О механических системах с полным набором линейных инвариантных соотношений

Оглавление
Введение.......................................................3
1 Топологическая структура уровней линейных инвариантных соотношений в ориентируемом случае 22
1.1 Основные понятия.................................... 22
1.2 Утверждение о топологической структуре
многообразия уровня полного набора линейных инвариантных соотношений............................ 24
1.3 Примеры, замечания и следствия...................... 31
2 Голономная система — волчок Эйлера с эксцентриком. 47
2.1 Постановка задачи и первые интегралы................ 48
2.2 Топологическая структура многообразия уровня. ... 50
2.3 Уравнения движения в системе координат, связанной
с эксцентриком...................................... 52
2.4 Стационарные движения............................... 57
2.5 Динамически симметричный волчок Эйлера с
эксцентриком........................................ 63
2.6 Топологическая структура многообразия уровня для
интегрируемого случая............................... 68
1
3 Неголономные системы с полным набором инвариантных соотношений. 72
3.1 Сани Чаплыгина на поверхности..................... 73
3.1.1 Симметричный конек на поверхности вращении. 78
3.1.2 Симметричный коиек на цилиндрической поверхности...................................... 81
3.2 Задача Суслова с эксцентриком в случае динамически симметричного твёрдого тела........................... 83
4 Топологическая структура уровней линейных инвариантных соотношений в неориентируемом случае. 87
4.1 Основные понятия, связанные с неориентируемым случаем............................................... 87
4.2 Утверждение о топологической структуре многообразия уровня полного набора инвариантных соотношений........................................... 88
4.3 Одна механическая система с неориентируемым конфигурационным многообразием........................ 90
Заключение................................................95
Литература................................................99
2
Введение.
1. Предметная область. Диссертация посвящена исследованию свойств механических систем, обладающих достаточно большим набором инвариантных соотношений, связывающих фазовые координаты. Такими соотношениями могут быть первые интегралы системы или (в неголономном случае) иепроинтегрированные дифференциальные связи. Предполагается, что число таких соотношений совпадает с размерностью конфигурационного пространства. Если для гамильтоновой механической системы с п степенями свободы известны п независимых первых интегралов и они находятся в инволюции, то ее свойства описывает известная теорема Лиувилля об интегрируемых системах (в интерпретации сделанной В.И. Арнольдом |7| или [28], [29]). В данной работе изучаются некоторые случаи, когда условия этой теоремы не выполняются, точнее, когда инвариантные соотношения не находятся в инволюции. Это условие заменяется другим, что позволяет в некоторых случаях, сформулировать общие и частные утверждения о топологической структуре многообразия уровня инвариантных соотношений таких систем.
Более конкретно, предметом изучения диссертации являются натуральные консервативные механические системы на п-мерных конфигурационных многообразиях, допускающие тг - 1-но линейное по скоростям инвариантное соотношение (эти соотношения могут быть линейными интегралами или непроинтегрированными
3
дифференциальными связями). Совокупность этих линейных по скоростям соотношений, в дальнейшем, будем называть полным набором линейных инвариантных соотношений. Соответственно механические системы, обладающие таким набором соотношений, будем называть механическими системами с полным набором линейных инвариантных соотношений. В частности, для голономпого случая - механические системы с полным набором линейных первых интегралов. Основное условие, которое здесь налагается, состоит в том, что линейные соотношения функционально независимы по обобщенным скоростям (или импульсам) на соответствующих инвариантных многообразиях уровня. Иначе говоря, в диссертации рассматриваются механические системы с полным набором линейных и независимых инвариантных соотношений. В частном случае двухмерного конфигурационного многообразия требуется наличие всего одного линейного инвариантного соотношения и независимость означает невырожденность этого соотношения по скоростям во всех точках конфигурационного многообразия.
Целью диссертации является изучение топологической структуры совместных уровней полного набора линейных инвариантных соотношений и интеграла энергии для таких систем и некоторых свойств движения на этих уровнях. Изучение проводится как в общем виде, так и на примерах конкретных механических систем.
