Глава 1 Введение
Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, не допускают ни точного аналитического решения, ни полного качественного исследования. В связи с этим рассмотрение систем, малыми возмущениями отличающихся от тех нелинейных (негрубых) систем, движения которых известны, во многих отношениях оказывается весьма полезным.
Замечательный класс таких систем составляют системы, близкие к интегрируемым гамильтоновым. Здесь в случае возмущений, сохраняющих гамильтонову структуру уравнений, получены наиболее полные и общие результаты. Случай возмущений, выводящих за рамки гамильтоновой механики, несмотря на всю его прикладную направленность, сравнительно мало изучен. Достаточно подробно можно говорить лишь о трехмерных системах, описывающих периодические но времени возмущения двумерных гамильтоновых систем. Обусловлено это рядом существенных трудностей — в первую очередь эволюцией системы и наличием резонансов.
Представленные в диссертации результаты касаются качественного анализа структуры резонансных зон неконсервативных четырехмерных систем, близких к нелинейным интегрируемым системам Гамильтона, и могут служить частичным обобщением известных результатов, касающихся трехмерного случая, а также дополнением к некоторым более общим результатам.
1
1.1 Общая характеристика работы
Диссертация состоит из трех глав и списка литературы. Список литературы содержит 87 наименований. Имеется 42 иллюстрации. Общий объем работы составляет 160 стр. Главы разделены на параграфы, параграфы — на пункты. Иллюстрации выведены в конец основного текста (перед списком литературы).
Настоящая, первая глава, является предварительной и содержит постановку задачи (исходные уравнения, примеры, предмет исследования), обзор известных результатов (необходимые сведения из теории гамильтоновых систем, результаты, касающиеся квазигамильтоновых систем размерности < 4 и результаты, тесно примыкающие к предмету исследования), а также формулировку основных результатов диссертации (теоретические результаты, приложения к конкретным задачам). Результаты, полученные автором, содержатся во второй и третьей главах.
Вторая глава носит теоретический характер и содержит предварительный анализ (приведение исходных уравнений к стандартному виду, усреднение в зоне выделенного резонанса), рассмотрение особых случаев (резонансы I и II типа) и анализ неособого случая (резонансы III типа, прохождение через резонанс, поведение резонансных движений).
Третья глава посвящена приложениям теории к конкретным задачам. Проводится численно-аналитическое исследование двух примеров: движения заряда в электромагнитном поле и колебаний сложной энергосистемы. Описано возникновение в обоих примерах нерегулярной резонансной динамики.
Но материалам диссертации автором опубликовано 8 работ [24-27,29,30,32,81]. Основные результаты докладывались и обсуждались на семинаре под руководством проф. В.В.Козлова (МГУ, апрель 1995 г.), на XVIII Конференции молодых ученых механикоматематического факультета МГУ (январь 1996 г.), на IV и V конференциях по нелинейным колебаниям механических систем (Нижний Новгород, сентябрь 1996 г. и сентябрь 1999 г.), на Международной конференции по математике и приложениям, посвященной 90-летию Л.С.Понтрягина (Москва, сентябрь 1998 г.).
2
Работа выполнена в Коми научном центре Уральского отделения Российской академии наук и в Нижегородском государственном университете под руководством доктора физико-математических наук, профессора А.Д.Морозова, которому автор выражает свою искреннюю признательность.
1.2 Постановка задачи
1.2.1. Исходные уравнения. Примеры. Нас будут интересовать четырехмерные системы следующего вида
где х = у = ($/1,2/2) вещественные фазовые переменные;
точка — производная по времени £; Я, У} — гладкие 1 функции
фазовых переменных; е — малый положительный параметр.
При £ = 0 имеем гамильтонову систему
с двумя степенями свободы, гамильтонианом Я, обобщенными координатами и обобщенными импульсами которую будем считать нелинейной и вполне интегрируемой, т.е. допускающей кроме первого интеграла Я дополнительный первый интеграл, не зависящий от Я. Наибольший интерес представляет случай, когда среди неособых совместных уровней первых интегралов имеются компактные и связные. В этом случае по теореме Лиувилля (см. параграф 1.3) в четырехмерном фазовом пространстве системы
(1.2) имеется связная область Я, целиком заполненная инвариантными двумерными торами с условно-периодическими движениями, частоты которых непостоянны.
