о*-'
1
Содержание
Содержание............................................................1-2
Введение.............................................................3-15
Глава 1
Исследование колебаний квазилинейных резонансных систем и теория возмущений их конфигурационных многообразий
Постановка задачи. Порождающая система и ее траектории..............16-22
Многообразие вырожденных форм и учет возмущений.....................22-34
Локальный эволюционный базис и его свойства. Алгебра Ли векторных полей
....................................................................34-39
Классификация сил по типу порождаемой эволюции......................39-43
Непосредственное изучение линейных сил..............................44-47
Задача стабилизации вырожденной формы...............................47-52
Траектории системы под действием управления при отсутствии
возмущений..........................................................52-55
О возможности выбора другой обратной связи..........................55-59
Глава 2
О круговых колебаниях в системе с трехкратным резонансом
Постановка задачи...................................................60-61
Многообразие, соответствующее круговым траекториям..................61-62
Учет возмущений........................................................62
Локальный базис.....................................................63-65
Классификация возмущений............................................65-67
Задача стабилизации формы...........................................67-68
Алгоритм получения информации от гироскопа.............................68
2
Глава 3
Исследование обратной связи во втором приближении
Введение...............................................................69
Необходимые сведения о втором приближении...........................69-71
Подход к задаче стабилизации прямолинейных колебаний................71-74
Исследование обратной связи во втором приближении...................74-77
Глава 4
О нелинейных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине
Введение...............................................................78
Постановка задачи и обозначения........................................79-80
Уравнения движения........................................................80
Первое приближение нормальной формы при резонансе......................80-83
Интегралы нормальной формы.............................................83-89
Периодическое решение..................................................89-92
Эффекты срыва и разворота плоскости колебаний..........................93-99
Глава 5
Задача о колебаниях газового пузыря в жидкости при резонансе частот деформационных и радиальных колебаний 1:2
Постановка задачи....................................................100-102
Функция Лагранжа и условие резонанса.................................102-104
Введение безразмерных параметров и упрощение лагранжиана.............105
Построение гамильтониана.............................................105-107
Исследование системы методом инвариантной нормализации...............107-109
Анализ уравнений нормальной формы: периодическое решение, малое возмущение периодического решения, эффект перекачки между модами
колебаний............................................................109-114
Оценка корректности модели идеальной жидкости.....................114-118
Выводы............................................................118-121
Литература........................................................122-126
3
Введение
Решение различных задач достаточно часто приводит к исследованию дифференциальных уравнений [5,39,42,43], имеющих вид
г = /(1,г) + £р((,2), (1)
где ОсГ; е«1 - малый параметр, формализующий тот
факт, что соответствующее слагаемое в правой части представляет собой возмущение. Система, получающаяся при е = 0 называется порождающей или
вырожденной. Предполагается, что се точное решение г — g(t,x) ? где х —
набор постоянных интегрирования, известно. Появление сколь угодно малого возмущения (е^О) может качественно изменить поведение системы, что и делает задачу исследования возмущенных систем содержательной.
Возмущенная система, как правило, оказывается не интегрируемой. Однако наличие малого параметра позволяет применять методы приближенного анализа. Основным инструментом такого анализа является метод осреднения [9,26,27,36,37]. Не вдаваясь в детали, которые можно уточнить в цитированной литературе и в тексте данной работы, молено сказать, что суть метода состоит в следующем.
Вначале система приводится к стандартному виду
х = еХ((,х,е) (2)
при помощи известной процедуры вариации постоянных. Далее проводится осреднение правой части последней системы по явно входящему времени Л В зависимости от того, является ли правая часть периодической по / или нет, осреднение проводится на периоде, либо бесконечном полуинтервале. В результате получается автономная система
A
x — sJCq (x, , X0 (x, b ) —
1 r
— jx (t,x9c) dt, если X (/,x, f) - периодична с периодом T Т о
I г
lim — Jx(/,х, £■)<#, еслиХ(^,х,е) - не периодична
г->:с Т 0
По отношению к полученным уравнениям, образующим систему первого приближения метода осреднения, ставится та же задача Коши, что и для точной системы (2). Решение этой задачи Коши позволяет получить функцию x(t), являющуюся приближенным решением (2). Ее подстановка в решение порождающей системы g(t,x) вместо постоянных интегрирования дает приближенное решение исходной системы (1). Близость приближенного решения к точному определяется свойствами правой части системы (2) и конструктивно оценивается при помощи теоремы Н.Н. Боголюбова [9,26].
