пространства. На сегодняшний день этому предмету посвящена богатая литература; в том числе публикации, в которых обсуждаются экспериментальные ограничения на параметр, характеризующий отклонение от лоренцевой симметрии (“параметр некоммутативиости”).
Феноменологический подход к данной проблеме предполагает наличие некого лагранжиана теории поля, явно нарушающего лоренцеву инвариантность.
7
Далее соответствующий лагранжиан изучается доступными теоретическими методами с целью получения предсказаний, проверяемых экспериментально. На основании согласия с экспериментальными данными накладываются ограничения на параметры лагранжиана (в том числе и нарушающие лорен-цеву симметрию). Как правило, явное нарушение лоренцевской инвариантности обусловливается добавлением тензорной величины в лагранжиан теории. Скажем, нетривиальное векторное поле £^{х) может породить дополнительные члены “самодействия” для скалярного поля
Однако данный пример не является вполне удовлетворительным в силу следующих причин. Во первых, нарушение лоренцевой симметрии, если присутствует, то весьма мало на наблюдаемых масштабах. В силу этого мы можем разложить дополнительные члены в действии по |£|, ограничиваясь удержанием членов линейного порядка. Во вторых, параметр некоммутатив-ности сам по себе, по видимому, является весьма однородным на космических масштабах. В целом этот вопрос не имеет четкого ответа, так как масштаб однородности параметра некоммутативности весьма сильно зависит от модели. Тем не менее, имеет смысл рассматривать такие нарушения лоренцевой симметрии, которые не нарушают однородности пространства (симметрии относительно сдвигов). В первую очередь это связано с желанием сохранить дополнительную симметрию, облегчающую анализ. Однако, такое предположение также согласуется с космологическими моделями нарушения лоренцевой симметрии, предсказывающими выскоую однородность соответствующего параметра. Таким образом, (2.1) не дает вклада
Легко увидеть, что в теории одного скалярного вещественного поля ф лидирующим членом является
который подавлен как третья производная ф.
Другим направлением являются теории, нарушающие лоренцеву симметрию с помощью би-вектора 9^. В таком случае простейший член взаимодействия выглядит как
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
8
- Київ+380960830922