•т.е. достаточно гладкие, например, аналитические
дН . \
Щ + еХ^х^у),
(1.1)
У} = +£Г-(Ж>2/)- .7 = 1,2
(1.2)
3
Мы полагаем, что при е > 0 система (1.1) не является гамильтоновой, т.е. не представляется в виде системы (1.2) с некоторым возмущенным гамильтонианом. В частности, дивергенция ее векторного поля не равна тождественно нулю. В этом случае естественно ожидать, что рассматриваемая система не допускает глобальных интегралов движения и тем самым — очевидного расслоения на интегральные поверхности.
Системы вида (1.1) достаточно универсальны и имеют множество приложений в самых различных областях. Приведем лишь несколько примеров.
Большой класс составляют так называемые слабо связанные системы, т.е. системы вида (1.1) с функцией Гамильтона
Я = H\(xuyi) + #2(0:2,2/2)?
где каждая из функций Hj (j = 1, 2) зависит только от своих переменных Xj, yj (являясь дополнительным первым интегралом невозмущенной задачи) и допускает на плоскости или цилиндре замкнутые уровни Hj = const. При этом возмущения X,, У} характеризуют связь между подсистемами (зависят по крайней мере от одной из переменных ХкУ Ук при j Ф к) и учитывают неконсервативные эффекты.
Таковы, например, механические системы типа осциллятор-осциллятор Hj = y] + Uj(xj) (функции Uj имеют строгий минимум); или осциллятор-ротатор Н\ = у\+и(х 1), Я2 = у'1 (функция и имеет строгий минимум, а координата — угловая: £2 = £2 (mod2n)).
Один из примеров — система типа Хенона-Хейлеса [20, 80]
£1 + Х\ = -2ех\ Х2, £2 4" £2 — х\ — £ [~х\ + (6 + 7X2) £2]
(<5, 7 = const), возникающая при рассмотрении ряда галактических моделей и сводящаяся к взаимодействию линейного и нелинейного осцилляторов. Другой пример — система вида [10]
с ф Т (1 Т a cos <р) ф + sin tp = 7 + J + a J,
J + S j -f- Wq J = b ф + cl ф
(a, a, c, d, S = const), которая описывает, в частности, сверхпроводящие (джозефсоновские) контакты и при с“1, d, S ~ е 1 сво-
4
дится к взаимодействию свободных вращений с гармоническими колебаниями.
Часто в приложениях встречаются системы с циклической координатой, т.е. системы вида (1.1) с гамильтонианом, не зависящим от одной из координат (скажем, х2)
дН/дх 2 = О, Х‘2 = х<1 (mod 2тг).
При этом функция Я при фиксированных значениях импульса у2 (являющегося дополнительным первым интегралом невозмущенной задачи) допускает замкнутые уровни Я = const, а возмущения Xj, Yj нарушают гамильтоновость. Сюда относится, например, задача о плоском неконсервативном движении в почти центральном поле.
В качестве примера из математической физики укажем задачу о распространении плоских волн в нелинейной среде, описываемую возмущенным нелинейным уравнением типа Клейна-Гордона [67]
Utt “ Uxx = (1 + С | U|2 + 6UX) U,
где и — комплексное скалярное поле; т, х — временная и пространственная координаты; с, в — вещественные параметры. Переходя в систему отсчета, связанную с волной, t = и т-х, (v ф 1 — фазовая скорость волны), и переходя к полярным координатам и импульсам
и = Х{е1Х2, У\ = Х\, у2=х2{х2,
получим систему вида (1.1) с циклической координатой х2
&1 = Уи х2 = Х\2у2, У2 = еахх (xiyi smx2 + у2 coss2),
У\ =X\*yl -axi(l +czf) + £a(xiyi cosa:2-?y2 sinx*2), (1.3) a = (1 - v2)_1 = const.
К системам (1.1) сводятся и многие другие задачи, не имеющие
5
формально указанный вид. Например, следующие системы
Л IT
i = -Q-(x,y,0 + £X(x,y,C,^),
У = -^{х,у,0+єУ(х,у,С,Ф), с = eQ{x,y,Q, Ф), ф = П(х,у,О,
где х, у, £, 0 — вещественные фазовые переменные; X,Y,Q гладкие функции фазовых переменных, 27г-периодические по ф\ Я, Q — гладкие функции, не зависящие от ф.