Существует довольно много примеров таких систем, как голономных, так и неголономных. В диссертации устанавливается
4
структура многообразия уровня в общем случае для задач такого типа и рассматриваются более сложные примеры.
2. Обзор работ по теме. Известно, что интегралы уравнений движения механических систем, как правило являются линейными или квадратичными относительно скоростей. Механические системы, обладающие первыми интегралами, линейными по скоростям, являются одной из наиболее изученных областей теоретической механики. Здесь будет дан лишь небольшой обзор работ по данной тематике, которые имеют отношение к задачам, рассматриваемым в диссертации. Более подробные обзоры представлены, например, в работах [22], [36].
Связь между существованием в системе линейного интеграла и наличием в ней циклической координаты устанавливает теорема М.Леви [35]. Она говорит о том, что если натуральная консервативная механическая система имеет линейный по скоростям интеграл, то существует система координат, в которой функция Лагранжа имеет циклическую координату (эта теорема была обобщена Э.Т.Уиттскером [43] на случай гамильтоновой формы уравнений). М.Леви исследовал также случай, когда механическая система допускает несколько линейных интегралов и показал, что для того, чтобы существовала система координат, в которой каждый из этих интегралов был бы циклическим, необходимо и достаточно, чтобы всевозможные скобки Пуассона левых частей этих интегралов, записанных в канонических переменных, тождественно равнялись нулю.
Хорошо известно, что наличие линейных по импульсам
5
(или скоростям) первых интегралов тесно связано с группами симметрий, действующих на пространстве положений. Эта связь устанавливается теоремой Э.Нстср [17]: если функционал действия
симметрий.
Примером голономной механической системы, обладающей полным набором линейных интегралов, причём они все находятся между собой в инволюции, может служить ограниченное поверхностью вращения динамически симметричное тяжелое твердое тело на гладкой горизонтальной плоскости П.Аппель |6].
В работе Дж.Л.Синга [33] были установлены необходимые и достаточные условия существования п — 1 линейных интегралов, находящихся между собой в инволюции для голономной системы с функцией Лагранжа Ь = {\)ац{дь</2, -,Яп)ЯЩ ~ У{ЯиЯ2,-,Яп)-
Описанием топологических свойств геодезических потоков, имеющих полный но Лиувиллю набор аналитических первых интегралов, занимался И.А. Тайманов [40].
Для механических систем, рассматриваемых в данной работе условие инволюции не является обязательным. Укажем теперь
инвариантен относительно группы преобразований q —> то
уравнения Лагранжа
допускают интеграл ру = соп5^, где р = Щ - канонический импульс, и у(д) = ^|а=о(#А((7)) - векторные поля, порождающие группу
некоторые работы, посвященные изучению механических систем с полным набором линейных соотношений, но не удовлетворяющих условиям теоремы Лиувилля-Арнольда.
В работе И.В.Александрова [3] рассмотрена задача о движении двух притягивающихся точек на сфере. Такая механическая система консервативна и обладает линейными интегралами, число которых равно числу степеней свободы, по они не находятся в инволюции (т.е. система с полным набором первых интегралов, но теорема Лиувилля-Арнольда о фазовых торах для неё не выполнена). Эта система была предложена Е.И.Кугушевым в 1972 г. [41]. И.В.Александров в своей работе дал классификацию совместных уровней первых интегралов такой системы. Отметим, что в такой задаче линейные интегралы не являются независимыми на всём конфигурационном пространстве.
Например, задача двух тел на поверхностях постоянной кривизны может допускать линейный интеграл, аналогичный интегралу кинетического момента в задаче двух тел на сфере. Число степеней свободы в этой задаче равно 4 и, поэтому интеграл энергии и три линейных интеграла кинетического момента образуют полную систему. Как и в предыдущем примере, такая система интегралов не является независимой. Обзор работ, посвященный этой задаче (и сами работы) можно найти в сборнике [9] или [10].
Ещё одним примером голономной механической системы, обладающей полным набором линейных интегралов, но не находящихся между собой в инволюции, является задача о движении твёрдого тела с ротором, которую изучал Е.А.Ивин
7