НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ШНУРОВ ТОКА И ФРОНТОВ ИОНИЗАЦИИ В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРАХ КЛЮЧЕВОГО ТИПА

2
Оглавление
Введение 11
1 Шнурование тока в бистабильных приборах с вольт-амперными характеристиками Б- и 7-типа 20
§ 1.1 Введение........................................................... 20
§ 1.2 Бистабильный прибор как распределенная среда с объемной и интегральной
связями. Модель реакция-диффузия..................................... 26
§ 1.3 Ии вод модели реакция-диффузии для конкретных полупроводниковых приборов .................................................................... 30
1.3.1 Резонансно-туннельный диод..................................... 31
1.3.2 Гстсродиод на горячих электронах .............................. 36
1.3.3 Тиристор с распределенным затвором............................. 40
§ 1.4 Устойчивость однородного гокораенределения......................... 43
1.4.1 Пространственио-одиородные флуктуации.......................... 41
1.4.2 Пространственно-неоднородные флуктуации........................ 40
§ 1.5 Автоволновые структуры в бистабильных приборах .................... 48
1.5.1 Фронты переключения............................................ 48
1.5.2 Стационарные токовые шнуры..................................... 49
§ 1.6 Заключение к 1-й главе............................................. 55
2 Устойчивость стационарно го токового шнура 57
§2.1 Введение............................................................ 57
§ 2.2 Постановка задачи об устойчивости стационарного токового шнура .... 59
I
§ 2.3 Устойчивость шнура в одномерном случае................................. 61
§ 2.4 Собственные значения линеаризованной системы для выпуклой двумерной
области при заданном напряжении......................................... 65
2.4.1 Трансляционные моды и оператор Ндц)............................... 65
2.4.2 Знак первого собственного значения оператораЯдг................... 66
2.4.3 Знак второго собственного значения оператораНц.................... 67
§ 2.5 Влияние интегральной внешней связи на устойчивость..................... 69
§ 2.6 Токовые шнуры в двумерной области...................................... 74
§ 2.7 Заключение к 2-й главе................................................. 80
3 Периодические и хаотические автоколебания токового шнура 83
§ 3.1 Введение............................................................... 83
§ 3.2 Стационарные состояния и их бифуркации................................. 86
3.2.1 Однородное состояние.............................................. 86
3.2.2 Стационарные токовые шнуры........................................ 89
3.2.3 Критерий возникновения сложных колебаний токового шнура .... 93
§ 3.3 Пространственно-временная динамика на квадратной области .............. 98
3.3.1 Обзор динамических режимов в пространстве управляющих параметров .................................................................. 98
3.3.2 Периодические моды пространственно-временной динамики.............101
3.3.3 Хаотическая пространственно-временная динамика....................103
§ 3.4 Сложная динамика при большом размере системы: возвратно-поступательные
автоколебания фронта плотности тока.....................................107
§ 3.5Сложная пространственно-временная динамика в случае прямоугольной области .......................................................................110
§ 3.6 Периодические и хаотические колебания шнуров в системе с Я-образной
ПАХ: резонансно-туннельный диод.........................................111
4
§ 3.7 Заключение к 3>й главе...............................................114
4 Трансляционная неустойчивость и самодвижение токового шнура 117
§ 4.1 Введение.............................................................118
§ 4.2 Модель бистабильной системы с учетом Джоулева саморазогрева .........122
§ 4.3Трансляционная неустойчивость токового шнура..........................124
4.3.1 Механизм неустойчивости ........................................124
4.3.2 Линейный анализ устойчивости....................................124
4.3.3 Характеристическое уравнение ...................................128
4.3.4 Критерий трансляционной неустойчивости..........................129
§ 4.4 Автомодельное движение стационарного токового шнура .................134
4.4.1 Общие свойства стационарного движения шнура.....................136
4.4.2 Самосогласованное определение скорости шнура....................141
4.4.3 Аналитические аппроксимации скорости шнура......................143
§ 4.5 Обсуждение результатов...............................................149
4.5.1 Простая формула для скорости шнура..............................149
4.5.2 Как стимулировать движение шнура................................153
4.5.3 ПАХ и холодные шнуры............................................154
4.5.4 Переходные режимы ..............................................155
4.5.5 Модели реакция-диффузия для движущихся “частиц” в неравновесных системах..........................................................15G
§ 4.6 Заключение к 4-й главе...............................................157
5 Динамика фронтов плотности тока в бистабильных системах
с интегральными связями 160
§5.1 Введение..............................................................160
§ 5.2 Автомодельное распространение фронта при заданном напряжении.........164
ь
5
§ 5.3 Фронты переключения в асимметричных резонансно-
туннельных диодах.......................................................169
5.3.1 Область бистабильности ...........................................170
5.3.2 Скорость и ширина фронта плотности тока...........................173
§ 5.4 0 возможности стохастического переключения через нуклсацию.............176
§ 5.5 Распространение фронтов при наличии интегральных связей................178
5.5.1 Редуцированные уравнения движения ................................179
5.5.2 Интегральная связь при положительном сопротивлении нагрузки . . 180
5.5.3 Интегральная связь в случае активной внешней цепи ................184
§ 5.6 Динамика фронтов в системе с двумя интегральными связями...............187
5.6.1 Модель тиристорной структуры с микроэлектронным затвором .... 187
5.6.2 ВАХ шнуровых состояний при заданном и плавающем потенциале
затвора...................................................189
5.6.3 Фронты плотности тока: положительная и отрицательная обратная
снизь.....................................................191
5.6.4 Осцилляционнме режимы динамики фронта.............................193
§ 5.7Заключение к 5-й главе..................................................198
6 Сверхбыстрые фронты ударной ионизации в высоковольтных полупроводниковых структурах 200
§ 6.1 Сверхбыстрый пробой высоковольтных р-п переходов и фронты ударной
ионизации...............................................................200
§ 6.2 Качественная картина возбуждения и распространения фронт ионизации . 203
6.2.1 Латентная фаза.................................................. 204
6.2.2 Запуск фронта.............................................206
6.2.3 Распространение фронта....................................206
§ 6.3 Диффузионно-дрейфовая модель...........................................208
6
6.3.1 Основные; уравнения ...............................................208
6.3.2 Аппроксимации для С(п,р, |£|) и 0Я|р(£)............................209
6.3.3 Область применимости диффузионно-дрейфовой модели .................210
§ 6.4Элементарная модель распространения фронта...............................212
§ 6.5 Элементарная модель взаимодействия с нагрузкой..........................215
§ 6.6 Фронты ударной ионизации и стримеры.....................................219
§ 6.70ткрытые вопросы, приложения и перспективы...............................220
6.7.1 Механизм запуска фронта ..........................................221
6.7.2 Динамика плоского фронта ионизации................................222
6.7.3 Поперечная устойчивость и фрагментация фронта ионизации..........223
§ 6.8 Заключение к 6-й главе..................................................224
7 Механизмы запуска фронта ударной ионизации 226
§ 7.1 Введение................................................................226
§ 7.2Основные требования к механизму запуска фронта...........................227
§ 7.3Возможные источники инициирущих носителей................................229
7.3.1 Термогенерация....................................................229
7.3.2 Ударная ионизация в нейтральной (необедненной) области...........231