При є = 0 мы имеем здесь двумерную гамильтонову систему
дН I Г\ • дН ( Г\ (Л г\
* = -д-(х>уЛ), у = (L5)
зависящую от постоянного параметра £ и допускающую при фиксированных £ замкнутые уровни (циклы) Я = const.
Фиксируя зависимость функции Я от С и вводя обобщенные координаты и импульсы
XI = Х, 1/1=2/, 2/2= С, х2 = ф+^{х,у,С),
і де функция £ является решением линейного неоднородного уравнения с частными производными
дх ду ду дх д£ ’
придем, как легко проверить, к системе (1.1) с циклической координатой Ху. Решения последнего уравнения можно найти методом характеристик, используя очевидный интеграл Я. В частности, если Q = ЯЯ/<9£, то £ = 0, хч = ф, и мы уже имеем систему (1.1). Ниже мы укажем другой способ сведения системы вида (1.4) к системе вида (1.1).
Системы (1.4) являются непосредственным обобщением трехмерных автономных систем (О = 0), а также периодических систем, близких к двумерным гамильтоновым (Q = 0, П = const) [59], и часто встречаются в приложениях.
Один из примеров — задача о движении частицы в поле тяготения с периодическим по времени сопротивлением среды [54, 59]
х — С2 4- Мх~2 = — €д(х, х, С, Ф) я,
(1-6)
С = -£<р(х,Х,(,*/>), Ф = п,
где М, О = const; д — гладкая функция фазовых переменных, 27г-периодическая по ф; е — малый параметр.
Список примеров, тесно связанных с приложениями и сводящихся к интересующим нас системам, можно неограниченно продолжить. Некоторые из них (кроме цитированных выше работ) рассматривались в [19, 32, 53, 79] и др.
Следующие два примера подробно разбираются в главе 3. Первый пример касается задачи о движении частицы в волновом поле [29. 30]
р = е[/4-Яо(М) + Д)(р,М)],
I — е[—р 4- Lq(9, /3) 4- £о(л $)],
в = р, /3=1,
Ro = A cos0 cos/3, Lq = В sin9 cos/З, А, В = const.
Второй пример связан с задачей о колебаниях двухузловой энергосистемы [30]
Xi = £ [(1 - х\) Sill Х\ + \/2 Х’2 COS — А Х\\,
#2 + Я2 = £ [6о (1 “ ^2) sin X’l + 6о \/2х2 cosxi — D X2],
D = В - 2 (хз -t- X2)_1 (-D - cos xi), А, В = const.
1.2.2. Предмет исследования. Качественный анализ системы (1.1), рассматриваемой в области 13, удобно проводить в терминах системы стандартного вида
p = eR{e,p,l,d,P), / = eL(e,p,l,e,P), в = р, /?=1,
где р, / — медленные переменные (описывающие эволюцию системы); 9, /3 (mod2n) — быстрые угловые переменные (отражающие колебательный характер движения); Я, L — гладкие функции
7
фазовых переменных, 2тг-периодические по углам и зависящие (в общем случае) от малого параметра е.
Опуская подробности (см. главу 2, где приведены аналитические формулы и разобраны частные случаи), отметим, что система
(1.7) представляет собой простейший случай системы (1.1) (с координатами <9, Р и импульсами р, /) и возникает после перехода в невозмущенной задаче (1.2) к переменным типа действие-угол. При этом зависимость отношения частот от эволюции системы отражает нелинейный характер исходной задачи.
Принципиальную трудность при анализе системы (1.7) представляет то обстоятельство, что переменная р может принимать рациональные значения
р — т — т/п е <2, (1.8)
где п 0, т — взаимно простые целые. При этом соотношения
(1.8) задают в фазовом пространстве системы (1.7) всюду плотное множество непересекающихся гиперповерхностей.
