РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ РЯДОВ СГЛАЖЕННЫХ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ
В данном разделе проведено исследование математических моделей законов распределения вероятностей, построенных методом сглаженных дельта-функций. Изучены особенности и трудности применения рядов сглаженных дельта-функций на практике. Разработана методика оценивания параметров сглаживания. Исследованы ошибки восстановления различных законов распределения, получаемые в результате применения предлагаемой методики. Предложены способы уменьшения ошибок оценивания на основе использования априорной информации о характере измерений. Рассмотрен вопрос оценивания многомерных законов распределения вероятностей, который актуален в задачах построения решающих правил неразрушающего контроля по множеству информативных параметров.
2.1. Постановка задачи. Моделирование одномерных законов распределения
Пусть в результате контроля получена выборка измерений случайных величин с неизвестным законом распределения вероятностей. Необходимо на основе экспериментальных данных получить адекватную модель закона распределения вероятностей случайных величин.
Сформируем эмпирическую функцию распределения, используя функцию положительного единичного скачка:
, (2.1)
где - упорядоченная выборка этих измерений и ; - функция единичного скачка, равная 0, если и 1, если .
Вычислив производную (2.1), получим
, (2.2)
где - дельта - функция Дирака.
Формально выражение (2.2) - это оценка неизвестного закона распределения . Математическое ожидание оценки (2.2) и ее дисперсия равны:
, ,
т.е. оценка (2.2) хотя и несмещенная, но несостоятельная.
Заменим в выражении (2.2) дельта-функцию Дирака её аппроксимацией вида:
. (2.3)
Для оценки закона распределения вероятностей получим выражение:
. (2.4)
Представление законов распределения по экспериментальным данным в виде (2.4) рассматривалось в работе [122]. Трудности применения этого выражения связаны с выбором параметра . Исследование оценок (2.4) для различных законов распределения показывает, что оценки являются смещенными, а дисперсии их зависят от длины выборки и параметра . Так, для выборок нормального распределения получим выражения:
Оценки являются смещенными и асимптотически состоятельными. Дисперсии их зависят от параметра и размера выборки , причем дисперсия тем больше, а смещение тем меньше, чем больше параметр .
2.2. Исследование ошибок оценивания. Разработка методики определения параметров сглаживания
Рассмотрим задачу выбора параметра в задачах дефектоскопии, связанных с построением решающих правил распознавания по классифицированным выборкам экспериментальных данных, по которым должны быть оценены законы распределения вероятностей измерений параметров объектов контроля [1].
Параметр сглаживания необходимо выбирать наилучшим образом, чтобы минимизировать ошибки восстановления. Показателем близости неизвестного закона распределения вероятностей и его оценки может служить математическое ожидание интегрального квадрата их разности
. (2.5)
Преобразуем выражение (2.5) следующим образом:
, (2.6)
где - смещение.
Из анализа выражения (2.6) следует, что существует такое значение параметра сглаживания , при котором математическое ожидание интегрального квадрата ошибки имеет минимум. Чтобы определить оптимальное значение параметра сглаживания, необходимо решить уравнение:
.
Выделим два класса законов распределения вероятностей, отличающихся своими коэффициентами асимметрии. Первый класс со слабой асимметрией (нормальное, равномерное, релеевское распределения) и второй класс - с сильной асимметрией (экспоненциальное распределение). Определим для этих распределений оптимальные значения параметра сглаживания.
Введем обобщенный параметр сглаживания , где - среднее квадратическое отклонение исследуемого закона. Вычислим математические ожидания интегральных квадратов ошибок восстановления (2.5) для каждого из исследуемых законов распределения. В результате получим:
а) для нормального закона распределения
где ;
б) для равномерного закона распределения
где , - интеграл вероятностей;
в) для закона распределения Релея
где , ;
г) для экспоненциального закона распределения
где .
На рис. 2.1 представлены графики зависимостей математического ожидания интегрального квадрата ошибки от обобщенного параметра сглаживания для рассматриваемых законов распределения.
Полученные выражения для продифференцируем по и решим уравнения . В результате будем иметь формулы, связывающие размер выборки с обобщенным параметром сглаживания:
а) для нормального закона распределения вероятностей:
;
а) б)
в) г)
Рис. 2.1. Математическое ожидание интегрального квадрата ошибки для а) нормального, б) равномерного, в) релеевского и г) экспоненциального распределений для различных значений ()
б) для равномерного закона распределения вероятностей:
в) для закона распределения Релея:
,
где
,
;
г) для экспоненциального закона распределения вероятностей:
.
На рис. 2.2 представлены графики зависимостей для рассмотренных законов.
Используя полученные зависимости, можно для заданной длины выборки оценить значение параметра сглаживания для восстановления плотностей распределения вероятностей по формуле:
, (2.7)
где - выборочная дис