7.3.3 Эффекты, обусловленные глубокими центрами.........................233
7.3.4 Зинеровский пробой................................................235
§ 7.4 Технологические дефекты с глубокими уровнями в высокоомном кремнии . 235
§ 7.5 Заселенность глубоких технологических дефектов..........................238
§ 7.6 Ионизация глубоких центров сильным электрическим полем................240
7.6.1 Общие сведения о полевой ионизации................................240
7.6.2 Вероятность термотуннельной ионизации глубоких уровней технологических дефектов 244
7
§ 7.7 Сценарии запуска фронта ионизации за счет термотуннельной ионизации
глубоких уровней .......................................................247
7.7.1 Оценка пороговой частоты ионизации................................247
7.7.2 Низкие температуры ...............................................251
7.7.3 Комнатная температура ...........................................25.1
7.7.4 Область промежуточных температур..................................251
7.7.5 Высокие температуры...............................................252
§ 7.8Запуск фронта нолевой ионизацией глубоких центров: обсуждение и заключение .......................................................................252
7.8.1 Влияние концентрации глубоких центров ............................252
7.8.2 Запуск фронтон ионизации в ОнАя...................................253
7.8.3 Влияние магнитного поля ..........................................254
7.8.4 Заключение........................................................254
§ 7.9 Запуск фронта прямой туннельной ионизацией зона-зона...................255
§ 7.10Заключение к 7-й главе ................................................259
8 Аналитическая теория плоского фронта ионизации 261
§ 8.1 Введение...............................................................261
8.1.1 Уравнения модели..................................................264
8.1.2 Автомодельное распространение фронта................*.............265
8.1.3 Связь плотности тока со скоростью фронта..........................266
8.1.4 Управляющие уравнения.............................................267
8.1.5 Частные и предельные случаи.......................................268
§ 8.2 Общие свойства автомодельного распространения фронта...................268
8.2.1 Иерархия масштабов характерных электрических полей................270
8.2.2 Уравнения в области сильного поля.................................270
8.2.3 Концентрация свободных носителей за зоной ионизации...............271
8
8.2.4 Максимальная напряженность электрического поля.....................273
8.2.5 Размер области экранирования ......................................278
8.2.6 Переход от сильнополевой к слабополевой области....................280
8.2.7 Плазменная область............................................... 281
8.2.8 Напряжение на структуре............................................285
§ 8.3 Случай ультрабыстрого распространения фронта (и/ 3> и*).................287
§ 8.4 Нестационарное распространение фронта...................................288
8.4.1 Условие адиабати чпости ...........................................288
8.4.2 Распространение фронта при подключении прибора с нагрузкой . . . 289
§ 8.5 Заключение к 8-й главе..................................................290
9 Численное моделирование плоского фронта ионизации 292
§ 9.1 Введение................................................................292
§ 9.2 Модель и численный метод................................................293
§ 9.3Фронты ионизации, запускаемые ударной ионизацией н необедненной части
базы.....................................................................294
9.3.1 Запуск и распространение ударно-ионизационного фронта..............295
9.3.2 Проблемы континуального описания...................................302
9.3.3 Влияние длины базы ................................................305
9.3.4 Влияние скорости роста напряжения..................................307
§9.4 Фронты ионизации, запускаемые термотуннельной ионизацией глубоких
технологических дефектов.................................................308
§ 9.5Туннельно-ударные фронты ионизации в электрических полях за порогом
Зинеровского пробоя......................................................311
9.5.1 Структура .........................................................311
9.5.2 Результаты моделирования...........................................311
9.5.3 Обсуждение результатов моделирования...............................317
і
9
9
§ 9.6 Заключение к 9-й главе...................................................318
10Поперечная устойчивость и фрагментация фронта ионизации320
§ 10. Введение.................................................................321
10.1.1 Проблема токовой локализации при сверхбыстром задержанном пробое321
10.1.2 Механизмы токовой локализации......................................322
§ 10.^Длинноволновая неустойчивость плоского фронта ...........................323
10.2.1 Модель.............................................................323
10.2.2 Поперечная неустойчивость..........................................324
§ 10.Устойчивость фронта в структуре с необедненной базой......................327
10.3.1 Модель распространения фронта ионизации и фронта экстракции . . 327
10.3.2 Особенности одномерной динамики фронта в длиннобазной структуре 329
10.3.3 Характеристическое уравнение ......................................330
10.3.4 Характерные времена................................................331
10.3.5 Слабая и сильная неустойчивость фронта.............................332
10.3.6 Условие квазиустойчивости плоского фронта .........................335
§ 10.4Чодель распространения неоднородного фронта ионизации....................335
10.4.1 Уравнения модели...................................................335
10.4.2 Функция распределения положения фронта и ее эволюция ..............336
10.4.3 Условия старта "фронта замерзания1’
338
10.4.4 Фаза расщюстранения фронта ионизации на всей площади...............338
10.4.5 Фаза остановки фронта на части площади.............................339
10.4.6 Условия кпазиоднородного распространения...........................341
§ Ю.ЗЪфаметры локальных каналов переключения...................................343
§ 10.00 возможности мультиетримерного пробоя высоковольтногор-п перехода . . 344 § 10.Заключение к 10-й главе................................................351
10
Заключение 353
Публикации но теме диссертации 359
Литература 363
Введение
С общефизической точки зрения полупроводниковый прибор большой площади представляет собой силыюнсравновссиую распределенную систему, в которой возможно формирование локализованных нелинейных структур - диссипативных токовых солито-иов и нелинейных волн переключения. Примерами таких структур являются шнуры тока и домены электрического ноля в системах с 5 и £ образными вольт-амперными характеристиками (ВАХ) /1, 2/, горячие области в транзисторных структурах /3/, страты в неравновесной электронно-дырочной плазме /4/, импульсы в нейрнсторах /5/. Формирование нелинейных структур особенно ярко проявляется в приборах ключевого типа типа -тиристорах и лавинных транзисторах /6, 7/, резонансно-туннельных диодах /8/, лавинных переключающих диодах /9/, и т.д.. Полезная функция такого прибора как нерелючате-ля обусловлена способностью находится как в низкопроводящем (блокирующем), так и в высокоироводящем (включенном) состояниях, сильно различных но уровню возбуждения (плотностям тока, концентрации неразновоеной плазмы, рассеиваемой мощности), и осуществлять контролируемый переход между этими состояниями /10/. Токовые и полевые структуры, возникающие в приборах ключевого типа, так или иначе связаны с расслоениями приборной среды на эти два различных состояния, динамическим сосуществованием и конкуренцией этих состояний.
Такие расслоения могут быть как спонтанными, так и детерминированными. Спонтанные расслоения однородного токораспределения, приводящие к формированию диссипативных солитонов в виде шнуров тока, характерны для приборов с бистабильными по току ВАХ. Для бистабильных приборов также характерны нелинейные волны переключения - фронты плотности тока. Детерминированное расслоение приборной среды, имеющее место при распространении плотной элоктронпо-дырочной плазмы в область
12
сильного электрического ноля вследствие движения фронта ионизации, лежит в основе работы высоковольтных обострительных диодов в режиме сверхбыстрого динамического пробоя.