Определение 1.1. Будем говорить, что при выполнении условия (1.8) в системе (1.7) имеет место резонанс т : п. Под резонансной зоной будем понимать малую окрестность выделенной гиперповерхности (1.8), задаваемую условием
\р-г\<с^е1/\ (1.9)
где с(г> >0 — постоянная, не зависящая от е. При этом переменные (в, (3) и I пробегают прямое произведение Т2 х где Т2 — двумерный тор, — некоторый (конечный) интервал вещественной оси.
Условие резонанса для исходной системы (1.1) означает соизмеримость частот условно-периодических движений невозмущенной задачи (1.2). Резонансами обусловлены существенные особенности поведения многочастотных систем. В частности, рассеивание медленных движений, неинтегрируемость, а также неприменимость классических асимптотических методов — например, метода усреднения по углам (см. [5]).
8
Действительно, замена переменных р —► /9+б‘5, призванная исключить быстрые угловые переменные, скажем, из правой части первого уравнения (1.7), приводит к уравнению
которое, вообще говоря, не имеет непрерывных решений из-за появления вырожденных резонансных знаменателей в разложении Фурье
3 = {£(рр + д)-111рдеЪ°+я0),
где Ирд — (комплексные) фурье-коэффициенты функции /?.
Указанные обстоятельства приводят к необходимости исследования поведения системы (1.7) в зоне выделенного резонанса и использования достаточно тонких методов анализа, позволяющих учитывать существенно резонансный характер движения. Заметим, что множество (1.9) не является локальным, во всяком случае по переменным 9, (3, /. Тем самым задача носит но существу глобальный характер.
Несмотря на ряд известных результатов (см. следующий параграф) сформулированную задачу можно считать полностью решенной лишь в простейшем случае. А именно, в случае систем с полутора степенями свободы, описывающих периодические по времени возмущения двумерных гамильтоновых систем и сводящихся к случаю Z = 0 в задаче (1.4) и к случаю Ь = 0 в задаче (1.7). Подробный анализ систем с 3/2 степенями свободы и обширная библиография содержатся в замечательной монографии [59] (см. также параграф 1.3).
1.3 Обзор известных результатов
1.3.1. Гамильтоновы системы. Теория гамильтоновых систем отличается наибольшей законченностью и отражена в многочисленных монографиях и обзорных статьях (см. [3, 5, 15, 17, 34, 35, 39, 49, 68, 70] и др.).
9
Гамильтоновыми системами с N степенями свободы называются системы вида
дН. ч . дН, ч , ЛГ (л
Х’=дуз У> = = (1Л°)
где а; = (хх, ..., хдг, у = (у у, ..., ум — вещественные фазовые переменные (канонические координаты и импульсы); Н — гладкая функция фазовых переменных, называемая функцией Гамильтона; точка — производная по времени £. Гамильтоновы системы консервативны — допускают ’’интеграл энергии” Н.
После объединения переменных X], уу в 2Аг-мерный вектор г = = (а:!, ..., хм, у1, ..., ум) система (1.10) принимает вид
где 3 — квадратная матрица размера 2ЛГ
0 Е к -Е 0
[Е — единичная матрица размера М). С помощью матрицы ^ в фазовом пространстве гамильтоновой системы вводится сим-плектическая структура, а в пространстве гладких функций от фазовых переменных — скобка Пуассона
{/>£}(*) = Чд(х)\
где (,) — скалярное произведение в Я2ДГ.
Гамильтонова система выдерживает канонические преобразования, т.е. преобразования л —> Е, г = г(2Г), сохраняющие скобку Пуассона
1ИЙГ-. (Й)“-э(1Га- <->
В новых переменных снова приходим к гамильтоновой системе с тем же гамильтонианом
яРт
г = ъ—(г), й = н{г(г)).
ю
Каноническому преобразованию соответствует гладкая скалярная производящая функция S(ij,x) такая, что новые импульсы rj = = (Vi ♦ • • > 4n) и новые координаты £ = (£i ...,£//) связаны со старыми соотношениями
у = Ъ;М, е =
первое из которых следует разрешить относительно rj и подставить во второе.
Говорят, что две функции находятся в инволюции, если их скобка Пуассона тождественно равна нулю. Функции, находящиеся в инволюции с гамильтонианом, суть первые интегралы системы (1.10). Под полной интегрируемостью гамильтоновой системы понимают возможность свести нахождение се решений к последовательности алгебраических операций, включая обращение квадратур (интегралов от известных функций). Оказывается, что для этого нужно знать всего N независимых первых интегралов. Фундаментальной является следующая теорема Лиувилля [3, 5, 17].