Большинство известных методов теории возмущений также основаны на идее осреднения, либо специально приспособлены для решения систем определенного вида [26]. Однако в любом случае, как и при использовании метода осреднения, применяется определенный алгоритм, заменяющий исходную систему на более простую приближенную систему, по отношению к которой ставятся те же задачи.
Способ исследования задач, рассматриваемых в частях 1-3 данной диссертации, значительно отличается от только что описанной схемы анализа с помощью традиционных асимптотических методов. Отличаются от традиционных и сами постановки задач. Ниже приводится краткая история возникновения этих задач и описание подхода к их решению.
Еще в 1890 году Брайан [51], исследуя динамику стоячих воли в упругом и нерастяжимом кольце, вращающемся с постоянной угловой скоростью, пришел к открытию следующего эффек та.
Пусть в кольце возбуждена стоячая волна, а само оно вращается с угловой скоростью со = const, ортогональной плоскости кольца. Тогда в системе
5
отсчета, вращающейся с угловой скоростью со и связанной с кольцом, стоячая волна будет поворачиваться на угол, равный
где к- номер моды стоячей волны, / - время. Примечательно, что угол поворота волны вообще не зависит от свойств материала кольца, что, однако, является следствием допущения о нерастяжимости средней линии кольца.
Оказалось, что эффект сохраняется и в случае переменной угловой скорости. В системе отсчета, связанной с кольцом и имеющей переменную
угловую скорость со(^) будет наблюдаться поворот стоячей волны на угол,
определяемый по формуле
Это соотношение, по-видимому, впервые было установлено экспериментально авторами патента “Vibrator}' rotation gyro”. Теоретически случай переменной угловой скорости был изучен В.Ф. Журавлевым [27]. Было показано, что формула (3) следует из уравнения колебаний упругого кольца в своей плоскости и является точной, что позволяет сколько угодно раз ее дифференцировать. Двукратное дифференцирование, очевидно, приводит к результату
Отсюда следует, что момент внешних сил, вызывающий угловое ускорение кольца со приводит к появлению углового ускорения прецессирующей волны
кинетический момент. Эти факты позволяют говорить о новом физическом явлении, называемом инертностью упругих волн. Название эффекта следует из аналогии поведения упругих волн и тел, обладающих массой.
(3)
2 ..
;---------------СО
ср. Можно показать, что прецессирующая волна несет собственный
6
Эффект инертности упругих волн не теряется и при учете свойств реальных материалов. Конструкции упругих резонаторов, в которых наблюдается эффект, могут быть различными. Наряду с рассмотренным кольцевым резонатором, можно использовать цилиндрические и полусферические оболочки, либо специальные стержневые конструкции, струны и вообще произвольные тела, обладающие осевой симметрией. С их устройствами можно ознакомиться по материалам [16,21,25,27,52,54,55,59,60,62-64]. Наибольшее распространение для практических нужд, описываемых далее, получили полусферические резонаторы.
Наличие свойства инертности волн приводит к идее использования упругих резонаторов в качестве датчиков угловых скоростей для бесплач форменных инерциальных систем навигации [2,10,14,29,30]. Эти датчики носят название волновых твердотельных гироскопов, либо вибрационных гироскопов. Подробнее о них также можно прочитать в работах [16,21,25,27,52,54,55,59,60,62-64].
Впервые практические разработки таких гироскопов начались в США в начале 60-х годов. Начиная с этого времени в США, Великобритании (фирма Marconi) и СССР получено большое количество патентов, содержащих предложения о совершенствовании конструкции датчиков. Однако отсутствие достаточной теоретической базы некоторое время не позволяло создать гироскоп, реализующий потенциальные возможности в полном объеме. После появления публикации [62], где были впервые четко сформулированы основные идеи по реализации волновых гироскопов, ситуация кардинально меняется. Фирма Delco становится лидером в этой отрасли приборостроения. Позже к аналогичным разработкам приступают и другие компании, в том числе и в нашей стране. Среди отечественных организаций наиболее успешные разработки велись в РПКБ, МИЭА и НИИЭМ. Теоретическое обеспечение этих разработок выполнял ИПМех РАН.
7
В результате были созданы различные конструкции гироскопов, имеющих различные классы точности. На базе этих чувствительных элементов реализованы работающие системы навигации, удовлетворяющие всем техническим требованиям. В качестве примеров можно привести семейство систем типа Carousel фирмы Delco, имеющих достаточно высокий класс точности. Система навигации фирмы Delco, основанная на волновом твердотельном гироскопе, успешно справилась со своими задачами во время недавней миссии «Гюйгенс-Кассини» к спутнику Сатурна Титан. Эксперимент длился около восьми лет (с 1997 г.). В результате были непосредственно исследованы физические свойства грунта и получены фотографии поверхности Титана.