В последние полтора десятилетия перед физикой полупроводниковых приборов встал ряд новых теоретических задач, связанных с формированием и динамикой диссипативных солитонов и нелинейных волн переключения. Эти задачи обусловлены как внутренней логикой развития самой физики полупроводников и развитием элементной базы полупроводниковой электроники, гак и общими тенденциями современной нелинейной динамики распределенных активных сред. Главной из этих тенденций стало смешение фокуса исследований от первичных неустойчивостей и процесса формирования стационарных диссипативных структур к сложной пространственно-временной динамике этих структур.
Среди новых задач выделяется задача теоретического описания сложной, включая хаотическую, динамики токовых шнуров и фронтов в бистабильных по току приборах /16,17/. в том числе в приборах с квантовым транспортом, демонстрирующих новых тип Е-образной бистабильной ВАХ /18, 19/. Внедрение микроэлектронных распределенных затворов в мощные бистабильные приборы /20/ поставило задачу об управлении само-организованными токовыми структурами. Применение нелинейных волн ударной ионизации для субнаносекундиой модуляции проводимости высоковольтных полупроводини-ковых структур /21, 22, 23, 24, 25/ ставит как вопрос о фундаментальных ограничениях, связанных с условиями запуска и устойчивостью распространения этих волн, так и проблему использования новых физических явлений для создание на этом принципе приборов следующего поколения. Адекватная постановка и решение всех этих задач оказывается возможной только в общем контексте современной нелинейной динамики, к настоящему моменту объединившей различных разделы физики, химии, биологии.
В настоящей диссертации теоретически исследуется динамика нелинейных пространственно временных структур - токовых шнуров и фронтов ионизации, возникающих в полупро-
13
водниковых приборах ключевого типа спонтанно вследствие токовой неустойчивости, или возбуждаемых целеноиравлеиио с помощью управляющего воздействия. Первая часть посвящена поперечным токовым расслоениям в бистабильных приборах о Б и 'А образными вольт-ампсрными характеристиками (ВАХ) и рассматривает сложную пространственно-временную динамику шнуров и фронтов плотности тока. Во второй части исследуются сверхбыстрые фронты ударной ионизации, распространяющиеся вдоль направления тока в высоковольтных р-п переходах.
В первой части диссертации построена теория токовых шнуров и фронтов в бистабильных приборах, имеющих Б и Z образные ВАХ. (Обзор литературы к первой части диссертации приведен в первом параграфе Главы 1.) Хорошо известно, что бистабильность может приводить к токовой неустойчивости и формированию квазистацнонарных сильно неоднородных по площади прибора распределений плотности тока. Такую диссипативную нелинейную структуру - диссипативный солитон -- в физике полупроводников традиционно называют токовым шнуром. В первой части диссертации показано, что токовые шнуры, возникающие вследствие первичной пространственной неустойчивости однородного токораспрсдсления, могут испытывать вторичные бифуркации, влекущие за собой сложную пространственно-периодическую динамику, включая детермнрированнын хаос. Исследование проведено в рамках активаторно-ингибиторной модели е локальной активацией и глобальной ингнбицией. Эта модель согласовно описывает главные свойства - бистабильность и внутренную степень свободы, ответственную за инерционность и поперечную токовую неустойчивость - широкого класса бистабильных приборов, включающего многослойные инжекциониые системы транзисторного и тиристорного типа, ^тс-родиоды, резонансно-туннельные диоды (Глава 1). Модель последовательно выведена из транспортных уравнения и уравнения сохранения заряда (Глава 1). В общем случае для двумерной области исследована устойчивость токового шнура (Глава 2). Исследованы периодические и хаотические колебании токового шнура, возникающие в результате осцил-ляционной неустойчивости шнура, сформулирован критерий возникновения такой слож-
14
ной динамики и дана классификация возможных режимов (Глава 3). Построена теория трансляционной неустойчивости и самодвижения токового шнура вследствие вследствие Джоулена разогрева (Глава 4). Исследована нелинейная динамика фронтов плотности тока, представляющих собой движущиеся стенки токовых шнуров в больших системах при наличии интегральных связей, наложенных внешними цепями (Глава 5).
Вторая часть диссертации посвящена сверхбыстрым фронтам ударной ионизации, распространяющимся в высоковольтных диодных структурах со скоростями в несколько раз превышающими насыщенную скорость носителей. Такие диодные структуры применяются в качестве субнаносекундиых киломольтиых замыкающих ключей. Вторая часть начинается с вводной Главы б, которая включает в себя обзор экспериментов, элементы качественной теории фронта ионизации, обсуждение открытых вопросов и постановку задач второй части диссертации. Глава 7 посвящена проблемам, связанным с запуском фронта. Показано, что в кремниевых диодах детерминированный запуск волны может быть обеспечен термотуннелыюй ионизацией глубоких дефектов термообработки (Глава 7). Исследована возможность достижении порога туннельной ионизации зона-зона и формирования фронта туннельно-ударной ионизации. Построена аналитическая теория распространения фронта ионизации (Глава 8). Осуществлено одномерное численное моделирование фронтов ударной и туннельно-ударной ионизации (Глава 9). Исследована поперечная неустойчивость фронта, приводящая к его распаду на локальные каналы, и получен критерий квазиустойчивого распространения фронта (Глава 10) .
Объектами исследования п работе являются диссипативные токовые солитоны (шнуры плотности тока) и нелинейные волны переключения в полупроводниковых приборах ключевого типа, включающих в себя, во-первых, бистабильные приборы, имеющие состояния с высокой и низкой плотностью тока при заданном напряжении, и, во-вторых, сверхбыстрые лавинные переключатели, основанные на эффекте задержанного волнового пробоя р-п перехода.
Основной целыо работы является теоретическое описание нелинейной простраист
15
венно-временной динамики поперечных и продольных токовых расслоений, возникающих в полупроводниковых приборах спонтанно или возбуждаемых целенаправлено. Ставится задача теоретического описания сложной пространственно-временной динамики шнурок и фронтов плотности тока в приборах с Б и 2 образными ВАХ, а также исследования условий запуска, динамики и устойчивости сверхбыстрых фронтов ударной ионизации, распространяющихся вдоль направления тока в высоковольтиыхр-п структурах.
Научная и практическая ценность работы: В диссертации развит общий подход к описанию сложной пространственно-временной динамики токовых шнуров и фронтов в бистабильных полупроводниковых приборах. Широкий класс систем с бистабильностью Э и 7* типа, включающий в себя различные приборы от резонансно-туннельного диода до мощного тиристора, описан в диссертации с единой точки зрения. Построена теория таких новых нелинейных эффектов, как спонтанно возникающие самоподдерживающиеся периодические и хаотические колебания токовых шнуров и квазиавтомодельное самодвижение шнуров но прибору. Данные нелинейные явления имеют прямые аналоги в распределенных активных системах электрохимической и химической природы, что указывает на их универсальный характер. Эффект самодвижения токового шнура имеет также важное практическое значение, так как снижает опасность тепловой аварии бистабильного прибора в режиме шнурования тока.