Теорема 1.1. Пусть имеются N первых интегралов Н\, ..., II,находящихся в инволюции друг с другом и независимых на множестве Т их совместного уровня. Тогда: 1) Т — гладкое инвариантное многообразие системы (1.10), диффеоморфное в случае его компактности и связности N -мерному тору; 2) фазовый поток системы (1.10) определяет наТ условно-периодическое движение; 3) уравнения (1.10) интегрируются в квадратурах.
В тривиальном случае N = 1 интегрируемость по Лиувиллю означает, что гамильтониан Я допускает одномерные замкнутые уровни (циклы). Для нас наиболее важен случай N — 2, где достаточно знать всего один первый интеграл Я), не зависящий от гамильтониана Н. Компактное связное двумерное подмногообразие T = {z:H = h = const, #i = hi = const } четырех мерного фазового пространства есть инвариантный двумерный тор, движение на котором условно-периодично.
К простейшим относятся системы с разделенными переменными
Я = Hi(xux2) + #2(х2,2/2), (1Л2)
11
где каждая из функций Hj зависит только от переменных Ху, i/j, допускает на плоскости или цилиндре замкнутые уровни (циклы) Hj = const и может быть выбрана в качестве дополнительного первого интеграла. В этом случае система распадается на две гамильтоновы системы с одной степенью свободы и гамильтонианами Hj; инвариантные торы суть прямые произведения указанных циклов. Известный пример — система двух несвязанных осцилляторов.
Методом разделения переменных проинтегрировано большинство систем с двумя (и более) степенями свободы. Сюда относятся системы Штеккелп. гамильтониан которых квадратичен по импульсам и имеет вид
<£уь 'Фj — гладкие функции, зависящие только от ху. Каждая из двух функций
может быть выбрана в качестве дополнительного первого интеграла.
Частный случай — системы Лиувилля
где су, ау, 6гу зависят только от ху. Здесь каждая из двух величин
Я = - f gtuj-V,
где
Д = det II <pjk II ф 0, j,k = 1,2,
= Д 1 [ <p2j (у\ - Ф{) - ?ц (у! - ih) ]
1 а, у) + Uj - с. Я, £ а, = 0.
J
является дополнительным первым интегралом.
12
Известно, что все механические системы, т.е. системы с квадратичным по импульсам гамильтонианом, имеющие две степени свободы и интегрируемые методом разделения переменных, приводятся каноническим преобразованием к системам Штеккеля.
Другой простой случай интегрируемости — это случай, когда функция Гамильтона не зависит от одной из координат, называемой циклической
дН
Н = Н(хъуиуг), ^ = 0, х2 = х2 (mod 2тг).
В этом случае, очевидно, дополнительным первым интегралом является импульс ij2- Полагая, что при фиксированных уч среди многообразий Н = const имеются циклы, имеем в фазовом пространстве область, целиком заполненную инвариантными торами. Хорошо известный пример— задача о плоском финитном движении в центральном поле.
Один из способов конструирования интегрируемых систем связан с нормальными формами Биркгофа [15] в окрестности положения равновесия. Действительно, рассматривая систему с функцией Гамильтона
Я = F(tut2), tj = ^ (x2j + у)),
где F — некоторая гладкая функция своих аргументов, имеем в качестве дополнительного первого интеграла любую из величин Tj. При этом одномерные многообразия Tj = const представляют собой окружности. Обратная задача не всегда разрешима. Здесь приходится требовать, чтобы собственные частоты линеаризованной в окрестности положения равновесия системы были рационально независимы, либо переменные в системе разделялись.
Другие, менее тривиальные, результаты, касающиеся интегрируемых систем с двумя (и более) степенями свободы можно найти в указанных выше обзорах.
В окрестностях инвариантных торов (целиком заполняющих некоторую связную область D фазового пространства) вводятся канонические переменные действие-угол I = (7i, ..., /дг), в = = (<9i, ..., /9дг), в которых интегрируемая гамильтонова система
13
- Киев+380960830922