Содержание
Введете 4
1 Реализация неудерживагощей связи в двумерном случае 14
1.1 Физическая модель реализации неудерживающей связи . . 14
1.2 Траектории с упругими отражениями...................... 18
1.3 Уравнения движения в окрестности границы............... 23
1.4 Поведение траекторий в окрестности границы............. 29
1.4.1 Случай положительной нормальной реакции .... 30
1.4.2 Случай отрицательной нормальной реакции .... 37
1.4.3 Случай движения из области с положительной нор-
мальной реакцией в область с отрицательной реакцией ............................................ 42
2 Реализация неудерживающей связи в многомерном случае 51
2.1 Постановка задачи...................................... 51
2.2 Поведение траекторий систем!,I в окрестности гиперповерхности вырождения 54
2.2.1 Уравнения движения в окрестности гиперповерхности вырождения ........................................ 55
2.2.2 Случай положительной нормальной реакции .... 61
2.2.3 Случай отрицательной нормальной реакции .... 64
2
г
2.2.4 Интерпретация результатов......................... 67
2.2.5 К вопросу об ослаблении условий инвариантности . 69
2.3 Задача о движении двойного математического маятника . 72
3 Исследование поведения траекторий системы в фиксированной окрестности границы с отрицательной реакцией 80
3.1 Уравнения движения в окрестности границы с отрицательной нормальной реакцией...................................... 81
3.2 Существование траектории, проходящей вдоль границы с отрицательной нормальной реакцией............................ 87
Литература 98
3
Введение
Понятно связи является одним из основных понятий механики. Решая практически любую прикладную задачу мы сталкиваемся с этим понятием. Так, например, в задаче о движении точки но гладкой поверхности поверхность накладывает ограничения на перемещения точки. Или другой пример, при движении двух тел, связанных невесомой нерастяжимой нитью, нить не препятствует движению тел. если она не натянута, но в гоже время, не дает телам разойтись на расстояние большее своей длины.
Примеров, подобных приведенным, очень МНОІЧ). Именно поэтому большое количество работ посвящено системам со связями. Разработаны различные методы исследования таких систем.
Классический (формально- аксиоматический) метод изучения систем со связями основан на принципе Даламбера-Лагранжа, который выводится из принципа освобождаемостн от связи и аксиомы об ее идеальности. Суть метода состоит в следующем (30].
Пусть Я Є К/1 — обобщенные координаты системы, Т — кинетическая энергия, F — обобщенные силы, действующие на систему. Поведение свободной системы описывается уравнениями Лагранжа
(1) (Идя дЯ
Предположим, что на систему наложена удерживающая связь /(д) =
4
0. Тогда поведение такой системы можно описать уравнениями
йдТ (ГГ „
<ид4 дд~ '
где N — реакция связи. Если связь идеальна, ю N = Agrad /. С учетом уравнения связи можно понизить порядок системы (2). При этом, нормальная реакция связи однозначно определяется из системы (2).
В отличие от двусторонней связи односторонняя связь /(<?) > 0 является болсс сложным о6ч>сктом. Помимо участков движения, где связь напряжена, существуют участки движения, где связь ослаблена, а также участки движения, где происходит удар. Следует заметить, что задача о движении системы с односторонней связью не всегда разрешима (30|. В некоторых задачах законы динамики не позволяют определить поведение системы с односторонней связью.
В соответствии с классическим подходом для изучения поведения системы внутри области /(д) > 0 (связь ослаблена) используется система (1). Если связь напряжена, то она аналогична двусторонней связи /(</) = 0, и поведение траекторий описывается системой (2). При этом, если нормальная реакция связи положительна на участке движения по связи, то система остается на связи. Если нормальная реакция связи отрицательна, то система покидает связь.
Традиционным методом изучения систем с повторяющимися ударами (виброударных систем) является метод припасовывания 119, 23). Движение разбивается на интервалы безударного движения и моменты, где происходит удар. Для учета соударений используется та или иная модель удара. По конечным значениям переменных на предыдущем интервале безударного движения определяются начальные значения на последующем интервале и решаются уравнения (1) с этими начальными значо-
5
ниямн. ’’Сшивая'1 решения, полученные на разных интервалах времени, можно построить решение задачи для любого момента времени.