Теоретические исследования сверхбыстрых стримернмх фронтов ионизации развивают теорию лавинного пробояр-п перехода для случая сугубо нестационарного динамического режима. Построенные в диссертации теории детерминированного запуска и распространения сверхбыстрых фронтов ионизации и осуществленное численное моделирование выводят на новый уровень понимание физических процессов в полупроводниковых переключателях на основе ударно-ионизационных волн, применяемых дня генерации мощных импульсов субнаносекундного и пикосекундного диапазона для свсрхширокополосной радиолокации, лазерной и ускорительной техники, и открывают путь к осознанному и целенаправленному улучшению параметры этих приборов. Исследование динамики, устой-
16
чивости и фрагментации (фронтон ударной ионизации и полупроводниковых структурах представляет также фундаментальный интерес как исследование примерных фронтов, распространяющихся в заряженную среду.
Основные положения, выносимые на защиту
Положение 1. В бистабильном по току полупроводниковом приборе, характеризуемом единственным внутренним параметром норядкаа, устойчивы только стационарные токовые шнуры, для которых распределение плотности тока по площади прибора имеет единственный максимум, расположенный па границе прибора. Такой шнур испытывает осцилляциониую неустойчивость при выполнении условияти£у > где <тц - диффе-
ренциальная проводимость шнура при фиксированном распределении параметра«, -инкремент единственной неустойчивой моды стационарного шнура в режиме заданного напряжения, Я - сопротивление нагрузки, ти - время релаксации управляющей цени.
Положение 2. Периодические или хаотические пространственно-неоднородные автоколебания токораелредоления возникают в бистабильном по току приборе, если время релаксации управляющей цепи т/, отвечающее порогу осцилляционной неустойчивости стационарного токового шнура, меньше времени релаксации г,'4, отвечающего порогу осцилляционной неустойчивости однородного токораспределения при том же значении полного тока.
Положение 3. Пространственно-неоднородным автоколебаниям токораспредсле-ния в бистабильном по току приборе отвечает область на плоскости управляющих параметров /0, ти (полный ток и время релаксации управляющей цепи), лежащая выше границы осцилляционной неустойчивости шнура и ниже границы пространственной неустойчи-востьи пространственно-однородных автоколебаний по осити, и справа от границы пространственной неустойчивости однородного состояния по оси/о- На нижней границе этой области неоднородные автоколебания возникают как периодические и переходят в хаотические по сценарию Фейгенбаума через бифуркцию удвоения периода при увеличсниигы. На верхней границе сразу возникают хаотические автоколебания вследствие поперечной
неустойчивости периодических пространственно-однородных автоколебаний череп перемежаемость.
Положение 4. В приборах с й-образной ВАХ джоулей саморазогрев токового шнура может вызвать его движение, если роет температуры подавляем’ механизм, отпотствен-ный за бистабильность структуры. Движение шнура возникает, когда ток в шнуре превосходит пороговое значение. При заданном токе скорость шнура постоянна во времени, и увеличивается с ростом тока. Порог неустойчивости и скорость шнура могут быть определены в рамках предложенной теории. В случае локального адиабатического нагрева скорость шнура пропорциональна корню из выделяемой в нем джоулсвой мощности.
Положение 5. Поперечные токовые расслоения в бистабильном но току резонанснотуннельном диоде и режиме некогерентного туннелирования подчиняются нелинейному диффузионному уравнению для концентрации электронов в квантовой яме с концентрационно-зависимым коэффициентом поперечной диффузии. Фронты переключения распространяются с характерной скоростью и ~ у//іГЕр/ф ~ 1()7 см/с и имеют макроскопическую характерную толщину і ~ у]/іТіЕр^Г ~ 10 мкм, где /1 - подвижность электронов в яме, Г - проницаемость барьеров. Ер - энергия Ферми в эмиттере, q - заряд электрона.
Положение С. Термотуннсльиая ионизация глубоких центров прилипания в кремнии - двухзарядных термодефектов с энергиями ионизации 0.28 и 0.54 эВ - происходит в интервале электрических нолей между порогами ударной ионизации зона-зона и туннельного пробоя. Этот механизм способен обеспечить инициирующие носители дня детерминированного запуска сверхбыстрого фронт ударной ионизации в перенапряженных обратно-смещенных высоковольтных р+-л-п+ структурах.
Положение 7. Развита теория, позволяющая количественно определить параметры фронтов ударной ионизации и р+-п-п+ структуре при произвольных нолевых зависимостях коэффициентов ударной ионизации и дрейфовых скоростей дія электронов и дырок. Скорость фронта V5 пропорциональна квадрату эффективного размера области
18
ионизации. При больших (по сравнению с дрейфовой) скоростей фронта концентрация электронно-дырочной плазмы за фронтом линейно растет с ростом vj, а электрическое поле в плазме близко к Esf 10 {Еа - характерное поле насыщения дрейфовой скорости носителей) и логарифмически слабо зависит от скорости фронтам/.
Положение 8. В пысоконольтпоЙ р+-п-п+ структуре большой площади плоский фронт ударной ионизации неустойчив относительно длинноволновых но отношению к толщине прибора флуктуаций. В структуре с необедионнойп базой инкремент неустойчивости определяется временем максвелловской релаксации в базе, а в структуре с обедненной базой - временем максвелловской релаксации в плотной плазме за фронтом ионизации. Развитие неустойчивости приводит к формированию локальных каналов переключения, характерный размер которых по порядку величины близок к толщипеп базы.
Апробация работы. Результаты диссертации предстаклялись на международной конференциях но физике и технике наноструктур (Санкт-Петербург, NANO-1999 и NANO-2002), по неравновесным носителям в полупроводниках (HC1S-10, Берлин 1997), по нелинейной и стохастической динамике распределенных систем (Будапешт, 1997), по статистической физике (napii>K.Statphys-20.1998), международном семинаре "Нелинейные процессы в новых материалах” (Дрезден, 2000), международном симпозиуме по мощным модуляторным системам (International Power Modulator Symposium, Голливуд, США, 2002), международных конференциях American Electromagnetics (Альбукерке, США, 2006) и Pulse Power (Альбукерке, США, 2007). международных конкуренциях по нелинейной динамике (Dynamics Day Europe, Дрезден 2001 и Берлин 2005). Результаты работы также докладывались на семинарах в ФТИ им. А.Ф.Иоффе РАН, в отделе динамики сложных систем Института химической физики им. Фритца Хабера (Берлин), в Институте теоретической физики технического университета Берлина, в Институте Математики и Информатики (CYVI, Амстердам), в Институте прикладной физики РАН (Нижний Нонгород), в Институте электрофизики технического университета Мюнхена, н Институте полупроводниковой электроники технического университета Вены, в Институте прикладной физики универ-
19
ситета Мюнстера, б Институте теоретической физики университета Женевы, в Институте экспериментальной и прикладной физики университета Регенсбурга.