В настоящее время в России практические разработки инерциальных систем, основанных на волновых твердотельных гироскопах высокого и среднего классов точности, на большинстве фирм приостановлены. Тем не менее, исследования не прекращены полностью. Например, в РПКБ ведется разработка бесплатформенной навигационной системы БИНС-ТВГ, создан опытный образец и проведены испытания, показавшие следующие точности навигации: порядка 8 км/ч по скоростям и 13 км по координатам за час работы [16].
Как видно из этих данных, система пока еще является достаточно грубой, что, прежде всего, обусловлено качеством датчиков инерциальной информации. Изготовление высококачественных резонаторов сопряжено со значительными технологическими проблемами. Основными из них являются: однородность материала, отсутствие внутренних механических напряжений и дефектов, необходимость очень точно выдерживать геометрические параметры резонатора и окружающих его элементов и т.д. Кроме этих, имеется множество других проблем, связанных, например, с электроникой, но поскольку все эти вопросы далеки от темы настоящего исследования, описывать их подробнее не будем.
8
Оказывается, что принципиальных препятствий для создания волновых гироскопов фактически нет. Теоретические результаты и опыт разработки датчиков различными компаниями позволяют говорить об их перспективности. К несомненным достоинствам этих приборов можно отнести такие качества, как малое энергопотребление, малые габариты, относительно невысокая стоимость при серийном производстве (в особенности для датчиков низкого класса точности) и такое примечательное свойство, как сохранение работоспособности при кратковременном отключении питания прибора.
Последнее свойство имеет место при использовании резонаторов с высокой добротностью, достаточной для того, чтобы при кратковременном отключении колебания резонатора не успевали затухнуть или существенно изменить форму. Лазерные и волоконно-оптические гороскопы, получившие в настоящее время наибольшее распространение в серийных и разрабатываемых инерциальных системах навигации, таким свойством не обладают и при любом отключении немедленно теряют информацию.
В последнее время активно продолжается разработка микромеханических датчиков инерциальной информации. Использование вибрационных гироскопов в области микромеханики также представляется наиболее перспективным. Применение иных типов гироскопов при уменьшении размеров часто приводит к принципиальным трудностям. Например, точность оптических гироскопов определяется площадью контура и, следовательно, уменьшается обратно пропорционально квадрату линейного размера. Механические гироскопы малых размеров, очевидно, трудны в изготовлении.
Такова краткая история и перспективы развития гироскопических устройств, основанных на использовании эффекта инертности упругих воли.
Задачи, рассмотренные в частях 1,3 настоящей работы, возникли из теории вышеописанных устройств и по существу представляют собой продолжение исследований, опубликованных в [17]. В части 2 исследуется вопрос о
9
построении БИНС на основе двух изотропных пространственных осцилляторов, в которых возбуждены колебания круговой формы. При их решении используется следующий математический аппарат.
Основным объектом исследований являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений [5,39,42,43], которые линейным невырожденным преобразованием приводятся к виду
д + Лд = £(2(д,д,1), д<а&'‘, Л = Ла§||а>12,...>©*| где є - малый параметр, а частоты подчинены резонансному соотношению щ :.,.:соп = т1 ті . Такая ситуация называется резонансом типа
тх:...:тп. Для анализа уравнений применяются как стандартные методы работы с дифференциальными уравнениями, в том числе использующие понятия теории групп Ли, так и новый подход, впервые предложенный в [17] и описанный далее.
Из стандартных асимптотических методов применяется метод осреднения в первом и втором приближениях. Решение задачи о стабилизации колебаний заданной формы опирается на факты, известные из математической теории устойчивости [1 1,15,19,33,34,45,50].
При использовании нового метода исследования многие аналитические проблемы переносятся на геометрический уровень. В связи с этим используются различные результаты известные из геометрии и линейной алгебры [6,12,44].
Потребность в создании нового асимптотического метода была продиктована следующими обсгоятельствахМИ. Исследование уравнений, описывающих динамику упругих волн во вращающихся осесимметричных резонаторах, привело к постановкам новых задач, не решаемых классическими методами теории возмущений и теории управления. Их решение и потребовало создания нового метода в теории нелинейных колебаний.
- Киев+380960830922