Применение классического подхода при решении некоторых задач приводит к парадоксам. Так, как показал Пенлевс [35), при наличии больших значений коэффициента кулоновского трения задача определения реакции может иметь несколько решений или не иметь их вовсе (39). Может оказаться, что два тела, находясь в соприкосновении, производят отрицательное давление друг на друга. В задаче с касательными ударами классический подход тоже не дает удовлетворительного решения.
Одним из перспективных методов исследования систем со связями является конструктивный метод обоснования динамики систем со связями, основанный на анализе различных физических способов реализации связей. С физической точки зрения системы со связями могут рассматриваться как предельные задачи для свободных систем. Различные способы задания предельных переходов связаны с различными способами реализации |2, 30).
Так, связь /(</) = 0 заменяется полем упругих сил с потенциальной энергией Ук = Кр!2, где К — коэффициент упругости, а затем К устремляется к бесконечности. Оказывается, что движение такой системы стремится к движению системы с голономной связью. Теорема о реализации двусторонней голономной связи полем упругих сил, направленных к соответствующей поверхности, была впервые сформулирована Куран том и доказана его учениками в предположении о потенциальности силового поля |38|. В случае непотенциальных сил теорема о реализации связи упругими силами доказана В.В.Козловым и А.И.Нсйштадтом (29).
Линейную неголономную связь можно реализовать силами вязкого трения. Эта идея впервые обсуждалась в работе К.Каратеодори.
Л.В.Карапетян |25| и В.Н.Бренделсв [9| доказали, что уравнения движения неголономной системы могут быть получены из уравнений движения освобожденной от связи системы, на которую помимо исходных сил действуют соответствующем образом выбранные диссипативные силы, коэффициент диссипации которых стремится к бесконечности. Также линейная нсголономная связь может быть реализована присоединенными массами и силами вязкого трения [2,26|. При этом получаются другие модели неголономных систем: вакономная механика. В работе [26| получено семейство внутренне непротиворечивых математических моделей движения, каждая из которых является синтезом традиционной неголономной механики и вакономной механики. При соответствующем выборе предельного перехода предельная система описывает поведение системы с неголономной связью. В работе И.В.Новожилова |34) линейная неголо-ном пая связь реализуется за счет сил кулонова трения.
Возможность реализации гол оном ной связи силами вязкого трения и корректность различных предельных моделей обсуждается в |34|.
Аналогичные модели реализации можно ввести и для неудерживаю-щих связей |28|. Так, в работе (27) указан физический способ реализации удара с трением, основанный на введении поля упругих и диссипативных сил с большим коэффициентом жесткости и трения.
В работе (22] рассматриваются семейства движений системы твердых тел, включающие соударения с произвольной малой начальной скоростью сближения. А.II.Ивановым предложено решение задачи о касательном ударе, основанное на введении вязко-упругой среды, и разрешено противоречие, возникающее при классическом подходе к решению задачи о касательном ударе. Различные режимы безударных движений изучены в работе [21]. Получены условия существовании безударных движе-
пий, выяснена их связь с особенностями дифференциальных уравнений.
Вопросу движения системы по связи и гладкого схода со связи посвящены работы |13, 15]. В работе (14] для системы с односторонней связью рассмотрены различные критерии движения по связи и ее схода со связи.
Среди других методов изучения систем со связями следует отметить метод негладких замен В.Ф.Журавлепа 118, 19), который позволяет исключить идеальную неудержипающую связь и провести исследование системы по всем конфигу рацион ном пространстве с помощью функции Рауса. Негладкая замена избавляет от необходимости рассматривать движение но кускам и дает возможность применять асимптотические методы к системам с ударами. Но метод негладких замен, в общем случае, не позволяет построить регулярные уравнения Лагранжа, и соотвегствсшю, применять аппарат гамильтоновой механики.
В работе [24| путем введения вспомогательной системы показана возможность перехода к гамильтоновой форме уравнений движения систем с идеальной неудерживающей связью, что позволяет применять для их исследования методы гамильтоновой механики. При этом, возможные трудности, связанные с неаналитичностью функции Гамильтона, разрешены Л.ГІ.Марксовым. В работе [32] указан один из возможных алгоритмов использования КАМ-леории и теории периодических движений Пуанкаре. А.П.Ивановым показана возможность распространения методов теории устойчивости гамильтоновых систем на системы с идеальными неудерживающими связями (20|.
В данной диссертационной работе рассмотрен один из способов реализации неудерживающих связей, а именно реализация неудерживающих связей путем введения в кинетическую энергию малого параметра так,
8
- Київ+380960830922