Публикации. Содержание диссертации полностью опубликовано в 33 работах. Библиографический список публикаций приведен в конце диссертации.
Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения. 10 глав, Заключения, списка публикаций автора но теме диссертации и списка цитированной литературы из 206 наименований. Объем диссертации 388 страниц, в том числе 101 рисунок и 20 страниц цитируемой литературы.
20
1. Шнурование тока в бистабильных приборах с вольт-амперными характеристиками Э- и Х-типа
Аннотации
В первой главе диссертации вводится в рассмотрение базовая теоретическая модель, которая лежит в основе исследований токовых шнуров и фронтов плотности тока, проведенных в первой части диссертации. Папупроводниковый прибор рассматривается как распределенная бистабильная среда, описываемая однокомионеитиым параболическим уравнением типа реакция-диффузия. Второе ннтегро-дифференциальиое уравнение модели отвечает интегральной связи, наложенной на динамику бистабильной среды внешней цепыо. Модель позволяет описать динамику распределения плотности тока по площади для приборов с Я- и Z-oбpaзm>1ми нольт-нмперными характеристиками. Приведен вывод модели для резонансно-туннельного диода, гетеродиода и тиристора. Проведен линейный анализ устойчивости однородного токораспрсделсния относительно однородных и неоднородных флуктуаций и сформулировано условие шнурование тока. Обсужден вид стационарных токовых шнуров и ВАХ прибора при шнуровании.
Публикации к главе 1: /А1,А10,А14,А15,А23/.
§1.1. Введение
Иеслсдонания токовых неустойчивостей в объемных полупроводниках и многослойных полупроводниковых структурах с неоднозначными вольт-амперными характеристиками (ВАХ) начались в 60-х годах 20-го века /26, 27, 28, 1/. Эти исследования были во многом стимулированы открытием эффекта Ганна в объемных образцах арсенида галлия
21
/29/. В этот период были изучены системы с 1\т- и Э-образными ВАХ. Было установлено, что в системах с неоднозначной по току N. образной ВАХ при заданном напряжении неустойчивость развивается в направлении протекания тока и приводит к возникновению доменов электрического ноля. В системах с неоднозначной по напряжению Б-образной ВАХ при заданном токе неустойчивость развивается в поперечном к направлению тока направлении и приводит к возникновению шнуров тока. (Часть результатов но шнурованию тока была получена еще в ЗОые годы и работах по тепловому пробою диэлектриков.) Эти классические результаты сегодня стали неотъемлемой частью учебников и монографий по физике полупроводников и полупроводниковых приборов /2, 30, 31/.
В первую очередь были исследованы объемные полупроводники и нлсики с различными механизмами формирования отрицательного дифференциального сопротивления (ОДС) /28, 1, 32/. Затем Осипов и сотрудники показали, что шнурование тока в многослойных полупроводниковых структурах с Б-образными характеристиками протекает сходно с шнурованием тока в объемных материалах /33, 34, 35, б/. Многослойную структуру большой площади можно представить как большой ансамбль включенных параллельно бистабильных приборов, между которыми дополнительно имеется внутренняя объемная связь за счет полевого и диффузионного растекания носителей заряда в поперечном к току направлении. В рамках этого подхода были построены компактные модели таких важных полупроводниковых приборов как динистр и лавинный транзистор /33, 34, 35, б/. В этих инжекционных и нижскцнонно-лавинных приборах механизмы формирования бистабильности являются изотермическими и обусловлены обратными связями в системе последовательных р-п переходов. Ч тобы отделить чакие системы от систем с нерогревной неустойчивостью, в которых Б-образность связана с термогенерацией зона-зона (так называемый “тепловой пробой”), Осипов и соавторы использовали термин “иижекционный пробой”, а шнурование тока в таких условиях называли “изотермическим шнурованием” /б/. В чч) время как в условиях “теплового пробоя” шнурование тока как правило представляет собой только кратковременный переходный процесс на пути к локальному пере-
22
греву и разрушению прибора, в структурах с изотермическим механизмом формирования бистабильности шнурование тока само по себе не является разрушающим процессом, а сформировавшийся токовый шнур может рассматриваться как стационарная или кназн-стационарная структура.
В 60-е и 70-е годы исследования полупроводниковых систем с 8-образны ми ВАХ бы-
% <■
ли в основном сосредоточены на свойствах стационарных токовых шнуров в конкретных приборных структурах. Поиск практических приложений явления шнурования тока обусловил исследования движения шнуров во внешнем магнитном поле /6, 30/, а также привел к созданию позиционных переключателей - секционированных тиристорных систем, в которых шнуром тока можно управлять с помощью импульсов, поданных на расположенные на краях структуры управляющие электроды (затворы) /37/. Наряду с токовыми шнурами, изучались фронты плотности тока, распространение которых может быть ответственно за переход бистабильной системы из выключенного состояния во включенное состояние, и наоборот. Эти исследовании были проведены для практически важного случая тиристорных систем /7, 38, 39/. Исследования спонтанного образования токовых структур в полупроводниках в этот период были в значительной степени изолированы от других областей нелинейной физики, что обусловило зачастую недостаточный уровень понимания фундаментальных основ изучаемых явлений. Например, для описания существенно нелинейного явления шнурования тока необоснонано применялся принцип наименьшего производства энтропии, принадлежащий к линейной неравновесной термодинамике /27/. (Эта ошибочная концепция проникла и в известные монографии /30, 31/.) Теоретические результаты, имеющие общее значение - например, связь дифференциальной проводимости шнура с его устойчивостью /32/ - были получены только для конкретных моделей и не получили надчежащего обобщения.
Между тем в 00-е и 70-е годы в нелинейной физике и динамике был сделан ряд революционных открытий. Здесь следует выделить пионерскую работу Тьюринга “О химических основах морфогенеза” /40/, в которой была впервые поставлена и решена зада-
23
ча о создании компактной нелинейной модели, описывающей спонтанное формирование пространственных структур. Эта работа определила проблематику и идеологию исследований спонтанного структурообразооапия о открытых силъпонеравповеспых системах на последующие десятилетия. Пригожин и соавторы, в основном на примере физикохимических систем, выяснили термодинамические основы таких процессов /41, 42, 43, 44/. Было установлено, что в открытых неравновесных системах переход к пространственной и временной упорядоченности и образование диссипативных структур происходит за счет избыточной диссипации и экспорта созданной таким образом энтропии в "окружающую среду”, а принцип наименьшего производства энтропии не выполняется.
Второе направление связано с теоретическим открытием странного аттрактора, сделанным в 1963 году Лорспцом /45/. Лоренц показал, что сложное, по виду стохастическое,
поведение может возникать в полностью детерминированных автономных нелинейных си-
\
стемах с малым (три и более) числом переменных. Это открытие сформировало новую область исследований - динамический хаос, получившую обширную область приложений как дія сосредоточенных, так и для распределенных систем. Выло показано, что дія динамических систем с большим числом переменных хаотическая динамика является скорее типичным режимом, нежели экзотическим исключением.
Открытая в 1957 Белоусоным /46/ и исследованная «последствие Жаботинским /47, 48/ нелинейная химическая реакция Белоусова-Жаботннекого дала в руки исследователям относительно простую систему, демонстрирующую широчайший спектр явлений самоорганизации - автоколебания, спиральные волны, и т.д.. Сходные явления были затем обнаружены и в биологических системах. Исследования реакции Бслоуеова-Жаботннского но сути проложили мост от физических систем к биологическим. Вокруг них кристаллизовалась новая область исследований автоволновых явлений в іхіспределемннх системах, в которую интегрировались и пионерские работы Колмогорова /49/ по популяционным волнам и Зельдовича по волновым процессам горения /50/, существовавшие ранее изолированно.
24
В 80-е годы намеченные выше новые научные дисциплины сплелись воедино так, что границы между ними практически перестали существовать. Интенсивные междисциплинарные исследования сопровождались взаимопроникновением идей и методов и привели к качественно новому уровню понимания процессов в распределенных нелинейных системах физическом, химической и биологической природы и бурному росту публикаций /51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61,4,11/. Атмосфера была подогрета появлением книги Хакена /62/, который, стартовав от теории лазера, сделал акцент на формировании упорядоченного кооперативного поведения в больших ансамблях простых взаимодействующих элементов и предложил названиесинергетика. Новое междисциплинарное направление ассоциируются с такими ключевыми словами как “самоорганизация”, “диссипативные структуры”, “автоволны и автосолитоны”, “неравновесные фазовые переходы”, “динамический хаос”, “синергетика” и “нелинейная динамика". Для локализованной диссипативной структуры в распределенной неравновесной системе возник и утвердился в литературе
I
термин диссипативный солитпон или автосолитоп /60/. Под определение днссинатив- *
ного солитона подпадают шнуры тока и домены поля в полупроводниковых системах с отрицальным дифференциальным сопротивлением /1, 29/.
Возникший в 80-е годы бум нелинейных исследований включил в себя и новую волну исследований но спонтанному образованию токовых структур и нелинейной динамике в полупроводниках. В этот период можно выделить три главных направления исследований.
Первое связано с изучением шнурования тока в новых конкретных полупроводниковых системах с Б-образными характеристиками, главным образом в рамках уже созданных в 60-е годы концепций /63, 57, 64, 65/. Второе направление снизано с открытием динамического хаоса в полупроводниках с однородным токораспределением /66/. Первые два направления в основном развивались за рубежом. Третье направление было сфокусировано на неустойчивостях токораспределения в системах с однозначной ВАХ - так называемых “скрытых неустойчивостях”. Это направление развивалось Кернером и Осиповым в Советском Союзе /60, 61, 4/ и группой Пурвинса в Германии /67, 68, 69/.
25
В 90-е годы фокус исследований в физике распределенных нелинейных систем начал смещаться от формирования простейших стационарных структур к сложной пространственно-временной динамике этих структур, взаимодействию локализованных структур, а также к вопросам управления спонтанно возникающими структурами. Определенное, хотя и далеко не полное, представление об этом периоде исследований нелинейной динамики в полупроводниках, дают монографии /13, 14/ и сборники /12, 70, 71/. Проблематика первой части настоящей диссертации относится именно к этому периоду. Применительно к формированию нелинейных токовых структур в полупроводниковых системах актуальные для этой проблематики вопросы могут быть поставлены таким образом: пусть в приборе возник диссипативный солитои - токовый шнур. Что с ним может затем произойти ? Какие буфуркации он может испытывать и к каким нетривиальным нелинейным явлениям эти бифуркации могут привести ?
Задача первой части диссертации состоит в ответе на эти вопросы для приборов с Б и 2 образными ВАХ. Такие приборы характеризуются нелинейными транспортными механизмами и представляют собой - в особенности мощные приборы большой площади -сильноиеравновссные распределенные среды. В практических применениях такие приборы чаще всего используются как переключатели. Полезная функция прибора как переключателя обусловлена его способностью находится как в иизкопроводящем (блокирующем) состоянии, так и высокопроводящем (включенном) состоянии, и осуществлять контролируемый переход между этими состояниями. Токовые струкуры - токовые шнуры и фронты плотности тока - связаны с пространственным расслоением приборной среды на эти дна различных состояния, конкуренцией и динамическим сосуществованием этих состояний. Таким образом, токовые неустойчивости и формирование токовых структур обусловлены бистабильностью, т.е. тем же самым свойством, которое обеспечивает выполнение полезной функции прибора, а потому внутренне присущи этому классу полупроводниковых структур.
Такое расслоение в бистабильных приборах может быть как спонтанным, так и де-
2 Су
терминированным. Примером спонтанно возникшей структуры является токовый шнур, сформировавшийся в результате неустойчивости однородного токораспределения на падающей (“промежуточной") ветви Б-образной ВАХ. Примером преднамеренно созданной структуры является нелинейная волна в виде фронта плотности тока - движущаяся граница между включенным и блокирующем состояниями. Такая латеральная волна может быть запущена с помощью управляющего импульса, поданного на расположенный на пс-реферии тиристорной структуры затвор, и представляет собой важную форму процесса переключения бистабильной структуры. Внедрение микроэлектонных затворов в мощные бистабильные приборы сделало актуальной задачу об управлении самоорганизованными токовыми структурами /20/. Если Б образные ВАХ, неоднозначные но напряжению, изучались с 60-х годов, то возможность Ъ образной ВАХ, неоднозначной как по току, так и но напряжению, была осознана значительно позже. Наиболее интересным прибором, имеющим такую характеристику, является резонансно-туннельный диод в режиме накопления заряда в квантовой яме /18, 19/. В диссертации структуры с Б и 7 образными характеристиками рассматриваются с единой точки зрения.
§ 1.2. Бистабильный прибор как распределенная среда с объемной и интегральной связями. Модель реакция-диффузия
Рассматриваемая в первой части диссертации модель полупроводникового прибора с Б- или Z-oбpaзнoй вольт-амперной характеристикой основана на предположении о том, что внутреннее состояние прибора может быть охарактеризовано единственной переменной а(аг, гу,<), которая зависит от поперечных координат^, у) и времени по не зависит от продольной координаты 2 (Рис. 1). Физический смысл переменной« зависит от конкретной системы. Например, в тиристорной системе а имеет смысл смещения эмнттерного перехода, в резонансно-туннельном диоде - концентрации электронов, накопленных в квантовой
27
Рис. 1. Прибор большой площади и внешняя цепь. Область С, на которой определена функция a(x,y,t), представляет собой проекцию прибора на плоскость Оху.
яме, и т.д. Динамика переменной определяется нелинейным параболическим уравнением
^ = Vi(D(e)Via) + /(e>U), Vjl ее (д„ду). (1)
Здесь и - напряжение на приборе, D{a) характеризует поперечную “объемную” связь между элементами структуры в плоскости (х, у).
Нелинейная функция /(о, и) - функция локальной кинетики - имеет три корня в интервале напряжения («h»Wth], отвечающем бистабильности прибора (рис. 2). Локальная плотность тока определяется переменной а и напряжением и как J{x, у, t) = J [о(а:, у, t), u(£)j, где J{a, и) - некоторая заданная функция. Решения уравнсния/(а, и) = О определяют зависимость а(м) для стационарных пространственно-однородных состояний системы. Как следует из предположения о виде функции/(а, к), для интервала напряжений [uh,uth] зависимость а(и) многозначна. Зависимость плотности тока от напряжения локальная ПАХ определяется как J{u) = J(a(u), и). Эта зависимость также многозначна, причем ее вид может быть разным при разных функциях/(о, и) и J(a, и). Наиболее тииич-
28
Рис. 2. Функция локальной кинетики /(а, и) (а) и бистабильные вольт-амперные характеристики 8-типа (Ь) и Z-типa (с). Функция локальной кинетики показана при напряжении И\ < «ь ниже напряжения удержания и напряжении и? > щь выше напряжения переключения. отвечающих области моностабилысости, а также при напряжении «1 < щ < и2, лежащем в области бистабильности.
ны 8-образная характеристика и ^обратная характеристика. Некоторые другие примеры многозначных ВАХ приведены в работе /72/. Таким образом, модель полностью определена, когда определены функции/(о, и), ./(а, и) и £>(а). Для широкого класса бистабильных приборов эти зависимости могут быть выведены из транспортных уравнений и закона сохранения заряда в структуре методом адиабатического исключения медленных переменных. В последующих трех разделах этой главы такой вывод приведен для нескольких приборов: резонансно-туннельного диода в режиме накопления заряда в кван товой яме, гетеродиода на горячих электронах, тиристора.
Заметим, что 2-образная характеристика многозначна как по току, так и напряжению, что роднит ее как с 8-образной, так и с К-образной ВАХ. Для объемного механизма бистабильности это делает в принципе возможными как поперечные, так и продольные расслоения. В дальнейшем мы рассматриваем только многослойные полупроводниковые структуры, в которых продольные расслоения, сходные с доменами Ганна, не могут реализоваться (поскольку такие структуры неоднородны в продольном направлении).
29
Урашіение (1) должно быть дополнено интегро-дифференцнальным уравением Кирхгофа, которое описывает динамику напряжения«
где щ - напряжение источника питания, Я - напряжение нагрузки, Ccxt и Сш - собственная емкость прибора и внешняя емкость, соответственно. 13 предельном случае малого времени релаксации т„ <§С d„f уравнение (2) приобретает вид жесткой интегральной езя-зи, наложенной на динамику переменных« и и. Однако, как будет показано далее, даже в этом случае для корректного анализа устойчивости необходимо рассматривать полный вид уравнения (2).
В ряде случаев при исследовании структур с неоднозначными ВАХ применяются активные внешние цепи, симулирующие отрицательное сопротивление внешней нагрузки /19/. Для активной цепи при увеличении полного тока через структуру напряжение на приборе квазилинейно увеличивается, а не уменьшается. Активные цени также могут быть описаны с помощью уравнения (2) при R < 0, ти > 0.
Модель (1,2) относится к классу активаторно-ингибиторных систем. Переменная а является активатором, a и - ингибитором. Модели данного класса ведут свое начало от работы Тьюринга /40/, хорошо изучены и нашли многочисленные приложения. Отметим модели орегоиатор и брюселлятор, исследованные школой Пригожіша. Особенностью модели (1,2) является глобальный характер ингибитора, который имеет одно значение для всех пространственных точек системы (физически это обусловлено эквипотен-циальностью металлических электродов). Динамика переменной и поэтому описывается не дифференциальным параболическим уравнением в частных производных, подобным уравнению (1), а интегро-дифференциальным уравнением. В предельном случае быстрой релаксации (ru = 0) это интегро-дифференциальное уравнение редуцируется к “жесткой” интегральной связи. Активагорно-ингнбиторные модели этого подкласса, получившие название модели реакции-диффузии с интегральными связями (fmotion-diffusion model with fjlobal constraints), изучались также в общем виде /7,3, 74/. Отметим особо электрохимиче-
rti — С — Cext 4* C{nt, (2)
30
скис модели, которые особенно близки к модели (1,2) и демонстрируют сходную динамику (см. /18/, а также ссылки в этой работе).
Редукция полной системы уравенений, описывающей внутреннею динамику прибора, к одному уравнению активаторно-ингибиторного типа (1), возможна не всегда. В ряде случаев оказывается, что даже для качественного описания наиболее существенных нелинейных аффектов требуется введение второго внутреннего параметра. Примерами таких систем являются биполярные транзисторы /3/, а также запираемые тиристоры в специфических режимах выключения током затвора /75, 7G, 77/. В этом случае неустойчивость однородного токораспредсления может возникать и при положительном дифференциальном сопротивлении. Другими словами, возникают “скрытые неустойчивости”, возможность которых не отражена непосредственно во внешних характеристиках прибора через отрицательное дифференциальное сопротивление. Эти случаи в настоящей диссертации не рассматриваются.
Модель (1,2) может быть обобщена для случая трехэлектродного прибора, в котором наряду с катодом и анодом имеется пространственно-распределенный затвор. Такое обобщение рассматривается далее в разделе 1.2.3 для случая тиристора. Другое обобщение связано с учетом разогрева прибора и влияния температуры на функцию локальной кинетики /. Такое обобщение будет подробно рассмотрено в Главе 3, посвященной трансляционной неустойчивости и самодвижению токовых шнуров.
§ 1.3. Вывод модели реакция-диффузия для конкретных полупроводниковых приборов
Задача этого раздела состоит в том, чтобы привести вывод модели (1,2) и определить зависимости /{а, и), D{a), J{a,u) для ряда бистабильных многослойных структур, рассматриваемых далее в диссертации.
31
Рис. 3. Энергетическая схема резонансно-туннельного диода £ < 0, и < 0).
1.3.1. Резонансно-туннельный диод
Бистабильность резонансно-туннельного диода (РТД) возникает вследствие динамического накопления заряда в квантовой яме /18/. Электростатическое ноле накопленного заряда изменяет пазе в структуре таким образом, что энергия квазисвяз&нного состояния в квантовой яме увеличивается, в силу чего условия резонансного туннелирования выполняются при больших значениях приложенного напряжения. Такая электростатическая обратная связь приводит к бистабильности структуры: при заданном значении напряжения и могут существовать как состояние с высокой плотностью тока и большой плотностью заряда в яме, так и состояние с низкой плотностью тока и плотностью заряда. Обычная М-образная ВАХ РТД при этом становится неоднозначной по току, и трансформируется в 2-об разную зависимость.
Будем рассматривать РТД, находящийся в режиме последовательного некогерентного туннелирования: предпачагается, что время некогерентного рассеяния электрона в квантовой ямеГкс*,,. = Й/Г„саи значительно меныпе времени туннелирования электрона через левый и правый барьеры = й/Гь и тп = Й/Гд (рис. 3 ). Внутреннее состояние РТД
будем характеризовать концентрацией накопленных в яме электроновп(:г,?/,/). Уравнение сохранения заряда имеет вид
^ + iviJx = /(u,n), Vi = (д1)а„), (3)
f{u,n) = i [JCVf{n,u) - Jwc(n)j, (4)
где e < 0 - заряд электрона, и < 0 - приложенное напряжение, Jcw(n, и) и Jwc(n) суть плотности тока через первый и второй барьеры, соответственно. Лj. - плотность попоенного
тока в квантовой ямс.
Плотность тока из эмиттера в яму через первый барьер структуры определяется положением уровня квазисвязанного состояния в квантовой яме по отношению к энергии Ферми Д(п, и) = Е£ — Ew — еф и по отношению к энергии дна зоны проводимости в эмитгере Q(n,u) = -Ew — еФ (см. рис. 3) как
т erLf . . arctan(2A/lV) — arctan(2Q/IV)
Jew = — [РоД - п)----------— ------------—i—--------. (5)
Смысл величин Ew, Е[, Ф ясен из энергетической схемы резонансно-туннельного диода (рис. 3), IV = I'scatt + Г/, + Г/* - полное уширение уровня в яме. Подробный вывод выражения (5) приведен в работах /А14.А23/.
Потенциал дна квантовой ямы Ф(«,п) зависит от заряда электронов, накопленных в яме, и определяется как
ф M-J.+ Ws'lJll, а = ь 1 + ь, (6)
a (I ££q
где £И£0- относительная И абсолютная диэлектрические проницаемости,/)! И &2 - эффективные толщины барьеров. В эффективную толщину включена толщина обедненного слоя в коллекторе. Эффекты, связанные с изгибом зоны в эмиттере, не учитываются.
Плотность тока из квантовой ямы в коллектор пропорциональна концентарции электронов в яме и проницаемости коллекторного барьера
33
320 340 360 380 400 420
Kl M (mV) к\
Рис. 4. Вольт-амперная характеристика резонансно-туннельного диода в бистабильном режиме. Плотность тока нормирована на величину Jq = еГ цроЕ^/h. Нормированная плотность тока эквивалентна нормированной концентрации электронов в яме: J/Jo = ii/(poEf). Численные значения составляют Jo 52 7kA/cm2, 25 3 • 10ncm-2 для выбранных значений параметров Е£ = 10 meV, 6i = 10 nm, 62 = 50 nm, Г*, = 0.5 meV, Гд =
0.1 meV, r\v = 2.0 meV.
Выражение (4) совместно с (5,6,7) определяет функцию локальной кинетнки/(п, и). Как было показано в работе /88/, плотность тока J(u, п), входящая в уравение (2), в общем случае определяется как
где Jg(z) ^-компонента тока проводимости. В данном случае получаем
J{n, и) = ^Jew(n, и) + — Jwc(n). (9)
Определим теперь коэффициент D(a), характеризующий поперечное растекание заряда по квантовой яме. Этот коэффициент для РТДбыл впервые получен в работе / А 15/. Механизм поперечного растекания заряда аналогичен самоиндуцированному дрейфу в приборах с зарядовой связью /31/. В диффузионно-дрейфовом приближении поперечный
34
ток в квантовой яме определяется выражением
= дпр Е± + дИо Vj.ii, Ех = -У±Ф (?/, п),
(10)
где д — \е\. Для двумерного электронного газа в квантовой ямс РТД соотношение Эйнштейна, выведенное в работе /А15/, имеет вид
где ро = т/(я-й2) - двумерная плотность состояний, к - константа Больцмана, Т - температура электронного 1-аза в квантовой яме, для которого предполагается распределение Ферми. Применяя соотношение (11) И ВЫЧИСЛЯЯ поперечное ПОЛеЕ.1 = — У_[,Ф(и,?г) с помощью соотношения (6), преобразуем выражение (10) к диффузионному ВИД}'
менимо во всем диапазоне температур'/' независимо от типа статистики элек тронов в яме. В предельном случае вырожденного распределения (р. » ракТ) коэффициент принимает вид
В противоположном предельном случае высокой температуры (ц <^, (>$кТ) диффузионный коэффициент становится константой 0(п) = ркТ/д.
На рисунке (4) показана Х-образная ВАХ РТД, вычисленная по полученным формулам для параметров структуры, указанных в подписи. Ширина области бистабильности сильно зависит от соотношения между проницаемостью барьеров. Оптимальным является соотношение Гк/Г/, « 5. Болес подробно этот вопрос обсуждается в Главе 5.
А>
п
(П)
р. др0(1 - схр \-п/(рокТ)\) ’
(12)
где концентрационно-зависимый коэффициент диффузии имеет вид
(13)
35
Рис. 5. Эффективный коэффициент диффузии в яме резонансно-туннельном диоде как функция электронной концентрации, нормированной на “концентрацию вырождения” рокТ. Параметры отвечают СаАэ при 4 К:т = 0.067то, е = 12, р = 105 стпР/Мъ, Н = 20 пт, РокТ = Ю10 ст"2.
\
36
1.3.2. Гетеродиод на горячих электронах
Рассмотрим двухслойную структуру GaAs-AIGaAs, имеющую слабое легирование п типа. Механизм бистабильности такой структуры связан с накоплением заряда на гетеропереходе и качественно схож с механизмом бистабильности РТД, рассмотренного в предыдущем разделе. Обозначим двумерную плотность заряда на гетеропереходе какр.,. При большой величине Qa поле Е\ в слое GaAs мало. Электроны в слое GaAs малоэнер-гетичны, и протекающий через образованный разрывом зон барьерЛ£ электронный ток обусловлен нодбарьерным туннелированием. При малой величине^ поле в GaAs велико, и высокоэнергетичные электроны проходят поверх барьера, что отвечает термоэмиссии. В этом случае плотность тока велика. Таким образом, при заданном значении напряжения в структуре возможны состояния с низкой и высокой плотностью тока, отвечающие с большому и малому заряду q3, соответственно. Модель данной структуры была предложена Вакером и Шеллем (Wacker, Schoell). Данный параграф следует статье /78/. Модель приводит к простым алгебраическим выражениям для f(a,u) и Да, и) и чрезвычайно удобна для теоретического анализа и численного моделирования пространственно-временной динамики токораспределения в структурах с S-образной ВАХ.
Выберем Qs(x,y) в качестве переменной, характеризующей внутреннее состояние структуры. Напряженности электрического поляЬ’| и Е*2 в слоях GaAs и AlGaAs связаны с зарядом оя и напряжением на структуре и соотношениями
где j\, j-1 ПЛОТНОСТИ тока В первом И втором СЛОЯХ структуры, соответственно, jx - плотность поперечного тока вдоль обогащенного слоя у гетероперехода. В квазистацнонаром случае условие rot£ = 0 совместно с условием эквипотенциальностн электрического контакта устанавливает связь между поперечным полемF± и полем F{: F± = LXS7x.F\[x,у).
Ps — £2^2 — it — L\E\ -J- L-xE-z.
(14)
Уравнение непрерывности для заряда на гетеропереходе имеет вид
(15)